Đề cương ôn thi thpt quốc gia năm học 2014 - 2015 - Chuyên đề 8: hình học không gian

CHUYÊN ĐỀ 8: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Minh Nhiên – Sở GD&ĐT
1. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1.1. Kiến thức liên quan
1.1.1. Tỉ số lượng giác của góc nhọn
1.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông  
Cho vuông ở A 
Định lý Pitago: hay 
 hay 
 hay 
 hay 
1.1.3. Hệ thức lượng trong tam giác thường
 · Định lý hàm số Côsin: 
 · Định lý hàm số Sin: 
1.1.4. Các công thức tính diện tích.
a. Công thức tính diện tích tam giác.
	· 
	· 
S = pr
	· với (Công thức Hê-rông)
Đặc biệt:
	·vuông ở A: 
	· đều cạnh a: 
b. Diện tích hình vuông cạnh a: 	(H.1)
c. Diện tích hình chữ nhật: 	(H.2)
d. Diện tích hình thoi: 	(H.3)
e. Diện tích hình thang: 	(H.4) 
1.1.5. Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng
	· Đường chéo hình vuông cạnh a là 	(H.5)
	· Đường cao tam giác đều cạnh a là 	(H.6)
	· Điểm G là trọng tâm tam giác ABC thì (H.7)
1.1.6. Thể tích khối đa diện
a. Thể tích khối lăng trụ
· Thể tích khối lăng trụ: 	, với B là diện tích đáy ; h là chiều cao
	·Thể tích khối hộp chữ nhật: , với a, b, c là chiều dài, rộng, cao
	·Thể tích khối lập phương:	 với a là cạnh
b.Thể tích khối chóp
	·Thể tích khối chóp:	, với B là diện tích đáy, h là chiều cao
1.2.Phương pháp tính thể tích khối đa diện
1.2.1.Phương pháp tính trực tiếp bằng việc sử dụng công thức thể tích
Khi tính thể tích khối đa diện đầu tiên cần quan tâm hai yếu tố quan trọng xác định thể tích là: chiều cao và diện tích đáy dựa trên các công cụ đã học như các hệ thức lượng trong tam giác thường, hệ thức lượng trong tam giác vuông,
Thể tích khối chóp.
Ví dụ 1. (Đề thi TSĐH Khối A năm 2010) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = . Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a.
Lời giải.
Vì nên 
*Nhận xét: Trong nhiều bài toán yếu tố quan trọng chính là chiều cao. Với khối chóp cần chính xác hóa đường cao (chân đường cao) của hình chóp. Ở đây ta có thể liệt kê một số trường hợp thường gặp sau:
Ví dụ 2.
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. 
Lời giải
	Gọi H là tâm của hình vuông
Vì là hình chóp đều nên 
Do đó, 
Vì ABCD là hình vuông nên (đvdt)
Ta có 
nên vuông tại S, mà H là trung điểm của AC nên 
(đvtt)
	*Nhận xét: Với khối chóp đều, chiều cao chính là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy
Ví dụ 3.
Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC, biết cạnh đáy bằng a và các cạnh bên hợp đáy góc .
Lời giải
	Gọi H là tâm của tam giác , M là trung điểm của BC
Vì là hình chóp đều nên 
Do đó, 
Vì là tam giác đều nên 
Trong tam giác vuông , 
 (1)
 (đvdt) (2)
Mà ta lại có nên . Do đó, Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng góc giữa SM và AM hay góc .
Do H là trọng tâm tam giác nên 
Trong tam giác vuông , 
(đvtt)
*Ghi nhớ:
+ Cách xác định góc giữa đt d và mặt phẳng :
	-Nếu thì góc giữa d và bằng 
	-Nếu thì góc giữa d và bằng góc giữa d và d’ là hình chiếu của d trên 
+Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng và 
	-Cách 1: Xác định hai đt A, B sao cho thì góc giữa và là góc giữa a và b
	-Cách 2: Nếu giao tuyến của và là d thì xác định hai đt A, B lần lượt nằm trong và sao cho thì thì góc giữa và là góc giữa a và b
Ví dụ 6. 
Cho tứ diện có là tam giác đều cạnh a, là tam giác vuông cân tại D, mặt phẳng . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Lời giải
 Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên 	 
 mà ,
 AH .
Ta có là tam giác đều cạnh a nên 
Mà là tam giác vuông cân nên
 (đvdt)
(đvtt)
*Nhận xét:
Hình chóp có một mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với đáy góc thì chân đường cao thuộc giao tuyến mặt đó với đáy, đường cao nằm trong mặt bên hoặc mặt chéo đó.
*Ghi nhớ:
Ví dụ 7.
 Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải
Ta có: 
Do đó, 
Diện tích đáy là: 
Do AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng nên góc giữa SC và mặt phẳng là góc 
Ta có: 
Vậy thể tích khối chóp là: (đvtt)
*Nhận xét:
Hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường 
cao là giao tuyến của hai mặt đó.
Ví dụ 8.
 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại A, . Các cạnh bên . Tính thể tích khối chóp .
Lời giải
Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng 
vì các đường xiên nên các hình chiếu 
tương ứng 
Do đó, H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
 mà tam giác vuông tại A nên H là trung điểm của BC.
Vì là tam giác đều cạnh 2a nên đường cao 
Theo định lí Pitago, (đvdt)
Nên thể tích khối chóp là: (đvtt)
*Nhận xét:
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc hợp đáy góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Ví dụ 9. (Đề TSĐH khối A năm 2009) 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a, CD=a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. gọi I là trung điểm của AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính 
Lời giải.
Gọi H là hình chiếu của I trên BC
Từ giả thiết suy ra SI vuông góc với mặt đáy. Ta có thể dễ dàng tính được: ,
Ta có 
nên . 
Từ đó tìm được (đvtt)
Ví dụ 10.
 Hai cạnh đối diện của một tứ diện có độ dài bằng x, các cạnh khác đều có độ dài bằng 1. Với giá trị nào của x thể tích của tứ diện đạt giá trị lớn nhất ?
Lời giải
Giả sử SA = BC = x, các cạnh khác của tứ diện có độ dài bằng 1. Gọi I, D lần lượt là trung điểm của BC & SA.
Ta có: SA (BCD). Do đó:
mà ID = CD2 – CI2 = SC2 – SD2 – CI2 = 1 – 
 Suy ra, 
Vì vậy, đạt tại x = 
b. Thể tích khối lăng trụ.
	Với thể tích khối lăng trụ ta vẫn sử dụng những hướng trên để làm đó là tìm cách xác định đường cao và diện tích đáy là được.
Ví dụ 1.
Cho hình hộp chữ nhật có mặt phẳng hợp đáy góc . Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó.
Lời giải
Theo ĐL Pitago ta có:(đvdt)
Do 
Nên góc giữa mặt phẳng và đáy là góc 
Suy ra, tam giác vuông cân nên 
Vậy thể tích khối hộp chữ nhật là (đvtt)
*Nhận xét:Với khối lăng trụ và khối đa diện khác ta có thể sử dụng một số hướng sau:
+Sử dụng trực tiếp các công thức đã biết về thể tích khối lăng trụ
+Quy về tính thể tích một khối chóp đặc biệt.
+ Chia nhỏ thành nhiều khối chóp để tính
+Bù thêm vào khối đa diện phức tạp để được khối đa diện dễ tính thể tích.
Ví dụ 2.
Cho lăng trụ đứng tam giác , đáy là tam giác đều cạnh a và diện tích tam giác bằng . Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải
 	Gọi I là trung điểm của BC.
Ta có đều nên 
Vì AI là hình chiếu của A’I trên mặt phẳng ,
(ĐL ba đường vuông góc)
Do tam giác AIA’ vuông tại A nên 
 (đvtt)
Ví dụ 3. 
Cho lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông tại A với AC = a, , biết BC' hợp với một góc 300. Tính AC' và thể tích khối lăng trụ.
Lời giải
Ta cólà tam giác vuông tại A với AC = a,
.
Ta có: nên AC' là hình chiếu của BC' trên . Vậy góc giữa BC’ và mặt phẳng là góc 
Trong tam giác vuông ,
Trong tam giác vuông ,
(đvdt)
Vậy (đvtt)
Ví dụ 4. 
Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và , biết AB' hợp với đáy một góc .Tính thể tích của khối hộp .
Lời giải
Vì đều cạnh a nên
 vuông tại B
Vậy 	(đvtt)
Ví dụ 5. 
 Cho lăng trụ tam giác có đáy là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là và hợp với đáy một góc . Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải
Ta có là hình chiếu của CC' trên (ABC)
 Nên góc giữa CC’ và mặt phẳng bằng 	
Vậy 
Ví dụ 6. 
 Cho hình hộp có đáy là hình chữ nhật với . Hai mặt bên và lần lượt tạo với đáy các góc . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng a.
Lời giải
 Gọi H là hình chiếu của A’ trên mặt phẳng , M,N lần lượt là hình chiếu của trên AD,AB.
Dễ thấy, góc giữa các mặt và và đáy lần lượt là 
Đặt ta có:
Vì là hình chữ nhật nên
mà 
Vậy (đvtt)
Ví dụ 7. 
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a, sao cho . Mặt phẳng (α) qua A,K và song song với BD chia khối lập phương trình hai phần. Tính tỷ số thể tích hai phần đó.
Lời giải.
Gọi O,O’ là tâm của hình vuông ABCD,A’B’C’D’, 
Qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt BB’,DD’ lần lượt tại E,F
Khi đó, thiết diện tạo bởi (α) và hình lập phương chính là hình bình hành
AEKF.
Có OM là đường trung bình tam giác ACK nên 
Do đó, . Đặt 
Để ý rằng tứ giác BCKF=C’B’EK, mặt phẳng (AA’C’C) chia khối ABEKFDC 
thành hai phần bằng nhau nên
Vậy 
Ví dụ 8.
 Cho hình hộp có các mặt bên hợp và mặt với đáy góc , biết góc . Tính 
Lời giải.
Gọi H là hình chiếu của A’ trên , 
J,K là hình chiếu của H trên 
Áp dụng ĐL cosin cho 
Từ giả thiết suy ra hình chóp có các mặt bên hợp đáy góc 
Nên H là cách đều các cạnh của 
*TH1: Nếu H nằm trong thì H là tâm đường tròn nội tiếp .
Góc giữa mặt bên và đáy bằng 
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp thì 
Từ đó, 
*TH2: Nếu H nằm ngoài thì H là tâm đường tròn bàng tiếp .
Nếu H nằm trong góc , gọi là bán kính đường tròn bàng tiếp tương ứng thì 
Từ đó, 
Tương tự hai TH còn lại ta được các kết quả: 
Ví dụ 9.(Đề dự bị ĐH khối A năm 2006)
Cho hình hộp đứng có các cạnh và . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A′D′ và A′B′. 
a) Chứng minh rằng . 
b) Tính thể tích khối chóp A.BDMN	
Lời giải.
Ta có AC là hình chiếu của AC’ trên mặt phẳng 
và nên (1)
Mà 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra, 
Cách 1: dựa theo câu a) tính chiều cao và 
Cách 2: 
 (đvtt)
(đvtt)
Gọi , kẻ . Dễ thấy 
(đvtt) (đvtt)
Bài tập tự luyện
Bài 1. (Đề TN-THPT PB 2007 Lần 2) Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Tính thể tích khối chóp .	
Đáp số: 
Bài 2. (Đề thi TN THPT 2009) Cho hình chóp có mặt bên là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và góc A của tam giác ABC bằng . Tính thể tích của khối chóp theo a. 
Đáp số: 
Bài 3. (Trích đề thi ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết B = và . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Đáp số: 
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. AB = SD = 3a, AD = SB = 4a, a > 0. Đường chéo AC(SBD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Đáp số: 
Bài 5. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.	 
Đáp số: 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB//CD, AB = 2CD = 4a, , biết mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SAB) là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Đáp số: VS.ABCD .
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh 2a, SA = SB = SC = 2a. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD, chứng minh 
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp.
Đáp số: 
Bài 9. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = 2a, SA = BC = a, CD = 2a Tính thể tích khối chóp SABCD.
Bài 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các cạnh bên bằng nhau và bằng . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích khối chóp SABCD là lớn nhất.
Bài 11. Cho hình chóp SABCD có mặt phẳng (SBC) và (SDC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh , , góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45o. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Bài 12. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy. Tam giác SAB vuông tại S, góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 30o. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD.
Bài 13. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông cạnh , tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc 60o. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Bài 14. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân, , BC = 6a, các mặt bên tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp SABC.
