Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chương 2: Đường tròn

ĐƯỜNG TRÒN
Chương
2
Bài 1
Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn.
Tóm tắt lý thuyết
1. 1 Định nghĩa đường tròn
Định nghĩa 3.
Đường tròn tâm bán kính (với ) là hình gồm các điểm cách đều điểm một khoảng không đổi bằng .
Đường tròn tâm bán kính được kí hiệu là , ta cũng có thể kí hiệulà khi không cần chú ý đến bán kính.
Nhận xét. Cho đường tròn và một điểm . Khi đó
Rnằm trên khi và chỉ khi .
Rnằm bên trong khi và chỉ khi .
Rnằm bên ngoài khi và chỉ khi .
1.2 Cách xác định đường tròn
1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của nó.
2. Một đường tròn được xác định khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó.
3. Qua ba điểm không thẳng hàng cho trước ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.
1.3 Tính chất đối xứng của đường tròn
Tính chất 2. Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. 
Tính chất 3. Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
 ! Đường tròn có một tâm đối xứng và có vô số trục đối xứng.
Các ví dụ
& Ví dụ 1. Cho tam giác vuông tai. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.
Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay
https://drive.google.com/drive/folders/12ITHbciA1Mm055bHrAXGvKURp2eh3SOP?usp=sharing
@Lời giải
Gọi là trung điểm của .
Ta có là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên .
Suy ra .
Vậy đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác có tâm là điểm và bán kính 
& Ví dụ 2. Chứng minh rằng: Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác thì tam giác đó là tam giác vuông.
@Lời giải
Xét tam giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn đường kính .
Ta có (vì là bán kính của) .
Lúc đó là trung tuyến ứng với cạnh và .
Vậy tam giáclà tam giác vuông tại .
! Đường tròn qua ba đỉnh của một tam giác vuông thì nó có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng phân nửa độ dài cạnh huyền. Ngược lại, một đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác nhận một canh của tam giác đó là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông.
& Ví dụ 3. Cho tam giác đều có cạnh bằng . Tính bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác .
@Lời giải
Gọi lần lượt là trung điểm của . 
Dựng các đường trung trực của các cạnh , các đường trung trực này đồng quy tại , suy ra là tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác . Bán kính của là .
Vì tam giác là tam giác đều nên các đường trung trực này cũng là đường trung tuyến của tam giác . Suy ra cũng là trọng tâm của tam giác .
Trong tam giác vuông tại ta có .
Lại có .
Vậy bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác là .
Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay
https://drive.google.com/drive/folders/12ITHbciA1Mm055bHrAXGvKURp2eh3SOP?usp=sharing
& Ví dụ 4. Cho hình chữ nhật có Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
@Lời giải
Gọi là giao điểm và Khi đó là trung điểm của 
Mà là hình chữ nhật nên .
Do đó hay bốn điểm cùng thuộc một đường tròn , bán kính .
Tam giác vuông tại nên . Suy ra .
Vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn bán kính 
! Đường tròn qua bốn đỉnh của hình chữ nhật có tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính của nó bằng một nửa độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó.
& Ví dụ 5. Cho với hai đường kính và vuông góc với nhau. Chứng minh rằng là hình vuông.
@Lời giải
Tứ giác có hai đường chéo vàlà đường kính của đường tròn nên là hình chữ nhật.
Lại có .
Vậylà hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau nênlà hình vuông.
& Ví dụ 6. Cho hình thang cân với và. Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
@Lời giải
Gọilần lượt là trung điểm của 
Do là hình thang cân với hai đáy nên là đường trung trực của 
Gọi là trung điểm của Qua dựng đường trung trực của cắt tại . Ta cần chứng 
Thật vậy, vì nằm trên đường trung trực của nên .
Mà cũng là trung trực của nên .
Hơn nữa, nằm trên đường trung trực của nên . Từ đó suy ra .
Vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn bán kính .
Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay
https://drive.google.com/drive/folders/12ITHbciA1Mm055bHrAXGvKURp2eh3SOP?usp=sharing
& Ví dụ 7. Trên mặt phẳng tọa độ hãy xác định vị trí của mỗi điểm đối với đường tròn tâm bán kính 2.
@Lời giải
R là cạnh huyền trong tam giác vuông cân cạnh bằng 1nên suy ra nằm bên trong.
Rlà cạnh huyền trong tam giác vuông có hai cạnh là nên suy ra nằm bên ngoài.
R là cạnh huyền trong tam giác vuông cân cạnh bằng nênsuy ra nằm trên.
& Ví dụ 8. Cho góc nhọnvà hai điểm thuộc tia. Dựng đường đi qua hai điểmvà sao cho tâm nằm trên tia.
@Lời giải
Giả sử đã dựng được thỏa mãn đề bài. Khi đó bằng bán kính, nên nằm trên đường trung trực của 
Lại có thuộc nên là giao điểm của và 
Cách dựng: Dựng đường trung trực của cắt tại . Dựng đường tròn tâm bán kính thì đó là đường tròn phải dựng (như hình vẽ).
& Ví dụ 9. Một tấm bìa hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy tìm lại tâm của hình tròn đó.
Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay
https://drive.google.com/drive/folders/12ITHbciA1Mm055bHrAXGvKURp2eh3SOP?usp=sharing
@Lời giải.
Cách 1. Trên đường tròn của tấm bìa lấy ba điểm , , không trùng nhau.
Nối với và với .
Dựng các đường trung trực của và chúng cắt nhau tại , khi đó là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác hay là tâm của tấm bìa hình tròn.
Cách 2. Gấp tấm bìa sao cho hai phần của hình tròn trùng nhau, nếp gấp là một đường kính.
Lại gấp như trên theo nếp gấp khác, ta được một đường kính thứ hai.
Giao điểm của hai đường kính này là tâm của tấm bìa hình tròn.
& Ví dụ 10. Cho tứ giác có . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của , , , . Chứng minh rằng bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.
@Lời giải
Gọi là giao điểm của và . 
Vì nên . 
Do , , , lần lượt là trung điểm của , , và nên , , , lần lượt là đường trung bình của tam giác ,, , .
Suy ra , , , do đó , .
Vậy tứ giác là hình bình hành.
Lại có: (góc đồng vị). Khi đó .
Do đó là hình chữ nhật.
Theo ví dụ 4 thì bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.
Luyện tập
1 Bài 1. Cho tam giác cân tại , , chiều cao. Tính bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác .
@Lời giải
Vì tam giác cân tại nên đường cao cũng là đường trung trực của đoạn .
Qua truing điểm của kẻ đường trung trực của cắt đường thẳng tại . Khi đó là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác .
Bán kính của đường tròn là .
Tam giác vuông tại nên 
	.
Vậy bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác bằng .
Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay
https://drive.google.com/drive/folders/12ITHbciA1Mm055bHrAXGvKURp2eh3SOP?usp=sharing
1 Bài 2. Cho tam giác cân tại có ba đỉnh nằm trên đường tròn . Đường caocắt ở . Biết , . Tính chiều caovà bán kính đường tròn .
@Lời giải
Vì tam giác cân tại nên đường caocũng là đường trung trực của đoạn , suy ra là trung điểm của đoạn và tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác nằm trên đường cao .
Tam giác vuông tại nên
Vì là đường kính của đường tròn nên tam giác vuông tại . Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có
.
Vậy và bán kính đường tròn là .
1 Bài 3. Cho hình thang cân (với ) có , ,. Chứng minh rằng, , , cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.
Vì là hình thang cân với hai đáy , nên 
 và .
Gọi là trung điểm của .
Xét tam giác có: 
 vuông tại .
