Đề 6 thi chọn học sinh giỏi môn: Toán 8 thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - 12
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (1,5 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử:
4b2c2 – (b2 + c2 – a2)2
4x2 – 8x + 3
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
Bài 2 (1,5 điểm): Tính giá trị của các biểu thức sau một cách hợp lí:
A = x5 – 15x4 + 16x3 – 29x2 + 13x tại x = 14
B = 
Bài 3 (1,5 điểm): 
a) Xác định các hằng số a và b sao cho đa thức x4 + ax + b chia hết cho x2 - 4
b) Cho đa thức A(x) = ax2 + bx + c. Xác định b biết rằng khi chia đa thức A(x) cho x – 1 và x + 1 đều có cùng số dư.
Bài 4 (1,5 điểm): 
a) Chứng minh rằng không có số x, y nào thoả mãn đẳng thức sau:
 4x2 + 3y2 – 4x + 30y + 78 = 0
b) Cho x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by và x + y + z 0 ; xyz 0. 
 Chứng minh: = 2
Bài 5 (3,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD có = 300. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E và cắt tia phân giác của ở M. Gọi N là hình chiếu của M trên DA, K là hình chiếu của M trên AB. Chứng minh:
 = 1200
Tứ giác AMBD là hình thang cân.
Ba điểm N, K, E thẳng hàng.
Bài 6 (1,0 điểm): Chứng minh rằng tam giác có một đỉnh là giao điểm hai cạnh đối của một tứ giác, hai đỉnh kia là trung điểm hai đường chéo của tứ giác đó có diện tích bằng diện tích tứ giác.
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8
Câu
Đáp án
Điểm
Bài 1
(1,5đ)
a/ = (2bc + b2 + c2 – a2) (2bc - b2 - c2 + a2) = [(b + c)2 – a2] [a2 – (b - c)2]
 = (b + c + a)(b + c – a)(a + b - c)(a – b + c) 
0,25
0,25
b/ 4x2 – 8x + 3 = 4x2 – 6x – 2x + 3 = (4x2 – 6x) – (2x – 3) 
 = 2x(2x – 3) – (2x – 3) = (2x – 3)(2x – 1)
0,25
0,25
c/[(x + 2) (x + 5)][ (x + 3)(x + 4)]–24=( x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12)- 24
Đặt t = x2 + 7x + 10, ta được đa thức : 
t( t + 2) – 24 = t2 + 2t - 24 = (t2 + 2t + 1) – 25 = (t + 1)2 – 52 
= (t + 6)(t - 4)=(x2 + 7x + 16)( x2 + 7x + 6)=(x2 + 7x + 16)(x + 1)(x + 6)
0,25
0,25
Bài 2
(1,5đ)
a/ Vì x = 14 nên 15 = x + 1; 16 = x + 2; 29 = 2x + 1; 13 = x – 1
Vậy A = x5 – (x + 1)x4 + (x + 2)x3 – (2x + 1)x2 + (x – 1)x
 = x5 - x5 – x4 + x4 + 2x3 – 2x3 – x2 + x2 – x
 = - x = - 14
0,25
0,25
0,25
b/B = 
 Đặt thì B = ( 2 + a)b – 3a(4 – b) – 4ab + 12a
 = 2b + ab – 12a + 3ab – 4ab + 12a = 2b = 
0,25
0,25
0,25
Bài 3
(1,5d)
a/ x4 + ax + b chia cho x2 – 4 được thương là x2 + 4 dư ax + (b + 16)
Vậy x4 + ax + b chia hết cho x2 – 4 khi ax + (b + 16) = 0x + 0 
Suy ra a = 0 và b = - 16
0,25
0,25
0,25
b/ Đặt A(x) = ax2 + bx + c = (x – 1).Q1 + R (1)
 A(x) = ax2 + bx + c = (x + 1).Q2 + R (2)
Từ (1) suy ra A(1) = a + b + c = R ; Từ (2) suy ra A(- 1) = a - b + c = R 
=> a + b + c = a - b + c => b = - b => 2b = 0 => b = 0
0,25
0,25
0,25
Bài 4
(1,5đ)
a/ Ta có 4x2 + 3y2 – 4x + 30y + 78 = (4x2 – 4x +1)+(3y2 + 30y + 75)+ 2
= (2x – 1)2 + 3(y + 5)2 + 2 > 0 với mọi x, y
Vậy không tìm được x, y thoả mãn đầu bài.
0,25
0,25
0,25
b/ Gọi x = by + cz (1) ; y = ax + cz (2) ; z = ax + by (3)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: x + y = ax + by + 2cx = z + 2cz
=>2cz = x + y – z => c = => 1 + c = => =
Tương tự: 1 + a = => = 
 1 + b = => = 
Vậy ++=++= = 2
0,5
 0,25
Bài 5
(3đ)
A
D
B
M
N
E
K
2
3
2
1
1
1
1
Hình vẽ: 
1
C
a/ C/m được = == 300 , = 300 , = 300
C/m được cân ( vì đường cao đồng thời là phân giác) có = 300 nên = 1200
0,5
0,5
b/ C/m được đều mà MK vuông góc với AB nên MK vuông góc với CD =>MK là trung trực của CD và AB => MA = MB => cân
C/m được = 300 => = 300 = => AM//DB
Mà ==600 nên tứ giác AMBD là hình thang cân.
0,5
0,5
c/ Vì M thuộc tia phân giác của nên MN = ME.
có =1200 nên = 300 (1)
Lại có MNAK là hình chữ nhật nên = = 300 (2)
Từ (1) và (2) suy ra N, K, E thẳng hàng.
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 6
(1đ)
A
B
C
D
M
N
E
Hình vẽ
Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đường chéo BD, AC của tứ giác ABCD, E là giao điểm của DA và CB. Ta có:
SEMN = SEDC – SEMD – SENC – SDMC – SMNC 
 = SEDC - SEBD - SEAC - SDBC - SAMC 
 = (SEDC – SEBD – SDBC) + (SEDC – SEAC - SAMC) 
 = 0 + (SADM + SCDM) = SABCD
0,25
0,25
0,25
0,25