1.2.2. Phương pháp sử dụng tỉ số diện tích, thể tích và tính chất khoảng cách
Thông thường, khi tính diện tích đáy ta có thể linh hoạt sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác hay tính toán dựa trên việc thêm bớt các đa giác dễ tính diện tích. Ngoài ra, ta có thể sử dụng thêm tính chất về tỉ số diện tích. Cụ thể: 
Cho ΔABC, . Khi đó,
a. Sử dụng tính chất khoảng cách trong tính thể tích
Khi tính thể tích, việc linh hoạt sử dụng các tính chất về khoảng cách 
giúp ta có thể giải quyết bài toán khá nhanh gọn. Công cụ thường dùng là các tính chất khoảng cách đó là:
Cho hình chóp 
Cho hình chóp 
Kết quả được mở rộng cho khối chóp đa giác 
 Ví dụ 1.(Đề TSĐH khối D năm 2010)
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a.
Lời giải.
Trong tam giác vuông và 
Ta có 
Vậy cân tại C mà CM là đường cao hạ từ C của nên M là trung điểm của SA.
Bây giờ ta lại quay trở lại Ví dụ 9 ở phần 2.1.b với cách làm sử dụng kĩ thuật khoảng cách và cách bù thêm khối đa diện.
Ví dụ 2. Xem lại đề bài ở Ví dụ 9 ở phần 2.1.b
Lời giải.
Gọi dễ dàng chứng minh được A’ là trung điểm của AI nên
(đvtt)
(đvtt)
(đvtt)
Ví dụ 3.(Đề TSĐH khối D năm 2009)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC.
Lời giải.
Dễ dàng tính được 
Ta có I là trọng tâm tam giác AA’C’ nên 
nên 
Ví dụ 4.
Trên cạnh của hình chóp lần lượt lấy điểm D và E sao cho . Mặt phẳng qua DE và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Lời giải.
Dễ dạng xác định được thiết diện tạo bởi mặt phẳng qua DE, song song với SC và hình chóp chính là hình bình hành .
Ta có 
Do 
Do đó, tỉ số thể tích của hai phần là: 
b. Sử dụng tỉ số thể tích 
Cho hình chóp S.ABC có . Khi đó,
Lưu ý: Công thức trên chỉ được áp dụng cho khối chóp tam giác,còn với khối chóp đa giác khi áp dụng cần chia nhỏ khối đa diện thành nhiều khối chóp tam giác để tính tỉ số
Ví dụ 1.
 	Cho tứ diện ABCD có . Tính 
Lời giải.
Sử dụng định lý Cosin cho các tam giác ta được 
Lấy sao cho AM=AN=a
Ta có 
Do đó, tam giác BMN vuông tại B. 
Vì AB=AM=AN nên hình chiếu của A 
trên (BMN) là tâm H của đường tròn 
ngoại tiếp , H cũng 
chính là trung điểm của MN
Có 
(đvtt)
Ví dụ 2.
Cho khối lăng trụ tam giác đều . Các mặt phẳng chia lăng trụ thành 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó. 
Lời giải.
Gọi 
 V là thể tích của lăng trụ. Ta có 
Mặt khác: 
Vậy 
Ví dụ 3. (Đề thi dự bị ĐH khối D năm 2008)
Cho tứ diện lần lượt thuộc sao cho , mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD bị chia bởi mặt phẳng (MNP).
Lời giải.
Gọi , kẻ 
 đồng dạng 
Đặt Ta có: 
Vậy mặt phẳng chia khối chóp thành hai phần với tỉ lệ thể tích 
Bài tập tự luyện
Bài 1. (Trích đề thi khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a.
Đáp số: 
Bài 2. (Đề thi ĐH khối B - 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, , SA = a và SA (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Đáp số: 
Bài 3. (Trích đề khối A - 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính VSBCNM.	
Đáp số: 
Bài 4. (Trích đề khối B - 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính VSBCNM. 
Đáp số: VSBCNM 
Bài 5. Cho hình chóp đều S.ABCD,trên cạnh CD kéo dài lấy điểm M sao cho , mặt phẳng (P) đi qua M,B và trung điểm của SC chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 6. Cho khối chóp S.ABCD, trong đó ABCD là hình thang có các cạnh đáy AB, CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại các điểm tương ứng M, N. Hãy xác định vị trí điểm M trên SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chóp đã cho thành hai phần tương đương (có thể tích bằng nhau).
Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a, gọi M,N,P lần thuộc các đoạn AA’,BC,CD sao chomặt phẳng (MNP) chia khối lập phương thành hai phần tính thể tích từng phần
2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
2.1. Các bài toán về chứng minh tính vuông góc
2.1.1. Kiến thức cơ bản cần biết
a. Tiêu chuẩn vuông góc
+ Đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng (P) khi (d) vuông góc với hai đường thẳng giao nhau của (P).
+ Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau khi góc tạo bởi hai mặt phẳng đó bằng 900.
b. Các định lý về tính vuông góc
+ Định lý ba đường vuông góc: Giả sử và d không vuông góc (P), , d’ là hình chiếu của d lên (P). Khi đó d 
+ Giả sử (P) và (Q) là hai mặt phẳng vuông góc với nhau, . Nếu thì 
+ Nếu thì Δ sẽ vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mp(P).
+ Giả sử (P) và (Q) cùng vuông góc với (R) trong đó thì 
+ Nếu và thì 
2.1.2. Các dạng toán thường gặp
* Chứng minh đường thẳng a và b vuông góc: 
- Cách 1: Ta chứng minh góc giữa hai đt đó bằng .
- Cách 2: Ta chứng minh a//c mà cb.
- Cách 3: Ta chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương .
- Cách 4: Ta chứng minh a vuông góc với một mp() chứa đường thẳng b. (hay dùng)
- Cách 5: Sử dụng định lí ba đường vuông góc 
* Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp():
- Cách 1: Ta chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong ().
- Cách 2: Ta chứng minh d song song với một đường thẳng d’ vuông góc với ().
- Cách 3: Nếu hai mp cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến (nếu có) của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng này. 
- Cách 4: Nếu hai mp vuông góc với nhau, một đường thẳng nằm trong mp này mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mp kia.
Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
- Cách 1: Ta chứng minh mp này chứa một đường thẳng vuông góc với mp kia.(đường nào đây ta??)
- Cách 2: Ta chứng minh góc giữa chúng là .
Ví dụ 1. (ĐH Khối A năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Chứng minh AMBP.
Lời giải
Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH AD
Vì (SAD)(ABCD), suy ra SH (ABCD) suy ra SHBP (1)
Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: (3)
Do HC // AN, MN // SC (4)
Từ (3) và (4) suy ra: (đpcm)
Ví dụ 2. (ĐH khối B năm 2007)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC. Chứng minh .
Lời giải
Ta có SEAD là hình bình hành và SE = DA 
 SEBC cũng là hình bình hành 
Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác EAB và ABC 
ta có MP // EB, PN // AC. 
Từ đó suy ra (MNP) // (SAC) (1)
Ta có và (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
Ví dụ 3. (ĐH Khối B năm 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = , SA = a và . Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh .
Lời giải
Giả sử I là giao điểm của AC và MB
Ta có MA = MD và AD // BC 
nên theo định lý Talet suy ra 
Từ đó suy ra 
Vậy AMI là tam giác vuông tại I (1)
Mặt khác (2)
Từ (1), (2) suy ra đpcm
Bài tập tự luyện.
Bài 1. (ĐH Khối D năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, trong đó . Giả sử . Chứng minh .
Bài 2. (Cao đẳng khối A năm 2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, với , BA = BC = a, AD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật.
Bài 3. (Cao đẳng khối A, B, D năm 2009) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a.Cạnh bên bằng. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SD, DC.Chứng minh rằng .
Bài 4. Cho hình chóp S.ABC trong đó đáy ABC là tam giác vuông tại C, hai mặt bên (SAC) và (SAB) cùng vuông góc với đáy. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB. Chứng minh .
Bài 5. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Đoạn SA cố định vuông góc với (P) tại A, M và N là hai điểm tương ứng di động trên các cạnh BC và CD. Đặt BM = u, DN = v. Chứng minh rằng là điều kiện cần và đủ để (SAM) (SMN).
Bài 6. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Hai nửa đường thăng Bx và Dy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P), M và N là hai điểm di động tương ứng trên Bx, Dy. Đặt BM = u, DN = v.
a. Tìm mối liên hệ giữa u, v để 
b. Giả sử ta có điều kiện ở câu 1, chứng minh.
Đáp số: a. 
Bài 7. (ĐH khối A năm 2003) Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’ đáy là hình vuông ABCD cạnh a, AA’ = b. Gọi M là trung điểm của CC’. Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
Bài 8. Cho hình chóp tam giác S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh hai mặt phẳng (SAI) và (SBC) vuông góc với nhau.