Do tam giác vuông tại nên ba đỉnh của tam giác cùng thuộc đường tròn .
Tương tự ta cũng có tam giác vuông tại nên ba đỉnh của tam giác cùng thuộc đường tròn .
Vậy bốn điểm , , , cùng thuộc đường tròn có bán kính .
1 Bài 4. Cho đường tròn đường kính , , thuộc sao cho và , nằm trên hai nửa đường tròn khác nhau. Chứng minh là đường kính của .
@Lời giải
Vì thuộc đường tròn đường kính nên tam giác là các tam giác vuông lần lượt tại .
vuông tại và vuông tại có cạnh huyền chung và nên , suy ra .
Tứ giác có và nên là hình bình hành.
Lại có nên tứ giác là hình chữ nhật.
Do đó là đường kính của đường tròn.
Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay
https://drive.google.com/drive/folders/12ITHbciA1Mm055bHrAXGvKURp2eh3SOP?usp=sharing
1 Bài 5. Cho tứ giác có .
	1. Chứng minh bốn điểm , , , cùng thuộc một đường tròn.
	2. Nếu thì tứ giác là hình gì?
@Lời giải
	1. Gọi O là trung điểm của .
	Vì tam giác vuông tại nên ba đỉnh , , 	cùng thuộc đường tròn .
Vì tam giác vuông tại nên ba đỉnh , , 	cùng thuộc đường tròn .
Vậy bốn điểm , , , cùng thuộc đường tròn có đường kính .
2. Nếu thì là đường kính của đường tròn , suy ra .
	Khi đó tứ giác có nên là hình chữ nhật.
1 Bài 6. Cho hình chữ nhật , vẽ tam giác vuông tại . Chứng minh năm điểm cùng thuộc một đường tròn.
@Lời giải
Gọi là trung điểm của .
Vì tam giác vuông tại nên ba điểm cùng thuộc đường tròn đường kính . 
Vì tam giác vuông tại nên ba điểm cùng thuộc đường tròn đường kính . 
Vì tam giác vuông tại nên ba điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .
Vậy năm điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .
1 Bài 7. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Từ là điểm bất kì trên cạnh kẻ , . Chứng minh năm điểm ,,,, cùng nằm trên một đường tròn.
@Lời giải
Vì và nên .
Vì và nên .
Từ hai điều trên suy ra là hình bình hành.
Mà nên là hình chữ nhật, suy ra bốn điểm , , , thuộc đường tròn đường kính (với là trung điểm của đoạn ).
Lại có tam giác vuông tại nên ba điểm , , thuộc đường tròn đường kính .
Vậy năm điểm ,,,, cùng nằm trên một đường tròn đường kính .
1 Bài 8. Cho tam giác có , , là ba đường cao và là trực tâm.
1. Chứng minh cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
2. Chứng minh cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
@Lời giải
1. Gọi là trung điểm .
Vì tam giác vuông tại nên ba điểm thuộc đường tròn đường kính .
Vì tam giácvuông tại nên ba điểm thuộc đường tròn đường kính .
Từ đó suy ra bốn điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .
2. Gọi là trung điểm .
Vì tam giác vuông tại nên ba điểm thuộc đường tròn đường kính .
Vì tam giác vuông tại nên ba điểm thuộc đường tròn đường kính .
Từ đó suy ra bốn điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .
1 Bài 9. Cho tam giác đều có là ba đường trung tuyến. Chứng minh cùng thuộc một đường tròn. 
@Lời giải
Tam giác là tam giác đều nên ba đường trung tuyến cũng là các đường cao của tam giác . Suy ra các tam giác , là các tam giác vuông.
Vì tam giác vuông tại nên ba điểm thuộc đường tròn đường kính .
Vì tam giác vuông tại nên ba điểm thuộc đường tròn đường kính .
Vậy bốn điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .
1 Bài 10. Cho tứ giác có. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh ,,,. Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. 
