Chuyên đề: Tích phân hàm ẩn (Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục)

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN
Chuyên đề phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo Dục
KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 
1. Các tính chất tích phân:
	w với . 
	w
	w
	w
	w
	w
	w
2. Công thức đổi biến số: 
 .
Phương pháp đổi biến số thường được sử dụng theo hai cách sau đây:
	¨ Giả sử cần tính . Nếu ta viết được dưới dạng thì . Vậy bài toán quy về tính , trong nhiều trường hợp thì tích phân mới này đơn giản hơn .
	¨ Giả sử cần tính . Đặt thỏa mãn thì 
	, trong đó 
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số . Tích phân bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị của tích phân của hàm số.
2. HƯỚNG GIẢI: 
B1: Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán.
B2: Sử dụng tính chất .
B3: Lựa chọn hàm thích hợp để tính giá trị tích phân.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn B 
Xét 
Đặt 
Đổi cận: .
.
Bài tập tương tự và phát triển:
Ä Mức độ 3
Cho hàm số . Biết tích phân ( là phân số tối giản). Giá trị bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
 Lời giải
Chọn C
Ta có: .
Vậy .
Cho hàm số . Tích phân bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Xét 
Đặt 
Đổi cận: .
.
Câu 3.	Cho hàm số . Tích phân ( là phân số tối giản), khi đó bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Xét 
Đặt 
Đổi cận: .
.
Cho hàm số liên tục trên và , . Tính 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Đặt . Khi thì . Khi thì .
Nên 
.
Xét . Đặt .
Khi thì . Khi thì .
Nên .
Ta có .
Nên .
Cho là một nguyên hàm của hàm số trên tập và thỏa mãn . Tính tổng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn C 
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:
Ta có: mà nên .
Ø mà nên .
Ø mà nên .
Ø mà nên .
Vậy .
Biết với . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn D
Ta có .
Do đó .
.
.
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn , với mọi .Tích phân bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Từ giả thiết ta có nên suy ra , .
Suy ra .
Đặt .
Với 
Do đó .
Vậy .
Cho hàm số xác định và liên tục trên thoả Tích phân bằng
A. .	B. .	C. .	D..
Lời giải
Chọn B
Đặt .
Đổi cận: 
Khi đó .
Cho hàm số xác định và liên tục trên thỏa mãn với . Tính.
A. .	B. .	C. .	D. 
Lời giải
Chọn B
Đặt và
Vậy .
Cho hàm số xác định thỏa và Giá trị của biểu thức bằng 
A.	 B.	C.	 D. 
Lời giải
Chọn C
Ta có 
 và .
Do đó 
Cho hàm số . Khi đó bằng
A.. 	B..	C..	D..
Lời giải:
Chọn A
Đặt . Đổi cận . 
Do 
.
Cho hàm số . Khi đó bằng
A.. 	B..	C..	D..
Lời giải
Chọn C
	Đặt . Đổi cận . 
Do 
.
Cho hàm số . Khi đó bằng
A.. 	B..	C..	D..
Lời giải:
Chọn A
Đặt . Đổi cận . 
Do 
.
Cho hàm số . Khi đó bằng
A.. 	B..	C..	D..
Lời giải:
Chọn A
Đặt . Đổi cận . 
Do 
.
Cho hàm số . Khi đó bằng
A.. 	B..	C..	D..
Lời giải:
Chọn B
Đặt . Đổi cận . 
Do 
.
Cho hàm số . Tính tích phân .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn B 
Xét 
Đặt 
Với 
Cho hàm số . Tính tích phân .
A. .	B. .	C. 12.	D. .
Lời giải:
Chọn D 
Xét 
Đặt 
Với 
Cho hàm số . Tính tích phân .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn C 
Xét 
Đặt 
Với 
Cho hàm số . Tính tích phân .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn A 
Xét 
Đặt 
Với 
Cho hàm số . Tính tích phân .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn C 
Xét 
Đặt 
Với 
Ä Mức độ 4
Giá trị của tích phân bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
 Lời giải
Chọn C
Ta có phương trình có một nghiệm trên đoạn là .
Bảng xét dấu
Suy ra .
Tính tích phân .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn B
Đặt ta có bảng xét dấu sau:
.
Dựa vào bảng xét dấu ta có.
.
.
Ta có: .
Nên .
Cho hàm sốliên tục trên thỏa mãn . 
Tính .
A..	B..	C..	D..
Lời giải
Chọn B
Ta có (1)
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho ta được 
, với .
Mặt khác, . 
Do đó .
Với thì . Suy ra và .
Vậy .
Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn, với . Tính .
A..	B..	C..	D..
Lời giải
Chọn C
Lấy đạo hàm theo hàm số 
, .
Cho 
 mà . Do đó .
Vậy .
Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn , và . Tích phân bằng
A..	B. .	C. .	D..
Lời giải
Chọn A
Ta có. Suy ra . 
Hơn nữa ta dễ dàng tính được . 
Do đó.
Suy ra , do đó . Vì nên . 
Vậy .
Xét hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn điều kiện và . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có .
Đặt .
.
Cho hàm số xác định trên thỏa mãn 
. Giá trị của biểu thức bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: 
Với 
Với 
Nên .
Cho hàm số xác định và liên tục trên đồng thời thỏa mãn 
Tính giá trị của .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có ( do )
.
Mà .
.
Cho hai hàm và có đạo hàm trên , thỏa mãn với mọi
	 . Tính tích phân .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Từ giả thiết ta có 
	Mà .
Cho hai hàm và có đạo hàm trên thỏa mãn và
	Tính tích phân.
	A. . B. . C.. D. .
Lời giải
Chọn A
	Từ giả thiết ta có: 
	Suy ra:
	Mà 	
Cho hàm số . Tính tích phân .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn A 
Xét 
Đặt 
Với 
Cho hàm số . Tính tích phân .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn B 
Xét 
Đặt 
Với 
Cho hàm số . Tính tích phân .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn A 
Xét 
Đặt 
Với 
Cho hàm số . Tính tích phân .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn C 
Xét 
Đặt 
Với 
Cho hàm số . Tính tích phân .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn D 
Xét 
Đặt 
Với 
Cho hàm số . Khi đó bằng
A.. 	B..	C..	D..
Lời giải:
Chọn D
Ta có: 
Đặt . Đổi cận . 
Do 
.
Đặt . Đổi cận . 
Do 
.
Vậy 
Cho hàm số . Tính tích phân 
A.. 	B..	C..	D..
Lời giải:
Chọn A
Ta có: 
Đặt . Đổi cận . 
Do 
.
Đặt . Đổi cận . 
Do 
.
Vậy 
Cho hàm số . Biết với là phân số tối giản. Giá trị của tổng bằng
A.. 	B..	C..	D..
Lời giải:
Chọn A
Đặt . Đổi cận . 
Đặt . Đổi cận . 
Do 
.
Vậy 
Cho hàm số . Biết với là phân số tối giản. Giá trị của hiệu bằng
A.. 	B..	C..	D..
Lời giải:
Chọn A
Đặt . Đổi cận . 
Đặt . Đổi cận . 
Do 
.
Vậy 
Cho hàm số . Biết với là phân số tối giản. Giá trị của tích bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải:
Chọn B
Đặt . Đổi cận . 
Do 
.
Đặt . Đổi cận . 
Do 
.
Vậy