Chuyên đề: So sánh hai số

CHUYÊN ĐỀ: SO SÁNH HAI SỐ 
I. SO SÁNH HAI LŨY THỪA 
- Đưa về cùng cơ số hoặc số mũ để so sánh. 
- Sử dụng số trung gian 
Các ví dụ so sánh: 
1) 230 và 320 
Ta có: 230 = 23.10 = (23)10 = 810 
 320 = 32.10 = (32)10 = 910 
Vì 810 < 910 nên 230 < 320 
2) 202303 và 303202 
Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = 3 101((2.101) ) = (23.101.1012)101 = (808.1012)101 
 303202 = (3.101)2.101 = ((3.101)2)101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 
Vì (808.1012)101 > (9.1012)101 nên 202303 > 303202 
3) 9920 và 999910 
Ta có: 9920 = (992)10 < (99.101)10 = 999910 
Vậy 9920 < 999910 
4) 111979 và 371320 
Ta có: 371320 = (372)660 = 1369660 
 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 
Vì 1369660 > 1331660 nên 111979 > 371320 
5) 201510 + 201511 và 201611 
Ta có: 201510 + 201511 = 201510(1 + 2015) = 201510.2016 < 201610.2016 = 201611 
Vậy 201510 + 201511 < 201611 
6) Chứng tỏ 527 < 263 < 528 
Ta có: 
27 3 9 9
63 7 9 9
5 (5 ) 125
2 (2 ) 128
  

 
  527 < 263 (1) 
63 9 7 7
28 4 7 7
2 (2 ) 512
5 (5 ) 625
  

 
  263 < 527 (2) 
Từ (1) và (2) 527 < 263 < 528 
7. So sánh 10750 và 7375 
Ta có: 
 
50
50 50 2 3 100 150
75 75 3 2 75 225 150
107 108 2 .3 2 .3
73 72 (2 .3 ) 2 .3
  
  



  10750 < 2100.3150 < 2225.3150 < 7375 
Vậy: 10750 < 7375 
8. So sánh 291 và 535 
Ta có: 
91 85 5 17 17
35 34 2 17 17
2 2 (2 ) 32
5 5 (5 ) 25
   

  
 291 > 3217 > 2517 > 535 
Vậy: 291 > 535. 
9. So sánh (- 32)9 và (- 16)13 
Ta có: 
9 5 9 45
13 4 13 52
( 32) ( 2 ) 2
( 16) ( 2 ) 2
     

    
 Vì - 245 > - 252  (- 32)9 > (- 16)13 
10. So sánh (- 5)30 và (- 3)50 
Ta có: 
30 3 10 10
50 5 10 10
( 5) (5 ) 125
( 3) (3 ) 243
   

  
  (- 5)30 < (- 3)50 
11. So sánh (- 32)9 và (- 18)13 
Ta có: 
9 5 9 45
13 13 4 13 52
( 32) ( 2 ) 2
( 18) ( 16) ( 2 ) 2
     

      
  (- 32)9 = - 245 > - 252 > (- 18)13 
Vậy: (- 32)9 > (- 18)13 
12. So sánh 
100
1
16
 
 
 
và 
500
1
2
 
 
 
Ta có: 
100 100
4 400
500 500
500
1 1 1
16 2 2
1 1 1
2 2 2
   
     
   

   
     
   
  
100
1
16
 
 
 
> 
500
1
2
 
 
 
13. So sánh: 
a) 2711 và 818 (Đưa về cơ số 3) 
b) 6255 và 1257 (Đưa về cơ số 5) 
c) 536 và 1124 ((36, 24) = 12) 
d) 32n và 23n (Đưa về lũy thừa n) 
e) 523 và 6.522 (523 = 5.522 < 6.522) 
f) 7.213 và 216 (7.213 < 8.213 = 216) 
g) 2115 và 275.498 (Đưa về lũy thừa của 3, 7) 
h) 19920 và 200315 
Ta có: 
20 20 20 20 20 40
15 15 15 15 15 45 15 5 40 15 5 5 40 5 20 40
199 200 2 .100 2 .10
2003 2000 2 .1000 2 .10 2 .10 .10 2 .2 .5 .10 5 .2 .10
   

