Đề cương ôn tập toán lớp 9

 ĐẠI SỐ
PHÂN I: CĂN BẬC HAI
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm: 	x là căn bậc hai của số không âm a x2 = a. Kí hiệu: .
2.Điều kiện xác định của biểu thức 
	Biểu thức xác định .
3.Hằng đẳng thức căn bậc hai
4.Các phép biến đổi căn thức
	+) 
	+) 
	+) 
	+) 
	+) 
	+) 
	+) với 
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:
D¹ng 1: T×m ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã chøa c¨n thøc cã nghÜa.
 Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1) 	2) 	3) 	4) 
5) 	6) 	 	7) 	8) 
D¹ng 2: Trục căn thức ở mẫu, Rút gọn biểu thức chứa số.
Bài 1: Thực hiện phép tính:
1) 2) 3) 4) 
Bài 2: Tính giá trị của một biểu thức
1) 	2) 	3) 	4) 
5) 	6) 	7) 	8) 	9) 	10) 
11) 	12) 	13) 	14) 
15) 	16) 	17) 	18) 	19) 	20) 
21) 	22) 	23) 	24) 	25) 	26) 
27) 	28) 	29) 	30) 
31) 	32) 	33) 
Bài 3: Trục căn thức ở mẫu:
1) 2) 3) 4) 5) 
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
1) 	2) 	3) với a ≥ 0
4) với b ≥ 0	5) 	6) 
7) 	8) 	9) 
10) 	11) 	
12) 	13) 
Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
1) 	2) 	 3) 	
4) 	5) 	 6) 
 7) 	8) 	9) 	
10) 	11)	 12) 
13) 14) 15) 
D¹ng 3: Rút gọn các biểu thức chưa căn bậc hai tổng hợp.
Bài 1: Cho biểu thức : A = với ( x >0 và x ≠ 1)
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tính giá trị của biểu thức A tại .
Bài 2. Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) 
a) Rút gọn biểu thức P;
b)Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.
Bài 3: Cho biểu thức A =
a)Rút gọn biểu thức A;
b)Với giá trị nào của x thì A< -1.
Bài 4: Cho biểu thức A = ( Với ) 
a) Rút gọn A;
b) Tìm x để A = - 1.
Bài 5: Cho biểu thức : B = 
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B;
b) Tính giá trị của B với x =3;
c) Tìm giá trị của x để .
Bài 6: Cho biểu thức : P = 
a) Tìm TXĐ;
b) Rút gọn P;
c) Tìm x để P = 2. 
 Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q; 
b) Tìm a để Q dương; 
c) Tính giá trị của biểu thức biết a = 9- 4.
Bài 8: Cho biểu thức: M = 
a) Tìm ĐKXĐ của M;
b) Rút gọn M. Tìm giá trị của a để M = - 4.
Bài 9: Cho biểu thức : K = 
a) Tìm x để K có nghĩa; b) Rút gọn K;
c) Tìm x khi K= ; 
d) Tìm giá trị lớn nhất của K.
Bài 10 : Cho biểu thức:	G = 
a)Xác định x để G tồn tại; b)Rút gọn biểu thức G; c)Tính giá trị của G khi x = 0,16;
d)Tìm gía trị lớn nhất của G; e)Tìm x Î Z để G nhận giá trị nguyên;
f)Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dương; g)Tìm x để G nhận giá trị âm;
Bài 11: Cho biểu thức A = 
Tìm điều kiện xác định và thu gọn A.
b) Tìm tất cả các giá trị của x để 
c) Tìm tất cả các giá trị của x để đạt giá trị nguyên.
Bài 12:Xét biểu thức: P= (Với a ≥0 ; a ≠ 16)
1)Rút gọn P; 2)Tìm a để P = -3; 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố.
 Bài 13 : XÐt biÓu thøc 
a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên.
Bài 14 . Cho biểu thức :
, (Với a > 0 , a ¹1)
1. Chứng minh rằng: 2) Tìm giá trị của a để P = a
Bài 15: Rút gọn các biểu thức:
 a) A = 
 b) B = ( với x > 0, x 4 ).
Bài 16: Cho biểu thức A = với a > 0, a 1
 a) Rút gọn biểu thức A.
 b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Bài 17: 
1) Rút gọn biểu thức:
 với a ≥ 0 và a ≠ 1.
