Chuyên đề: Phương pháp tam giác bằng nhau - Môn: Hình học Lớp: 7

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
Chuyờn đề: ph-ơng pháp tam giác bằng nhau 
Mụn: Hỡnh học 
Lớp: 7 
I. Mục tiờu 
Sau khi học xong chuyờn đề học sinh cú khả năng: 
1.Biết vận dụng cỏc trường hợp bằng nhau của tam giỏc để chứng minh hai 
tam giỏc bằng nhau; Nắm được cỏc bước chứng minh hai đoạn thẳng hay hai gúc 
bằng nhau; Biết vẽ thờm đường phụ để tạo ra hai tam giỏc bằng nhau. 
2. Hiểu cỏc bước phõn tớch bài toỏn, tỡm hướng chứng minh 
3. Cú kĩ năng vận dụng cỏc kiến thức được trang bị để giải toỏn. 
II. Cỏc tài liệu hỗ trợ: 
- Bài tập nõng cao và một số chuyờn đề toỏn 7 
-Hỡnh học nõng cao THCS 
- Vẽ thờm yếu tố phụ để giải cỏc bài toỏn hỡnh học 7 
- Bồi dưỡng toỏn 7 
- Nõng cao và phỏt triển toỏn 7 
-  
III. Nội dung 
1. Kiến thức cần nhớ 
Ta đó biết nếu hai tam giỏc bằng nhau thỡ suy ra được cỏc cặp cạnh tương ứng 
bằng nhau, cỏc cặp gúc tương ứng bằng nhau. Đú là lợi ớch của việc chứng minh hai 
tam giỏc bằng nhau. 
*. Cỏc trường hợp bằng nhau của tam giỏc 
 a. Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh: Nếu ba cạnh của tam giỏc này bằng ba 
cạnh tương ứng của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau. 
 b. Trường hợp cạnh - gúc - cạnh: Nếu hai cạnh và một gúc xen giữa của tam 
giỏc này bằng hai cạnh và gúc xen giữa của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng 
nhau 
c. Trường hợp gúc - cạnh - gúc: Nếu một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc 
này bằng một cạnh và hai gúc kề của tam giỏc kia thỡ hai tam giỏc đú bằng nhau. 
*. Muốn chứng minh hai đoạn thẳng(hay hai gúc) bằng nhau ta thường làm 
theo cỏc bước sau: 
- Xột xem hai đoạn thẳng(hay hai gúc) là hai cạnh (hay hai gúc) thuộc hai 
tam giỏc nào. 
- Chứng minh hai tam giỏc đú bằng nhau 
- Suy ra hai cạnh (hay hai gúc) tương ứng bằng nhau. 
*. Để tạo ra được hai tam giỏc bằng nhau, cú thể ta phải vẽ thờm đường phụ 
bằng nhiều cỏch: 
- Nối hai cạnh cú sẵn trờn hỡnh để tạo ra một cạnh chung của hai tam giỏc. 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
- Trờn một tia cho trước, đặt một đoạn bằng một đoạn thẳng khỏc. 
- Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song với một đoạn thẳng. 
- Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng vuụng gúc với một đoạn thẳng. 
Ngoài ra cũn nhiều cỏch khỏc ta cú thể tớch luỹ được kinh nghiệm khi giải 
nhiều bài toỏn. 
2. Cỏc vớ dụ: 
2.1. Vớ dụ 1(BTNC&MSCĐ/123) 
Cho gúc vuụng xOy, điểm A trờn tia Ox, điểm B trờn tia Oy. Lấy điểm E trờn 
tia đối của tai Ox, điểm F trờn tia Oy sao cho OE= OB, OF= OA. 
a. Chứng minh AB = EF, AB  EF. 
b. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB 
và EF. Chứng minh rằng tam giỏc OMN vuụng cõn. 
