Đề 20 thi thử kỳ thi thpt quốc gia môn : Toán thời gian làm bài 180 phút

NMHIEUPDP.WORDPRESS.COM ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA
———————— Mụn : TOÁN
Đỏp ỏn đề số 20 Thời gian làm bài 180 phỳt
————
Cõu 1a (1,0 điểm).
• Tập xỏc định : D = R.
• Sự biến thiờn :
+ Giới hạn tại vụ cực :
lim
x→+∞ y = +∞; limx→−∞ y = −∞.
+ Bảng biến thiờn :
y′ = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1); y′ = 0⇔ x = ±1.
x −∞ −1 1 +∞
y′ + 0 − 0 +
y
−∞
3
−1
+∞
Hàm số đồng biến trờn (−∞;−1) và (1;+∞).
Hàm số nghịch biến trờn (−1; 1).
Hàm số đạt cực đại tại x = −1; yCĐ = 3.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = −1.
• Đồ thị :
+ Cắt Oy tại (0; 1).
+ Nhận điểm uốn U(0; 1) làm tõm đối xứng.
y
xO
3
−1
1
1
−1
U
Cõu 1b (1,0 điểm).
Ta cú A ∈ (C)⇒ A ÄxA; x3A − 3xA + 1ọ; y′ = 3x2 − 3⇒ y′ (xA) = 3x2A − 3.
Do đú tiếp tuyến tại A là y =
Ä
3x2A − 3
ọ
(x− xA) + x3A − 3xA + 1.
Phương trỡnh hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và (C) là :Ä
3x2A − 3
ọ
(x− xA) + x3A − 3xA + 1 = x3 − 3x+ 1
⇔ Ä3x2A − 3ọ (x− xA) = x3 − x3A − 3x+ 3xA
⇔ Ä3x2A − 3ọ (x− xA) = (x− xA) Äx2 + xxA + x2Aọ− 3 (x− xA)
⇔ (x− xA)
Ä
x2 + xxA + x2A − 3− 3x2A + 3
ọ
= 0
⇔ (x− xA)
Ä
x2 + xxA − 2x2A
ọ
= 0
⇔ (x− xA) ((x− xA) (x+ xA) + xA (x− xA)) = 0
⇔(x− xA)2 (x+ 2xA) = 0
⇔
ủ
x = xA
x = −2xA
Vỡ tiếp tuyến cắt (C) tại B khỏc A nờn xB = −2xA.
Khi đú 2013xB + 2014xA = 2012⇔ −4026xA + 2014xA = 2012⇔ xA = −1.
Vậy điểm cần tỡm là A(−1; 3).
1
Cõu 2a (0,5 điểm).
Phương trỡnh đó cho tương đương với
2 sin x
Ä
2cos2x− 5 cos x+ 2ọ+ 2cos2x− 5 cos x+ 2 = 0
⇔ Ä2cos2x− 5 cos x+ 2ọ (2 sin x+ 1) = 0⇔  sin x = −12cos x = 2
cos x = 12
⇔
 x = −
pi
6 + k2pi
x = 7pi6 + k2pi
x = ±pi3 + k2pi
(k ∈ Z)
Vậy phương trỡnh cú nghiệm −pi
6
+ k2pi, x =
7pi
6
+ k2pi, x = ±pi
3
+ k2pi (k ∈ Z).
Cõu 2b (0,5 điểm).
Ta cú w =
Ä
1+ i
√
3
ọ
z+ 2⇔ z = w− 2
1+ i
√
3
.
Do đú |z− 1| ≤ 2⇔
∣∣∣∣∣ w− 21+ i√3
∣∣∣∣∣ ≤ 2⇔
∣∣∣w− 3− i√3∣∣∣∣∣∣1+ i√3∣∣∣ ≤ 2⇔
∣∣∣w− 3− i√3∣∣∣ ≤ 4.
Đặt w = x+ yi (x, y ∈ R), ta cú∣∣∣w− 3− i√3∣∣∣ ≤ 4⇔ ∣∣∣x+ yi− 3− i√3∣∣∣ ≤ 4⇔ (x− 3)2 + (y−√3)2 ≤ 16
Gọi (C) là đường trũn tõm I
Ä
3;
√
3
ọ
và bỏn kớnh R = 4.