2)Cho biểu thức A = với x > 0 và x 4
a) Rút gọn A	b) Tìm x để A = -3 
3)Rút gọn biểu thức sau: A= với và 
4)Cho biểu thức C = 
a. Rút gọn C b. Tìm giá trị của a để B > 0 c. Tìm giá trị của a để B = -1
------o0o------
PHẦN II: HÀM SỐ - ĐỒ THỊ
I - HÀM SỐBẬC NHẤT
1.Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b, trong đó a, b là các số cho trước (a ≠ 0).
2.Tính chất:
Hàm số y = ax + b xác định với mọi giá trị của  và có tính chất như sau:
+ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên R. 
+ Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên R. 
3.Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung  độ  bằng b.
+ a là hệ số góc	+ b là tung độ gốc của đường thẳng
a)Cách vẽ đồ thị:
+ Lập bảng giá trị 
x
0
-b/a
y=ax+b
b
0
x
0
-b/a
y=f(x)
b
0
+ Xác định điểm A(0, b), B(-b/a, 0)
	Chú ý: không nhất thiết phải chọn điểm B có tung độ bằng 0. Ta nên chọn B có tọa độ nguyên,
b)Nhận biết điểm thuộcđường - đường đi qua điểm 
+ Điểm thuộc đồ thị hàm số 
Ví dụ: Điểm A(-1 ; -1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1, vì với x = -1 thì y = 2.(-1) + 1 = -1.
+ Điểm không thuộc đồ thị hàm số 
4. Vị trí tương đối của hai đường
Xét hai đường thẳng: (d): y = ax + b ; (d’): y = a'x + b' với a ≠ 0; a'≠ 0.
a) (d) cắt (d’)
b) 
	c).
	d)
	e) (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục tung ( (d), (d’) và Oy đồng quy 
II. HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0)
1. Tính chất 
- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0.
- Nếu a 0.
- Nếu a > 0 thì y > 0 , y = 0 khi x = 0. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0.
- Nếu a < 0 thì y < 0 , y = 0 khi x = 0. Giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0.
2. Đồ thị: 
a)Đồ thị hàm số là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng ( Parabol với đỉnh O).
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
- Nếu a < 0 thì đồ thị nằm dưỡi trục hoành, O là điển cao nhất của đồ thị.
b) Cách vẽ đồ thị hàm số 
	- Lập bảng giá trị (ít nhất 5 giá trị)
x
x1
x2
0
x4
x5
y=f(x)
y1
y2
0
y4
y5
	- Xác định các điểm có hoành độ dương rồi lấy các điểm đối xứng.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP:
- Dạng1:
Xác định giá trị của các hệ số (xác định hàm số) để hàm số đồng biến, nghịch biến, đồ thị của hàm số đi qua một điểm, để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau. Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
Bài 1: Cho hàm số y = ax + 3.
a) Xác định hệ số góc a, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 6).
b) Vẽ đồ thị hàm số trên.
Bài 2: Xác định hàm số y = ax + b trong các trường hợp sau:
a) a = 2 và đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 1,5.
b) a = 3 và đồ thị hàm số đi qua điểm A = (2; 2).
c)Song song với đường thẳng và đi qua điểm 
Bài 3: Tìm  m để hàm số y = (m – 1)x + 3 đồng biến.
Bài 4: Tìm  m để hàm số y = (5 – k)x + 1 nghịch biến.
Bài 5:  Cho hàm số y = ax2
a) Tìm hệ số a, biết điểm M(2; 1) thuộc đồ thị hàm số.
b) Điểm A(4; 4) có thuộc đồ thị không?
c) Tìm tung độ của điểm thuộc Parabol có hòanh độ x = -3.
d) Tìm các điểm thuộc Parabol có tung độ y = 8.
Bài 6:  Cho hm số y = x2 .
 a) Vẽ đồ thị .
 b) Tìm f(- 8), f(- 13),f(1,5).
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + 4. Tìm hệ số a và b. 
Bài 8: Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A( 2; 3 ) và điểm B(-2;1) Tìm các hệ số a và b.
Bài 9:  Biết đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M ( 2; ) và song song với đường thẳng 2x + y = 3. Tìm các hệ số a và b.
Bài 10:  Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm M (- 2; ). Tìm hệ số a.
Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + 1. Tìm hệ số a và b.
Bài 12: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và đi qua điểm A(2;7).