Giải: 
GT ãxOy = 90
0
; AOx, BOy 
 OE = OB, OF= OA 
 M  AB: MA = MB 
 N  EF: NE = NF 
KL a, AB = EF, AB  EF 
 b. VOMN vuụng cõn 
Chứng minh 
a. Xột VAOB và VFOE cú: 
OA = OF ( GT) 
ãAOB = ãFOE = 90
0
  VAOB và VFOE(C.G.C) 
OB = OE (GT) 
AB = EF( cạnh tương ứng) 
 àA = àF (1) ( gúc tương ứng) 
Xột VFOE : àO = 90
0
  àE +àF = 90
0
 (2) 
 Từ (1) và (2)  àE +àA = 900  ãEAH =900 EH HA hay AB  EF. 
b. Ta cú: BM = 
1
2
AB( M là trung điểm của AB) 
 EN = 
1
2
EF( M là trung điểm của EF)  BM = EN 
 Mà AB = EF 
Mặt khỏc:VFOE : àO = 90
0
  àE +àF = 90
0 
VOAB : àO = 90
0
  àA+à1B = 90
0

 àE = à1B 
Mà 
 àA = àF (cmt) 
Xột VBOM vàVEON cú : 
 OB = OE (gt) 
 à1B = àE (cmt)  VBOM =VEON (c.g.c) 
 BM = EN (cmt) 
OM = ON (*) 
 Và ả1O = 
ả
2O 
Mà ả2O +
ả
3O =90
0 
 nờn ả1O +
ả
3O =90
0 
 ãMON = 90
0 
(**) 
x
y
F
H
N
E
M
AO
B
12
3
1
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
Từ (*) và(**) VOMN vuụng cõn 
2.2. VD2( BT26/VTYTP/62): 
Cho VABC cõn đỉnh A. Trờn cạnh AB lấy điểm D, trờn tia đối của tia CA lấy 
điểm E sao cho BD = CE. Nối D với E. Gọi I là trung điểm của DE. 
Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng. 
Giải 
 GT VABC: AB = AC 
 D  AB, E AC: BD=CE 
 I DE: ID = IE 
KL B, I, C thẳng hàng 
* Phõn tớch: B, I, C thẳng hàng  ãBIE+ ãEIC= 180
0
 Cần c/m ãBID= ãEIC 
 Mà ãBID+ ãBIE= 180 
 Cần tạo ra một điểm F trờn cạnh BC: VEIC = VDIF 
Chứng minh 
Kẻ DF// AC( F BC) ãDFB = ãACB ( hai gúc đồng vị) 
  ãDFB = ãABC 
Mà VABC cõn tai A  ãABC= ãACB (t/c) 
 VDFB cõn tai D  DB = DF 
Xột VDIF VàVEIC cú: 
 ID = IE (gt) 
 ãFDI = ãCEI (SLT, DF// AC)  VDIF =VEIC(c.g.c) 
 DF = EC (=BD) 
 ãDIF = ãEIC (hai gúc tương ứng) (1) 
Vỡ I DE nờn ãDIF + ãFIE= 180
0
 (2) 
Từ (1) và (2) ãEIC+ ãFIE= 180
0
 hay ãEIC+ ãEIB= 180
0
 B, I, C thẳng hàng. 
2.3. VD 3:(BTNC&MSCD/123) 
Cho VABC, àA= 60
0. Phõn giỏc BD, CE cắt nhau tại O. Chứng minh rằng : 
a. VDOE cõn 
b. BE + CD= BC. 
Giải 
 VABC, àA=60
0 
BD: Phõn giỏc àB (DAC) 
 GT CE: Phõn giỏc àC (EAB) 
 BD CE = {O} 
KL a. VDOE cõn 
 b. BE + CD= BC. 
O
1 2
4 3
A
CB F
DE
A
B
C
E
IF
D
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
Chứng minh 
Ta cú: VABC: àB +àC =180
0
 - àA=180
0
 - 60
0
 = 120
0 (Định lý tổng ba gúc của 
một tam giỏc) 
Mà à1B =
à
2
B
(BDlà phõn giỏcàB ) 
 à1C =
à
2
C
 (CE là phõn giỏc àC ) 
Nờn à1B +
à
1C = 
à à
2
B C
=
0120
2
= 60
0
VOBC: ãBOC = 180
0
 - (à1B +
à
1C )= 180
0
 - 60
0
=120
0
((Định lý tổng ba gúc của 
một tam giỏc) 
Mặt khỏc: ãBOC + ả1O = 180
0( kề bự) 
  ả1O =
ả
2O =60
0 
 ãBOC + ả2O = 180
0( kề bự) 
Vẽ phõn giỏc OF của ãBOC (FBC)  ả3O =
ả
4O =
ã
2
BOC
=60
0
Do đú : ả1O =
ả
2O =
ả
3O =
ả
4O =60
0
Xột VBOE và VBOF cú: 
 ả2B = 
à
1B (BDlà phõn giỏc
àB ) 
 BO cạnh chung  VBOE = VBOF(g.c.g) 
 ả1O =
ả
4O =60
0 
OE = OF (1) ( hai cạnh tương ứng) 
 Và BE = BF 
c/m tương tự VCOD = VCOF(g.c.g)OD =- OF (2) (hai cạnh tương ứng) 
 và CD = EF 
Từ (1 ) và (2)  OE = OD  VDOE cõn 
b. Ta cú BE = BF 
 CD = CF (cmt) 
 BE+CD=BF+FC=BC 
Vậy : BE + DC= BC 
* Nhận xột: 
- VD trờn cho ta thờm một cỏch vẽ đường phụ:Vẽ phõn giỏc OF của ãBOC . 
Khi đú OF là một đoạn thẳng trung gian để so sỏnh OD với OE. 
- Ta cũng cú thể vẽ thờm đường phụ bằng cỏch khỏc: Trờn BC lấy điểm 
F:BF= BE. Do đú cần c/m VBOE = VBOF(g.c.g) và VCOD = VCOF(g.c.g). 
3. Bài tập 
3.1.Bài tập 1: 62- BTNC&MSCĐ/117) 
 Tam giỏc ABC và tam giỏc A'B'C' cú AB=A'B', AC= A'C'. Hai gúc A và 
A'bự nhau. Vẽ trung tuyến AM rồi kộo dài một đoạn MD=MA. 
Chứng minh: a. ãABD=à'A 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
 b. AM = 
1
2
B'C' 
Giải 
GT VABC, VA'B'C': 
 AB=A'B', AC= A'C' 
 àA+à'A = 180
0
 M BC: MB=MC 
 D AM: MD=MA 
KL a. ãABD=à'A 
 b. AM = 
1
2
B'C' 
Chứng minh 
Xột VAMC và VDMB cú: 
 AM = MD (gt) 
 ãAMC = ãDMB (đối đỉnh)  VAMC = VDMB (c.g.c) 
 MC = MB( gt) 
 AC = BD ( hai cạnh tương ứng) 
 à1A = 
àD ( hai gúc tương ứng)  AC//BD ( vỡ cú cặp gúc SLT bằng nhau) 
 ãBAC + ãABD= 180
0
(hai gúc trong cựng phớa) 
 Mà ãBAC +à'A = 180
0
(gt) 
 ãABD=à'A 
b. Xột VABD và VB'A'C' cú: 
AB = A'B'(gt) 
ãABD=à'A (cmt)  VABD và VB'A'C'(c.g.c) 
BD = A'C'(=AC) 
AD = B'C' ( hai cạnh tương ứng) 
 Mà AM = 
1
2
AD (gt) 
AM = 
1
2
B'C' 
* Nhận xột: Hai tam giỏc cú hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp gúc xen giữa 
chỳng bự nhau thỡ trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giỏc này bằng một nửa 
cạnh thứ ba của tam giỏc kia. 
