Chuyên đề Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

Lời nói đầu
	Trong chương trình toán 12 trung học phổ thông, các bài toán liên quan đến 
tính chất tương giao giữa hai đồ thị hàm số là vấn đề học sinh còn nhiều lúng túng . Tôi xin trình bày một số tính chất của đồ thị hàm số vào học tập các bài toán tính chất tương giao giữa hai đồ thị hàm số.
	Tuy nhiên trong trình bày có thể có nhiều thiếu sót, kính mong các thầy ,cô giáo góp y để tài liệu được hoàn thiện hơn.
 Tôi xin trân trọng cảm ơn !
1_ Tóm tắt lý thuyết sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số
 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là ( C ) và hàm số y =g(x) có đồ thị là ( C’).
Khi đó giữa ( C ) và ( C’ ) có thể xảy ra các khả năng sau:
( C ) và ( C’ ) không cắt nhau
Trong trường hợp này không tồn tại x để f(x)=g(x). Hay nói cách khác phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm
( C ) và ( C’ ) tiếp xúc tại điểm A có hoành độ x=x0.
Trong trường hợp này , tại điểm x0 ta có f(x0)=g(x0) đồng thời ( C ) và ( C’ ) có tiếp tuyến chung.
 Hai đồ thị hàm số y=f(x) và y=g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi
 có nghiệm
 Khi đó nghiệm của hệ hoành độ tiếp điểm.
( C ) và ( C’ ) cắt nhau
Trong trường hợp này số giao điểm của ( C ) và ( C’ ) là số nghiệm của phương trình f(x)=g(x).
Nhận xét :
 Việc khảo sát sự tương giao giữa đồ thị của các hàm số y = f(x) và y =g(x) tương đương việc khảo sát sự có nghiệm của phương trình f(x)=g(x) . phương trình f(x)=g(x) có bao nhiêu nghiệm đơn thì ( C ) và ( C’ ) có bấy nhiêu giao điểm. 
2_ Tổ chức học tập các bài toán về tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số.
Ví dụ 1: Tìm các giao điểm của đường thẳng y= x+1 và parabol .
Giải:
 Hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol là nghiệm của phương trình:
 Vậy đường thẳng cắt parabol tại A(1; 2) và B( -2; 3 )
Ví dụ 2: Tìm các giao điểm của đường cong ( C ) và parabol ( P ) .
Giải: 
 Hoành độ giao điểm của đường cong ( C ) và parabol (P) là nghiệm của phương trình :
 x =0 hoặc x = 
 Với x = 0 thì y= 1
 Với x= thì y= 
Vậy ( P) cắt ( C ) tại A( 0;1) và B(;)
2.1 Nhận xét: Các dạng bài tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số theo phương pháp trên.
 Các bài tương tự: Tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số sau:
a. và 
b. và 
c. và 
d. và 
3. tổ chức học tập các bài toán tìm tham số để hai đồ thị của hai hàm số cắt nhau.
Ví dụ 1: Tìm m để đường thẳng y = m cắt đường cong tại 4 điểm phân biệt.
Giải: - Cách 1:
 Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong là nghiệm của phương trình. 
Đặt X=x2, X0, ta được.
 (1)
Để đường thẳng cắt đường cong tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.
 Tức là 
- Cách 2: Ta có thể dùng đồ thị
Ví dụ 2: Tìm m để đường thẳng y = mx+1 cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt.
Giải : 
 Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình 
Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm pgân biệt khác -2.
Vậy m1 đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt
Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị của hàm số cắt đường thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt.
Giải:
 Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình 
Đồ thị của hàm số cắt đường thẳng tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác 0
Vậy .
3.1 Nhận xét: Bằng phép tương tự tìm tham số m xét sự số giao điểm của hai đồ thị hàm số
 Bài1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , đường thẳng y= x-m cắt đường cong tại hai điểm phân biệt.
Bài 2: Tìm m để đường thẳng y= mx-1 cắt parabol (P): tại hai điểm phân biệt.
3.2 Khái Quát: Xét sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số của hàm số và y= g(x) tương đương xét sự có nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x).
Ví dụ 4: Tìm m để đường thẳng d: y= mx+1 cắt đồ thị của hàm số taị hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
Giải: 
 Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị của hàm số là nghiệm của phương trình 
Để có hai giao điểm thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số thì phương trình (*) phải có hai nghiệm thoả mãn x1< 1 < x2 
Ví dụ 5: Cho hàm số có đồ thị ( C )
 Tìm m để (C ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn x < -1.
Giải: 
 Hoành độ giao điểm của ( C ) và trục hoành là nghiệm của phương trình
 (*)
Để đồ thị (C) cắt 0x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x<-1 thì phương trình
Có 2 nghiệm thoả mãn x1 < x2 < -1 và khác 2 
Ví dụ 6: Cho hàm số y= có đồ thị ( C ). Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Giải:
 Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình =0
Đặt t = x2 ( * )
Để có 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( * ) có 2 nghịêm thoả mãn 
Hoành độ 4 giao điểm gồm: 
Để chúng lập thành cấp số cộng thì phải có 
Mà ta có 
Cả hai giá trị trên đểu thoả mãn điều kiện của bài toán.
3.3 Nhận xét: Từ ví dụ 6 ta có thể làm tương tự cho các bài sau
Bài 1: Xác định giá trị của m sao cho đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. Xác định cấp số cộng .
Bài 2: Cho hàm số có đồ thị là ( C ) . Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị ( C ) cắt trục 0x tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
4. tổ chức học tập các bài toán về sự tiếp xúc giữa hai đồ thị của hai hàm số
Ví dụ 1: Chứng minh rằng hai đường cong và tiếp xúc với nhau tại một điểm nào đó. Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại tiếp điểm đó.
Giải:
 Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình
Vậy hai đường cong tiếp xúc nhau tại M( 1; 0 )
Hệ số góc của tiếp tuyến chung tại M của hai đường cong đã cho là
 y’(1) =2
Vậy phương trình tiếp tuyến chung tại M là y= 2x-2
4.1 Nhận xét: Bằng phép tương tự chứng minh được hai đường cong tiếp xúc nhau tại một điểm và xác định phương trình tiếp tuyến chung.
 a. và 
 b. và 
 c. và 
Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với trục hoành.
Giải: Để đồ thị của hàm số tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ
 có nghiệm
Từ (2) ta có m=3x2 thế vào (1) ta có
 x=1 hoặc x= 
 Với x=1 suy ra m=3
 suy ra m= 
Ví dụ 3: Tìm m để hai đồ thị của hai đường cong và tiếp xúc với nhau
Giải:
 Để đồ thị của hai đường cong tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ
 có nghiệm
Giải hệ ta được x=1; x=2; x=3.
Khi x=1 ta được m=2 hoặc m = 
 x= 2 ta được m= 
 x= 3 ta được m=2 hoặc m = 
Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng y= 3x+m tiếp xúc với đồ thị của hàm số 
Giải: 
 Để đường thẳng tiếp xúc với đồ thị của hàm số khi và chỉ khi
 Hệ có nghiệm
Giải hệ ta được x= và x= 
Với x= ta có m = 2
Với x= ta có m = -6
4.2 Nhận xét: Bằng phép tương tự xét sự tiếp xúc của hai đồ thị hàm số nào đó.
Bài toán 1: Tìm m để đường thẳng ( d ) y= mx -2m tiếp xúc với đồ thị ( C ) của hàm số y= x3
Bài toán 2: Tìm m để đồ thị của hàm số y = x3- mx2+1 tiếp xúc với đường thẳng y=5.
Bài toán 3: Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với trục hoành.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng đường thẳng y= px+q tiếp xúc với parabol khi và chỉ khi phương trình 
 Hay (1)
có nghiệm kép.
Giải: 
Đường thẳng y= px+q tiếp xúc với parabol 
 có nghiệm
Giả sử x=x0 là nghiệm của hệ phương trình trên, khi đó vì a khác 0 nên ta có thay vào (1) 
Vậy phương trình (1) có nghiệm kép.
Đảo lại , nếu phương trình (1) có nghiệm kép x0 thì . Hiển nhiên x= x0 cũng là nghiệm của phương trình 2ax+b=p. Vậy hệ trên có nghiệm
Do đó đường thẳng tiếp xúc với parabol.
4.3 Nhận xét: Có thể áp dụng khẳng định trong ví dụ 4 để xét sự tiếp xúc của đường thẳng và parabol.
Ví dụ 5: 
 Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A( 1; -2 ) và tiếp xúc với parabol ( P ) : y= x2-2x.
Giải: 
 Phương trình của đường thẳng đi qua A( 1; -2 ) có hệ số góc m là :
 y= m(x-1) – 2 
 Hoành độ giao điểm của đường thẳng và ( P ) là nghiệm của phương trình.
 (*)
Để đường thẳng tiếp xúc với parabol khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép, tức là 
 m= 2 hoặc m= -2.
Vậy có hai đường thẳng tiếp xúc với ( P ) đã cho đi qua điểm A (1;-2)
 y= 2x- 4 và y= -2x
Ví dụ 6:
 Chứng minh rằng khi m thay đổi ( m khác 0 ) đường thẳng y = mx- m2+1 luôn tiếp xúc với parabol cố định. Tìm parabol đó.
Giải:
 Gọi parabol luôn tiếp xúc với đường thẳng y= mx – m2 + 1 là ( P )
Khi đó phương trình 
 có nghiệm kép với mọi m,a khác 0.
Hay 
Vậy parabol cần tìm là 
Ví dụ 7:
 Chứng minh rằng với mọi m đồ thị của hàm số luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định tại điểm cố định. Hãy xác định đường thẳng cố định và điểm cố định đó.
Giải:
 Giả sử đồ thị của hàm số luôn tiếp xúc với đường thẳng y=ax+b tại A( x0;y0 ). Thế thì tại điểm A ta phải có
 với mọi m
 với mọi m
Vậy ta phải có
Vậy đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với đường thẳng y=-x tại A ( 1;-1)
4.4 Học sinh sáng tạo:
 Bài 1: Cho hàm số . Chứng minh rằng với mọi m đồ thị của hàm số luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định. Xác định phương trình hai đường thẳng đó.
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi m parabol luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
5. tổ chức học tập và sáng tạo cho học sinh bài toán dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
Ví dụ 1: Dùng đồ thị hàm số , biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Giải:
 Đồ thị của hàm số 
Ta có 
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng y=- m – 4 (d)
Vậy: nếu m > -4 thì đồ thị (C) không cắt đường thẳng (d) =>phương trình vô nghiệm
m = -4 thì đồ thị (C) cắt đường thẳng (d) tại 2 điểm phân biệt => phương trình có 2 nghiệm
-5 phương trình có 3 nghiệm
 m = -5 thì đồ thị (C) cắt đường thẳng (d) tại 2 điểm phân biệt => phương trình có 2 nghiệm
 m phương trình có 1 nghiệm
Ví dụ 2: Dựa vào đồ thị hàm sô biện luận số nghiệm của phương trình 
Giải:
 Đồ thị của hàm số
Ta có phương trình 
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng y = m (d)
Vậy 
 m phương trình có 2 nghiệm
 m = 0 thì đường thẳng (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt => phương trình có 3 nghiệm
 0 phương trình có 4 nghiệm
 m =1 thì đường thẳng (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt => phương trình có 3 nghiệm
 m> 1 thì đường thẳng (d) không cắt (C) => phương trình vô nghiệm
5.1 Các bài tập tương tự
Bài 1: Dựa vào đồ thị hàm số , biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Bài 2: Dựa vào đồ thị hàm số , biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Bài 3: Dựa vào đồ thị hàm số , biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Bài 4: Dựa vào đồ thị hàm số , biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Bài 5: Dựa vào đồ thị hàm số , biện luận theo m số nghiệm của phương trình với 
Ví dụ 3: Dựa vào đồ thị hàm số , biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Giải: 
 Đồ thị hàm số
Đặt 
Số nghiệm của phương trình , bằng số giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng y=k (d)
Vậy dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
+ k phương trình có 1 nghiệm
+ k = 0 thì đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt => phương trình có 2 nghiệm
+ 0 phương trình có 3 nghiệm
+ k = 4 thì đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt => phương trình có 2 nghiệm
+ k > 4 thì đường thẳng (d) cắt (C) tại 1 điểm phân biệt => phương trình có 1 nghiệm
Vẫn dùng đồ thị ta thấy
	 phương trình có 1 nghiệm
	 phương trình có 2 nghiệm
	 phương trình có 3 nghiệm
	 phương trình có 2 nghiệm
	 phương trình có 1 nghiệm
5.2 Nhận xét: Khi đặt ẩn phụ để đưa về sử dụng đồ thị hàm số đã vẽ cần lưu ý mối liên hệ giữa x và ẩn phụ mới đặt.
Bài toán: Dựa vào đồ thị hàm số , biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
Mục lục
trang
 Lời nói đầu 1 
Tóm tắt lý thuyết  2
Tổ chức học tập các bài toán về tìm số giao điểm của hai đồ thị hàm số 3
Tổ chức học tập và sáng tạo các bài toán tìm tham số để hai đồ thị hàm 4
Số cắt nhau .
Tổ chức học tập và sáng tạo các bài toán tìm tham số để hai đồ thị hàm 8
 Số tiếp xúc nhau ..
Tổ chức học tập và sáng tạo các bài toán dùng đồ thị biện luận số nghiệm 12
 của phương trình ...