Bài 13: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3).
Bài 14 Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× ®å thÞ hµm sè y = ax2 (a)®i qua ®iÓm M(1;-1). 
- Dạng2:
Tìm giao điểm của hai đường  y = f(x) và y = g(x)
+ Viết phương trình hoành độ giao điểm
+ Giải phương trình, thế giá trị của x vừa tìm được vào một trong hai hàm y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm y.
+ Kết luận
Bài 1: Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + 2 và (d’): y = (m2 - 2) x + 1
	a) Khi m = -2, hãy tìm toạ độ giao điểm của chúng.
	b) Tìm m để (d) song song với (d’)
Bài 2: Cho parabol (P) : 
	a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng y = 3x-1
	b)Tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng 
Bài 3: Cho hai đường thẳng : (d1): y = và (d2): y = 
a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b/ Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm của (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)?
Bài 4: Cho hàm số , Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P).
Bài 5:
 a) Tính góc tạo bởi các đường thẳng sau với trục Ox.
 1) y = 3x -2 2) y = - 2x + 3
b) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng trên.
Bài 5: Cho hai hàm số: và 
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Oxy.
b) Tìm toạ độ các giao điểm M, N của hai đồ thị trên bằng phép tính.
- Dạng3:
	Tìm giá trị tham số để hai đường hoặc hai hàm số thỏa mãn một hoặc nhiều điều kiện nào đó.
 	Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y=( 2 + m )x + 1 và (d2): y=( 1 + 2m)x + 2 
	a) Tìm m để (d1) và (d2) cắt nhau .
	b) Với m = – 1 , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy rồi tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) bằng phép tính.	
Bài 2: Cho hàm số bậc nhất y = (2 - a)x + a . Biết đồ thị hàm số đi qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? 
Bài 3: Cho hàm số bậc nhất y = (1- 3m)x + m + 3 đi qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? 
Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – 2 ;(mvà y = (2 - m)x + 4 ;. Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng trên:
a)Song song;	b)Cắt nhau .
Bài 5: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt nhau tại một điểm trên trục tung .Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 10.
Bài 6: Cho hàm số : y = ax +b 
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc µ tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ?
d; Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2
Bài 7:Với giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số y = 2x + (3 + m) và  y = 3x + (5 – m)  cắt nhau  tại một điểm trên trục tung .
Bài 8: 
a)Với giá trị nào của m thì hàm số y = ( m - 2) x+ 3 là hàm số bậc nhất.
 b) Với giá trị nào của m thì hàm số y = ( m - 2) x+ 3 đồng biến trên R.
 c)Với giá trị nào của m thì hàm số y = ( m - 2) x+ 3 nghịch biến trên R.
Bài 9: 
a) Với giá trị nào của m để hàm số y = mx2 đồng biến trên R khi x>0.
 b) Với giá trị nào của m để hàm số y = mx2 đồng biến trên R khi x<0.
Bài 10: Cho hàm số y = (2m - 1) x - m + 2
a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A (1; 2)
Bài 11:Tìm giá trị của a để hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2  (a ≠ 1) và y = (3 – a)x + 1  (a ≠ 3) song song với nhau.
Bài 12: 
a) Cho hàm số y = x + 1. Tính giá trị của hàm số khi x = .
 b) Tìm m để đường thẳng y = 2x – 1 và đường thẳng y = 3x + m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành
Bài 13: Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + 3 = 0
Tìm a để đường thẳng d đi qua điểm M(1, -1). Khi đó, hãy tìm hệ số góc của đường thẳng d.
Bài 14: Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + 3 = 0
Tìm a để đường thẳng d đi qua điểm M (1, -1). Khi đó, hãy tìm hệ số góc của đường thẳng d.
Bài 15: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình:.
 1) Với giá trị nào của m và n thì d song song với trục Ox.
 2) Xác định phương trình của d, biết d đi qua điểm A(1; - 1) và có hệ số góc bằng -3.
Bài 16: Tìm m để đường thẳng và đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành
Bài 17:
a) Cho đường thẳng d có phương trình: . Tìm m để đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ.
Với những giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 2).
Bài 18:Xác định k và m để hai đường thẳng sau đây trùng nhau:
 y = kx + (m – 2)  (k ≠ 0) ;  y = (5 – k)x + (4 – m )  (k ≠ 5).
Bài 19: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: .
 a) Với giá trị nào của m và n thì d song song với trục Ox.
 b) Xác định phương trình của d, biết d đi qua điểm A(1; - 1) và có hệ số góc bằng -3.
Bài 20: Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + 2 và (d’): y = (m2 - 2) x + 1
	a) Khi m = -2, hãy tìm toạ độ giao điểm của chúng.
	b) Tìm m để (d) song song với (d’)
Bài 21: 
a) Tìm m để đường thẳng và đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
 b) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị nào của a, b thì đường thẳng (d): y = ax + 2 - b và đường thẳng (d’): y = (4 - a)x + b song song với nhau.
Bài 22: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: 5x + 4y = 2.
 a) Tìm hệ số góc của đường thẳng d.
 b) Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng d1: y = (m2 - 4)x + m song song với đường thẳng d.
-Dạng 4:
Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định hoặc đồng quy:
Ví dụ: Cho các đường thẳng :
(d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Với m 1; m -1 )
(d2) : y = x +1 
(d3) : y = -x +3 
a) C/m rằng khi m thay đổi thì d1 luôn đi qua 1điểm cố định .
b) C/m rằng khi d1 //d3 thì d1 vuông góc d2 
c) Xác định m để 3 đường thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui 
Giải: 
a) Gọi điểm cố định mà đường thẳng d1 đi qua là A(x0; y0 ) thay vào PT (d1) ta có : 
y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Với mọi m 
m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) = 0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi:
	(đồng nhất hai vế)
Vậy điểm cố định là A (-1; - 4) 
b) +Ta tìm giao điểm B của (d2) và (d3) :
Ta có pt hoành độ giao điểm của (d2) và (d3) : x+1 = - x +3 => x =1 
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 
Vậy B (1;2) 
c)Để 3 đường thẳng đồng qui thì (d1) phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d1) ta có: 
2 = (m2 -1) .1 + m2 -5 
m2 = 4 => m = 2 và m = -2 
Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đường thẳng trên đồng qui.
 Bài tập 
Bài 1: Cho các đường thẳng 	 (d1) : y = 4mx - (m+5) với m0
 	 (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9)
a) Với giá trị nào của m thì (d1) // (d2) 
b)Với giá trị nào của m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2 
c)C/m rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A ;(d2) đi qua điểm cố định B . Tính BA ? 
Bài 2: Chứng tỏ rằng đường thẳng y = (2k – 1)x + k – 2 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của k (k là tham số )
Bài 3: Trong cùng hệ trục vuông g?c, cho parabol (P): và đường thẳng (D): y = mx - 2m - 1.
a) Vẽ đồ thị (P).
b) T́m m sao cho (D) ti?p xúc với (P).
c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố đ?nh A thuộc (P).
III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
 Ôn tập kiến thức:
Phương trình bậc nhất hai ẩn: Dạng: ax + by = c
trong đó a, b, c là các số cho trước. (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)
 Trong phương trình ax + by = c, nếu với x = x0 và y = y0 mà vế trái  và vế phải của phương trình bằng nhau thì cặp số (x0; y0) được gọi là một nghiệm  của  phương trình trên.
 Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
 2) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
a.Dạng: 
Số nghiệm của hệ phương tŕnh (I) dựa vào quan hệ của hai đường thẳng trong hệ. Với a, b, c, a’, b’, c’ khác 0.
 - Nếu hai đường thẳng cắt nhau, hệ phương tŕnh (I) có duy nhất một nghiệm. 
- Nếu hai đường thẳng song song, hệ phương tŕnh vô nghiệm. 
- Nếu hai đường thẳng trùng nhau, hệ phương tŕnh có vô số nghiệm. 
b.Cách giải hệ phương trình:
+ Giải bằng phương pháp thế:
+ Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số:
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
Bài 5: 
a) Giải hệ phương trình: 
b) Xác định các giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm:
 ( m là tham số)
Bài 6. Cho hệ phương trình , với 
	a. Giải hệ đã cho khi m = –3
	b. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó. 
Bài 7: Cho hệ phương trình 
 1) Giải hệ pt với m = -2
 2) Với giá trị nào của thì hệ có nghiệm duy nhất?
 3) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x+ y = 2013.
Bài 8: Tìm m để hệ phương trình 
 có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1.
Bài 9: Cho hệ phương trình :
Giải hệ phương trình với a=1
Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Bài 10: Với giá trị nào của tham số m thì
	a) có nghiệm nguyên. b) vô nghiệm.
Bµi 11. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 	
T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0, 
y < 0
Bµi 12. T×m c¸c gi¸ trÞ cña a vµ b ®Ó ®å thÞ hµm sè y = ax + b ®i qua ®iÓm A(-5; -3) vµ ®iÓm B(3; 1)
Bµi 13. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó
a)HÖ ph­¬ng tr×nh: cã nghiÖm tháa m·n ®iÒu kiÖn x > 0, y < 0
b)HÖ ph­¬ng tr×nh: cã nghiÖm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 1, y > 0
Bài 14: Cho hệ phương trình (1)
a)Giải hệ phương trình (1) khi m = –1 .
b)Xác định giá trị của m để: x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1).
c)Xác định giá trị của m để hệ (1) vô nghiệm.
d)Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
e)Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1.
HD: a) Khi m = – 1, hệ (1) có nghiệm x = 1; y = 2.
	b) Hệ (1) có nghiệm x = 1 và y = 1 khi m = 2.
	c) Hệ (1) vô nghiệm khi: .
d)Hệ (1) có nghiệm: x = 
e)Hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: + = 1
 .
Vậy: khi m = 1, hệ (1) có nghiệm (x,y) thỏa: x + y = 1.
Bài 15: Cho hệ phương trình 
a)Giải hệ (1) khi k = 1.
b) Tìm giá trị của k để hệ (1) có nghiệm là x = – 8 và y = 7.
c)Tìm nghiệm của hệ (1) theo k.
HD: a) Khi k = 1, hệ (1) có nghiệm x = 2; y = 1.
b)Hệ (1) có nghiệm x = –8 và y = 7 khi k = – 3 .
c)Hệ (1) có nghiệm: x = .
Bài 16: Cho hệ phương trình 
a)Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 .
b)Xác định giá trị của m để: x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1).
c) Xác định giá trị của m để hệ (1) vô nghiệm.
d) Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
HD: a) Khi m = – 7, hệ (1) có nghiệm x = 4; y = – 1.
	b) Hệ (1) có nghiệm x = –1 và y = 4 khi m = .
	c) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = – 2. 
d) Hệ (1) có nghiệm: x = .
Bài 17: Cho hệ phương trình 
a)Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 .
b)Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = .
c)Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm 
d) Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
HD: a). Khi m = 3, hệ (1) có nghiệm x = 
	b) .
	c) Hệ (1) vô nghiệm khi: m = –2. 
d)Hệ (1) có nghiệm: x = .
Bài 18: Cho hệ phương trình 
a)Giải hệ phương trình (1) khi m = –1.
b)Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
c)Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa .
HD: 	a) Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 và y = – 9.
	b) Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – 8 .
c)Theo đề bài: 
Bài 19: Cho hệ phương trình 
a)Giải hệ phương trình khi m = – 1.
b)Với giá trị nào của m thì hệ pt có nghiệm (x; y) thỏa .
HD: 	a) Khi m = – 1 , hệ pt có nghiệm: x = 1 và y = – 4.
	b) Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 4m + 5 ; y = – 9 – 5m .
Theo đề bài: 
Bài 20: Cho hệ phương trình : 
a)Giải hệ (1) khi m = 1.
b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm duy nhất đó theo m.
c)Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) thỏa: x – y = 2.
HD:	a) Khi m = 1, hệ (1) có nghiệm: x = – 2 ; y = 1.
	b) Khi m 0, hệ (1) có nghiệm: .
	c) .
Bài 21: Cho hệ phương trình : ( m là tham số) (I).
a)Khi m = – 2, giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng.
b)Tính giá trị của tham số m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất và tính nghiệm duy nhất đó theo m. 
HD:	a) Khi m = – 2, hệ (I) có nghiệm: x = 
	b) Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi m 4.
nghiệm duy nhất: 
Bài 22: Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình với .
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho x + y > 0
IV CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a0) (1)
	a) Nhẩm nghiệm:
a + b +c = 0 pt (1) có 2 nghiệm:.
a – b +c = 0 pt (1) có 2 nghiệm:.
b) Giải với : 
Nếu b = 2b’ b’ == (b’)2 – ac.
Nếu > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: ; 
Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: .
Nếu < 0 phương trình vô nghiệm.
c) Giải với :
	Tính : = b2 – 4ac.
Nếu > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt: ; 
Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép: .
Nếu < 0 phương trình vô nghiệm.
2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:
	a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) thì ta có:.
b) Định lý đảo: Nếu u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P 0).
* Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:
Tổng bình phương các nghiệm: = S2 – 2P.
Tổng nghịch đảo các nghiệm: .
Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: .
Bình phương của hiệu các nghiệm: = S2 – 4P.
Tổng lập phương các nghiệm: = S3 – 3PS
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) .	b).	c) 	 d) 
	Giải:
	Phương trình có = 1 > 0 pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1): .
	a) = S2 – 2P = 122 – 2.35 = 74.
	b) = .
	c) = 122 – 4.35 = 4.
d) = S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468.
3.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số).
* Phương pháp giải: 
Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm (; hoặc a.c < 0).
Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình .
Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P Đó là hệ thức độc lập với tham số.
Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số). 
CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1). Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.
Giải:
Phương trình (1) có = b2 – 4ac = + (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1) = 4m2 – 12m + 9 = (2m – 3)2 0, m.
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1): 
 2S + 4P = -1. Hay: 2(x1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần tìm.
4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai nghiệm của nó:
* Phương pháp giải: 
Nếu 2 số u và v c ó: u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 (*).
Giải pt (*):
+ Nếu > 0 (hoặc > 0) pt (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. 
Vậy hoặc .
+ Nếu = 0 (hoặc = 0) pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 = . Vậy u = v =.
+ Nếu < 0 (hoặc < 0) pt (*) vô nghiệm. Vậy không có 2 số u, v thỏa đề bài.
Ví dụ 1: Tìm 2 số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28
Giải:
 	Theo đề bài u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 x2 – 11x + 28 = 0(*)
	Phương trình (*) có = 9 > 0 .
	Vậy: hay 
Ví dụ 2: Cho hai số a = +1 và b = 3 – . Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là a và b.
	Giải:
a + b = (+1) + (3 – ) = 4.
a.b = (+1). (3 – ) = 2.
Suy ra: a, b là 2 nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0 x2 – 4x + 2 = 0: Đây là pt cần tìm.
5. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biến đổi đưa về dạng : = (A B)2 + c > 0, m (với c là một số dương) 
Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m.
6. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biến đổi đưa về dạng : = (A B)2 0, m.
Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m.
7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m:
	* Phương pháp giải:
Lập biệt thức (hoặc).
Biện luận:
+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: > 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
+ Phương trình có nghiệm kép khi = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
+ Phương trình vô nghiệm khi < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
+ Phương trình có nghiệm khi 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
	* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0 giải bất pt tìm tham số m kết luận.
8. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	* Phương pháp giải:
Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A B)2 + c P = (A B)2 + c c.
Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
9. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức:
	* Phương pháp giải:
Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A B)2 Q = c – (A B)2 c
Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A B = 0 giải pt tìm tham số m kết luận.
*Các phương trình quy về phương trình bậc hai:
+ Phương trình trùng phương:
Phöông trình truøng phöông laø phöông trình coù daïng: .
Cách giải
- Ñaët t = x2 ( t 0).
- Chuyeån phöông trình ñaõ cho theo aån t ñaõ ñaët.
- Giaûi phöông trình theo t, tìm giaù trò cuûa t.
- Giaûi tìm x theo giaù trò cuûa t tìm ñöôïc ôû treân.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Giải các phương trình sau:
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1) x2 – 6x + 14 = 0 ;	2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ; 3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ;	
4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ; 5) x2 – 4x + 3 = 0 ;	 6) x2 – 7x – 8 = 0 ;
7) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 	8) 5x2 – 17x + 12 = 0 ;	 9) 3x2 – 19x – 22 = 0 ;	
6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ;	 10) x2 – 11x + 30 = 0 ; 11) x2 – 12x + 27 = 0 ;
12) x2 – 10x + 21 = 0. 13) 14) 	
15) 2x2 – 7x + 3 = 0. 16) 17). 
