Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chuyên đề 07: Bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ 07
BẤT ĐẲNG THỨC
DÀNH CHO HỌC SINH CÓ HỌC LỰC MỨC GIỎI XUẤT SẴC
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Lạng Sơn năm 2016)
Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TRÀ VINH năm 2021)
Tìm cặp số thỏa mãn phương trình sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÀ GIANG năm 2021)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn 
Chứng minh rằng 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÀ TĨNH năm 2021)
Cho các số thực không âm thỏa mãn: . Tim giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẢI PHÒNG năm 2021)
Cho ba số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÒA BÌNH năm 2021)
	1) Cho . Hãy so sánh: với .
	2) Cho là các số thực dương thỏa mãn: .
	Chứng minh rằng: . 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG TRỊ năm 2021)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NAM ĐỊNH năm 2021)
Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh PHÚ THỌ năm 2021)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG BÌNH năm 2021)
Cho là các số thực dương. Chứng minh .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI BÌNH năm 2021)
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THANH HÓA năm 2021)
Cho ba số thực thay đổi thỏa mãn các điều kiện và
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TUYÊN QUANG năm 2021)
 Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng:
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH PHÚC năm 2021)
Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Bình Định năm 2021)
Cho là các số dương thỏa 	
Chứng minh rằng: .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Quãng Ngãi năm 2021)
Cho là số thực bất kỳ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK LẮK năm 2021)
 Cho . Chứng minh rằng: .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK NÔNG năm 2021)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KOMTUM năm 2021)
Cho a, b là hai số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố HÀ NỘI năm 2021)
Với các số thực và thỏa mãn , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 .
Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
HƯỚNG DẪN GIẢI
CHUYÊN ĐỀ 07
BẤT ĐẲNG THỨC
DÀNH CHO HỌC SINH CÓ HỌC LỰC MỨC GIỎI XUẤT SẴC
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Lạng Sơn năm 2016)
Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải
Đặt x = b + c – a. y = c + a – b và z = a + b – c.( ĐK: x; y; z > 0)
Ta có: a = (y + z); b = ( x + z) và c = ( x + y).
Khi đó P 
 (áp dụng BĐT Cô – Si)
Dấu "=" xảy ra 
Vậy P đạt giái trị nhỏ nhất là: 22 khi 5b = 4a và 5c = 3a.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TRÀ VINH năm 2021)
Tìm cặp số thỏa mãn phương trình sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
;
Vì với mọi .
Vậy khi ; Vậy cặp thỏa mãn đầu bài là .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÀ GIANG năm 2021)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn 
Chứng minh rằng 
Lời giải
Áp dụng BĐT Cô – si đối với hai số và yz ta có 
Tương tự 
Sử dụng BĐT 
Ta có 
Lại có 
( Vì xyz > 0)
(đpcm)
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÀ TĨNH năm 2021)
Cho các số thực không âm thỏa mãn: . Tim giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Lời giải
Cho các số thực không âm thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
Ta có: 
 (BĐT Buniacopxki)
Dấu "=" xảy ra .
Vậy 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HẢI PHÒNG năm 2021)
Cho ba số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh HÒA BÌNH năm 2021)
	1) Cho . Hãy so sánh: với .
	2) Cho là các số thực dương thỏa mãn: .
	Chứng minh rằng: . 
Lời giải
	1) Xét hiệu 
	Vì 
	Ta có 
	Do đó 
	Vậy với thì 
2) Áp dụng BĐT Svac-xơ ta có:
	Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 
	Do đó (đpcm)
	Dấu xảy ra khi 
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG TRỊ năm 2021)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
Lời giải
Vì (1)
Lại có (2)
Cộng theo vế của (1) và (2) ta có: (đpcm).
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh NAM ĐỊNH năm 2021)
Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Lời giải.
Ta có: .
Vì dương nên .
Tương tự, ta có: ; .
Suy ra .
Ta có
Suy ra .
Vậy . Dấu “” xảy ra khi .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh PHÚ THỌ năm 2021)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có: 
( vì )
Có 
Do đó 
Dấu “=” xảy ra khi: 
Vậy Max A = Khi 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh QUẢNG BÌNH năm 2021)
Cho là các số thực dương. Chứng minh .
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
 ;
 ;
;
.
Vậy ta có .
Dấu bằng xảy ra khi .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THÁI BÌNH năm 2021)
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Lời giải
Điều kiện 
Ta có: 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh THANH HÓA năm 2021)
Cho ba số thực thay đổi thỏa mãn các điều kiện và
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Lời giải
 (Bất đẳng thức Cauchy)
Chứng minh tương tự ta có:
Nhân vế theo vế 3 BĐT trên ta được:
Vậy Dấu "=" xảy ra .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh TUYÊN QUANG năm 2021)
 Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi , , 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh VĨNH PHÚC năm 2021)
Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh rằng
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Do đó ta cần CM 
Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta được:
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên và thu gọn ta được:
	Dấu bằng xảy ra khi .
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Bình Định năm 2021)
Cho là các số dương thỏa 	
Chứng minh rằng: .
Lời giải
Từ ta suy ra:
Tương tự ta có: 	
Nhân các bất đẳng thức (cả hai vế dương) , , cùng chiều, ta được:
 (đpcm)
Dấu “=” xảy ra 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh Quãng Ngãi năm 2021)
Cho là số thực bất kỳ. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Đặt: 
(Bất đẳng thức cô-si)
Dấu "=" xảy ra khi và chi khi:
Vậy 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK LẮK năm 2021)
 Cho . Chứng minh rằng: .
Lời giải
Để ý rằng
Nên ta có
Hay là
Vậy, bất đẳng thức được chứng minh xong.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh ĐẮK NÔNG năm 2021)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với .
Lời giải
Áp dụng BĐT phụ: . Dấu "=" xảy ra khi .
Chúmg minh BĐT phụ:
Áp dụng BĐT B.C.S cho hai bộ số và ta có:
Khi đó ta có:
Vậ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của tỉnh KOMTUM năm 2021)
Cho a, b là hai số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Lời giải
Giả sử 
Do nên
 , , , 
Ta có: 
Do đó .
Vậy với a, b là hai số thực thỏa mãn thì ta luôn chứng minh được .
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 của Thành Phố HÀ NỘI năm 2021)
Với các số thực và thỏa mãn , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Từ điều kiện , ta có 
Đặt . Khi đó 
Ta có 
Do đó 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = -1
KL: Giá trị nhỏ nhất của P là -5
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 .
Lời giải
Đặt 
Theo bđt Côsi ta có: 
Dấu đẳng thức xảy ra ó 
Vậy ó 
Cho 3 số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
 Theo đề bài nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 Ta sẽ chứng minh với giả thiết thì (1)
Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi dương (BĐT Côsi)
 Chứng minh tương tự ta có (2)
 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra ĐPCM.
Dấu bằng xảy ra khi .
Bạn đọc tải đề ôn thi vào lớp 10 và thi THPT Quốc Gia lớp 12 file word tại trungtamgiasunhatrang.net (trong mục tài liệu môn toán) về phục vụ học tập và giảng dạy.
Bạn đọc tải nhiều tài liệu file word toán từ lớp 8 đến 12 tại trungtamgiasunhatrang.net (trong mục tài liệu môn toán) để phục vụ giảng dạy
Tham gia Panpage để cật nhập tài liệu: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
P/S: Tất cả tài liệu file word đều free