Đề ôn thi môn Toán Lớp 12 - Chương 4: Số phức - Chủ đề 4, Vấn đề 4: Phương pháp đồ thị

VẤN ĐỀ 4
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Cho các số phức , , thỏa mãn . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án C
 nhỏ nhất khi M là điểm Fermat. 
Khi đó và (vì tam giác vuông cân tại ) .
Ta có:
; .
Suy ra .
	Xét hai số phức thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của bằng
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1:
Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức , M thuộc đường tròn tâm O bán kính 
Gọi N là điểm biểu diễn cho số phức , N thuộc đường tròn tâm O bán kính 
Suy ra là điểm biểu diễn cho 
Gọi P là điểm biểu diễn cho số phức , P thuộc đường tròn tâm O bán kính 
Gọi Q là điểm biểu diễn cho số phức , 
Dựng hình bình hành ta có R là điểm biểu diễn cho số phức 
Ta có: 
T đạt giá trị lớn nhất khi QR lớn nhất 
Vậy T đạt giá trị lớn nhất bằng .
Cách 2:
Đặt (với )
Theo bài ra ta có:
Theo tính chất ta có: 
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hai số phức có điểm biểu diễn , số phức có điểm biểu diễn là thỏa mãn , và . Giá trị lớn nhất của là , giá trị nhỏ nhất của là . Biết , với . Tính ? 
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi là điểm biểu diễn của số phức , suy ra .
Gọi là điểm biểu diễn của số phức , suy ra . Gọi là điểm sao cho . Suy ra tứ giác là hình bình hành.
Do từ giả thiết , suy ra .
Dùng định lí cosin trong tam giác ta tính được ; 
và định lí cosin trong tam giác ta có .
Ta có ; .
+	Tìm giá trị lớn nhất của .
Đặt , suy ra điểm biểu diễn là thuộc đường tròn tâm bán kính . Gọi điểm là biểu diễn số phức . 
 Khi đó , bài toán trở thành tìm biết điểm trên đường tròn . Dễ thấy .
+	Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Đặt , suy ra điểm biểu diễn là thuộc đường tròn tâm bán kính . Gọi điểm là biểu diễn số phức .
Khi đó , bài toán trở thành tìm biết điểm trên đường tròn . Dễ thấy điểm nằm trong đường tròn nên .
Vậy . 
Gọi là tập hợp tất cả các số phức thõa mãn và ,. Gọi lần lượt là các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Khi đó bằng
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Ta có
.
Đặt và là điểm biểu diễn số phức ,suy ra
. Vậy thuộc đường tròn tâm . Gọi ta có
.
Khi đó 148.
Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Giả sử số phức .
.
Gọi điểm biểu diễn số phức . Suy ra thuộc đường tròn tâm , bán kính .
Giả sử số phức .
.
Điểm biểu diễn số phức . Suy ra thuộc đường thẳng .
Điểm biểu diễn số phức . Ta thấy là ảnh của điểm qua phép quay tâm , góc quay . Suy ra thuộc đường thẳng .
Khi đó: . Do đó nhỏ nhất nhỏ nhất. Suy ra: .
Cho hai số phức thỏa mãn và . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Gọi , lần lượt là điểm biểu diễn số phức và .
Từ điều kiện Tập hợp điểm là đường tròn tâm , bán kính .
Từ điều kiện , với Tập hợp điểm là đường trung trực của đoạn thẳng có phương trình .
Ta có , với .
Dễ thấy điểm và đường tròn nằm hoàn toàn cùng phía so với đường thẳng .
Gọi là điểm đối xứng của qua .
Ta có 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 điểm thẳng hàng.
Vậy .
Cho các số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt .
.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm , bán kính .
Đặt .
.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm , bán kính .
Đặt .
.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường thẳng .
Khi đó: 
Mặt khác, và nằm cùng phía đối với .
Gọi là đường tròn đối xứng với với qua , suy ra và gọi là điểm đối xứng với qua . có tâm , bán kính .
Ta có: 
.
.
Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 3 điểm thẳng hàng.
Vậy .
Cho các số phức ,, thỏa mãn và . Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất.
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Gọi , .
Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn số phức .
Khi đó nằm trên đường tròn tâm bán kính , nằm trên đường tròn tâm bán kính .
Đặt , . Ta có: 
Gọi là điểm biểu diễn số phức thì .
Ta có: .
, .
 hai đường tròn không cắt và nằm cùng phía với .
Gọi là điểm đối xứng với qua , suy ra nằm trên đường tròn tâm bán kính . Ta có .
Khi đó: nên .
Khi đó: ; .
Như vậy: khi đối xứng qua và . 
Vậy .
Gọi , là hai trong tất cả các số phức thỏa mãn điều kiện và Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của . Giá trị của 	bằng
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Ta có .
Gọi là điểm biểu diễn của ta có nằm trên đường tròn tâm , .
Gọi , lần lượt là điểm biểu diễn cho , ta có .
Gọi là trung điểm ta có tam giác vuông tại (theo định lý Pitago đảo) 
chạy trên đường tròn tâm bán kính .
Mặt khác theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có
; , .
Cho các số phức thỏa mãn . Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của . Khi đạt giá trị lớn nhất thì diện tích của tam giác bằng bao nhiêu?
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Giả sử với là các số thực.
Do 
nên , tức là .
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm ta có:, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và .
Tức là khi và chỉ khi và .
Đến đây, khi xét trên mặt phẳng tọa độ ta có là tam giác cân ở , , .
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên ta được .
Vậy diện tích của tam giác là (đơn vị diện tích).
Giả sử là hai trong các số phức thoả mãn và . Tìm GTLN của .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức .
Ta có : ,có tâm , bán kính .
 nên là đường kính của đường tròn .
.
	Ta có: mà 	. Dấu xảy ra khi . Vậy .
Cho là hai trong các số phức thoả mãn điều kiện và . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: 
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Đặt có điểm biểu diễn là .
Gọi và 
 mà .
Ta có: thuộc đường tròn tâm , bán kính .
. Do đó .
Cho là hai nghiệm của phương trình , thoả mãn điều kiện . Tìm GTLN của biểu thức .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Gọi .
.
Đặt có điểm biểu diễn là .
Gọi và mà .
Ta có : thuộc đường tròn tâm , bán kính .
. Do đó .
Cho hai số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: , (trong đó là số thực) và là lớn nhất. Khi đó giá trị của bằng	
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Gọi 
Ta có .
.
Đường thẳng luôn đi qua điển cố định .
Gọi là điểm biểu diễn của hai số phức ,
 là giao của đường tròn có tâm bán kính với đường thẳng .
Ta có lớn nhất khi là đường kính, tức là đi qua hai điểm và nhận là trung điểm. Khi đó ta được .
Xét hai số phức thỏa mãn và . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Gọi .
Ta có .
Tập hợp điểm biểu diễn là parabol có đỉnh .
Ta có: Tập hợp điểm biễu diễn là đường tròn có tâm .
Khi đó là khoảng cách từ một điểm thuộc đến một điểm thuộc .
Ta có: .
Mà .
.
Do đó .
Các số phức , thỏa mãn là số thực và . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
	A. 0.	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
+ Đặt , , ta có
.
+ Vì là số thực nên .
.
+ 
+ Gọi là điểm biểu diễn của thì điểm thuộc parabol .
Gọi là điểm biểu diễn của thì điểm thuộc đường tròn 
Gọi là điểm biểu diễn của thì điểm thuộc đường tròn 
+ Phương trình tiếp tuyến của tại là
.
+ Khi đó:
là hình chiếu vuông góc của lên , với là tâm 
cùng phương với VTPT , với , 
Vậy .
Trong các số phức thỏa mãn gọi và lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun của số phức là
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải 
Chọn A
w Đặt thì 
w TH1: . 
Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm , bán kính , giao điểm của (trục tung) với đường tròn là và 
.
w TH2: . 
Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm , bán kính , giao điểm của (trục tung) với đường tròn là và 
.
Cho số phức thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của biểu thức là:
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi là điểm biểu diễn số phức ta có: 
 điểm nằm trên đường tròn tâm và bán kính bằng 1. Biểu thức trong đó , theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của đạt được khi nên .
Cho các số phức thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau: , phần thực của bằng 2, phần ảo của bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt , ta có 
Khi đó: 
Suy ra tập hợp điểm là đường tròn tâm , bán kính 
Mặt khác: Tập hợp điểm là đường thẳng 
 Tập hợp điểm là đường thẳng 
Giao điểm của và là .
Gọi và lần lượt là hình chiếu của trên và 
Ta có: .
 đạt giá trị nhỏ nhất khi và thẳng hàng (theo thứ tự đó).
Phương trình đường thẳng (vì ).
Mà nên ta có 
- Với (loại)
- Với 
Suy ra .
Vậy khi 
Cho hai số phức và thoả mãn hệ thức và . Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức lần lượt là và . Giá trị của biểu thức bằng
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Gọi là điểm biểu diễn số phức , , 
Ta có hay quỹ tích điểm là đoạn thẳng .
Gọi là điểm biểu diễn số phức , 
 hay quỹ tích điểm là đường tròn tâm bán kính bằng .
Dễ thấy 
Ta có hình vẽ
Dễ thấy
Do đó .
Cho biết là hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện và . Gọi là số phức thỏa mãn điều kiện . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Gọi với . Ta có: .
Vậy số phức có các điểm biểu diễn là thuộc đường thẳng .
Gọi là điểm biểu diễn cho số phức .
Ta có: 
 với , .
Vậy .
.
Dấu xảy ra khi thuộc đoạn và .
Suy ra .
 với thuộc đường thẳng và .
Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng , ta có .
Không mất tính tổng quát, đặt .
TH1: nằm trong đoạn thẳng .
.
Đặt . Áp dụng ta được .
Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
TH2: không thuộc đoạn thẳng , giả sử nằm bên trái .
.
Vì nên .
Vậy .
Cho với , là số phức thỏa mãn điều kiện . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
- Theo bài ra: 
tập hợp điểm biểu diễn số phức là miền mặt phẳng thỏa mãn (là miền tô đậm trên hình vẽ, kể cả biên)
- Gọi , là các giao điểm của đường thẳng và đường tròn .
- Ta có: .
Gọi là đường tròn tâm , bán kính .
- Đường tròn cắt miền khi và chỉ khi
(trong đó là bán kính đường tròn tâm và tiếp xúc ngoài với đường tròn )
 và .
Vậy .
Cho số phức , thỏa mãn và là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Đặt , , ta có
.
Vì là số thực nên .
Ta có
.
Gọi là điểm biểu diễn số phức , suy ra nằm trên đường tròn tâm bán kính .
Gọi là điểm biểu diễn số phức , suy ra nằm trên đường thẳng .
Ta có .
Mà .
Nên .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi là hình chiếu vuông góc của trên và là giao điểm của đoạn với đường tròn .
Cho số phức , , thoả mãn . Giá trị nhỏ nhất của bằng
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Từ ta có ; ; .
Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức , , .
, đều nằm trên đường tròn tâm bán kính .
Do nên .
Xét ; theo tính chất của phép quay ta có ; .
Dấu “=” xảy ra khi các điểm , , , thẳng hàng
.
Cho số phức thỏa mãn . Gọi là hai số phức thỏa mãn và . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
+ biểu diễn , vì 
Gọi 
biểu diễn thuộc đường tròn tâm 
 biểu diễn 2 thuộc đường tròn tâm 
Gọi J’ là điểm đối xứng của J qua d 
 Ta có: 
Vậy đáp án là B 
Cho số phức thoả mãn và là số thực. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tính .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của số phức .
.
Ta có Đường thẳng có véctơ pháp tuyến là .
Trong mặt phẳng phức ta có:
.
