Đề cương ôn thi thpt quốc gia năm học 2014 - 2015 - Chuyên đề 5: Đại số tổ hợp, xác suất

CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠI SỐ TỔ HỢP, XÁC SUẤT
Biên soạn và sưu tầm: Nguyễn Quang Tuấn – GV trường THPT Hàn Thuyên
1. Kiến thức cơ bản
1.1. Đại số tổ hợp
1.1.1. Quy tắc cộng: 
 Có n1 cách chọn đối tượng A1.
 n2 cách chọn đối tượng A2.
 A1 Ç A2 = Æ
Þ Có n1 + n2 cách chọn một trong các đối tượng A1, A2.
1.1.2. Quy tắc nhân: 
Có n1 cách chọn đối tượng A1. Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2.
Þ Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2.
1.1.3. Hoán vị: 
- Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử.
- Số hoán vị: Pn = n!.
1.1.4. Chỉnh hợp: 
- Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k £ n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
- Số các chỉnh hợp: 
1.1.5. Tổ hợp: 
- Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 £ k £ n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
- Số các tổ hợp: 
- Hai tính chất: , 
1.1.6. Nhị thức Newton
- Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1): 
- Đặc biệt: 
1.2. Xác suất
1.2.1. Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển: 
+ 0P(A)1	+ , 
1.2.2. Tính xác suất theo các quy tắc: 
a) Quy tắc cộng xác suất
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, thì:
c) Quy tắc nhân xác suất
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:
2. Các dạng toán
2.1. Bài toán đếm:
Ví dụ 1. Cho tập , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.
Lời giải
Gọi số cần tìm là 
Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a.
Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: cách
3 vị trí còn lại có cách
Suy ra có số 
Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0.
Xếp 3 có 4 cách
3 vị trí còn lại có cách 
Suy ra có số
Vậy số các số cần tìm tmycbt là: = 384
Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.
Lời giải
Từ giả thiết bài toán ta thấy có cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) và =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có . = 100 bộ 5 số được chọn.
Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả ..5! = 12000 số.
Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là . 
Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán.
Ví dụ 3. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh.
Lời giải
Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là 
Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là:
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 11 và khối 10 là:
Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 10 là:
Số cách chọn thoả mãn đề bài là: (cách)
Ví dụ 4. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439.
Lời giải
	Nếu n £ 2 thì n + 6 £ 8. Do đó số tam giác có ba đỉnh được lấy từ n + 6 điểm đó không vượt qua (loại). Vậy n ³ 3
	Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử. Nhưng trên cạnh CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:
Û (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540
Û n2 + 4n – 140 = 0
Từ đó tìm được n = 10.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2010.
2) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n. 
3) Cho tập , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.hoctoancapba.com
2.2. Nhị thức Newton:
Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức , biết rằng 
Lời giải
Giải phương trình ; Điều kiện: n ≥ 2 ; n Î N.
Phương trình tương đương với Û 
Û n2 – 11n – 12 = 0 Û n = - 1 (Loại) v n = 12.
Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: .
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: Tk +1 = ; k Î N, 0 ≤ k ≤ 12
Hay Tk+ 1 = = . 
Số hạng này không chứa x khi .
Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T9 = 
Ví dụ 2. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: .
Lời giải
	Điều kiện n ³ 4
Ta có 
Hệ số của số hạng chứa x8 là 
Hệ số của số hạng chứa x8 là 
Ta có: 
Û (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
Û n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 Û (n – 7)(n2 + 7) = 0 Û n = 7
Nên hệ số của x8 là 
Ví dụ 3 (ĐH). Cho khai triển đa thức: 
Tính tổng: 
Lời giải
	Ta có: 
(*).
Nhận thấy: do đó thay vào cả hai vế của (*) ta có: 
Ví dụ 4 (ĐH). Cho khai triển: . Hãy tìm giá trị của .
Lời giải
Ta có nên
Trong khai triển hệ số của là: ; Trong khai triển hệ số của là: 
Trong khai triển hệ số của là: 
Vậy hệ số 
Ví dụ 5 (ĐH). Tính giá trị biểu thức: .
Lời giải
Ta có: (1)
 (2)
Lấy (1)+(2) ta được: 
Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được:
Thay x=1 vào =>
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển với x > 0.
2) Tính tổng: 
3) Tính tổng .
2.3. Xác suất:
Ví dụ 1. Một hộp chứa quả cầu màu đỏ, quả cầu màu xanh và quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau:
 - Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là: 
 - Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là: 
 - Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: hoctoancapba.com
Khi đó .
Xác suất của biến cố là .