@Lời giải
Gọi là giao điểm của và .
Do nên .
Vì lần lượt là trung điểm của các cạnh ,,, nên ,,, lần lượt là đường trung bình của tam giác , , , .
Suy ra , .
Vậy tứ giác là hình bình hành.
Lại có (góc so le trong của cặp đường thẳng song song)
Khi đó . 
Do đó là hình chữ nhật.
Vậy bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
1 Bài 11. Cho tam giác vuông tại .
1. Nêu cách dựng đường tròn đi qua và tiếp xúc với tại .
2. Nêu cách dựng đường tròn đi qua và tiếp xúc với tại .
@Lời giải
1. Giả sử đã dựng được đường tròn thỏa mãn đề bài. Khi đó bằng bán kính, nên nằm trên đường trung trực của . 
Lại có tiếp xúc với tại nên , suy ra nằm trên đường thẳng đi qua và vuông góc với . Do đó là giao điểm của và .
Cách dựng. Dựng đường trung trực của . Dựng đường thẳng vuông góc với tại . Gọi là giao điểm của và . Dựng đường tròn tâm bán kính thì đó là đường tròn phải dựng (như hình vẽ).
	2. Giả sử đã dựng được đường tròn thỏa mãn đề bài. Khi đó bằng bán kính, nên nằm trên đường trung trực của .
Lại có tiếp xúc với tại nên , suy ra nằm trên đường thẳng đi qua và vuông góc với .
Do đó là giao điểm của và .
Cách dựng. Dựng đường trung trực của . Dựng đường thẳng vuông góc với tại . Gọi là giao điểm của và . Dựng đường tròn tâm bán kính thì đó là đường tròn phải dựng (như hình vẽ).
Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay
https://drive.google.com/drive/folders/12ITHbciA1Mm055bHrAXGvKURp2eh3SOP?usp=sharing
1 Bài 12. Cho năm điểm . Biết rằng qua bốn điểm có thể vẽ được một đường tròn, qua bốn điểm cũng vẽ được một đường tròn. Hỏi qua cả năm điểm có thể vẽ được một đường tròn không?
@Lời giải
Gọi là đường tròn đi qua đỉnh của tam giác .
Với giả thiết:
Bốn điểm thuộc đường tròn , suy ra .
Bốn điểm thuộc đường tròn , suy ra .
Vậy cả năm điểm cùng thuộc đường tròn.
1 Bài 13. Cho đường tròn đường kính . Điểm di động trên , gọi theo thứ tự là trung điểm của và .
	1. Chứng minh có độ dài không đổi khi di động trên .
	2. Tìm quỹ tích trung điểm của .
@Lời giải
1. Khi không trùng với các điểm thì là đường trung bình của tam giác . Do đó (không đổi).
Khi thì và nên (không đổi).
Khi thì và nên (không đổi).
Vậy có độ dài không đổi (luôn bằng ) khi di động trên .
2. Vì lần lượt là trung điểm của nên là các đường trung bình của tam giác , suy ra , .
Do đó tứ giác là hình bình hành, nên , cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra là trung điểm của . Khi đó (không đổi).
Vậy quỹ tích điểm là đường tròn .
1 Bài 14. Cho tam giác, các đường cao và . Trên cạnh lấy điểm . Kẻ tia vuông góc với tia tại Chứng minh rằng năm điểm cùng thuộc một đường tròn.
@Lời giải
Gọi là trung điểm .
Vì tam giác vuông tại nên ba điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .
Vì tam giác vuông tại nên ba điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .
Vì tam giác vuông tại nên ba điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .
Vậy năm điểm cùng thuộc đường tròn đường kính .
1 Bài 15. Cho tam giác có là trực tâm. Lấy thuộc tia sao cho và nằm giữa . Gọi là hình chiếu của lên và là hình chiếu của lên . Chứng minh rằng các điểm cùng thuộc một đường tròn.
@Lời giải
Gọi là giao điểm của .
Ta thấy do cùng vuông góc suy ra cặp góc đồng vị .
Tương tự .
Kết hợp giả thiết suy ra tam giác .
Do đó , suy ra .
Mà nên , suy ra thuộc đường tròn đường kính .
Vì tam giác vuông tại nên ba điểm , , thuộc đường tròn đường kính .
Vì tam giác vuông tại nên ba điểm , , thuộc đường tròn đường kính .
Vậy các điểm , , , cùng thuộc đường tròn đường kính .
1 Bài 16. Cho tam giác nhọn, các đường cao , , đồng quy tại . Gọi lần lượt thuộc đoạn thẳng sao cho . Chứng minh rằng cùng thuộc một đường tròn.
@Lời giải
Qua lần lượt dựng các đường thẳng vuông góc với , chúng cắt nhau tại . Dựng hình bình hành. Vì lần lượt thuộc nên nằm ở miền trong hình bình hành .
Ta dễ thấy nên 
 và .	
Nếu nằm ở miền trong tam giác thì vô lý vì trái với giả thiết, vậy nằm ở miền trong tam giác .
Khi đó kết hợp giả thiết có: .
Theo suy ra , suy ra hay .
Từ đây dễ thấy thuộc đường tròn đường kính hay cùng thuộc một đường tròn. 
Bài 2
Đường kính và dây của đường tròn
Tóm tắt lý thuyết
	Định nghĩa 4
R Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn.
R Dây cung đi qua tâm của đường tròn gọi là đường kính của đường tròn.
R Một dây cung sẽ chia đường tròn thành hai phần, tương ứng với hai cung của đường tròn (cung lớn và cung nhỏ).
	Định lí 6. Trong các dây cung của một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.
	Định lí 7. Trong một đường tròn
Đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây đó.
Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm của đường tròn thì vuông góc với dây đó.
Các ví dụ
Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay
https://drive.google.com/drive/folders/12ITHbciA1Mm055bHrAXGvKURp2eh3SOP?usp=sharing
& Ví dụ 1. Cho đường tròn . Lấy một điểm tùy ý thuộc . Vẽ dây vuông góc với tại trung điểm của .
Chứng minh là hình thoi.
Tính độ dài dây . 
@Lời giải
Gọi là trung điểm của . Vì tại nên cũng là trung điểm của , do đó là hình thoi.
Xét vuông tại có và do đó 
Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay
https://drive.google.com/drive/folders/12ITHbciA1Mm055bHrAXGvKURp2eh3SOP?usp=sharing
& Ví dụ 2. Cho đường tròn và điểm nằm trong đường tròn . 
Vẽ dây vuông góc với tại trung điểm của .
Hãy nêu cách dựng dây của đường tròn nhận làm trung điểm.
Tính độ dài ở câu a) biết và . 
@Lời giải
Dựng đường thẳng đi qua và vuông góc với . Giả sử cắt đường tròn tại . Khi đó ta có là trung điểm của 
Xétvuông tại có
& Ví dụ 3. Trong hình vẽ bên có và . Tính độ dài đường kính của đường tròn . 
@Lời giải
Ta có 
Kẻ tại và tại . Khi đó lần lượt là trung điểm của .
Do vậy và .
Ta có 
Do đó .
& Ví dụ 4. Cho đường tròn và dây sao cho khoảng cách từ tâm đến bằng . Gọi là trung điểm của . Tia cắt đường tròn tại .
Chứng minh rằng tam giác cân tại .
Tính khoảng cách từ đến .
@Lời giải
1. Vì và là trung điểm nên . Lại có
 nên vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến 
trong tam giác tam giác cân tại .
2. Hạ tại là trung điểm của , do đó 
Xét tam giác vuông tại có nên .
 Mà .
Xét tam giác vuông tại có
Do đó 
Xét tam giác vuông tại có
& Ví dụ 5.