Ta có góc giữa và là:
.
Ta có không cắt . Gọi là hình chiếu của trên .
.
Cho số phức . Đặt đa thức . Biết . Giá trị lớn nhất của là: 
	A. .	B.	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Ta có:
.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng là một miền kín được giới hạn bởi các đường thẳng sau: .
Gọi là điểm biễu diễn số phức.
 là 1 trong các định sau .
.
Cho số phức và đa thức: . Biết . Tính giá trị lớn nhất của .
	A..	B..	C..	D.
Hướng dẫn giải
Ta có: .
.
Đặt , ta có .
Miền nghiệm của là tứ giác (kể cả cạnh). Với .
Dễ dàng nhận thấy là hình thoi.
Gọi là điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng chạy tung tăng trong miền .
Ta có .
Ta dễ nhận thấy . 
CHỨNG MINH:
Vì và đối xứng nhau qua trục nên xét chạy tung tăng trên ( ).
Gọi và thuộc cạnh .
 là hình chiếu của trên .
Ta lại có là hình chiếu của trên .
 là hình chiếu của trên .
là hình chiếu của trên .
Từ đó ta có .
Mà .
Do tính đối xứng nên .
Có bao nhiêu giá trị của để tồn tại duy nhất số phức thỏa mãn và .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Gọi ,ta có hệ: 
Ta thấy không thỏa mãn suy ra . Xét trong hệ tọa độ tập hợp các điểm thỏa mãn (1) là đường tròn có , tập hợp các điểm thỏa mãn (2) là đường tròn tâm ,ta thấy suy ra nằm ngoài . Để có duy nhất số phức thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều điều này xảy ra khi hoặc . 
Cho là số phức, là số thực thoả mãn và là số thực. Gọi lần lượt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tính .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Trong mặt phẳng phức :
Gọi lần lượt là điểm biểu điểm số phức .
 và 
.
Ta có Đường thẳng có véctơ pháp tuyến là .
Ta có: tạo với trục một góc .
.
Cho là nghiệm của phương trình thõa mãn . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tính .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Đặt . Ta có:.
Trong mặt phẳng phức, gọi lần lượt là điểm biểu diễn số phức và lần lượt là tâm đường tròn , trung điểm .
.
Với 3 điểm ta có:.
.
Dấu xảy ra:
Khi đạt giá trị nhỏ nhất thì thẳng hàng theo thứ tự đó.
Khi đạt giá trị lớn nhất thì thẳng hàng theo thứ tự đó.
Cho số phức thoả mãn và là số thực. Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Tính .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của số phức .
.
Ta có Đường thẳng có véctơ pháp tuyến là .
Trong mặt phẳng phức ta có:
.
Ta có góc giữa và là:
.
Ta có không cắt . Gọi là hình chiếu của trên .
.
Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	A.	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Bài toán này, thực chất là dựa trên kiến thức “ Biểu diễn hình học số phức”. Ta thấy nếu đặt . Khi đó điểm là điểm biểu diễn số phức thỏa mãn:
. Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn là đường trong có tâm và bán kính .
Khi đó nếu N là điểm biểu diễn của số phức thì việc tìm GTNN của là việc tìm GTNN của MN.
Theo đề thì là điểm biểu diễn . Ta nhận thấy rõ ràng . Dễ nhận thấy 
Ta có hình vẽ sau:
Do là tam giác vuông cân tại O nên , do đó để MN nhỏ nhất thì OM nhỏ nhất. Dễ thấy, OM nhỏ nhất khi (M’ là giao điểm của OI với đường tròn như hình vẽ) Tức là . Khi đó .
Cho ba số phức , , thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Xét tam giác với , lần lượt là điểm biểu diễn các số phức , và là điểm biểu diễn số phức , ta có , vuông tại .
Khi đó ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của .
Dự phía ngoài tam giác tam giác đều , đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại , theo bất đẳng thức Ptoleme cho bốn đểm , , , ta có:
 và .