Ví dụ 2. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ tú lơ khơ. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ (ví dụ 3 con K).
Lời giải
	Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là: 
Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ là: 13.
Xác suất để chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ là: = .
Ví dụ 3. Cho E là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7. Lấy ngẫu nhiên một số trong E. Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5.
Lời giải
Giả sử 
Chọn 
Số chia hết cho 5. Gọi A là biến cố chọn dc số chia hết cho 5 thì n(A)=1560
Ví dụ 4. Cho tập . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5.
Lời giải
Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E là: 
Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2=24, và số các số có mặt chữ số 5 là .
Gọi A là biến cố “hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5”, B là biến cố “hai số viết lên bảng đều không có mặt chữ số 5”. Rõ ràng A,B xung khắc. Do đó áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có:
.
Suy ra xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 là .
Ví dụ 5. Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu.
Lời giải
	Gọi Ai là biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3). Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu.
Ta có: 
Suy ra: 
Trong đó: 
Vậy:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1) Từ các chữ số của tập , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất
một số chia hết cho 5.
2) Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học sinh trên. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp A. 
3) Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số trên viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ.
4) Một chiếc hộp đứng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.
CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2
1. Kiến thức liên quan
1.1. Công thức nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của hàm số cơ bản
Nguyên hàm mở rộng
1.2. Công thức tích phân
	F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì
1.3. Phương pháp đổi biến số
1.3.1. Dạng 1 : Tính I = 
+ Đặt t = 
x
 a b
t
 + Đổi cận : 
 	 I = 
1.3.2. Dạng 2 : Tính I = bằng cách đặt x = 
 Dạng chứa  : Đặt x = asint, t (a>0)
1.4. Phương pháp tích phân từng phần
 * Công thức tính : 
ò Đặt 
Ta thường gặp hai loại tích phân như sau:
* Loại 1: 
 , trong đó là đa thức bậc n. 
*Loại 2: hoctoancapba.com
1.5. Tính chất tích phân
Tính chất 1: , k: hằng số
Tính chất 2: 
Tính chất 3: 
1.6. Diện tích hình phẳng
1.6.1. Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:
 (*)
Lưu ý: 
 vô nghiệm trên (a;b) thì
 có 1 nghiệm thì 
1.6.2. Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: 
 (**)
	Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức (*).
1.7. Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: 
Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
Lời giải
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
Lời giải
Đặt ta được 
Đổi cận: 
Khi đó 
Đặt ta được 
Đổi cận
Khi đó 
Tính ta được kết quả
Đặt ta được 
Đổi cận
Khi đó 
Vậy ta được 
 hoctoancap ba. com
Tính ta được kết quả 
Tính 
Đặt ta được 
Đổi cận 
Khi đó 
Vậy ta được 
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
Lời giải
Đặt 
Đổi cận
Khi đó
Đặt
Đổi cận
Khi đó
Đặt 
* Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu.
 - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất.
	- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
	- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
Ví dụ 3. Tính các tích phân
a) 	
Lời giải
 a) 
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau
Lời giải
Tính 
Vậy 
Vậy 
Đặt 
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) , trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2.
b) , và hai đường thẳng x =0, x=2.
c) 
Lời giải
a) , trục hoành và hai đường thẳng x= 0, x=2.
Trên [0; 2] ta có 
Diện tích của hình phẳng đã cho:
b) Đặt 
Ta có: 
Diện tích hình phẳng đã cho
c) Ta có: 
Diện tích hình phẳng
Ví dụ 6. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn bởi 
Lời giải
Ta có: 
Áp dụng công thức: 
Ta có: 
Bài Tập tự luyện
Bài 1: Tính các tích phân sau
1.	2. 	3. 	
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 
10. 	11. 	12. 
13. 	14. 	15. 
16. 
Bài 2: Tính các tích phân sau
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9.
12. 	11. 	12. 
13. 	14. 	15. 
16. 	17. 	18. 
19. 	20. 	21. 
22. 	23. 	24. 
Bài 3: Tính các tích phân sau 
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 
10. 	11. 	12. 
13. 	14. 	
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) , trục hoành, x = 0 và x = 2.
b) và trục hoành.
c) 
d) và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng -2.
e) 
f)
g) 
Bài 5: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Biên soạn và sưu tầm: Hoàng Văn Quý – GV trường THPT Lương Tài số 2
1. Kiến thức liên quan
1.1. Một số phép toán vectơ
11. M là trung điểm AB
12. G là trọng tâm tam giác ABC
1.2. Phương trình mặt phẳng
*) Phương trình mp(a) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt = (A;B;C)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
 (a) : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có vtpt = (A; B; C)
*) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là
 Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến.
*) Vị trí tương đối của hai mp (a1) và (a2) :
 	° cắt
	° 
	° 
 ° 
*) Khoảng cách từ M(x0,y0,z0) đến (a) : Ax + By + Cz + D = 0
*) Góc giữa hai mặt phẳng : 
1.3. Phương trình đường thẳng
*) Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp = (a1;a2;a3)
*) Phương trình chính tắc của d : 
*) Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d’ : Ta thực hiện hai bước
 + Tìm quan hệ giữa 2 vtcp , 
 + Tìm điểm chung của d , d’ bằng cách xét hệ: 
Hệ (I)
Quan hệ giữa , 
Vị trí giữa d , d’
Vô số nghiệm
Cùng phương
Vô nghiệm
Có 1 nghiệm
Không cùng phương
d cắt d’
Vô nghiệm
d , d’ chéo nhau
*). Góc giữa 2 đường thẳng : Gọi là góc giữa d và d’
1.4. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Các bài toán cơ bản( các yếu tố đã cho sẵn)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm, đi qua một điểm và song song với mặt phẳng cho trước...
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm, song song với đường thẳng cho trước... 
Chứng minh ABCD là một tứ diện, tính diện tích tam giác biết tọa độ ba điểm...
Tìm tọa độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng, mặt phẳng...
Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính, đi qua 4 điểm đã cho...
Dạng 2: Bài toán về phương trình mặt phẳng và các vấn đề liên quan
Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định VTPT
Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách 
Viết phương trình mặt phẳng dạng đoạn chắn
Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
Các dạng toán khác về mặt phẳng
Dạng 3: Bài toán về phương trình đường thẳng và các vấn đề liên quan 
Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định VTCP
Viết phương trình đường thẳng liên quan đến đường thẳng khác 
Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách 
Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc 
Viết phương trình đường thẳng liên quan đến diên tích tam giác
Dạng 4 Các bài toán tổng hợp
1.5. Phương trình mặt cầu
1.5.1. Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R 
 (1)
 +/(2) ()
	+/Ta có: Tâm I(a ; b ; c) và	
1.5.2. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
 Cho và ( a) : Ax + By + Cz + D = 0 
	Gọi d = d(I,(a)) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(a).
d > r : (S) Ç (a) = 
d = r : (a) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (a): tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp(a) )
+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp(a) : ta có 
+ H = d (a)
Gọi H (theo t) d 
H(a) t = ? tọa độ H
d < r : (a) cắt (S) theo đường tròn (C): 
 *Tìm bán kính R và tâm H của đường tròn giao tuyến:
	+ Bán kính 
	+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp(a) )
1.5.3. Các dạng toán cơ bản về mặt cầu
Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính.
Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định hệ số của phương trình tổng quát.
Bài toán khác liên quan đến mặt cầu.
2. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
Chứng minh hai đường thẳng song song. Viết phương trình mp(P) chứa 2 đường thẳng trên
Lời giải
Ta có suy ra hai véc tơ cùng phương.
Ta có và 
Suy ra hai đường thẳng song song
Ta có với N(0;1;0)
Phương trình mp(P): x+z-4=0
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x-2y-3z+1=0 và mặt phẳng (Q): 5x+2y+5z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) và mp(Q) đồng thời biết khoảng cách từ gốc tọa độ đến mp(R) bằng 1.
Lời giải
Ta có 
Suy ra phương trình (R) là: -4x-30y+16z+D=0
Ta có
Vậy phương trình mp(R) là: 
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0,1,2), B(2,-2,1), C(-2;0;1)
1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC
Lời giải
1.Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
Ta có 
Phương trình mặt phẳng(ABC) : x+2y-4z+6=0
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC
Ta có nên M thuộc đường thẳng vuông góc với (ABC) tại trung điểm I(0;-1;1) của đoạn BC
Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình 
Suy ra tọa độ M(2;3;-7)
Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(1;2;3) B(2;2;2) C(1;2;0) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến mặt phẳng đó bằng
Lời giải
Gọi 
Phương trình mp có dạng ax+by+cz-a-2b-3c=0
Ta có
Suy ra a=b=c=1 hoặc a=c=1, b=-1
Phương trình mp(P) là x+y+z-6=0 hoặc x-y+z-2=0
Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), B(0;b;0), C( 0;0;c), trong đó b,c dương và mặt phẳng (P): y-z+1=0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng 
Lời giải
Ta có phương trình (ABC) là
Ta có 
Ta có 
Suy ra 
Ví dụ 6 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng 
Viết phương trình đường thẳng d cắt cả 2 đường thẳng và đồng thời vuông góc với mp(P): 2x+y-5=0
Lời giải
Ta có
T a có 
Suy ra phương trình đường thẳng d là 
Ví dụ7: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1). Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết:
d qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC.
d qua C và vuông góc với mp(ABC).