Ta cú tập hợp cỏc điểm biểu diễn số phức w là phần mặt phẳng nằm trong đường trũn (C),
kể cả (C).
Cõu 3 (0,5 điểm).
Điều kiện
x+ 1
2x− 1 > 0⇔
 x > 12
x < −1
. Khi đú bất phương trỡnh đó cho tương đương với :
x+ 1
2x− 1 <
1
2
⇔ 3
2 (2x− 1) < 0⇔ x <
1
2
Kết hợp điều kiện bất phương trỡnh cú tập nghiệm S =
ầ
−∞; 1
2
ồ
.
Cõu 4 (1,0 điểm).
Đặt x− 1 = t, hệ trở thànht+ 1+
√
t2 + 4 = 3y+
ằ
y2 + 4
(t+ 1)2 − y2 − 3(t+ 1) + 3y+ 1 = 0 ⇔
t− 3y+ 1+
√
t2 + 4−
ằ
y2 + 4 (1)
t2 − y2 − t+ 3y− 1 = 0 (2)
Cộng theo vế (1) và (2) được
t2 − y2 +
ằ
t2 + 4−
ằ
y2 + 4 = 0⇔ t2 − y2 + t
2 − y2√
t2 + 4+
ằ
y2 + 4
= 0
⇔ Ät2 − y2ọẹ1+ 1√
t2 + 4+
ằ
y2 + 4
ộ
= 0
⇔ t2 = y2 ⇔ t = ±y
Với t = y thay vào (2) được 2y− 1 = 0⇔ y = 1
2
⇒ t = 1
2
⇒ x = 3
2
.
Với t = −y thay vào (2) được 4y− 1 = 0⇔ y = 1
4
⇔ t = −1
4
⇒ x = 3
4
.
Vậy hệ cú hai nghiệm (x; y) =
ầ
3
2
;
1
2
ồ
và (x; y) =
ầ
3
4
;
1
4
ồ
.
2
Cõu 5 (1,0 điểm).
Ta cú I =
1∫
0
xex (ex + 1) + 1
ex + 1
dx =
1∫
0
xexdx+
1∫
0
1
ex + 1
dx = I1 + I2.
• Tớnh I1 =
1∫
0
xexdx.
Đặt
đ
u = x
dv = exdx ⇒
đ
du = dx
v = ex . Ta cú I1 = xe
x|10 −
1∫
0
exdx = e− ex|10 = 1.
• Tớnh I2 =
1∫
0
1
ex + 1
dx =
1∫
0
ex
ex (ex + 1)
dx.
Đặt t = ex ⇒ dt = exdx. Đổi cận x = 0⇒ t = 1, x = 1⇒ t = e. Ta cú
I2 =
e∫
1
1
t(t+ 1)
dt =
e∫
1
t+ 1− t
t(t+ 1)
dt =
e∫
1
ầ
1
t
− 1
t+ 1
ồ
dt = (ln t− ln(t+ 1))|e1 = 1+ ln
2
1+ e
Vậy I = I1 + I2 = 1+ 1+ ln
2
1+ e
= 2+ ln
2
1+ e
.
Cõu 6 (1,0 điểm).
Gọi I trung điểm SA ta cú

BI⊥SA
DI⊥SA
(SAB) ∩ (SAD) = SA
.
Do đú’BID là gúc giữa (SAB) và (SAD)⇒’BID = 900.
Gọi O = AC ∩ BD ta cú IO = 1
2
SC =
1
2
BD ⇒ BD = SC = a.
Khi đú AC = 2AO = a
√
3⇒ SABCD = 12AC.BD =
a2
√
3
2
.
Gọi H là trọng tõm tam giỏc BCD, ta cú
SB = SC = SDHB = HC = HD ⇒ SH⊥(ABCD).
AB
C D
S
I
H
O
Khi đú CH =
a
√
3
3
⇒ SH = √SC2 − CH2 =
√
a2 − 3a
2
9
=
a
√
6
3
.
Vậy thể tớch khối chúp S.ABCD là VS.ABCD =
1
3
SABCD.SH =
a3
√
2
2
.
Cõu 7 (1,0 điểm).
Ta cú ữAHC =ữAEC = 900 nờn bốn điểm A,H,C, E nằm trờn đường trũn đường kớnh AC.
