Chuyên đề về ôn thi đại học môn toán bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC NINH 
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 
CHUYÊN ðỀ ƠN THI ðẠI HỌC MƠN TỐN 
 NGUYỄN VĂN XÁ 
TỔ TỐN 
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 
CHUYÊN ðỀ ƠN THI ðẠI HỌC MƠN TỐN 
BẤT ĐẲNG THỨC 
 LỜI NĨI ðẦU 
 ðược sự tạo điều kiện của lãnh đạo Nhà trường và sự cổ vũ của đơng 
đảo đồng nghiệp, tổ Tốn đã tổ chức biên soạn tài liệu ơn thi ðại học, gồm 
nhiều chuyên đề bám sát cấu trúc đề thi do Bộ Giáo dục và ðào tạo qui định. 
Tài liệu này ra đời đĩng gĩp vào những nỗ lực chung của tồn trường trong 
việc từng bước nâng cao chất lượng dạy và học. Trong quá trình biên soạn, 
chúng tơi vừa trao đổi với các đồng nghiệp trong và ngồi tổ, vừa tham khảo 
các tài liệu luyện thi hiện cĩ, vừa căn cứ vào tình hình thực tế học sinh trong 
trường. Vì vậy, mặc dù hiện nay những tài liệu luyện thi ðại học cĩ rất nhiều, 
chúng tơi vẫn hi vọng tài liệu này mang tiếng nĩi của riêng mình. 
 Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC này là một phần trong bộ tài liệu nĩi 
trên. Ban đầu chúng tơi cĩ ý định biên soạn chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC VÀ 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT, nhưng do thời gian khơng cho phép nên 
chúng tơi mới chỉ đề cập đến một số vấn đề về bất đẳng thức, vận dụng bất 
đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, cịn các vấn đề chung về giá trị 
lớn nhất, nhỏ nhất, cũng như ứng dụng của nĩ chúng tơi chưa cĩ điều kiện trình 
bày. Tới đây, chúng tơi sẽ cố gắng biên soạn bổ sung các nội dung đĩ thành 
một chuyên đề khác hoặc cũng cĩ thể tiếp nối vào chuyên đề này. 
 Vì nhiều lí do mà chất lượng của tài liệu này cịn nhiều điều đáng bàn. 
Chúng tơi rất mong các đồng nghiệp, các bạn học sinh chỉ giúp những chỗ sai 
sĩt hoặc chưa hợp lí để chúng tơi kịp thời khắc phục. Các ý kiến xin vui lịng 
gửi về email: toan.thptyenphong2@gmail.com. 
 Chúng tơi bày tỏ sự kính trọng và biết ơn tới đồng chí Hiệu trưởng và 
đồng chí Tổ trưởng vì những giúp đỡ của các đồng chí để tài liệu này được 
hồn thành. Chúng tơi cũng chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, các học sinh 
đã quan tâm tới tài liệu này. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[01] Bộ Giáo dục và ðào tạo – Bộ sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên THPT mơn Tốn 
(cơ bản và nâng cao) – NXB GDVN, 2010. 
[02] Bộ Giáo dục và ðào tạo – Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng mơn Tốn 10, 11, 
12 –NXB GDVN, 2010. 
[03] Nguyễn An Ninh (cb) – Cấu trúc đề thi mơn Tốn, Vật Lí, Hố Học, Sinh Học năm 2010 – 
NXB GDVN, 2010. 
[04] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải tốn ðại số và Lượng giác 11 – NXB 
GDVN, 2009. 
[05] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải tốn Giải tích 11 – NXB GDVN, 2009. 
[06] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải tốn Hình học 11 – NXB GDVN, 2009. 
[07] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải tốn Hình học 10 – NXB GDVN, 2009. 
[08] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải tốn ðại số 10 – NXB GDVN, 2009. 
[09] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải tốn Lượng giác 10 – NXB GDVN, 2009. 
[10] Trần Phước Chương, ðỗ Thanh Sơn, Nguyễn Vũ Thanh – Rèn luyện kĩ năng giải các dạng 
bài tập ðại số 10 nâng cao – NXB GDVN, 2007. 
[11] Nguyễn Văn Quí, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà – Các dạng tốn về Bất đẳng thức, 
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất – NXB ðà Nẵng, 1998. 
[12] Trần Tuấn ðiệp, Nguyễn Phú Trường, Ngơ Long Hậu – Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào 
ðại học, Cao đẳng trong tồn quốc mơn Tốn – NXB Hà Nội, 2010. 
[13] Trần Văn Hạo (cb) – Chuyên đề luyện thi vào ðại học: Bất đẳng thức, Giá trị lớn nhất, nhỏ 
nhất – NXB GD, 2001. 
 MỤC LỤC 
 Trang 
LỜI NĨI ðẦU 1 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 
MỤC LỤC 3 
1. KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC 4 
1.1. ðịnh nghĩa ........ 4 
1.2. Một số tính chất ........ 4 
1.3. Bất đẳng thức cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối .. 4 
1.4. Bất đẳng thức Cơsi  5 
1.5. Bất đẳng thức lượng giác . 5 
1.6. Bất đẳng thức hình học . 6 
2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC 7 
2.1. Phương pháp biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả; phương pháp làm trội .. 7 
2.2. Phương pháp phản chứng . 11 
2.3. Phương pháp qui nạp tốn học . 11 
2.4. Phương pháp vận dụng các bất đẳng thức đã biết  14 
2.5. Phương pháp vận dụng kiến thức lượng giác  17 
 2.6. Phương pháp vận dụng kiến thức hình học 19 
 2.7. Phương pháp vận dụng kiến thức hàm số.. 20 
3. VẬN DỤNG BẤT ðẲNG THỨC ðỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 31 
3.1. Nhắc lại định nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 31 
3.2. Một số ví dụ vận dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 31 
4. BÀI TẬP THAM KHẢO 34 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
4 
1. KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC 
1.1 ðịnh nghĩa 
 Cho hai số thực a và b. Ta nĩi “a lớn hơn b” và viết “a > b” (hoặc viết “b < a”) 
nếu a – b là số dương (hay b – a là số âm), lúc đĩ ta cũng nĩi “b nhỏ hơn a”. Ta nĩi “a 
lớn hơn hoặc bằng b” và viết “a ≥ b” (hoặc viết “b ≤ a”) nếu a – b là số khơng âm (hay 
b – a là số khơng dương), lúc đĩ ta cũng nĩi “b nhỏ hơn hoặc bằng a”. Như vậy: 
a b a b 0; a b a b 0;
a b a b 0; a b a b 0.
> ⇔ − > < ⇔ − <
≥ ⇔ − ≥ ≤ ⇔ − ≤
 Các mệnh đề cĩ dạng “a > b” hoặc “a < b” hoặc “a ≥ b” hoặc “a ≤ b” được gọi 
là bất đẳng thức. Trong đĩ, khi cần thiết, hai bất đẳng thức đầu tiên được gọi là bất 
đẳng thức nghiêm ngặt, và hai bất đẳng thức sau gọi là bất đẳng thức khơng ngặt. Nếu 
khơng nĩi gì thêm, khi đề cập đến bất đẳng thức thì ta hiểu đĩ là các mệnh đề đúng. 
Bài tốn chứng minh bất đẳng thức là bài tốn chứng minh bất đẳng thức đã cho là 
mệnh đề đúng. 
1.2. Một số tính chất 
 Chúng ta đề cập tới ở đây một số tính chất thường gặp của bất đẳng thức. 
 1) a b a c
b c
>
⇒ >
>
 (tính chất bắc cầu). 
 2) a b a c b c (a b c a c b)< ⇔ + < + < + ⇔ − < (cộng hai vế bất đẳng thức với cùng 
một số). 
 3) a b a c b d
c d
<
⇒ + < +
<
 (cộng vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều). 
 4) a b a ba.c b.c; a.c b.c
c 0 c 0
< < 
⇒  
> < 
 (nhân hai vế của bất đẳng thức với một số 
khác 0). 
 5) 0 a b ac bd
0 c d
≤ <
⇒ < ≤ <
 (nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều cĩ các vế khơng 
âm). 
 6) 0 a b 1 1
a b 0 a b
< <
⇒ > < <
 (nghịch đảo hai vế (cùng dấu) bất đẳng thức). 
 7) Nếu n ∈ℕ thì 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1a b a b a b.+ + + +< ⇔ < ⇔ < 
 Nếu n *∈ℕ và 0 a b≤ < thì n na b< và n na b.< 
 8) Nếu a > 1 thì u va a u v. 
 9) Nếu 0, a 0, b 0α > > > thì a b a b.α α> ⇔ > 
 Nếu 0, a 0, b 0α > thì a b a b.α α> ⇔ < 
 10) a b a b, a,b 0.+ ≥ + ∀ ≥ Dấu “=” xảy ra khi a.b = 0. 
.
Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
5
5 
11) 2nx 0, x , n *.≥ ∀ ∈ ∀ ∈ℝ ℕ Ta hay sử dụng bất đẳng thức ở dạng 2x 0, x .≥ ∀ ∈ℝ 
12) Nhờ cơng thức khai triển nhị thức Niu−tơn, với x 0, n *,≥ ∈ℕ ta cĩ 
n n(1 x) 1 nx ... x 1 nx,+ = + + + ≥ + bất đẳng thức n(1 x) 1 nx+ ≥ + được gọi là bất đẳng thức 
Béc−nu−li. Từ bất đẳng thức Béc−nu−li hoặc nhờ bất đẳng thức Cơsi ta cĩ 
n 1 na 1 a, n ,n 1, a 0.+ ∀ >ℕ 
13) Nếu a, b là các số nguyên và a < b thì a 1 b.+ ≤ 
1.3. Bất đẳng thức cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 1) |a| ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi a = 0. 
 2) |a| + a ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi a ≤ 0. 
 2) | a | | b | | a b | || a | | b || .+ ≥ + ≥ − 
 | a | | b | | a b | a.b 0; || a | | b || | a b | a.b 0.+ = + ⇔ ≥ − = + ⇔ ≤ 
 3) Nếu b ≥ 0 thì a b| a | b b a b; | a | b .
a b
≥
≤ ⇔ − ≤ ≤ ≥ ⇔  ≤ −
1.4. Bất đẳng thức Cơsi 
1) Bất đẳng thức Cơsi cho hai số khơng âm a, b: a b ab.
2
+ ≥ Dấu “=” xảy ra khi a = b. 
2) Bất đẳng thức Cơsi cho ba số khơng âm a, b, c: 3a b c abc.
3
+ + ≥ 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. 
3) Bất đẳng thức Cơsi cho n số khơng âm a1, a2, , an: 1 2 n n 1 2 n
a a ... a
a a ...a .
n
+ + + ≥ 
Dấu “=” xảy ra khi a1= a2 = = an. 
4) Hệ quả: Với n số dương a1, a2, , an ta cĩ 21 2 n
1 2 n
1 1 1(a a ... a )( ... ) n .
a a a
+ + + + + + ≥ 
Dấu “=” xảy ra khi a1= a2 = = an. 
5) Với n số khơng âm a1, a2, , an, kí hiệu 1 2 n1 1
n
a a ... aS ;
C
+ + +
=
i j
1 i j n
2 2
n
a a
S ;
C
≤ < ≤
=
∑
i j k
1 i j k n
3 3
n
a a a
S ;
C
≤ < < ≤
=
∑
 ; 1 2 nn n
n
a a ...aS ;
C
= (ở đĩ kn
n!C , n,k ,n k).
k!.(n k)!= ∀ ∈ ≥− ℕ Ta 
cĩ dãy bất đẳng thức 3 n1 2 3 nS S S ... S ,≥ ≥ ≥ ≥ dấu “=” xảy ra khi a1= a2 = = an. 
Một số tác giả gọi đây là dãy bất đẳng thức xen kẽ Cơsi. 
1.5. Bất đẳng thức lượng giác 
2 21) a.sin x b.cos x a b , x .+ ≤ + ∀ ∈ℝ Dấu “=” xảy ra khi a.cosx = b.sinx. 
Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học 6
Hệ quả: 1 sin x 1; 1 cos x 1.− ≤ ≤ − ≤ ≤ 
2) tan x cot x 2, x k ,k .
2
pi
+ ≥ ∀ ≠ ∈ℤ Dấu “=” xảy ra khi x k ,k .
4
pi
= ± + pi ∈ℤ 
1.6. Bất đẳng thức hình học 
 1) Với ba điểm bất kì A, B, C thì AB AC BC,+ ≥ dấu “=” xảy ra khi A thuộc đoạn BC. 
 2) Với mọi u, v  ta cĩ u v u v ,+ ≥ +    dấu “=” xảy ra khi u, v  cùng hướng. 
 3) Với mọi u, v  ta cĩ u . v u.v ,≥    dấu “=” xảy ra khi u, v  cùng phương. 
 4) Ba số dương a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác khi và chỉ khi tổng của hai số bất 
kì trong ba số đĩ lớn hơn số cịn lại. 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
7 
2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ðẲNG 
THỨC 
2.1. Phương pháp biến đổi tương đương, biến đổi hệ quả; phương 
pháp làm trội 
 ðể chứng minh bất đẳng thức A > B ta cĩ thể chứng minh A – B > 0. Ta thường 
vận dụng các phép biến đổi tương đương để chuyển bất đẳng thức A – B > 0 thành bất 
đẳng thức luơn đúng hoặc giả thiết. Ta cũng cĩ thể xuất phát từ giả thiết hoặc một 
mệnh đề đúng nào đĩ, qua các phép biến đổi hệ quả dẫn đến bất đẳng thức A – B > 0. 
 Lưu ý một số sự kiện: 
i) 2A 0, A .≥ ∀ ∈ℝ Dấu”=” xảy ra khi A = 0. 
ii) a 0, a ,≥ ∀ ∈ℝ dấu “=” xảy ra khi a = 0. 
iii) a a 0, a ,+ ≥ ∀ ∈ℝ dấu “=” xảy ra khi a 0.≤ 
iv) 
n n
2 2
k k i j
k 1 k 1 1 i j n
( a ) a 2. a a .
= = ≤ < ≤
= +∑ ∑ ∑ 
v) 
n
n k n k k
n
k 0
(a b) C a b .−
=
+ = ∑ 
vi) n n n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1a b (a b)(a a b a b ... ab b ).− − − − −− = − + + + + + 
vii) 3 3 3 2 2 2a b c 3abc (a b c)(a b c ab bc ca).+ + − = + + + + − − − 
 ðể chứng minh bất đẳng thức cĩ dạng 1 nu ... u+ + ≤ α ta cĩ thể chứng minh 
k k k 1u v v , k 1,2,...,n,+≤ − ∀ = và chứng minh 1 k 1v v .+− ≤ α 
 ðể chứng minh bất đẳng thức cĩ dạng 1 2 nu .u ...u ≤ α ta cĩ thể chứng minh 
k
k
k 1
v
u , k 1,2,...,n,
v +
≤ ∀ = và chứng minh 1
k 1
v
.
v +
≤ α 
 ðể chứng minh bất đẳng thức cĩ dạng a + b + c ≤ x + y + z ta cĩ thể chứng 
minh 
a b 2z
b c 2x
c a 2y
+ ≤