Cho đường tròn và hai bán kính . Trên các bán kính 
lần lượt lấy các điểm sao cho Vẽ dây di qua và (nằm giữa và 
1. Chứng minh rằng .
2. Giả sử và , hãy tính độ dài theo .
@Lời giải
1 .
Hạ tại và cắt tại . 
Trong tam giác cân tại , ta có 
 và 
Vì nên là trung điểm , 
do vậy . Ta có
2.
Đặt . Vì tam 
giác vuông cân tại và nên tam giác
 vuông cân tại .
Xét tam giác vuông tại , ta có
Khi đó .
Vậy với sẽ thỏa mãn đề bài.
& Ví dụ 6.
Cho đường tròn và hai dây ( nằm về hai phía đối với đường thẳng . Hãy tính các góc của tam giác 
Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay
https://drive.google.com/drive/folders/12ITHbciA1Mm055bHrAXGvKURp2eh3SOP?usp=sharing
@Lời giải
Xét tam giác có nên vuông
 cân tại 
Kẻ tại . 
Xét tam giác vuông tại có
Do vậy .
Lại có
Xét tam giác cân tại , ta có
Do đó và .
& Ví dụ 7.
Cho nửa đường tròn đường kính . Một dây có hai đầu mút di chuyển trên nửa đường tròn (điểm nằm trên cung nhỏ Gọi theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng 
1. Chứng minh và có trung điểm trùng nhau.
2. Chứng minh .
3. Xác định vị trí của để diện tích tứ giác lớn nhất.
@Lời giải
1. Kẻ 
 là trung điểm của và . 
Do là trung điểm nên và cách đều
 nhau, do đó 
 Từ (1) và (2) ta có và có trung điểm trùng nhau.
2. Ta có .
 Vậy .
c) Vìlà trung điểm của nên . Xét tam giác vuông tại có
Vì là hình thang có là đường trung bình nên .
 Kẻ tại và . Do vậy
Dấu bằng xảy ra khi , hay . 
Vậy khi thì diện tích tứ giác lớn nhất.
1 Bài 1. Cho đường tròn và dây .
1. Tính khoảng cách từ tâm đến dây .
2. Lấy điểm trên dây sao cho . Qua kẻ dây vuông góc với . 
Chứng minh rằng .
@Lời giải
1. Kẻ tại . Khi đó là trung điểm của , do vậy
Ta có 
2. Kẻ tại là trung điểm của .
 Do vậy .
Ta có , suy ra là hình vuông. Do dó .
 Xét tam giác vuông tại , ta có 
Do vậy , suy ra .
1 Bài 2. Trong hình vẽ bên có một mảnh giấy hình chữ nhật che khuất một phần 
của đường tròn . Cho biết và .
1. Tính độ dài đoạn D N. 
2. Cho . Tính bán kính của đường tròn .
@Lời giải
1. Kẻ tại , cắt tại . Khi đó lần lượt là
 trung điểm của 
Ta có Vì là hình chữ nhật
 nên 
Do đó 
Vậy 
b) Xét tam giác vuông tại có 
Xét tam giác vuông tại có , do đó
Mà 
Khi đó 
1 Bài 3. Cho đường tròn và đường kính Lấy điểm thuộc đường tròn sao cho Kẻ dây vuông góc với đường kính .
Tính các khoảng cách từ tâm đến các dây và .
Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay
https://drive.google.com/drive/folders/12ITHbciA1Mm055bHrAXGvKURp2eh3SOP?usp=sharing
@Lời giải
Vì nên tam giác vuông tại , do đó
Kẻ tại .
Gọi là giao điểm của và , khi đó . 
Xét tam giác vuông tại ta có
Do đó .
1 Bài 4. Cho đường tròn và đường kính . Gọi theo thứ tự là trung điểm của . Qua lần lượt vẽ các dây song song với nhau cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính .
1. Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật
2. Giả sử và cùng tạo với một góc .Tính diện tích hình chữ nhật 
@Lời giải
1. Kẻ tại 
 là trung điểm và (do .
 Giả sử cắt tại là trung điểm của . 
Xét hai tam giác vuông và có 
 và nên
, do do .
Xét tứ giác có và nên là hình bình hành.
 Lại có là đường trung bình của hình bình hành và 
Do đó là hình chữ nhật.
2. Xét tam giác vuông tại có , suy ra
.
Xét tam giác vuông tại , ta có
Từ (1) và (2) ta có .
1 Bài 5.
 Cho đường tròn và đường kính Dây vuông góc với tại .
1. Tính độ dài các đoạn 
2. Gọi theo thứ tự là hình chiếu của lên . Tính diện tích tứ giác .
@Lời giải
1. Vì tại nên . 
 Giả sử . Xét tam giác vuông tại có
Do đó và 
2. Vì nên
Mà nên
1 Bài 6. Cho đường tròn và điểm cách một đoạn là 3cm
1. Tính độ dài dây cung ngấn nhất của di qua .
2. Tính độ dài dây cung dài nhất của di qua .
@Lời giải
Giả sử là một dây cung tùy ý qua , là dây cung đi qua và
 vuông góc với OM, AB là đường kính chứa của đưòng tròn . 
Kẻ tại là trung điểm . 
1. Ta có . Vì 
nên nhỏ nhất khi lớn nhất.
Lại có tam giác vuông tại nên 
Dấu bằng chỉ xảy ra khi 
Ta có 
Vậy nhỏ nhất bằng 8cm khi 
2. Vì A B là đường kính đi qua . Do vậy lớn nhất bằng khi là đường kính đi qua .
1 Bài 7. Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn và là điểm bất kỳ trên cung tròn
 không chứa . Gọi lần lượt là điểm đối xứng của qua . Tìm vị trí của để độ dài nhỏ nhất. 
@Lời giải
Gọi là đường kinh của đường tròn .
 Vì lần lượt là điểm đối xứng của qua 
 nên , do đó tam giác cân tại . 
Lại có 
(không đổi). 
Vì vậy lớn nhất khi lớn nhất, tức là lớn nhất 
Bài 3
Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
Tóm tắt lý thuyết
Định lí 8. Trong một đường tròn:
1) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
2) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Định lí 9. Trong hai dây của một đường tròn: 
1) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
2) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
! Cả hai định lý trên vẫn đúng với trường hợp hai đường tròn có bán kính bằng nhau (gọi là hai đường tròn bằng nhau).
Các ví dụ
Luyện tập
& Ví dụ 1. 
Cho đường tròn và bán kính 5cm, dây 
1. Tính khoảng cách từ tâm đến dây .
2. Gọi là điểm thuộc dâysao cho . Kẻ dây qua và vuông góc với 
Chứng minh rằng .
@Lời giải
1. Gọi là trung điểm của , suy ra . 
Khoảng cách từ đến dây là
2. Kẻ tại . Suy ra là hình chữ nhật
 mà .
suy ra là hinh vuông .
 Do đó khoảng cách từ tâm đến hai dây và bằng nhau,
 suy ra .
& Ví dụ 2.
Cho đường tròn tâm các dây và bằng nhau, các tia và cắt nhau tại điểm nằm bên ngoài đường tròn. Gọi và theo thứ tự là trung điểm của và
Chứng minh rằng:
 b) 
Link Xem thử Toán 789 Siêu Hay
https://drive.google.com/drive/folders/12ITHbciA1Mm055bHrAXGvKURp2eh3SOP?usp=sharing
@Lời giải
1. Chứng minh .
Vì E, F lần lượt là trung điểm của ; nên 
 và 
Mặt khác, .
Suy ra
2. Chứng minh . 
Ta có
 và 
mà
 và