Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán 8 - Năm học 2015 - 2016 Trường THCS Chu Văn An

TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI
Môn TOÁN 8 - Năm học 2015 - 2016 
Thời gian làm bài 120 phút - Không kể thời gian giao đề.
Bài 1(2,0 điểm) 
	Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a) x3 - 9 x2 + 15x + 25
	b) a3 + b3 + c3 - 3abc.
Bài 2(3,0 điểm)
	a)Tính : A = 
	b)Cho x + y = 1 và xy ≠ 0. 
	Chứng minh rằng 
Bài 3(4,0 điểm) 
	Cho hình vuông ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; BC và I là giao điểm của CM và DN. 
	Chứng minh rằng AI = AD.
Bài 4(1,0 điểm) Giải phương trình (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 .
--------------------- Hết----------------------
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài
NỘI DUNG
Điểm
1
2,0đ
a) x3 - 9 x2 + 15x + 25 . 
Ta có x = -1 là một nghiệm của đa thức 
=>Đa thức có chứa nhân tử x + 1 
x3 - 9 x2 + 15x + 25 = (x + 1)(x2 - 10x + 25) 
 = (x + 1)(x - 5)2
0,5đ
0,25đ
b) a3 + b3 + c3 - 3abc.
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 - 3abc
=(a + b + c)3 - 3(a + b).c.(a + b + c) - 3 ab.(a + b + c)
=(a + b + c).[(a + b + c)2 - 3(a + b).c - 3ab]
=(a + b + c).(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca - 3ac - 3bc - 3ab)
=(a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2
3,0đ
a)A = 
Ta có: 
 với x ≠ 1
Vậy A = với x ≠ 1
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b)Cho x + y = 1 và xy ≠ 0. 
Chứng minh rằng 
Ta có: 
= 
 (Từ x + y = 1 => y - 1 = -x và x - 1 = -y 
=> (y - 1).(x - 1) = (-x).(-y) = xy)
= 
= 
=
=
= 
Vậy : 
=+
0,5đ
0,5đ
0,25đ
3
4,0đ
Vẽ hình đúng
Gọi P là trung điểm của CD, AP cắt DN tại H
Chứng minh tứ giác AMCP là HBH => AP//CM (1)
∆CDN có P là trung điểm của CD và HP // CI (AP // MC)
=>DH = HI 
Chứng minh ∆CDN = ∆BCM (c.g.c) 
=> CMB = CND (2)
CMB + BCM = 900 (∆BCM vuông tại B) (3)
Từ (2) và (3) =>CND + BCM = 900 
=> NIC = 900 => MC ⊥ DN (4)
Từ (1) và (4) => AP ⊥ DI tại H và có DH = HI
=> AP là đường trung trực của DI => AI = AD.
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4
1,0đ
Giải phương trình (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 (1)
Đặt y = x2 + x
(1) y2 + 4y - 12 = 0 y2 + 6y - 2y - 12 = 0
 (y - 2)(y + 6) = 0 y - 2 = 0 hoặc y + 6 = 0
 x2 + x - 2 = 0 hoặc x2 + x + 6 = 0 (VN)
x2 + 2x - x - 2 = (x + 2)(x - 1) = 0 
 x1 = -2; x2 = 1
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
	Lưu ý: Mọi cách giải khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa