Chuyên đề: Tính khoảng cách trong hình học không gian

Chuyên đề: TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
LÝ THUYẾT: 
+ ôn tập lý thuyết: Giao HS 3 phiếu học tập, thiết kế các hoạt động nhằm giúp HS nhớ lại các kiến thức cần thiết của hệ thức lượng trong tam giác vuông, một số bài toán về khoảng cách trong mặt phẳng và không gian. (Tự chuẩn bị ở nhà).
Phiếu số 1: In và phát cho HS hoạt động nhóm.
Trong các ví dụ sau, giả thiết chung là tam giác ABC vuông tại A
STT
giả thiết
Hình vẽ
Yêu cầu tính
 điền đáp số
1
AB = 3
AC = 4
BC
d(A; BC)
2
AB = 3
AC = 4
M là trung điểm của AC
d(M; BC)
3
AB = 3
AC = 4
G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của AC
d(G; BC)
d(M; BC)
d(G; AB)
Phiếu số 2
Trong các ví dụ sau, giả thiết chung là tam giác ABC ( dùng các ký hiệu như trong SGK hình học 10).
STT
giả thiết – hình vẽ (HS tự vẽ hình)
Yêu cầu tính
 điền đáp số
1
Diện tích tam giác ABC bằng 60 
BC=15cm
d(A; BC)
2
AB=5; AC=7, 
BC
d(A; BC)
3
AB = 3; AC = 4; BC =6.
d(C; AB)
Phiếu số 3
STT
giả thiết – hình vẽ (HS tự vẽ hình)
Yêu cầu tính
1
Cho hình vuông ABCD cạnh a, H là trọng tâm tam giác ABC, N là trung điểm của CD.
d(H; (AC))
d(N; (AC))
d(H; (AN))
2
Cho hình chữ nhật ABCD, AB=a; AD=2a. H là trọng tâm tam giác ABC, N là trung điểm của CD.
d(H; (AC))
d(N; (AC))
d(H; (AN))
Phiếu số 4
Trong các ví dụ sau, giả thiết chung là “Cho chóp S.ABC, c ó SA vuông góc với mặt ph ẳng (ABC)”.
STT
giả thiết – hình vẽ (HS tự vẽ hình)
Yêu cầu tính
 điền đáp số
1
Tam giác ABC vuông tại B, AB=a; SA=a; .
d(A; (SBC))
2
Tam giác ABC vuông tại A, AB=AC=a; SA=a.
d(A; (SBC))
3
Đ ộ d ài các cạnh AB =7; BC = 5; AC = 8; SA=4
d(A; (SBC))
+ Chữa lại các phiếu học tập trên. Từ đó hệ thống một số KQ cần nhớ:
Hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Các công thức tính diện tích tam giác.
 + Một số BT gốc cần ghi nhớ:
BT1: Khoảng cách từ chân đường cao của chóp đến mặt bên.
Cho chóp S.ABC, có SA vuông góc với đáy (ABC), kẻ AK vuông góc với BC, kẻ AH vuông góc với SK. Chứng minh rằng d(A, SBC)=AH.
BT2: (Tỉ số khoảng cách) 
Cho mp(P) và 2 điểm A, H không nằm trên (P). 
Gọi I = AH Ç (P) khi đó ta có: = 
II. BÀI TẬP:
1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Bài tập 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SA=a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB).
S
Giải:
H
A
B
I
O
C
D
\S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD). Qua O kẻ OI vuông góc với AB 
Þ (SOI) ^ (SAB). Kẻ OH ^ SI Þ OH ^ (SAB) Þ d(O;(SAB)) = OH
Ta có: AC = BD = a, OI = . Xét DSAO ta có: SO = SA - AO = 
Xét DSOI: = + = Þ OH = a
Vậy: d(O; (SAB)) = a. 
Bình luận: 
1. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB) ta sẻ làm như thế nào:
- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng BT 2 để suy ra d(C;(SAB))
 Ta có: = = 2 Þ d(C;(SAB)) = 2a
2. Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K của SC đến (SAB) ta sẻ làm như thế nào:
- Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng BT 2 để suy ra d(K;(SAB))
Ta có OK∥(SAB) Þ d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = a 
Nhận xét: Qua bài tập trên ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ 1 điểm bất kì đến mặt bên của khối chóp như sau:
- Tính khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy đến mp đó rồi sử dụng BT 2 để suy ra khoảng cách cần tính.