Gọi I là giao điểm của AC và BD ta cú ’HIE = 2ữHAE = 2(1800 −ữBCD).
3
Cỏc tứ giỏc AKED và AKHD nội tiếp nờnữEKD = ữEAD vàữBKH = ữBAH.
Do đúữHKE = 1800 −ữEKD −ữBKH = 1800 −ữEAD −ữBAH = 2ữHAE = 2(1800 −ữBCD) =’HIE.
Vỡ tứ giỏc HKIE nội tiếp nờn I thuộc đường trũn ngoại tiếp tam giỏc HKE.
Vỡ C thuộc đường thẳng x− y− 3 = 0 nờn C(t; t− 3), suy ra I
ầ
t− 2
2
; t−42
ồ
.
Vỡ I ∈ (C) nờn ta cú t2 − t− 2 = 0⇔
ủ
t = −1 (loại)
t = 2 ⇒ C(2;−1), I(0;−1).
Hai điểm E,H vừa thuộc (C) vừa nằm trờn đường trũn đường kớnh AC nờn cú tọa là nghiệm
hệ : x2 + y2 + x+ 4y+ 3 = 0x2 + (y+ 1)2 = 4 ⇔
 (x; y) = (0;−3)
(x; y) =
ầ
−8
5
;−11
5
ồ
Vỡ H cú hoành độ õm nờn E(0;−3) và H
ầ
−8
5
;−11
5
ồ
.
Suy ra AB cú phương trỡnh x− y+ 1 = 0; BC cú phương trỡnh x− 3y− 5 = 0.
Do đú B(−4;−3)⇒ −→BA = (2; 2),−→BC = (6; 2)⇒ −→BA.−→BC = 16 > 0 (thỏa món).
Vỡ
−→
AB =
−→
DC ⇒ D(4; 1).
Vậy B(−4;−3),C(2;−1),D(4; 1).
Cõu 8 (1,0 điểm).
Tọa độ giao điểm A là nghiệm hệ

x− 7
3
=
y− 2
2
=
z− 1
−2
x− 1
2
=
y+ 2
−3 =
z− 5
4
⇔

x = 1
y = −2
z = 5
.
Vậy giao điểm của ∆ và ∆′ là A(1;−2; 5).
Đường thẳng ∆ qua điểm M(7; 2; 1) và cú vectơ chỉ phương −→u = (3; 2;−2).
Đường thẳng ∆′ qua điểm M′(1;−2; 5) và cú vectơ chỉ phương −→u′ = (2;−3; 4).
Mặt phẳng (α) chứa ∆,∆′ nờn qua M(7; 2; 1) và nhận
ù−→u ,−→u′ ũ = (2;−16;−13) làm vectơ
phỏp tuyến.
Vậy (α) cú phương trỡnh 2(x− 7)− 16(y− 2)− 13(z− 1) = 0⇔ 2x− 16y− 13z+ 31 = 0.
Cõu 9 (0,5 điểm).
Xột khai triển (1+ x)n =
n∑
k=0
Cknxk.
Lấy tớch phõn hai vế cận từ 0 đến 2 ta cú
(1+ x)n+1
n+ 1
∣∣∣∣∣∣
2
0
=
n∑
k=0
Ckn
xk+1
k+ 1
∣∣∣∣∣∣
2
0
⇔ 3
n+1 − 1
n+ 1
=
n∑
k=0
Ckn
2k+1
k+ 1
⇔ 3
n+1 − 1
n+ 1
=
6560
n+ 1
⇔ n = 7
Khi đúầ√
x+
1
2 4
√
x
ồn
=
ầ
x
1
2 +
1
2
x−
1
4
ồ7
=
7∑
k=0
Ck7x
1
2 (7−k)
ầ
1
2
x−
1
4
ồk
=
7∑
k=0
Ck7
2k
x
7
2− 34 k
Số hạng chứa x2 tương ứng với số hạng chứa k thỏa món 72 − 34k = 2⇔ k = 2.
Vậy hệ số của số hạng chứa x2 là 214 .
Cõu 10 (1,0 điểm).
Vỡ x+ y 0, do đú theo bất đẳng thức Schwarz ta cú ngay bất đẳng thức
cần chứng minh.
———Hết ———
4