Đề 1 thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2015 - 2016 môn: Toán - Lớp 9

PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO 
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 NĂM HỌC 2015-2016
Môn: TOÁN-LỚP 9
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
· Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
· Thí sinh làm bài theo cách khác với Đáp án mà đúng thì Tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của Đáp án.
· Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Đáp án-thang điểm
Câu 1 (3,0 điểm)
Nội dung
Điểm
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 - 2x -11= y2
x2 - 2x -11= y2 ó (x – 1)2 – y2 = 12 ó (x – y – 1).(x + y – 1) = 12
0,5
x – y – 1
2
-2
6
-6
x + y – 1
6
-6
2
-2
2x – 2
8
-8
8
-8
- 2y
-4
4
4
-4
x
5
-3
5
-3
y
2
-2
-2
2
1,0
Vậy (x; y) = (5; 2); (5; -2); (-3; -2); (-3; 2)
0,5
b) Tìm tất cả các số tự nhiên để là một số chính phương.
Với thì , không là số chính phương (chú ý hằng đẳng thức ).
Với . Giả sử . Vì là số lẻ, mà là số chẵn nên phải là số lẻ. Do đó lẻ và . Từ đó 
0,5
Mặt khác, một số chính phương chỉ có một trong các dạng . Do đó không là số chính phương.
Kết luận: Không có số tự nhiên nào để là một số chính phương.
0,5
Câu 2 (4,0 điểm) 
Nội dung
Điểm
Cho là hai số thực thoả mãn . Tìm giá trị của biểu thức
.
2,0
Rõ ràng không thoả mãn giả thiết. Ta có . 
Đặt , thì . Khi đó .
2,0
b) Chứng minh đồng nhất thức sau
.
2,0
Nhận xét: 
Chứng minh: Các số hạng vế trái có dạng . Các số hạng vế phải có dạng . Với tất cả các giá trị của , ta có
Vì vậy, đồng nhất thức trở thành
1,0
Ta lại có 
Như vậy nhận xét được chứng minh.
0,5
 Cho , ta có bài toán đã cho.
0,5
Câu 3 (4,0 điểm)
Nội dung
Điểm
b) Giải phương trình .
2,0
Điều kiện: 
Phương trình đã cho tương đương với
1,0
Đặt , ta được phương trình 
+) Với 
0,5
+) Với . Kết luận: .
0,5
Nội dung
Điểm
2,0
a) (x2 + 4x – 5)(x2 + 2x -8) = 72
ó (x - 1)(x + 5)(x - 2)(x + 4) = 72
0,5
ó (x2 + 3x – 4)(x2 + 3x – 10) = 72
0,5
Đặt x2 + 3x – 7 = y
Ta có: (y – 3)(y + 3) = 72 ó y2 = 81 ó y = 9 hoặc y = -9
+) Nếu y = 9: x2 + 3x – 7 = 9 ó x2 + 3x – 16 = 0 ó x = ; 
x = 
+) Nếu y = -9: x2 + 3x – 7 = -9 ó x2 + 3x + 2 = 0 ó x = -1; x = -2 = 9 = 9 = -9 4); -2); (-3; -2); (-3; 2)
0,5
Vậy 
0,5
Câu 4 (7,0 điểm)
Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng 
3,0
Ta có (góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung ) (1). 
Lại có (góc có cạnh tương ứng vuông góc) (2). 
1,0
Từ (1) và (2) suy ra (3). 
Dễ thấy tứ giác nội tiếp, suy ra (4).
1,0
Kết hợp (3) và (4), ta được . Do đó .
1,0
Chứng minh tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn
2,0
Do là đường kính nên là tứ giác nội tiếp. Chú ý tứ giác nội tiếp, 
1,0
do đó . Từ đó tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn.
1,0
.
2,0
Chú ý tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn
0,5
Kết hợp với tứ giác nội tiếp suy ra 
1,0
Từ đó .
0,5
Câu 5 (2,0 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau 
.
Đặt 
0,5
Khi đó
0,5
0,5
.
0,5
 HẾT