Đề 2 thi thử thpt quốc gia năm 2015 môn thi: Toán lớp 12 thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

1SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO QUẢNG NINH
TRƯỜNG THPT NGUYỄN BÌNH
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (2,0 điểm). Cho hàm số y = 1
x
x  (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với
đường thẳng đi qua điểm M và điểm I(1; 1).
Câu 2. (1,0 điểm).
a. Giải phương trình sin 2 1 6sin cos 2x x x   .
b) Tìm số phức z thỏa mãn: 22 2 . 8z z z z   và 2z z  .
Câu 3. (0,5 điểm). Giải phương trình 2 17 6.7 1 0x x    .
Câu 4. (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:   
2 3
2 22 3 2 1 11
x x y x y y
x y x
        
( , )x y .
Câu 5. (1,0 điểm). Tính tích phân
2 3
2
1
2lnx xI dxx
  .
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = a, I là
trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BC,
mặt phẳng (SAB) tạo với đáy 1 góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng
cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a.
Câu 7. (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; 4), tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong của
ADB có phương trình x - y + 2 = 0, điểm M(-4; 1) thuộc cạnh AC. Viết phương trình đường
thẳng AB.
Câu 8. (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4; 1; 3) và đường
thẳng 1 1 3: 2 1 3
x y zd     . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường
thẳng d. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho 5AB  .
Câu 9. (0,5 điểm). Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu
nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu.
Câu 10. (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 1ab  ;   3c a b c   .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 6ln( 2 )1 1
b c a cP a b ca b
       .
-----------------------------Hết -----------------------
Họ và tên thí sinh ........................................................SBD: ......................
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
1/1
2SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NINH
TRƯỜNG THCS - THPT NGUYỄN BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Bản hướng dẫn chấm có 6 trang
Câu NỘI DUNG Điểm
1.a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = 1
x
x  .
1.0
TXĐ : D = R\{1}
y’ = 2
1 0( 1)x 
lim ( ) lim ( ) 1
x x
f x f x   nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
1 1
lim ( ) , lim
x x
f x      nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 0.5
Bảng biến thiên
1
+
-
1
- -
y
y'
x - 1 +
Hàm số nghịch biến trên ( ;1) và (1; ) ,Hàm số không có cực trị 0.25
Đồ thị : Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng
0.25
1.b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi
qua điểm M và điểm I(1; 1).
1.0
Với 0 1x  , tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x0 ; 0
0 1
x
x  ) có phương trình :
0
02
0 0
1 ( )( 1) 1
xy x xx x    
2
0
2 2
0 0
1 0( 1) ( 1)
xx yx x     0.5
3(d) có vec – tơ chỉ phương 2
0
1( 1; )( 1)u x  
 , 0
0
1( 1; )1IM x x  

Để (d) vuông góc IM điều kiện là : 00 2
00 0
01 1. 0 1.( 1) 0 2( 1) 1
xu IM x xx x
          
 
+ Với x0 = 0 ta có M(0,0) + Với x0 = 2 ta có M(2, 2) 0.5
Câu 2:1 điểm
2a.
sin 2 1 6sin cos2x x x  
 (sin 2 6sin ) (1 cos2 ) 0x x x   
0.25
   22sin cos 3 2sin 0x x x  
  2sin cos 3 sin 0x x x   0. 25
sin 0
sin cos 3( )
x
x x Vn
    0. 25
 x k . Vậy nghiệm của PT là ,x k k Z  0.25
2.b Tìm số phức z thỏa mãn : 22 2 . 8z z z z   và 2z z  0.5
Gọi z = x + iy ta có 22 2 2;z x iy z z zz x y     
22 2 2 2 22 . 8 4( ) 8 ( ) 2 (1)z z z z x y x y        
2 2 2 1 (2)z z x x     
Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ; y = 1 Vậy các số phức cần tìm là 1 + i và 1 – i
Câu 3:0,5 điểm
2 17 6.7 1 0x x    27.7 6.7 1 0x x   
Đặt t=7x ,t>0
Phương trình đã cho trở thành:7t2-6t+1=0
3 2 ( )7
3 2 ( )7
t tm
t tm
   
0.25
Tim ra x và kết luận nghiệm của pt là 7
7
3 2( )7
3 2( )7
log
log
x
x
  
0.25
4Câu 4:1 điểm
Hệ đã cho tương đương với       
2 3
2 2
1
2 3 2 1 11 2
x x y x y y
x y x
        
Từ (1) suy ra 0y  , vì nếu y0, do đó VT(1) > VP( 1)
        2 231 1 0x x y x y x x y y         
   