     
Vì 220.1040 < 55.220.1040  19920 < 2003=15 
i) 290 và 536 ((90, 36) = 18) 
II. SO SÁNH PHÂN SỐ 
- Nhân thêm 2 vế 
- Cộng, trừ cho 1 
- Sử dụng trung gian 
- Sử dụng tính chất: 
 Nếu 
a a a c
1
b b b c

  

 Nếu 
a a a c
1
b b b c

  

Các ví dụ so sánh: 
1) A = 
2016
2015
2015 1
2015 1


 và B = 
2017
2016
2015 1
2015 1


C1: 
Ta có: A = 
2016
2015
2015 1
2015 1


A
2015
 = 
2016 2016 2016
2015 2016 2016 2016
1 2015 1 2015 1 2015 2015 2014 2014
. 1
2015 2015 1 2015 2015 2015 2015 2015 2015
   
   
   
B
2015
 = 
2017 2017 2017
2016 2017 2017 2017
1 2015 1 2015 1 2015 2015 2014 2014
. 1
2015 2015 1 2015 2015 2015 2015 2015 2015
   
   
   
Vì 
2016
2014
2015 2015
> 
2017
2014
2015 2015
 
2016
2014
1
2015 2015


 < 
2017
2014
1
2015 2015


Vậy A < B 
C2: 
Ta có: B = 
2017 2017 2017 2017
2016 2016 2016 2016
2015 1 2015 1 2015 1 2014 2015 2015
1
2015 1 2015 1 2015 1 2014 2015 2015
    
    
    
 = 
2016
2015
2015(2015 1)
2015(2015 1)



2016
2015
(2015 1)
A
(2015 1)



Vậy B > A 
2) A = 
2015
2016
2015 1
2015 1


 và B = 
2016
2017
2015 1
2015 1


C1: 
Ta có: A = 
2015
2016
2015 1
2015 1


2015 2016 2016
2016 2016 2016 2016
2015 1 2015 2015 2015 1 2014 2014
2015A 2015. 1
2015 1 2015 1 2015 1 2015 1
   
    
   
2016 2017 2017
2017 2017 2017 2017
2015 1 2015 2015 2015 1 2014 2014
2015B 2015. 1
2015 1 2015 1 2015 1 2015 1
   
    
   
Vì 
2016
2014
2015 1
 > 
2017
2014
2015 1
 nên 
2016
2014
1
2015 1


>
2017
2014
1
2015 1


Vậy A > B 
C2: 
Ta có: B = 
2016 2016 2016 2016
2017 2017 2017 2017
2015 1 2015 1 2015 1 2014 2015 2015
1
2015 1 2015 1 2015 1 2014 2015 2015
    
   
    
= 
 = 
2015 2015
2016 2016
2015(2015 1) 2015 1
A
2015(2015 1) 2015 1
 
 
 
Vậy B < A 
3) So sánh A= 
2013 2014 2015
2014 2015 2016
  và B = 
2013 2014 2015
2014 2015 2016
 
 
Ta có: A= 
2013 2014 2015
2014 2015 2016
  <
2013 2014 2015
2014 2015 2016 2014 2015 2016 2014 2015 2016
  
     
= 
2013 2014 2015
2014 2015 2016
 
 
 = B 
Vậy A < B 
4) So sánh: A = 
1945
1975
 và B = 
1975
2005
 ; 
2015
C
1975
  và 
1945
D
1985
  
C1: 
Ta có: A = 
1945 1975 30 30
A 1
1975 1975 1975
1975 2005 30 30
B 1
2005 2005 2005

   

    

Vì 
30 30
1975 2005

30 30 1945 1975
1 1
1975 2005 1975 2005
      
Vậy A < B 
C2: 
Ta có: 
1945 1945 1945 30 1975
A 1
1975 1975 1975 30 2005

    

= B 
Vậy A < B