+ ≤
 + ≤
 hoặc 
2a y z
2b z x.
2c x y
≤ +
 ≤ +
 ≤ +
 ðể chứng minh bất đẳng thức cĩ dạng abc xyz≤ (với a, b, c, x, y, z 0)≥ ta cĩ 
thể chứng minh 
2
2
2
ab z
bc x
ca y
 ≤
 ≤
 ≤
 hoặc 
2
2
2
a yz
b zx.
c xy
 ≤
 ≤
 ≤

 VÍ DỤ 1. 
1) Chứng minh rằng 8 5 2 1a a a a 0 (1), a .
3
− + − + > ∀ ∈ℝ 
Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
8
8 
2) Chứng minh rằng 2 2 2 2 2(ax by) (a b )(x y ) (2), a,b,x, y+ ≤ + + ∀ ∈ℝ (bất đẳng thức 
Bunhiacơpxki). 
☺ HƯỚNG DẪN. 
1) Ta thấy 4 2 2a a 3 1(1) (a ) ( ) 0 (1').
2 2 3
⇔ − + − > Do hai bất đẳng thức 4 2a(a ) 0
2
− ≥ 
và 2a 3 1( ) 0
2 3
− ≥ đúng với mọi a, dấu “=” lại khơng đồng thời xảy ra, nên (1’) đúng 
với mọi a. Vậy (1) đúng với mọi a. 
2) Bất đẳng thức 2(2) (ay bx) 0⇔ − ≥ đúng với mọi a, b, x, y; dấu “=” xảy ra khi và 
chỉ khi ay = bx. 

 VÍ DỤ 2. 
1) Chứng minh rằng n n na b a b, n ,n 2, a,b 0.+ ≥ + ∀ ∈ ≥ ∀ ≥ℕ 
2) Chứng minh rằng n m n m n m m nx y x y x y , x, y , n,m *,+ ++ ≥ + ∀ ∈ ∀ ∈ℝ ℕ và m, n cùng 
tính chẵn lẻ. 
☺ HƯỚNG DẪN. 
1) Ta thấy 
n nn 1 n 1 n 1 n 1n n n n
n n( a b) a C a . b ... C a. b b a b 0, n ,n 2, a,b 0− − −+ = + + + + ≥ + ≥ ∀ ∈ ≥ ∀ ≥ℕ 
nên n n na b a b, n ,n 2, a,b 0.+ ≥ + ∀ ∈ ≥ ∀ ≥ℕ 
2) Bất đẳng thức đã cho tương đương với m m n n(x y )(x y ) 0 (*).− − ≥ 
– Nếu n, m cùng lẻ thì m m m m n n n nx y 0 x y x y x y x y 0− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ và 
m m n nx y 0 x y 0,− ≤ ⇔ − ≤ nên (*) đúng, dấu “=” xảy ra khi x = y. 
– Nếu n, m cùng chẵn thì m m m m n n n nx y 0 x y | x | | y | x y x y 0− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ 
và m m n nx y 0 x y 0,− ≤ ⇔ − ≤ nên (*) đúng, dấu “=” xảy ra khi x = ± y. 
Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. 

 VÍ DỤ 3. 
Cho tam giác ABC. Chứng minh với mọi x, y, z ta cĩ 
2 2 2
x y z
xy.cosC yz.cos A zx.cos B .
2
+ +
+ + ≤ 
☺ HƯỚNG DẪN. 
ðặt 
BC CA AB
a , b , c
BC CA AB
= = =
  
  
 thì a b c 1= = =
  
 và   (a,b) C, (b,c) A, (c,a) A.= pi− = pi− = pi−
     
Ta xuất phát từ bất đẳng thức luơn đúng 2(x.a y.b z.c) 0+ + ≥
  
2 2 2
2 2 2
x y z 2xy.cos(a,b) 2yz.cos(b,c) 2zx.cos(c,a) 0
x y z 2xy.cosC 2yz.cos A 2zx.cos B 0
⇔ + + + + + ≥
⇔ + + − − − ≥
     
Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
9
9 
2 2 2
x y z
xy.cosC yz.cosA zx.cos B (đpcm).
2
+ +
⇔ + + ≤ 
 Nhận xét. Cho x = y = z = 1 ta được bất đẳng thức quen thuộc 3cosA cosB cosC .
2
+ + ≤ 

 VÍ DỤ 4. 
 Cho a, b, c dương và thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng 
3 3 3 3 3 3
5 5 5 5 5 5
1 1 11) 1.
a b 1 b c 1 c a 1
ab bc ca2) 1.
a b ab b c bc c a ca
+ + ≤
+ + + + + +
+ + ≤
+ + + + + +
☺ HƯỚNG DẪN. 
1) Với mọi a, b ta cĩ (a – b)2 0≥ nên 2 2a ab b ab.− + ≥ Từ đây và do 
a 0, b 0, abc 1> > = suy ra 3 3 2 2a b 1 (a b)(a ab b ) 1 ab(a b) abc ab(a b c)+ + = + − + + ≥ + + = + + 
3 3 3 3
ab 1 1 c
 (1).
a b c a b ca b 1 a b 1
⇒ ≤ ⇒ ≤
+ + + ++ + + +
 Tương tự ta cĩ các bất đẳng 
thức 3 3 3 3
1 a 1 b
 (2), (3).
a b c a b cb c 1 c a 1
≤ ≤
+ + + ++ + + +
 Cộng (1), (2), (3) theo từng 
vế ta được 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1.
a b 1 b c 1 c a 1
+ + ≤
+ + + + + +
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. 
5 5 4 3 2 2 3 4
2 2 2 2 2 2 2
5 5 2 2
2) Do a, b 0 nên a b (a b)(a a b a b ab b )
 (a b)((a b) .(a ab b ) a b ) (a b)a b .
ab ab 1 1 1 c
ab(a b) 1 ab(a b) abc ab(a b c) aa b ab (a b)a b ab
> + = + − + − +
= + − + + + ≥ +
⇒ ≤ = = = =
+ + + + + + ++ + + +
.
b c+
Tương tự ta cĩ 5 5 5 5
bc a ca b
, .
a b c a b cb c bc c a ca
≤ ≤
+ + + ++ + + +
Vậy 5 5 5 5 5 5
ab bc ca 1
a b ab b c bc c a ca
+ + ≤
+ + + + + +
, dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. 

 VÍ DỤ 5. 
Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng a b c dM
a b c b c d c d a d a b
= + + +
+ + + + + + + +
khơng phải là số nguyên. 
☺ HƯỚNG DẪN. 
a a aTa cĩ 
a b c d a b c a c
b b b
a b c d b c d b d
c c c
a b c d c d a a c
< <
+ + + + + +
< <
+ + + + + +
< <
+ + + + + +
Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
10
10 
 và d d d .
a b c d d a b b d
< <
+ + + + + +
 Suy ra 1 < M < 2. Vậy M khơng phải là số nguyên. 

 VÍ DỤ 6. 
Chứng minh 
n
k 1
1 2, n ,n 2, 2.
kα
=
< ∀ ∈ ≥ ∀α ≥∑ ℕ 
☺ HƯỚNG DẪN. 
2
2
2
1 1 1 1 1Ta cĩ 
1.2 1 22 2
1 1 1 1 1
2.3 2 33 3
............................ 
1 1 1 1 1
.(n 1).n n 1 nn n
α
α
α
≤ < = −
≤ < = −
≤ < = −
− −
Suy ra 
n
k 2
1 1 1 1 1 1 11 ... 1 1.
2 2 3 n 1 n nkα=
< − + − + + − = − <
−
∑ Vậy 
n
k 1
1 2, n ,n 2, 2.
kα
=
< ∀ ∈ ≥ ∀α ≥∑ ℕ 

 VÍ DỤ 7. 
Chứng minh với mọi ∆ ABC ta cĩ 1 1 1 1 1 1
.A B Csin A sin B sin C cos cos cos
2 2 2
+ + ≥ + + 
☺ HƯỚNG DẪN. 
* Với mọi x, y [0; ]∈ pi thì x y x y[0; ], [ ; ]
2 2 2 2
+ − pi pi
∈ pi ∈ − nên x ysin 0
2
+ ≥ và 
x y0 cos 1.
2
−≤ ≤ Do đĩ x y x y x ysin x sin y 2sin cos 2sin (1), x,y [0; ].
2 2 2
+ − +
+ = ≤ ∀ ∈ pi 
Dấu “=” xảy ra khi x = y [0; ]∈ pi . 
* Với mọi a, b > 0 áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta cĩ 1 1 2 4 (2).
a b a bab
+ ≥ ≥
+
 Dấu “=” 
xảy ra khi a = b > 0. 
* Với mọi ∆ ABC luơn cĩ sinA, sinB, sinC, A B Ccos , cos , cos 0.
2 2 2
> 
* Áp dụng (1) và (2) thu được 1 1 4 4 2
 (3).A B Csin A sin B sin A sin B 2sin cos
2 2
+ ≥ ≥ =
++
Tương tự 1 1 2 1 1 2(4), (5).A Bsin B sin C sin C sin Acos cos
2 2
+ ≥ + ≥ Cộng (3), (4), (5) theo từng 
vế ta được 1 1 1 1 1 1
A B Csin A sin B sin C cos cos cos
2 2 2
+ + ≥ + + (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi 
ABC là tam giác đều. 
Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
11
11 
2.2. Phương pháp phản chứng 
 Giả sử ta phải chứng minh bất đẳng thức nào đĩ đúng, ta hãy giả sử bất đẳng 
thức đĩ sai và kết hợp với giả thiết và các tính chất đúng đã biết để suy ra điều vơ lí. 
ðiều vơ lí đĩ cĩ thể là điều trái với giả thiết hoặc trái với một mệnh đề đúng nào đ y, 
cũng cĩ thể là hai điều mâu thuẫn với nhau. Từ đĩ suy ra bất đẳng thức cần chứng 
minh là đúng. 

 VÍ DỤ 8. 
Cho a,b,c (0;1).∈ Chứng minh trong ba bất đẳng thức sau cĩ ít nhất một bất đẳng thức 
sai: 1 1 1a(1 b) , b(1 c) , c(1 a) .
4 4 4
− > − > − > 
☺ HƯỚNG DẪN. 
Giả sử cả ba bất đẳng thức đĩ đều đúng. Lúc này ta cĩ a(1–a)b(1–b)c(1–c)> 1
64
 (1). 
Ta lại cĩ 2 21 1 1 1 10 a(1 a) a a (a ) , 0 b(1 b) , 0 c(1 c) .
4 2 4 4 4
< − = − = − − ≤ < − ≤ ≤ − ≤ Suy 
ra a(1–a)b(1–b)c(1–c) ≤ 1
64
 (2). Mâu thuẫn giữa (1) và (2) chứng tỏ điều ta giả sử là 
sai. Vậy trong ba bất đẳng thức đã cho cĩ ít nhất một bất đẳng thức sai. 

 VÍ DỤ 9. 
Cho f(x) = x2 +ax + b. Chứng minh rằng trong ba số |f(–1)|, |f(0)|, |f(1)| cĩ ít nhất một 
số khơng bé hơn 1 .
2
☺ HƯỚNG DẪN. 
Giả sử cả ba số |f(–1)|, |f(0)|, |f(1)| đều bé hơn 1 .
2
 Tức là 
1 1 1| f ( 1) | |1 a b | (1), | f (0) | | b | (2), | f (1) | |1 a b | (3).
2 2 2
− = − + < = < = + + < 
Từ (1) và (3) suy ra 
1 11 a b 3 12 2 1 2 2b 1 b (4).
1 1 2 21 a b
2 2

− < − + <
⇒ − < + < ⇒ − < < −

− < − + <

Từ (2) suy ra 1 1b (5).
2 2
− < < Mâu thuẫn giữa (4) và (5) chứng tỏ điều ta giả sử là sai. 
Vậy trong ba số |f(–1)|, |f(0)|, |f(1)| cĩ ít nhất một số khơng bé hơn 1 .
2
2.3. Phương pháp qui nạp tốn học 
 ðể chứng minh bất đẳng thức là mệnh đề cĩ dạng 0" n ,n n : P(n)"∀ ∈ ≥ℤ (n0 là 
ấ
Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
12
12 
một số nguyên cho trước) ta cĩ thể làm theo 2 bước: 
 + Bước 1 (bước cơ sở): Chứng tỏ P(n) đúng với n = n0 (tức là chứng minh P(n0) 
đúng). 
 + Bước 2 (bước di truyền): Giả sử P(k) đúng, 0k ,k n∈ ≥ℤ (đây gọi là giả thiết 
qui nạp), ta đi chứng minh P(k+1) cũng đúng. (Trong nhiều trường hợp bước 2 cịn 
được thực hiện như sau: Giả sử P(n) đúng với mọi 0n ,n n k (k )∈ ≤ ≤ ∈ℤ ℤ , ta đi 
chứng minh P(n) đúng với n = k + 1). Sau khi hồn thành 2 bước trên, theo nguyên lí 
qui nạp tốn học, suy ra P(n) đúng với mọi số nguyên 0n n .≥ 
 Cĩ những bài tốn ta phải vận dụng phương pháp qui nạp nhiều lần (ví dụ 12). 

 VÍ DỤ 10. 
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 6 ta cĩ nn! 3 (*).> 
☺ HƯỚNG DẪN. 
Với n = 7 ta cĩ 7! = 5040 > 2187 = 37, tức là (*) đúng với n = 7. 
 Giả sử (*) đúng với n = k (k ,k 7),∈ ≥ℤ tức là kk! 3 (1).> Ta cần chứng minh (*) 
đúng với n = k + 1, tức là phải chứng minh k 1(k 1)! 3 (2).++ > 
 Thật vậy, từ (1) suy ra k(k 1).k! 3 .(k+1).+ > Mà k 7≥ nên k + 1 > 3. Dẫn đến 
k k k 1(k 1)! (k 1).k! 3 .(k+1)>3 .3 3 .++ = + > = Vậy (2) đúng. Theo nguyên lí qui nạp tốn 
học, bất đẳng thức (*) đúng với mọi số nguyên n > 6. 

 VÍ DỤ 11. 
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 11 đều tồn tại các số tự nhiên x, y sao cho 
n 4x 5y.= + 
☺ HƯỚNG DẪN. 
Với n = 12 thì 12 = 4.3 + 5.0 (x = 3, y = 0), tức là khẳng định cho ở đề bài đúng với 
n = 12. Bằng kiểm tra trực tiếp ta cũng thấy khẳng định đã cho cũng đúng với n = 13 và 
n = 14. Tiếp theo ta sẽ chứng minh khẳng định đĩ đúng với mọi số nguyên n > 14. 
 Giả sử khẳng định cho ở đề bài đúng với mọi n ,12 n k (k ,k 15),∈ ≤ ≤ ∈ ≥ℕ ℤ ta phải 
chứng minh khẳng định đĩ cũng đúng với n = k + 1. Do 12 k 3 k≤ − ≤ nên theo giả 
thiết qui nạp khẳng định đã cho đúng với n = k –3. Tức là tồn tại hai số tự nhiên x, y 
sao cho k – 3 = 4x + 5y. Ta cĩ k + 1 = 4(x+1) + 5y, chứng tỏ khẳng định đã cho đúng 
với n = k + 1. Vậy điều phải chứng minh là đúng. 

 VÍ DỤ 12. 
Chứng minh rằng 
mm m m
1 2 n 1 2 n
1 n
a a ... a a a ... a
, m,n *, a ,...,a 0.
n n
+ + + + + + ≥ ∀ ∈ ∀ ≥ 
 
ℕ 
☺ HƯỚNG DẪN. 
 Với n = 1 thì bất đẳng thức đã cho đúng, và xảy ra dấu “=” (Coi n = 1 là trường hợp 
riêng của a1 = a2 = = an). 
Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
13
13 
 Với n = 2 thì bất đẳng thức đã cho trở thành 
mm m
1 2 1 2a a a a
 (1).
2 2
+ + ≥  
 
 Ta sẽ 
chứng minh (1) bằng phương pháp qui nạp theo m. 
– Với m = 1 thì (1) đúng và xảy ra dấu “=”. Ta cũng kiểm tra được (1) đúng khi m = 2, 
dấu “=” xảy ra khi a1 = a2. 
– Giả sử (1) đúng với m = k (k *),∈ℕ tức là 
kk k
1 2 1 2a a a a
 (2).
2 2
+ + ≥  
 
 Ta phải chứng 
minh (1) đúng với m = k + 1, tức là phải chứng minh 
k 1k 1 k 1
1 2 1 2a a a a
 (3).
2 2
++ ++ + ≥  
 
Ta thấy 
k 1 k k k
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2a a a a a a a a a a
. .
2 2 2 2 2
+
+ + + + +     
= ≤     
     
 (do (2) và 1 2a ,a 0).≥ 
Bây giờ để chứng minh (3) ta đi chứng minh
k k k 1 k 1
1 2 1 2 1 2a a a a a a
. (4).
2 2 2
+ ++ + +≤ Thật 
vậy, k 1 k k k 1 k 1 k 1 k 1 k k k 11 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2(4) a a .a a .a a 2a 2a a a .a a .a a 0+ + + + + +⇔ + + + ≤ + ⇔ − − + ≥ 
k k k k
1 1 2 2 2 1 1 2 1 2a (a a ) .a (a a ) 0 (a a )(a a ) 0⇔ − + − ≥ ⇔ − − ≥ (luơn đúng do 1 2k *,a ,a 0).∈ ≥ℕ 
Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2. Tĩm lại (1) đúng với mọi số nguyên dương m. Nghĩa là bất 
đẳng thức đã cho đúng với n = 2, và dấu “=” xảy ra khi a1 = a2
 Giả sử bất đẳng thức đã cho đúng với n = p (p *).∈ℕ Tức là 
mm m m
1 2 p 1 2 pa a ... a a a ... a (5),
p p
+ + + + + + 
≥  
 
 dấu “=” xảy ra khi a1 = = ap. Ta đi 
chứng minh bất đẳng thức đã cho đúng với n = p + 1, tức là đi chứng minh bất đẳng 
thức 
mm m m m
1 2 p p 1 1 2 p p 1a a ... a a a a ... a a (6).
p 1 p 1
+ ++ + + + + + + + ≥  
+ + 
– Áp dụng (5) ta được 
m
1 2 pm m m
1 2 p
a a ... a
a a ... a p
p
+ + + 
+ + + ≥  
 
m
1 p 1
p 1
1 p 1m m
p 1
a ... a
a (p 1)
a ... a p 1
a (p 1)( ) p .
p 1 p
+
+
+
+
+ + 
+ − + + + + − ≥
+  
 
 
Suy ra 
m
1 p 1
m p 1
1 p 1 1 pm m m
1 p 1
a ... a
a (p 1)
a ... a a ... a p 1
a ... a (p 1)( ) p p .
p 1 p p
+
+
+
+
+ + 
+ − + + + +  + + + + − ≥ + 
+   
 
 
– Áp dụng (1) ta được 
, hoặc m = 1. 
Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
14
14 
m
1 p 1
m p 1
1 p 1 1 p
m p 1
1 p
a ... a
a (p 1)
a ... a a ... a p 1
a (p 1)
a ... a p 1 p p2
p p 2
+
+
+
+
+ + 
+ − + + + +  + + − + + +  +   + ≥ =        
  
 
 
m
1 p 1
m1 p p 1
1 p 1
a ... a
a ... a a (p 1)
a ... ap 12 2 .
2p p 1
+
+
+
+ + 
+ + + + −  + + + = =  
+   
 
 
Suy ra 
m
1 p 1 1 p 1m m m
1 p 1
a ... a a ... a
a ... a (p 1)( ) 2p
p 1 p 1
+ +
+
+ + + + 
+ + + − ≥  
+ + 
mm m m m
1 2 p p 1 1 2 p p 1a a ... a a a a ... a a
,
p 1 p 1
+ ++ + + + + + + + 
⇒ ≥  
+ + 
 dấu “=” xảy ra khi a1 = = ap+1. 
Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh, dấu “=” xảy ra khi m = 1, hoặc 
a1 = a2 == an. 
2.4. Phương pháp vận dụng các bất đẳng thức đã biết 
 Trong mục này chúng tơi chỉ xin đề cập tới một số bài tốn vận dụng bất đẳng 
thức Cơsi và bất đẳng thức cĩ chứa dấu giá trị tuyệt đối. 

 VÍ DỤ 13. 
Cho ba số dương a, b, c; c a. Chứng minh rằng: a b 2c 61 .
3ab ac
+ +
> +
+
☺ HƯỚNG DẪN. 
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta cĩ 
a 2a 2ac 2ab 2 6
a b 2c ( 2c) ( b) 2 2 ( ab ac) (1).
3 3 3 3 3
+ + = + + + ≥ + = + 
 a b 2c (a c) (c b) 2 ac 2 ab 2( ab ac) (2),+ + = + + + ≥ + = + 
Từ 6 a b 2c 6(1),(2) a b 2c (1 )( ab ac) 1 .
3 3ab ac
+ +
⇒ + + ≥ + + ⇒ ≥ +
+
 Dấu “=” xảy 
ra khi và chỉ khi 
a 2a2c, b
a b c 03 3
a b c

= =
⇔ = = =
 = =
 (điều này khơng xảy ra). Vậy ta luơn 
cĩ a b 2c 61 ,
3ab ac
+ +
> +
+
 với mọi a, b, c dương. 

 VÍ DỤ 14. 
Cho a + b + c = 0. Chứng minh a b c a b c8 8 8 2 2 2 .+ + ≥ + + 
≥
≥(do c a).
và
Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
15
15 
☺ HƯỚNG DẪN. 
ðặt: a b cx 2 , y 2 , z 2= = = thì x, y, z > 0 và x.y.z = 1. Ta cần chứng minh 
3 3 3x y z x y z.+ + ≥ + + Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho các trường hợp 3 số dương, ta 
cĩ 33 33x y z 3 xyz 3 x y z 3 0 (1); x 1 1 3 x 3x x 3x 2 (2).+ + ≥ = ⇒ + + − ≥ + + ≥ = ⇒ ≥ − 
Tương tự ta cĩ 3 3y 3y 2 (3); z 3z 2 (4).≥ − ≥ − Từ (1), (2), (3) và (4) ta thu được 
3 3 3x y z 3(x y z) 6 (x y z) 2(x y z 3) x y z.+ + ≥ + + − = + + + + + − ≥ + + Vậy bất đẳng 
thức a b c a b c8 8 8 2 2 2+ + ≥ + + được chứng minh, dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay 
a = b = c = 0. 

 VÍ DỤ 15. 
1) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn 1 1 1 4.
x y z
+ + = Chứng minh rằng 
1 1 1 1.
2x y z x 2y z x y 2z
+ + ≤
+ + + + + +
2) Chứng minh 1 1 1 1 1 12( )
p a p b p c a b c
+ + ≥ + +
− − −
, với a, b, c, và p lần lượt là độ dài 
các cạnh và nửa chu vi của một tam giác bất kì. 
3) Chứng minh rằng 
x x x x
x x x
12 15 20 9.60
, x .
5 4 3 12 15 20
     
+ + ≥ ∀ ∈     
+ +     
ℝ 
☺ HƯỚNG DẪN. 
1) Với mọi số thực a > 0, b > 0 áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta được a b 2 ab 0,+ ≥ > 
1 1 12 0,
a b ab
+ ≥ > suy ra 1 1(a b)( ) 4
a b
+ + ≥ hay 1 1 4 (1),
a b a b
+ ≥
+
 dấu “=” xảy ra khi a = b. 
Áp dụng bất đẳng thức (1), ta cĩ 1 1 4 ,
x y x y
+ ≥
+
1 1 4
,
x z x z
+ ≥
+
1 1 4
,
x z x y 2x y z
+ ≥
+ + + +
 nên 2 1 1 16 .
x y z 2x y z
+ + ≥
+ +
 Tương tự ta chứng minh được 
1 2 1 16 1 1 2 16
, .
x y z x 2y z x y z x y 2z
+ + ≥ + + ≥
+ + + +
 Từ đĩ và lưu ý thêm 1 1 1 4
x y z
+ + = ta 
được 
1 1 1 1 1 1 1( ) 1 (đpcm).
2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z
+ + ≤ + + =
+ + + + + +
 Dấu “=” xảy ra 
khi 4x y z .
3
= = = 
2) Vận dụng bất đẳng thức (1), lưu ý rằng a + b + c = 2p, ta cĩ 
3
Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
16
16 
1 1 4 4
p a p b 2p a b c
1 1 4 4 1 1 1 1 1 12( ) (đpcm).
p b p c 2p b c a p a p b p c a b c
1 1 4 4
p c p a 2p c a b

+ ≥ = 
− − − − 

+ ≥ = ⇒ + + ≥ + +
− − − − − − −

+ ≥ = 
− − − − 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. 
3) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi với hai số ta cĩ 
x x x x
x12 15 12 152 . 2.3 ,
5 4 5 4
       
+ ≥ =       
       
x x x x
x20 15 20 152 . 2.5 ,
3 4 3 4
       
+ ≥ =       
       
x x x x
x20 12 20 122 . 2.4 .
3 5 3 5
       
+ ≥ =       
       
 Dẫn 
tới 
x x x
x x x12 15 20 3 4 5 .
5 4 3
     
+ + ≥ + +     
     
 Bây giờ áp dụng bất đẳng thức Cơsi với ba 
số thì 3x x x x3 4 5 3 60 0,+ + ≥ > 
x x x 3 x
1 1 1 3 0,
3 4 5 60
+ + ≥ > nhân hai bất đẳng thức này, 
vế với vế, thu được x x x
x x x
1 1 1(3 4 5 )( ) 9
3 4 5
+ + + + ≥ 
x
x x x
x x x
9.603 4 5 .
12 15 20
⇒ + + ≥
+ +
Do đĩ 
x x x x
x x x
12 15 20 609.
5 4 3 12 15 20
     
+ + ≥     
+ +     
 (đpcm). Dấu “=” xảy ra khi x = 0. 

 VÍ DỤ 16. 
Cho đa thức P(x) bậc 2010 cĩ đúng 2010 nghiệm thực dương, hệ số bậc cao nhất là 1. 
Chứng minh rằng 20092010P '(0) 2010. P (0) 0.+ ≤ 
☺ HƯỚNG DẪN. 
Giả sử x1, x2, , x2010 là 2010 nghiệm thực dương của đa thức P(x) đã cho, suy ra 
P(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x2010) ⇒ P(0) = x1. x2  x2010. Ta cĩ 
1 2 2010 1 2 2010
P '(0) 1 1 1 P '(0) 1 1 1
... ...
P(0) x x x P(0) x x x= + + + ⇒ − = + + +− − − . Áp dụng bất đẳng thức 
Cơsi cho 2010 số dương, đi đến 
20101 2 2010 1 2 2010
P '(0) 1 1 1 2010
...
P(0) x x x x x ...x
− = + + + ≥ hay 
20092010
2010 2010
P'(0) 2010 2010P(0)P'(0) 2010 P (0).
P(0) P(0) P(0)− ≥ ⇒− ≥ =
Vậy 20092010P '(0) 2010 P (0) 0.+ ≤ 
Dấu “=” xảy ra khi x1 = x2 =  = x2010. 

 VÍ DỤ 17. 
Cho x0 là nghiệm của đa thức P(x) = a0 + a1x +  + anxn bậc n (n∈N*, an ≠ 0). ðặt 
Chuyên đề BẤT ðẲNG THỨC ơn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Tốn – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
17
17 
0 1 n 1
n n n
a a aM max , ,..., .
a a a
−
  
=  
  
 Chứng minh rằng 0x 1 M.≤ + 
☺ HƯỚNG DẪN. 
Xuất phát từ bất đẳng thức a b a b+ ≥ + và bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh 
được bất đẳng thức 1 n 1 na ... a a ... a .+ + ≥ + + 
 Nếu |x0| ≤ 1 thì cĩ ngay 0x 1 M≤ + vì M ≥ 0. 
 Nếu |x0| > 1 thì 
n 1
n n 1n 1 0 1 0 0 0n 1 1
0 0 0
n n n n n n
a x a x a aa a
x ... . x ... . x
a a a a a a
−
−
− −
= + + + ≤ + + + ≤ 
n
n 1 0
0 0
0
| x | 1M(1 | x | ... | x |) M| x | 1
−
−
≤ + + + =
−
n
n n 0
0 0
0
| x | 1
 | x | 1 | x | M| x | 1
−
⇒ − < <
−
 0 0x 1 M | x | 1 M.⇒ − < ⇒ < + 
Vậy ta luơn cĩ 0x 1 M≤ + . 
Nhận xét. Bất đẳng thức 0x 1 M≤ + cho ta một đánh giá về khoảng nghiệm của 
phương trình đa thức. 

 VÍ DỤ 18. 
Cho | a | | b | | c | 13.+ + ≥ Chứng minh rằng | a 1| | b | | c 2 | 10.− + + + ≥ 
☺ HƯỚNG DẪN. 
Ta cĩ | a 1| |1| | b | | c 2 | | 2 | | a 1 1| | b | | c 2 2 | | a | | b | | c | 13.− + + + + + − ≥ − + + + + − = + + ≥ 
Vậy | a 1| | b | | c 2 | 10.− + + + ≥ Việc chỉ ra dấu “=” xảy ra khi nào xin dành cho bạn đọc. 
 Các phương pháp chúng tơi giới thiệu tiếp sau đây liên quan tới nhiều khía cạnh 
sâu sắc của tốn phổ thơng, vì thế địi hỏi học sinh phải cĩ nền tảng kiến thức khá vững 
và rộng, phải cĩ những nhận xét tinh tế để nhìn thấu được các mối quan hệ cĩ trong bài 
tốn. 
2.5. Phương pháp vận dụng kiến thức lượng giác 
 Học sinh phải ghi nhớ các cơng thức lượng giác, tính chất của các hàm số lượng 
giác, đặc biệt là các bất đẳng thức lượng giác. Việc chuyển từ bài tốn đại số sang bài 
tốn lượng giác, trong nhiều trường hợp, khơng nhữn