3.2. BT2: 63- BTNC&MSCĐ/117) 
Cho tam giỏc ABC. vẽ ra ngoài tam giỏc này cỏc tam giỏc vuụng cõn tại A là 
ABE và ACF. 
B'
A'
C'
A
B
CM
D
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
Chứng minh: a. BF = CE và BF  CE 
 b. Gọi M là trung điểm của BC. CMR: AM = 
1
2
EF 
Giải 
 VABC 
 VABE: àA= 90
0
, AB = AE 
 GTVACF: àA= 90
0
, AC = AF 
 MBC: MB=MC 
KL a.BF = CE và BF  CE 
 b.AM =
1
2
EF 
Chứng minh 
a. Ta cú: ãEAC = ãEAB+ ãBAC = 90
0
 + ãBAC 
 ãBAF = ãBAC + ãCAF = 90
0
 + ãBAC 
 ãEAC = ãBAF 
Xột VABF và VAEC cú: 
 AB = AE(gt) 
ãBAF = ãEAC (cmt)  VABF = VAEC(c.g.c) 
AF = AC (cmt) 
BF = CE ( hai cạnh tương ứng) 
vàà1B = 
à
1E ( hai gúc tương ứng) (1) 
Gọi O và I lần lượt là giao điểm của CE với BF và AB. 
Xột VAEI vuụng tại A cú à1E +
à
1I = 90
0
(2) 
Và à1I =
à
2I (đối đỉnh) (3) 
Từ (1), (2) và (3) à1B +
à
2I =90
0
 ãBOI = 90
0
BF  CE 
b. Ta cú: ãEAB+ ãBAC + ãCAF + ãFAE = 360
0
 ãBAC + ãFAE = 360
0 
- ( ãEAB+ ãCAF ) =360
0
-(90
0
+90
0
)=180
0
Ta thấy: VABC và VEAF cú hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp gúc xen giữa 
chỳng bự nhau nờn trung tuyến AM = 
1
2
EF 
E
A
F
B CM
O
I
1
2
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
3.3. BT3(HHNC/56): 
Cho VABC .vẽ ra ngoài tam giỏc này cỏc tam giỏc vuụng cõn tại A là ABE 
và ACF. Vẽ AH vuụng gúc với BC. Đường thẳng AH giao EF tại O. 
CMR: O là trung điểm của EF. 
Giải 
 VABC 
 VABE: àA= 90
0
, AB = AE 
GT VACF: àA= 90
0
, AC = AF 
 AH BC ( HBC) 
 AHEF ={O} 
KL O là trung điểm của EF. 
Chứng minh 
Kẻ EI AH, FKAH (I, K AH) 
Xột VAEI và VABH cú: 
I$ = àH = 90
0
AE = AB (gt)  
ãEAI = ãBAH ( cặp gúc cú cạnh tương ứng vuụng gúc cựng nhọn) 
 VAEI = VABH (cạnh huyền- gúc nhọn) 
EI = AH ( hai cạnh tương ứng) 
Tương tự:VAFK = VCAH (cạnh huyền- gúc nhọn) 
FK = AH ( hai cạnh tương ứng) 
Xột VOEI và VOFK cú: 
I$ = àK = 90
0 
EI = FK (=AH)  VOEI = VOFK(g.c.g) 
ãKFO= ãIEO (SLT, EI//FK) 
OE = OF ( hai cạnh tương ứng) 
Mà OEF(gt) 
O là trung điểm của EF. 
3.4. BT4( 88/ BDT7/101) 
Cho VABC cú àA = 60
0
 . Dựng ra ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc đều ABM 
và CAN. 
a. CMR: Ba điểm A, M, N thẳng hàng 
E
A
F
B C
K
I
O
H
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
b. c/m BN = CM 
c. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Tớnh ãBOC . 
Giải 
GT VABC : àA = 60
0
 VABM: AB= BM=MA 
 VCAN: AC=CN=NA 
 BN  CM = {O} 
Kl a. A,M,N thẳng hàng 
 b. BN=CM 
 c. ãBOC =? 