Lời giải
a) I là trung điểm BC nên .
VTCP: .
Phương trình tham số đường thẳng d: 
b) 
VTCP: 
Phương trình đường thẳng d cần tìm:
Ví dụ 8: Xét vị trí tương đối của d với các đường thẳng:
a) 	b) 	c) 
Lời giải
a) d có VTCP .
 có VTCP .
Xét hệ phương trình: vô nghiệm.
Và 
Suy ra: d // .
b) Thực hiện tương tự: d và cắt nhau.
c) Thực hiện tương tự: d và chéo nhau.
Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): x-2y-3z+5=0. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với (P) đồng thời chứa Oy
Lời giải
Ta có 
Phương trình mặt phẳng là: 3x+z=0
Ví dụ 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 
Viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng trên
Lời giải
Ta có hệ phương trình có nghiệm duy nhất suy ra d cắt d’ tại I(2;-1;3)
Ta có 
Phương trình mặt phẳng là: -x+z-1=0
Ví dụ 11: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P) 
Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A.
Viết phương trình mặt cầu đường kính BC.
Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P).
Lời giải
a) Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB.
Phương trình mặt cầu cần tìm: .
b) Gọi I là trung điểm BC
Khi đó, 
Mặt cầu đường kính BC có tâm , bán kính r = có phương trình:
c) Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính 
Phương trình mặt cầu cấn tìm:
Ví dụ 12: Cho mặt cầu (S): .
Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
 b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1).
Lời giải
a) Từ phương trình mặt cầu ta có: 
Tọa độ tâm I(1; -3; 4).
Bán kính: 
b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại M nên IM vuông với mp.
Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT có phương trình:
3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) và mp(P) x+y+z-3=0. Tìm tọa độ hình chiếu của A lên (P)
Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3) và Tìm tọa độ hình chiếu của A lên d, điểm đx của A qua d.
Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho (P): x+y+z-1=0 và Tìm M trên d sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) bằng 
Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng 
Xét vị trí của hai đường thẳng. Viết ptmp chứa 2 đường thẳng trên.
Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng 
Xét vị trí của 2 đường thẳng. Viết ptmp đi qua chứa đường thẳng đồng thời // 
Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0), 
D(0 ; 0 ; 3).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. 
b) Tìm điểm A’ sao cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực của đọan AA’.
Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; 1 ; 1), B(2 ; -1 ; 5). 
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB. 
b) Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) tại A.
c) Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho tam giác MOA vuông tại O.
Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; 0 ; -2), B(1 ; -2 ; 4). 
a) Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. 
b) Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B. Tìm điểm đối xứng của B qua điểm A.
Bài 9. Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)
a) Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC).
b) Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0.
c) Viết ptmp qua hai điểm A ,B và vuông góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0.
d) Viết ptmp qua A, song song với Oy và vuông góc với mp (R):3x – y-3z-1=0.
e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz.
f) Viết pt mp(P) qua các điểm là hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các trục tọa độ.
Bài 10. Cho hai đường thẳng (d): và (d’): . 
a) Chứng tỏ rằng (d) và (d’) chéo nhau.Tính khoảng cách giữa (d) và (d’).
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của chúng.
c) Tính góc giữa (d1) và (d2).
Bài 11. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-2;1;-1), B(0,2,-1), C(0,3,0), D(1,0,1). 
a) Viết phương trình đường thẳng BC.
b) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Tính thể tích tứ diện ABCD. 
Bài 12. Cho và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 
3x – y + 4z – 27 = 0 và 6x + 3y – z + 7 = 0.
a) Tìm giao điểm A của (d) và .
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng .
Bài 13. Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình 
 x + 2y + z –1= 0
a) Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P).
b) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với (P).
Bài 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (4 ; -3 ; 2 ) và đường thẳng 
 (d) có phương trình tham số . 
a) Viết phương trình mp(P) qua điểm M và chứa đường thẳng (d).
b) Viết phương trình mp (Q), biết mp(Q) qua M và vuông góc đường thẳng (d).
c) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng (d).
Bài 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng
 (P) : và mặt cầu (S) : .
 a) Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P).
 b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).