Bài tập 2( ĐH_D_2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC). Biết SB=2a, <SBC=30. Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a.
Giải:
Kẻ SH ^ BC Þ SH ^ (ABC). Xét DSHB ta có: SH = SB.sin30 = a; 
BH = SB.cos30 = 3a 
S
Qua H kẻ HI ^ AC tại I 
Þ (SHI) ^ (SAC). Kẻ HK ^ SI tại K 
Þ HK ^ (SAC)
K
Þ d(H;(SAC)) = HK
 Ta có DCHI∽DCAB(g-g) 
I
A
Þ HI = = 	
C
H
 = + = Þ HK = 
B
Þ d(H;(SAC)) = 
Mà = = 4 Þ d(B;(SAC)) = 
Bài tập 3(ĐH_D_2007). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC=BAD = 90, BA=CB=a, AD=2a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy, SA=a. Gọi H là hình chiếu của A lên SB. Tính khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) theo a.
S
Giải:
Gọi I là trung điểm của AD ta có CI = AD 
K
H
Þ DACD vuông tại C hay AC ^ CD 
D
A
Þ (SAC) ^ (SCD). 
Kẻ AI vuông góc SC tại I
Þ AI ^ (SCD) Þ d(A;(SCD)) = AI
Ta có: AC = AB + BC = 2a 
B
C
 = + = 
 Þ AI = a Þ d(A;(SCD)) = a	
Nối AB cắt CD tại K Þ B là trung điểm của AK 
Þ = = 
 Þ d(B;(SCD)) = 
 = = = = Þ d(H;(SCD)) = d(B;(SCD)) = 
Nhận xét: Nếu sử dụng cách giải trên mà ta gặp bài toán tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng mà mặt phẳng đó chứa đường cao của khối chóp ta sẻ làm như thế nào?
Bài tập 4(ĐH_B_2011). Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chử nhật. AB=a, AD=a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa mp(ADD’A’) và (ABCD) bằng 60. Tính khoảng cách từ điểm B’ đến mp(A’BD). 
Giải:
B’
C’
A’
D’
B
C
H
O
D
A
Gọi O là giao điểm của AC và BD Þ A’O ^ (ABCD)
Gọi E là trung điểm của AD Þ OE ^ AD, A’E ^ AD 
Þ A’EO là góc giữa mp(ADD’A’) và mp(ABCD) Þ A’EO = 60 	
Þ A’O = OE.tanA’EO = .tan60 = 
Ta có B’C ∥(A’BD) 
Þ d(B’;(A’BD)) = d(C;(A’BD)) 
Kẻ CH ^ BD tại H Þ CH ^ (A’BD) Þ d(C;(A’BD)) = CH
Mà = + = Þ CH = 
Vậy d(B’;(A’BD)) = 
Bình luận: Qua bài tập ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ điểm I nào đó đến mp(a) chứa đường cao của khối chóp như sau:
Bước 1: Xác định giao tuyến d của mp(a) và mặt đáy
Bước 2: Chọn 1 điểm M nằm trên mặt đáy thuận lợi nhất, rồi tính khoảng cách từ điểm M đến mp(a), bằng cách kẻ MH ^ d tại M Þ MH ^ (a) Þ d(M;(a)) = MH
Bước 3: Sử dụng BT 2 để suy ra 
Bài tập 5( Đề thi thử ĐH_Trường THPT Cao Thắng_2012). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh A, AB=a. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên (ABC) thỏa mãn IA = -2 , góc giữa SC và mp(ABC) bằng 60. Tính khoảng cách từ trung điểm E của SB đến mp(SAH).
Giải:
BC = AB + AC = 4a Þ BC = 2a Þ BI = a
Kẻ BK vuông góc với AH tại K Þ BK ^ (SAH)
 Þ d(B;(SAH)) = BK
S
Mà = + = 
Þ d(B;(SAH)) = BK = 
H
 = = 	
I
B
C
Þ d(E;(SAH)) = 
K
A
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Bài tập 1(ĐH_A_2010). Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH=a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC.
Giải:
Ta có: DCDN = DDAM Þ CN ^ DM; mặt khác SH ^ DM Þ DM ^ (SCN)
Þ DM ^ SC.
Kẻ HK ^ SC Þ HK ^ DM 
S
Þ d(HK, DM) = HK
K
Ta có S = S - S - S = 	
Mặt khác S = CH.DM 
B
C
Þ CH = = 
H
M
A
 = + = 
N
D
Þ HK = Þ d(DM, SC) = 
Bài tập 2(ĐH_A_2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
	Giải:	
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) 
S
A
M
N
D
H
Þ SA ^ (ABC)
AB ^ BC Þ SB ^ BC 	
C
Þ SBA là góc giữa mp(SBC) và (ABC) 
Þ SBA = 60 Þ SA = AB.tan60 = 2a	
B
Mặt phẳng qua SM ∥ BC cắt AC tại N	
Þ MN ∥ BC và N là trung điểm AC
 MN = = a
Kẻ đường thẳng D đi qua N song song AB, gọi (a) là mp chứa SN và D
Þ AB ∥ (a) Þ d(AB, SN) = d(A;(a))
Kẻ AD ^ D tại D Þ (SAD) ^ (a), Kẻ AH ^ SD Þ AH ^ (a) Þ d(A,(a)) = AH
Ta có AD = MN = a Þ = + = Þ AH = 
Vậy: d(AB,SN) = 
Bài tập 3(ĐH_A_2012). Cho hình chóp S.ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là H nằm trên AB sao cho AH=2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 60. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
	Giải:	
S
K
C
A
I
H
B
Ta có là góc giữa SC và mp(ABC) Þ = 60.
Xét DACH ta có: CH = AH + AC - 2AH.AC.cos60 = Þ CH = 
 Þ SH = CH.tan60 = 
Qua A kẻ đường thẳng D song song với BC, gọi (a) là mp chứa SA và D
 Þ BC ∥ (a) Þ d(SA,BC) = d(B,(a)) = d(H,(a))
Kẻ HI ^ D tại I Þ (SHI) ^ (a), kẻ HK ^ SI tại K Þ HK ^ (a) Þ d(H,(a)) = HK
Ta có HI = AH.sin60 = Þ = + = Þ HK = 
 Þ d(H,(a)) = Þ d(B,(a)) = 
Vậy: d(SA,BC) = 
Bài 4(ĐH_D_2008). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên A’A=a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AM theo a.
Giải:
 Ta có: AM = AB + BM = Þ AM = 
Qua C kẻ đường thẳng D song song với AM, gọi (a) là mặt phẳng chứa B’C và D
 Þ AM∥(a) Þ d(AM,B’C) = d(M,(a)) = d(B,(a))	
Kẻ BI ^ D tại I Þ (B’BI) ^ (a), kẻ BK ^ B’I tại K Þ BK ^ (a) Þ d(B,(a)) = BK
C’
B’
A’
Ta có: sin = sin = = 	
 Þ BI = BC.sin = 	
K
I
C
A
 Þ = + = Þ HK = 	
M
Þ d(B,(a)) = Þ d(M,(a)) = 
B
Vậy: d(B’C,AM) = .
BÀI TẬP
Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a, CD=2a, SA=a, hai mp (SCD) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi G là trọng tâm DBCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm G đến mp(SBC) theo a.
Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCcos đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, cạnh huyền bằng 3a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, SG vuông góc mp(ABC), SB=. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a.
Bài tập 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB=2a, BC=a, và thể tích lăng trụ bằng a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) theo a.
Bài tập 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB bằng a.
Bài tập 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, .
Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc. Gọi I là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên SI. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) theo a.( de tu luyen 12 a2 so 14)
Bài tập 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi I là trung điểm AB, H là giao điểm của BD với IC. Các mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và IC. ( de tu luyen 12 a2 so 13)
Bài tập 7 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a; AD=2a, các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc tạo bởi (SAB) và (ABCD) bằng 60. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD theo a. 
Bài tập 8. Cho hình chóp S.ABCD có SA=a và SA vuông góc với mặt đáy. Biết ABCD là thang vuông tại A và B, AB=a, BC=2a và SC vuông góc với BD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a với M là trung điểm của BC.
D. KẾT LUẬN
 Với mục đích nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo trong giải toán của học sinh THPT. Hy vọng với kết quả nhỏ này sẽ bổ sung được phần nào kiến thức cơ bản cho học sinh, giúp các em nhận thức đầy đủ và rèn luyện tốt kỹ năng giải các bài toán khoảng cách trong hình học không gian.
Tôi rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp để chuyên đề này có thể hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!