Đề 1 thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
TP HÀ NỘI 
NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
Mụn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm cú 01 trang)
LƯU í :
Thớ sinh khụng được mang bất cứ tài liệu nào vào phũng thi 
Khụng được sử dụng mỏy tớnh cầm tay 
Cõu 1.(4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 
b) Rỳt gọn biểu thức: A = 
Cõu 2.(4 điểm)
a) Cho	 Tớnh 
b) Tỡm tất cả cỏc số x, y, z nguyờn thỏa món: 
Cõu 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn x, y thỡ :
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chớnh phương.
b) Cho là cỏc số tự nhiờn cú tổng chia hết cho 3.
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
Cõu 4. (6 điểm)
Cho điểm M di động trờn đoạn thẳng AB. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc hỡnh vuụng AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE ^ BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luụn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trờn đoạn thẳng AB.
Cõu 5. (2 điểm) 
Cho a;b;c là ba số đụi một khỏc nhau thỏa món:
 Tớnh giỏ trị của biểu thức: P=
HẾT
Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm - SBD:.......................
PHềNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TP HÀ NỘI 
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2015 - 2016
Mụn thi : Toỏn 
Cõu
Phần
Nội dung
Điểm
Cõu 1
(4 điểm)
a
2đ
=
0.5
0.5
0.5
0.5
b
2đ
 Ta cú : 
 => B = =1- 
1
1
Cõu 2
( 4 điểm )
a
2đ
Ta có thì
 (vì nên )
Theo giả thiết 
0.5
0.5
0.5
0.5
b
2đ
x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 4 = 0
 (x2 – xy + ) + (z2 – 2z + 1) + (y2 – 3y + 3) = 0
 (x - )2 + (z – 1)2 + (y – 2)2 = 0
Cú cỏc giỏ trị x,y,z là: (1;2;1)
1
0,5
0.5
Cõu 3
(4 điểm)
a
2đ
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn x, y thỡ 
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chớnh phương.
Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thỡ
 A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 
V ỡ x, y, z Z nờn x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z 
 x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A là số chớnh phương.
0.5
0.5
0.5
0.5
b
2đ
 Dễ thấy là tớch của ba số tự nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 3
Xột hiệu 
 chia hết cho 3
Mà là cỏc số tự nhiờn cú tổng chia hết cho 3. 
Do vậy A chia hết cho 3.
0.5
0.5
0.5
0.5
Cõu 4
(6 điểm )
0,5
a
2đ
∆AME = ∆CMB (c-g-c) ị éEAM = éBCM
Mà éBCM + éMBC = 900 ị éEAM + éMBC = 900
ị éAHB = 900
Vậy AE ^ BC
1
0,5
0,5
b
2đ
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
∆AHC vuụng tại H cú HO là đường trung tuyến 
ị ∆DHM vuụng tại H
ị éDHM = 900
Chứng minh tương tự ta cú: éMHF = 900
Suy ra: éDHM + éMHF = 1800
Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.
0,5
0,5
0,5
0,5
c
1,5đ
Gọi I là giao điểm của AC và DF.
Ta cú: éDMF = 900 ị MF ^ DM mà IO ^ DM ị IO // MF
Vỡ O là trung điểm của DM nờn I là trung điểm của DF 
Kẻ IK ^ AB (KẻAB) 
ị IK là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABFD 
 (khụng đổi)
Do A, B cố định nờn K cố định, mà IK khụng đổi nờn I cố định.
Vậy đường thẳng DF luụn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trờn đoạn thẳng AB
0,5
0,5
0,5
Cõu 5
( 2 điểm )
(a+b+c)2=
Tương tự: 
0,5
0,5
0,5
0,5
Lưu ý : Học sinh cú cỏch giải khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa.