Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014 môn : Toán – lớp 8 thời gian làm bài : 150 phút

PHÒNG GD&ĐT CẨM GIÀNG
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN : TOÁN – LỚP 8
Thời gian làm bài : 150 phút
( Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1 ( 2,0 điểm)
1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4(y-z) + y4(z-x) + z4(x-y)
2. Cho biểu thức : , với 
a) Rút gọn A.
b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Câu 2 ( 2,0 điểm)
1. Giải phương trình : 
a)
b) 
2. Tìm hằng số a sao cho đa thức chia hết cho đa thức .
Câu 3 ( 2,0 điểm)
a) Cho các số tự nhiên m, n thỏa mãn 2m2 + m = 3n2 + n. Chứng minh 3(m+n)+1 là số chính phương.
b) Tìm các cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn 1+x+3x2+x3 = y3.
Câu 4 ( 3,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có BC = a không đổi; ba đường cao AK, BD, CE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng tam giác ABC.
b) Tính BH.BD + CH.CE theo a.
c) Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt BD, CE lần lượt tại P và Q. Chứng minh MP = MQ.
Câu 5 ( 1,0 điểm)
Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn a+b+c+d = 4. Chứng minh: 
.
- Hết -
PHÒNG GD&ĐT CẨM GIÀNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN : TOÁN – LỚP 8
 ( Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang)
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
1
(2 đ)
1
(1 đ)
x4(y-z) + y4(z-x) + z4(x-y) = x4(y-z) - y4[(y-z) + (x-y)] + z4(x-y)
0,25
= (y-z)( x4 - y4) – (x-y)( y4 - z4)
=(y-z)(x-y)(x+y)(x2 + y2) – (x-y)(y-z)( y2 + z2)
0,25
=(x-y)(y-z)(x3+xy2+x2y+y3-y3-yz2-y2z-z3)
0,25
=(x-y)(y-z)(z-x)(x2+y2+z2+xy+yz+zx)
0,25
2a
(0,5 đ)
0,25
. Vậy với 
0,25
2b
(0,5 đ)
 thỏa mãn ĐKXĐ . Vậy thì A nguyên
0,50
2
(2 đ)
1a
(0,75 đ)
ĐK : .
Phương trình tương đương với :
0,50
Biến đổi được về dạng : 
So sánh với điều kiện ta có phương trình có nghiệm duy nhất x=-3.
0,25
1b
(0,75 đ)
( vì 0 và 0)
0,50
Tìm ra x= 1 và kết luận nghiệm của PT
0,25
2
(0,75 đ)
Để đa thức chia hết cho đa thức x-1 thì tồn tại đa thức Q(x) sao cho (*)
0,25
Thay x = 1 vào (*) 
0,25
. Vậy a=4 là giá trị cần tìm.
0,25
3
(2 đ)
1
(1 đ)
0,25
 (1)
0,25
Gọi d = ƯCLN(n-m,3m+3n+1) thì 
suy ra hay 6m+1 d.
0,25
mặt khác từ (1) ta có m2 d2 md nên 6m d. Do đó 6m+1-6md, hay 1d. Vậy d = 1, tức là n-m và 3m+3n+1 nguyên tố cùng nhau.
Vậy 3m+3n+1 hay 3(m+n)+1 là số chính phương.
0,25
2
(1 đ)
Với x=0 suy ra y=1, ta có cặp giá trị (x;y) = (0;1)
0,25
Với mọi số tự nhiên x khác 0, ta có x3 < 1+x+3x2+x3 < 1+3x+3x2+x3
hay x3< y3<(x+1)3. Do đó không tồn tại y.
0,75
4
(3 đ)
0,25
a
(1 đ)
Chứng minh được hai tam giác AEC và ADB đồng dạng
0,50
Chứng minh được hai tam giác ADE và ABC đồng dạng (c.g.c)
0,50
b
(1 đ)
 BHK đồng dạng BCD nên 
0,25
CHK đồng dạng CBE nên 
0,25
Cộng vế với vế hai đẳng thức ta được 
0,25
hay 
tức là 
0,25
c
(0,75 đ)
Chứng minh 
0,25
Tương tự 
0,25
Do MB=MC.
0,25
5
(1 đ)
Áp dụng bất đẳng thức ta có 
0,25
Tương tự : 
Suy ra 
0,25
Đưa về chứng minh 
0,25
=64
Đẳng thức xảy ra .
0,25
- Hết -
Ghi chú : 
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa từng phần.
- Câu 4, nếu vẽ hình sai thì không cho điểm của phần chứng minh.