Bài 10. (ĐH Khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Chứng minh 
2.2. Bài toán về khoảng cách
2.2.1. Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cách 1. Phương pháp tính trực tiếp
Tìm hình chiếu H của A lên mặt phẳng (P). Khi đó, AH = d(A; (P)).
Để tìm hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (P) có 2 phương pháp thường dùng:
Phương pháp 1: Dựng đường thẳng Δ qua A và Δ (P) (nếu có), khi đó 
Phương pháp 2: Dựng mặt phẳng (Q) qua A và (Q) (P), gọi Δ là giao tuyến của (P) và (Q), từ A hạ AH Δ tại H. Khi đó, H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P).
Cách 2. Phương pháp tính gián tiếp
Việc tính gián tiếp thông qua điểm khác dựa vào các tính chất hình học sau:
a) Nếu đường thẳng Δ qua A và Δ // (P) thì d(A; (P)) = d(B; (P)) với .
b) Nếu Δ qua A cắt mặt phẳng (P) tại I, khi đó , ta có: .
c) Mặt phẳng (Q) qua A và (Q) // (P) thì d(A; (P)) = d(B; (P)) với .
Cách 3. Để tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P), ta có thể dựa vào công thức tính thể tích khối chóp với đỉnh là A và đáy nằm trên mặt phẳng (P) có diện tích S. Khi đó,
.
Cách 4. Dựa vào bài toán cơ bản: Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ . Khi đó, .
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD), , gọi G là trọng tâm ΔSAB. Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SAC).
Lời giải
Lời giải 1: Tính trực tiếp 
Tìm hình chiếu H của G lên mặt phẳng (SAC).
Ÿ Phân tích lời giải: Việc tìm một đường thẳng qua G và mặt phẳng (SAC) là rất khó. Vậy, để tìm hình chiếu H của A lên mặt phẳng (SAC) ta dùng cách 2: Dựng mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với mặt phẳng (SAC).
Ÿ Cách dựng mặt phẳng (P): Vì SA (ABCD) nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P). SG cắt AB tại E nên từ E hạ EF AC EF (SAC) 
 (SEF) (SAC) (SEF) (P).
Từ G hạ GH SF tại H GH = d(G; (SAC)). Ta có .
Lời giải 2: Tính gián tiếp 
Nhận xét: EG cắt (SAC) tại S và d(G;(SAC)) = .
GB cắt SA tại N và 
Từ G dựng đường thẳng Δ song song với SA cắt AB tại P. Từ P hạ PJ AC tại J PJ = d(P;(SAC)) = .
Ta có . Ta có 
, .
Ví dụ 2. (Trích đề thi ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = , . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Ÿ Lời giải 1: 
 HB = 3a, HC = a. Từ H hạ HI AC tại I 
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SI HK = d(H;(SAC))
 HK = d(B;(SAC)) = 4.HK = 
Ÿ Lời giải 2: 
Ta dễ dàng tính được 
Lại có SB AB 
CA = 5a; SC = 
Từ đó ta tính được 
Trong đó, 
Vậy d(B;(SAC)) = 
Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD). Tính khoảng cách giữa SB và AC.
Lời giải 1: 
Trong mặt phẳng (ABCD) dựng qua B song song với AC.
Đặt (P) = (, SB).
Khi đó, AC // (P) và d(AC; SB) = d(AC; (P)) = d(A; (P)). 
Từ A hạ AI tại I; Từ A hạ AH SI tại H suy ra AH = d(A; (P)). Ta có AI = 
Lời giải 2: Dựng hình bình hành ABEC.
Ta có AC // BE AC // (SBE) 
 d(AC; SB) = d(AC; (SBE)) = d(A; (SBE)) = 
Ta có: BE = AC = , SB = , 
 = 
Lời giải 3: 
 I là trung điểm của SD. 
d(AC; SB) = d(SB; (ACI)) = d(B; (ACI).
Tính : Ta có 
Bài tập tự luyện
Bài 1. (Trích đề thi khối A – 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm h thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp SABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Đáp số: d(BC; SA).
Bài 2. (ĐH khối D năm 2002) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AD = AC = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tìm khoảng cách từ A đến (BCD).
Đáp số: 
Bài 3. (ĐH khối D năm 2008) Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông có BA = BC = a, cạnh bên AA’ = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
Đáp số: 
2.2.2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1: Dựng và tính độ dài đường vuông góc chung.