Dấu bằng xảy ra . Ta đi tính độ dài đoạn , bằng định lý hàm số côsin ta có:
, , .
Do đó .
Vậy gá trị nhỏ nhất của .
Cho số phức thỏa và , số phức thỏa điều kiện là số thực và , số phức thỏa . Gọi giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có) là . Đáp án nào sau đây là đúng:
	A..	B..	C..	D.
Hướng dẫn giải
Trong mặt phẳng phức gọi lần lượt là điểm biểu diễn số phức .
Gọi .
Vậy trong mặt phẳng phức với .
Trong mặt phẳng phức gọi lần lượt là là điểm biểu diễn số phức .
Ta có: với .
Vậy thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương là và đi qua điểm nhưng .
 loại đi điểm .
Trong mặt phẳng phức gọi là điểm biểu diễn số phức .
Ta có .
Mà . Vậy dấu xảy ra khi và chỉ khi .
 với . Ta cần tìm .
Gọi lần lượt là định thứ tư của hình bình hành .
Gọi là điểm đối xứng của qua , là điểm đối xứng của qua .
Ta có: .
Dấu xảy ra khi và chỉ khi .
Gọi là hình chiếu của trên với cân tại . Chứng minh tương tự cân tại .
.
Kiểm tra lại tọa độ của . Ta viết phương trình đường tròn tâm bán kính .
 Không tồn tại do .
Cho số phức thỏa , số phức thỏa là số thực và số phức thỏa điều kiện . Cho , gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức (nếu có). Đáp án nào sau đây là đúng:
	A..	B..	C..	D.
Hướng dẫn giải
Trong mặt phẳng phức gọi lần lượt là điểm biểu diễn của số phức .
Gọi .
 trong mặt phẳng phức .
Ta có:với . Vậy thuộc đường thẳng có véctơ chỉ phương là và đi qua điểm nhưng không lấy điểm và .
Ta có: với .
Mà . vậy dấu xảy ra khi .
. Ta có thuộc góc nhọn được tạo bởi 2 đường thẳng .
Gọi lần lượt là điểm đối xứng của qua và 
Chọn A 
Dấu xảy ra khi và chỉ khi. Ta cần tìm tọa độ để so sánh với điểm loại đi trên Không tồn tại điểm Không tồn tại .
Xét số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là . Số phức và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là . Biết rằng là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của .
	A..	B..	C..	D.
Hướng dẫn giải
Gọi số phức .
Ta có: và đối xứng nhau qua trục , và đối xứng nhau qua trục .
Ta có: là bốn đỉnh của hình chữ nhật hoặc .
Trong mặt phẳng phức , xét điểm
Trường hợp 1: Với hình chữ nhật .
. Vậy .
Trường hợp 2: Với hình chữ nhật .
. Vậy .
Vì .
Cho hai số phức thỏa mãn và nếu gọi là điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ thì tam giác giác có diện tích là 8. Tìm giá trị lớn nhất của .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Có . 
Thế vào điều kiện ban đầu ta có , vậy 
Lấy đối xứng điểm qua được điểm là điểm biểu diễn của số phức , suy ra thẳng hàng.
Mà nên .
Hằng ngày mình úp đề Toán ôn thi TNPT 12 trên trang trungtamgiasunhatrang.net (trong mục tài liệu môn toán) cho đến ngày 6 tháng 7 năm 2022 sẽ dừng (tầm 70 đề). Bạn đọc theo dõi tải về phục vụ học tập và giảng dạy.
Bạn đọc tải nhiều tài liệu file word toán từ lớp 8 đến 12 tại trungtamgiasunhatrang.net (trong mục tài liệu môn toán) để phục vụ giảng dạy
Tham gia: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
P/S: Tất cả tài liệu file word đều free
TÀI LIỆU CHẮC CHẮN CÓ SỰ SAI SÓT. MONG BẠN ĐỌC ĐÓNG GÓP ĐỂ HOÀN THIỆN HƠN. 
LIÊN HỆ:https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/