2 2
2
2 23 3
1 0
1
x y x x y yx x y
x x y yx y x y
             
    
2
2 23 3
1 0 1 0
1
x x y x yx y x y
x x y yx y x y
                   
Thế 1y x  vào phương trình (2) ta được:
 224 4 2 3 2 1 11 2 1 3 2 1 10 0x x x x x          
Đặt 2 1, 0t x t   , ta có 4 3 10 0t t     3 22 2 4 5 0t t t t      2t 
Khi đó 5 32 1 2 2 2x x y      . Vậy hệ phương trình có nghiệm  
5 3; ; .2 2x y
    
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 5:1 điểm
22 2 2 22
2 2 2
1 1 1 11
ln ln 3 ln2 2 22 2
x x x xI xdx dx dx dxx x x         0.25
Tính
2
2
1
ln xJ dxx 
Đặt 2
1ln ,u x dv dxx  . Khi đó
1 1,du dx vx x  
Do đó
2 2
2
1 1
1 1lnJ x dxx x   
0.25
2
1
1 1 1 1ln 2 ln 22 2 2J x      0.25
Vậy 1 ln 22I   0.25
5Câu 6:1 điểm
j
C B
A
S
H
K
M
Gọi K là trung điểm của AB HK AB  (1)
Vì  SH ABC nên SH AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB SK 
Do đó góc giữa  SAB với đáy bằng góc
giữa SK và HK và bằng  60SKH  
Ta có  3tan 2
aSH HK SKH 
0.25
Vậy
3
.
1 1 1 3. . . .3 3 2 12S ABC ABC
aV S SH AB AC SH   0.25
Vì / /IH SB nên  / /IH SAB . Do đó      , ,d I SAB d H SAB
Từ H kẻ HM SK tại M  HM SAB     ,d H SAB HM 0.25
Ta có 2 2 2 2
1 1 1 16
3HM HK SH a  
3
4
aHM  . Vậy    3, 4ad I SAB  0,25
Câu 7:1 điểm
K
C
A
DB I
M
M'
E
Gọi AI là phan giác trong của BAC
Ta có :   AID ABC BAI 
  IAD CAD CAI 
Mà  BAI CAI , ABC CAD nên  AID IAD
 DAI cân tại D  DE AI
0,25
PT đường thẳng AI là : 5 0x y  
0,25
Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI  PT đường thẳng MM’ : 5 0x y  
Gọi 'K AI MM  K(0;5) M’(4;9) 0,25
VTCP của đường thẳng AB là  ' 3;5AM  VTPT của đường thẳng AB là  5; 3n  
Vậy PT đường thẳng AB là:    5 1 3 4 0x y    5 3 7 0x y    0,25
6Câu 8:1 điểm
(1,0 điểm)
Đường thẳng d có VTCP là  2;1;3du  
Vì  P d nên  P nhận  2;1;3du   làm VTPT 0.25
Vậy PT mặt phẳng  P là :      2 4 1 1 3 3 0x y z      
2 3 18 0x y z      0.25
Vì B d nên  1 2 ;1 ; 3 3B t t t    
5AB     2 22 25 3 2 6 3 5AB t t t         27 24 20 0t t   
0.25
2
10
7
t
t
  
Vậy  5;3;3B  hoặc 27 17 9; ;7 7 7B
   
0.25
Câu 9:0,5 điểm
Câu 10:1 điểm
 
2 1 2 12 6ln( 2 )1 1
1 12 1 6ln( 2 )1 1
a b c a b cP a b ca b
a b c a b ca b
           
           
Ta chứng minh được các BĐT quen thuộc sau:
1 1 2)1 1 1a b ab     (1)
1) (2)2
abab  
Thật vậy,
     1 1 2) 2 1 2 1 11 1 1 a b ab a ba b ab           
   2 1 0a b ab    luôn đúng vì 1ab  . Dầu “=” khi a=b hoặc ab=1
0.25
Tổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi  là không gian mẫu.
Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có 424C cách lấy hay n( )= 424C .
Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau:
+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có 2 1 110 8 6 2160C C C  cách
+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có 1 2 110 8 6 1680C C C  cách
+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có 1 1 210 8 6 1200C C C  cách
Do đó, n(A)=5040
Vậy, xác suất biến cố A là ( ) 5040( ) 47,4%( ) 10626
n AP A n  
0.25
0.25
7 21) 1 02abab ab     . Dấu “=” khi ab=1.
Do đó, 1 1 2 2 411 1 31 1 2
aba b abab      
    22
4 4 16
2ab bc ca c a c b c a b c
        
Đặt 2 , 0t a b c t    ta có:
 
    
2
2
3 3 3
16 12 ( ) 6ln , 0;
16 2 4 6 86 6 16 32'( )
tP f t t tt
t t tt tf t t t t t
    
      
0.5
Vậy, GTNN của P là 3+6ln4 khi a=b=c=1.
t 0 4 
f’(t) - 0 +
f(t)
5+6ln4
0.25
-----------------------------Hết -----------------------
Chú ý : Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa !!!
8