Cách 2: Dựng mặt phẳng (P) chứa và song song với . Khi đó, khoảng cách giữa và bằng khoảng cách từ đến mặt phẳng (P) và bằng khoảng cách từ đến mặt phẳng (P).
Ví dụ 1. (Đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2006)
 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN.
Lời giải:
Ta có BC // MN
 MN // (A’BC) 
 d(MN,A’C) = d(MN,(A’BC)) = d(M,(A’BC)) (1)
Ta có 
Lại có
Từ đó . 
Vì thế nếu kẻ 
thìvà (2)
Từ (1), (2) suy ra 
Ví dụ 2. Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a = cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
Lời giải: 
Gọi M và N tương ứng là các trung điểm của AB và CD. 
Do ABCD là tứ diện đều, nên ta có CM AB và DM AB AB (MCD) AN MN
Lý luận tương tự ta có: CD (ANB) CD MN. 
Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
Ta có: MC = MD = .
Vậy 
Bài tập tự luyện
Bài 1. (ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC theo a.
Đáp số: d(MN, AC) 
Bài 2. (ĐH khối B năm 2002) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D.
Đáp số: 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a, .Giả sử AB = AC = 2a, Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Đáp số: 
Bài 4. (ĐH khối A năm 2004) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng , đường chéo AC = 4, SO = và SO (ABCD), với O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm cạnh SC. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
Đáp số: d(SA, BM) = 
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Đáp số: 
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = h và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SC và AB.
CHUYÊN ĐỀ 9: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Biên soạn và sưu tầm: Đào Văn Thái – GV trường THPT Nguyễn Đăng Đạo
1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
1.1. Lý Thuyết
1.1.1. Phương trình đường thẳng 
a.Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng
*Vectơ là VTCP của đường thẳng (d) nếu và giá của song song hoặc trùng với (d)
* Nếu đường thẳng (d) biết Phương trình tham số của (d) là: 
b. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng 
* Vectơ là VTPT của đường thẳng (d) nếu và giá của vuông góc với (d)
*Nếu đường thẳng (d) biết Phương trình tổng quát của (d) là: 
 - Nếu (d) có VTCP thì (d) có VTPT là 
 - Nếu (d) có VTPT là thì (d) có VTCP 
*) Muốn lập phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và nhận 1 vtpt hoặc 1 vtcp 
c. Đường thẳng (d) có phương trình 
VTPT , VTCP và nhiều điểm mà (d) đi qua
d. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn (d) cắt Ox, oy lần lượt tại hai điểm A(a;0) và B(0;b):
e. Nếu đường thẳng (d) có phương trình tham số với thì ta có phương trình chính tắc của (d) là:
Trong trường hợp a=0 hoặc b=0 đường thẳng không có phương trình chính tắc
1.1.2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
 Cho (d1):
 (d2): 
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm hệ phương trình: 
Hệ (I) có 1 nghiệm (x0;y0) (d1)cắt (d2) tại điểm M(x0;y0)
Hệ (I) vô số nghiệm (d1) trùng (d2)
Hệ (I) vô nghiệm(d1)// (d2). ((d1) và (d2) không có điểm chung )
1.2. Các dạng bài tập cơ bản:
1.2.1.Dạng 1: Viết phương trình của đường thẳng qua có VTPT 
Phương pháp: (d)
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d qua A(-3;2) và song song với 
Lời giải
 có VTPT là 
d// nên d có VTPT là 
d có phương trình tổng quát là: 2(x+3)-1(y-2)=02x-y+8=0
1.2.2. Dạng 2: Phương trình đường thẳng qua 2 điểm và 
Phương pháp: (d)
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d biết: Qua A(1;2); B(3;4)
Lời giải
Do (d) đi qua A và B nên (d): 
Phương trình tham số của (d) là 
 (d): Phương trình tổng quát của (d): 2(x-1)-2(y-2)=0 
1.2.3. Dạng 3: Viết phương trình của đường thẳng qua có VTCP 
Phương pháp: (d)
Ví dụ 3: Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:
(d) đi qua điểm M(1;-2) và có vtcp =(2;-1).
(d) đi qua điểm A(3;2) và vuông góc với (d1):5x+2y-1=0
 Lời giải:
Ta có: 
(d): Phương trình tham số của (d) là: 
(d): Phương trình tổng quát của (d): 1(x-1)+2(y+2)=0↔ (d): x+2y+3=0
Phương trình chính tắc của (d) là: 
b) (d): phương trình tham số của (d):
 (d)