18): x2 – 5x + 4 = 0. 19) x2 – (1 + )x + = 0 ; 20) ( + 1)x2 + 2x + - 1 = 0 ;
Bài 3: Giải các phương trình sau:
(x + 1)(x + 2) = 0	2) 3) 4) 
5) 9x4 + 5x2 – 4 = 0. 6) 7) 8) x4 + x2 – 6 = 0 
 9) 10) 11) 
 Bài 4: Cho Phương trình 2x2 – 5x – 3 = 0 có 2 nghiệm x1, x2. Tính giá trị 
1) A = x1 + x2 - 2x1x2 2) B = 3) C= 4) D= x12 + x22 
 5) A = x12 – x1x2 + x22 6) E = 
Bài 5: Tìm tham, số thực m để phương trình x2 – 2mx + m – 1 = 0 có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại.
 Bài 6: : Cho phương trình : x2 + 2mx + m2 – 2m + 4 = 0
1. Giải phơng trình khi m = 4
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
 Bài 7: 	Cho phương trình (ẩn số x): . 
1. Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm thỏa .
Bài 8: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 – 2(m-1)x + m2 – 6 =0 ( m lµ tham sè).
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 3
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n 
Bài 9: 1. Giải phương trình x 2 – 7x – 8 = 0
 2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện 
Bài 10: 	Cho phương trình , với x là ẩn số, 
	a. Giải phương trình đã cho khi m = – 2
	b. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và . Tìm hệ thức liên hệ giữa và mà không phụ thuộc vào m.
Bài 11: Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0
Giải phương trình khi m = 1
Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức 
A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 12: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1)
Giải phương trình (1) với m = 2.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12
Bài 13: Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: x2 + 2mx – 2m – 3 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) với m = -1.
b) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 sao cho nhỏ nhất. Tìm nghiệm của phương trình (1) ứng với m vừa tìm được.
Bài 14: Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – 2 = 0 (*)
1. Giải phương trình (*) với a = 1. 
2. Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.
 3) Tìm m để Pt có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 15 : Chứng minh rằng pt: luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của pt đã cho,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 16: Cho phương trình: mx2 – (4m -2)x + 3m – 2 = 0 (1) ( m là tham số).
	1) Giải phương trình (1) khi m = 2.
	2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài 17: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 + 4x – m2 – 5m = 0. Tìm các giá trị của m sao cho: |x1 – x2| = 4.
Bài 18 Cho phương trình x2 – 2mx – 2m – 5 = 0 (m là tham số)
	1/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
Bài 19: Cho phương trình: x2 – 4x + m + 1 = 0 (m là tham số).
Giải phương trình với m = 2.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu (x1 < 0 < x2). Khi đó nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
Bài 20: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn x: x2-2(m-1)x+2m-4=0 (m lµ tham sè) (1)
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh (1) khi m = 3 
b)Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m.
c) Gäi x1,x2 lµ hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
 A = x12+x22
Bài 21: Cho phương trình .
 1) Tìm m để Pt có một nghiệm bằng 1. tìm nghiệm kia.	
 2) Tìm m để phương trình có nghiệm.
3) Gọi , là hai nghiệm của phương trình đã cho, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 22: Cho phương trình bậc hai tham số m : x2 -2 (m-1) x - 3 = 0
Giải phương trình khi m= 2 
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi giá trị của m. Tìm m thỏa mãn 
Bài 23:Giá trị của m để phương trình x2 – (m+1)x - 2 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 
 x12x2 + x1x22 = 4 là...
Bài 24 Cho phương trình (m là tham số)
Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Gọi hai nghiệm của phương trình là . Xác định m để giá trị của biểu thức nhỏ nhất
Bài 25. 
	Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = – 2.
CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
HD:	1. Khi m = –2, ta có phương trình: x2 + 5x + 4 = 0, pt có a – b + c = 1 –5 + 4 = 0 
	Vậy khi m = – 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = – 4.
	2. = m2 + 2m + 9 = (m + 1)2 + 8 > 0, .
	3. Hệ thức: 2S + P = – 6 2(x1 + x2) + x1x2 = – 6.
Bài 26	Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
Giải phương trình (1) khi m = 3.
CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
HD:	1. Khi m = 3, ta có phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, pt có a + b + c = 1 +(–4) + 3 = 0 .
	Vậy khi m = 3, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 3.
	2. = (m – 1)2 0, .
	3.
ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (m – 1)2 > 0 |m – 1| > 0 .
Hệ thức: S – P = 1 x1 + x2 – x1x2 = 1.
Bài 27: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)
Giải phương trình (1) khi m = 2.
CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.
HD: 	1. Khi m = 2, phương trình (1) có 2 nghiệm