Đề 5 tự luyện thpt quốc gia năm học 2014 - 2015 môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 ( 2,0 điểm). Cho hàm số (1).
a*) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi .
b*) Tìm để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị sao cho tam giác vuông tại ( với là gốc tọa độ ).
Câu 2 (1,0 điểm). 
a*) Giải phương trình .
b*) Tìm số phức z biết .
Câu 3* (0,5 điểm). Giải phương trình .
Câu 4* (1,0 điểm). Tính tích phân .
Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp có tam giác vuông tại , , là trung điểm của , hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là trung điểm của , mặt phẳng tạo với đáy 1 góc bằng . Tính thể tích khối chóp và tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo .
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho tam giác có, tiếp tuyến tại của đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại , đường phân giác trong của có phương trình , điểm thuộc cạnh . Viết phương trình đường thẳng .
Câu 8* (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ , cho điểm và đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng . Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho .
Câu 9 (0,5 điểm). b) Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật . Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.
Câu 10 (1,0 điểm). Cho là các số dương và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
.Hết.
Câu
Nội dung
Điểm
1
a.(1,0 điểm) 
 Vơí m=1 hàm số trở thành : 
TXĐ: 
 , 
0.25
Hàm số nghịch biến trên các khoảng và , đồng biến trên khoảng 
Hàm số đạt cực đại tại , , đạt cực tiểu tại , 
, 
0.25
* Bảng biến thiên
 x
– -1 1 +
 y’
 + 0 – 0 +
 y
 + 3 	
 -1 - 
0.25
Đồ thị: 
0.25
b.(1,0 điểm)
0.25
Đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị PT (*) có 2 nghiệm phân biệt
0.25
Khi đó 2 điểm cực trị , 
0.25
Tam giác OAB vuông tại O ( TM (**) )
Vậy 
0,25
2. 
(1,0 điểm)
a)	Û	
Û 
0. 25
Û . Vậy nghiệm của PT là 
0. 25
b) Tìm số phức z biết .
Giả sử z=a+bi(a,bÎR) ta có i(a+bi)+(2-i)(a-bi)=3i-1
2a-2b=-1 và -2b=3 => a=-2 và b=-3/2
0.25
0.25
3
 (1,0 điểm)
0.25
Tính 
Đặt . Khi đó 
Do đó 
0.25
0.25
Vậy 
0.25
4. 
(0,5 điểm)
0.25
 Vậy nghiệm của PT là và 
0.25
5. 
(1,0 điểm)
Đường thẳng d có VTCP là 
Vì nên nhận làm VTPT
0.25
Vậy PT mặt phẳng là : 
0.25
Vì nên 
0.25
 Vậy hoặc 
0.25
6.
(1,0 điểm)
Gọi K là trung điểm của AB (1)
Vì nên (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Do đó góc giữa với đáy bằng góc giữa SK và HK và bằng 
Ta có 
0.25
Vậy 
0.25
Vì nên . Do đó 
Từ H kẻ tại M 
0.25
Ta có . Vậy 
0,25
7.
(1,0 điểm)
Gọi AI là phan giác trong của 
Ta có : 
Mà , nên 
 cân tại D 
0,25
 PT đường thẳng AI là : 
0,25
Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI PT đường thẳng MM’ : 
Gọi K(0;5) M’(4;9)
0,25
VTCP của đường thẳng AB là VTPT của đường thẳng AB là 
Vậy PT đường thẳng AB là: 
0,25
8.
(1,0 điểm). 
 Đk: 
Ta có (1)
 Đặt ()
Khi đó (1) trở thành : 
0.25
Với ta có , thay vào (2) ta được : 
0.25
0.25
( vì )
Với thì . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là 
0.25
9
0.25
 Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là 
 Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 
0.25
10
(1,0 điểm) .
Vì a + b + c = 3 ta có 
Vì theo BĐT Cô-Si: , dấu đẳng thức xảy rab = c
0,25
Tương tự và 
0,25
Suy ra P,
0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Vậy max P = khi a = b = c = 1.
0,25