Chứng minh 
a. VABM, VCAN đều  ãBAM = ãCAN =60
0
Vậy ãMAN =ãBAM + ãBAC + ãCAN = 60
0
+60
0
+60
0
=180
0
M,A,N thẳng hàng 
b.Xột VABN và VACM cú: 
AB = AM (gt) 
ãBAN =ãCAM (=120
0
)  VABN = VACM(c.g.c) 
AN=AC(gt) 
BN = CM ( hai cạnh tương ứng) 
Và à1C =
ả
1N ( hai gúc tương ứng) 
c. ãBOC là gúc ngoài của VOCN 
 ãBOC =ãOCN + ãONC =à1C +
ãACN + ãONC 
Mà à1C =
ả
1N (cmt) 
 ãBOC = ả1N +
ãACN +ãONC = ãACN + ãANC =60
0
+60
0
=120
0
3.5.BT5(35/NC&PT/37) 
Chứng minh rằng: Nếu hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam 
giỏc này bằng hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giỏc kia thỡ hai 
tam giỏc đú bằng nhau. 
Giải 
GT VABC, VA'B'C': 
 AB = A'B', AC= A'C' 
 MBC: MB=MC 
 M'B'C': M'B'=M'C' 
 AM=A'M' 
KL VABC=VA'B'C' 
M A N
B C
O 1
1
A
B C
D
A'
C'
D'
M'
M B'
2
2 11
11
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
Chứng minh 
Lấy DAM: MD=MA 
Lấy D'A'M': M'D'=M'A' 
Xột VABM và VDMC cú: 
MB=MC(gt) 
ãAMB =ãCMD(đối dỉnh)  VABM và VDMC(c.g.c) 
AM = MD(cỏch lấy điểm D) 
CD= AB( hai cạnh tương ứng) 
Và ả2A =
ả
1D (1)( hai gúc tương ứng) 
C/m tương tự ; C'D'=A'B'; ả2'A =
ả
1'D (2) 
Xột VACD và VA'C'D' cú: 
AC = A'C'(gt) 
AD=A'D'(vỡ AM=A'M')  VACD = VA'C'D'(c.g.c) 
CD=C'D'(=AB) 
 à1A =
ả
1'A và
ả
1D =
ả
1'D (3) 
Từ (1), (2),(3)  ả2A =
ả
2'A mà 
à
1A =
ả
1'A 
ãBAC =ã' ' 'B A C 
Vậy VABC=VA'B'C'(c.g.c) 
* cỏch 2: 
VAMC và VA'M'C' cú: 
AM=A'M'(gt) 
à
1A =
ả
1'A (cmt)  VAMC = VA'M'C'(c.g.c) 
 AC= A'C'(gt) 
MC = M'C'( hai cạnh tương ứng) 
Mà MC = 
1
2
BC; M'C' = 
1
2
B'C'(gt). Do đú: BC=B'C'. 
Vậy VABC=VA'B'C'(c.c.c) 
4. Chốt lại phần lý thuyết và lưu ý vận dụng chuyờn đề: Khi cần phải chứng 
minh hai đoạn thẳng hay hai gúc bằng nhau 
5.Bài tập về nhà: 
Cho tam giỏc ABC cõn đỏy BC. ãBAC =20
0. Trờn cạnh AB lấy điểm E sao 
cho ãBCE =50
0. Trờn cạnh AC lấy điểm D sao cho ãCBD=60
0. Qua D kẻ đường thẳng 
song song với BC,nú cắt AB tại F. Gọi O là giao điểm của BD và CF. 
a. C/m VAFC=VADB. 
b. C/m VOFD và VOBC là cỏc tam giỏc đều. 
c. Tớnh số đo gúc EOB. 
d. C/m VEFD = VEOD. 
d. Tớnh số đo gúc BDE. 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn