Chuyên đề Phương pháp suy luận phân tích

 Tờn : Trương Quang An
 Giỏo viờn Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xó Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngói
 Điện thoại : 01208127776
Phương pháp suy luận phân tích
Trong quá trình giảng dạy các môn nói chung và môn hình học nói riêng thì việc tìm ra lời giải một bài tập đối với học sinh là tương đối khó khăn và thường là không có hệ thống và phương pháp cụ thể, nhất là những bài toán chứng minh hình học. Học sinh đọc các phần chứng minh trong sách giáo khoa và sách bài tập thì dễ hiểu nhưng để làm được bài thì lại gặp khó khăn. 
Bởi vì những chứng minh đó được lập luận chặt chẽ hợp lôgic nhẹ nhàng dẫn đến một hệ quả tất yếu. Nhưng làm sao biết được các trật tự lôgic đó? Làm sao biết được phải bắt đầu chứng minh từ đâu? Phải chứng minh yếu tố nào trước, yếu tố nào sau? ...
	Xuất phát từ lí do trên, qua quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi nhận thấy một trong những phương pháp để tìm được lời giải là phương pháp suy luận phân tích. Đây là một phương pháp đơn giản, dễ thực hiện, liên kết được điều phải chứng minh với những giả thiết và những điều đã biết để từ đó, học sinh có thể dễ dàng tìm ra được lời chứng minh cho một bài toán và trình bày được lời chứng minh đó một cách khoa học, lôgic. Hơn thế nữa là các em có thể vận dụng cách suy nghĩ này để giải quyết một vấn đề trong thực tế.
A. chứng minh hình học
Ví dụ mở đầu
	Cho tam giác ABC (ac < ab). Trên tia AC lấy E sao cho AE = AB. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, cắt BE tại H. Chứng minh:
BD = DE
BE ^ AD
GT
AC < AB
AE = AB
KL
a) BD = DE
b) BE ^ AD
Giải:
Phân tích
Chứng minh
a) 	cm 	BD = DE
	 ư
	cm	DBDA = DEDA
	 ư
	Có: 
Đủ điều kiện (c.g.c)
a) Nối DE.
DBDA và DEDA có:
đ DBDA = DEDA (c.g.c)
đ BD = DE
b) 	cm	BE ^ AD	 ( = 900)
ư
	 (1) AD là trung trực của BE 
cm	 (2) AD là đường cao
	 (3) 1 = 2
ư
(1) cm AD là trung trực của BE
Có AB = AE
ư
Cần cm DB = DE
(Đúng theo ý a)
 (2) cm AD là đường cao của DABE
Có AD là phân giác của 
ư
DABE cân tại A 
(Đúng vì AE = AB theo giả thiết)
 (3) 	cm 1 = 2
ư
cm	DABH = DAEH
ư
Có: 	
Đủ điều kiện (c.g.c)
b) 
(1) Ta có AB = AE (gt)
	và DB = DE (theo ý a)
đ AD là đường trung trực của BE
đ AD ^ BE
(2) Vì AB = AE 
nên DABE cân tại A 
Mà AD là phân giác của 
đ AD cũng là đường cao
đ AD ^ BE
(3) DABH và DAEH có:
	đ DABH = DAEH
	đ 1 = 2 
mà 1 + 2 = 1800
nên 1 = 2 = 1800: 2 = 900
Vậy BE ^ AD
Nhận xét: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong ví dụ này, ta đã sử dụng kiến thức về đường trung trực của một đoạn thẳng, về đường cao và về định nghĩa hai đường thẳng vuông góc. Qua suy luận và thực hiện, ta thấy sử dụng kiến thức về đường trung trực là hiệu quả nhất vì cách làm ngắn gọn và đặc biệt là nó sử dụng được kết quả đã có ở ý trước đó.
Bài tập 1
 Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng DBHE = DCHD.
GT
DABC cân tại A
BD ^ AC, CE ^ AB
 KL
DBHE = DCHD
Giải:
Phân tích
Chứng minh
DBHE và DCHD vuông tại E và D. Do đó: 
Cm: DBHE = DCHD
Có (Đối đỉnh)
í
Cần cm: EH = HD
í
Cần cm: DAHE = DAHD
DAHE và DAHD vuông tại E và D
Có AH chung
í
Cần cm AE = AD hoặc 
Chứng minh AE = AD
DAEC = DADB (ch – gn)
Chứng minh 
Dựa vào các đường trong tam giác cân
Xét DAEC và DADB có:
(DABC cân tại A)
 DAEC = DADB (ch – gn)
 AE = AD
Xét DAHE và DAHD có
ị DAHE = DAHD (ch – cgv)
ị EH = HD
Xét DBHE và DCHD có:
DBHE = DCHD (c.g.c)
Có thể chứng minh bằng cách khác
DBHE và DCHD vuông tại E và D.
Có (Đối đỉnh)
Do đó cần chứng minh HB = HC
í
DHBC cân tại H
í
Đúng vì cùng phụ với 2 góc bằng nhau 
Cách khác:
Ta có: 
Mà (DABC cân tại A)
ị 
ị DHBC cân tại H
ị HB = HC
Xét DBHE và DCHD có:
DBHE = DCHD (ch – gn) 
Nhận xét: Để chứng minh hai tam giác bằng nhau, trước hết ta xét xem hai tam giác đó đã có các yếu tố nào bằng nhau, cần chứng minh thêm yếu tố nào bằng nhau nữa. Từ đó, ta biết được cần phải chứng minh điều gì trước, điều gì sau.
3. Bài tập 2 (Bài tập này sử dụng kiến thúc đường trung bình của tam giác trong chương trình lớp 8)
	Cho tam giác ABC và trung tuyến BD. Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của BD thì AN cắt BC tại điểm N và CN = 2BN.
GT
AD = CD
BM = DM
KL
CN = 2BN
Giải:
Phân tích
Chứng minh
Cách 1
cm	CN = 2BN
Nếu lấy P là trung điểm của CN thì
	 ư
cm	CP = PN = BN
	 ư
cm	AN // DP
Đúng vì DP là đường trung bình của tam giác ACN
Cách 1
Gọi P là trung điểm của CN
đ DP là đường tung bình của tam giác ACN
đ AN // DP
Tam giác BDP có MN đi qua trung điểm cạnh BD và song song với cạnh DP nên đi qua trung điểm của BP.
đ BN = PN = CP
Vậy CN = 2BN
Cách 2
Do CN = 2BN ị 
Dự đoán CB là đường trung tuyến của một tam giác và N là trọng tâm của tam giác đó.
Cần cm N là trọng tâm của DACE
có CB là trung tuyến DACE
í
cm: AP là trung tuyến của DACE
í
cm: CP = PE
Để chứng minh CP = PE ta sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác hoặc định lý Ta-let trong tam giác
Cách 2
Trên tia đối của tia BA, vẽ 
BE = AB ị CB là trung tuyến của DACE (1)
Gọi P là giao điểm của CE và tia AN.
 Ta sẽ chứng minh N là trọng tâm của DACE
Ta có DB là đường trung bình của DACE ị DB // CE
ị M là trung điểm của AP
ị DM là đường trung bình của DACP và MB à đường trung bình của DAPE
ị và 
Mà DM = MB
ị CP = PE
ị AP là trung tuyến của DACE (2)
Từ (1) và (2) suy ra N là trọng tâm của DACE
ị CN = 2NB
	Nhận xét: Thông qua quá trình suy luận, ta liên kết được các kiến thức của giả thiết và kết luận, từ đó tìm được kiến thức liên quan và việc vẽ thêm hình là hệ quả tất yếu, cần thiết để có thể sử dụng các kiến thức liên quan đó. 
	Sau khi học sinh được làm nhiều các dạng bài tập như trên thì kỹ năng suy luận được hình thành, củng cố và cái đích là hình thành kỹ xảo để có các phản xạ tự nhiên, nhạy bén trước một bài tập khó.
Bài tập 3
	Cho tam giác ABC. Trên đường phân giác AD của góc A, lấy một điểm D bất kì. BD cắt AC tại M, CD cắt AB tại N. Chứng minh rằng nếu BM = CN thì tam giác ABC cân.
GT
D ẻ phân giác của 
BM = CN
KL
DABC cân
Giải: Đây là một bài tương đối khó.
 - Ta giả sử DABC không cân (cụ thể là AB < AC) 
- Chứng minh BM ạ CN.
Phân tích
Chứng minh
Giả sử AB < AC. Kẻ:
Ta sẽ chứng minh CN > NE 
tức là CN > BM
	ư 
CM	 và 
Giả sử AB < AC
Lấy điểm K trên AB sao cho AK=AB
đ K nằm giữa A và C và >
a) cm 	
mà	 (cùng bù với )
	 ư
cm 	
Lấy điểm K trên AB sao cho AK=AB
đ DABD = DAKD (c.g.c) (1)
đ 
đ cm 	
Đúng vì là góc ngoài của DCKD
b) Chứng minh 
ô	cm: CM > ME
ô 	cm: CM > BN
	ư
DBCM và DCBN có 
BC chung, BM=CN (gt)
	ư
cm	ô 	CD > BD
mà BD = KD (từ (1))
	ư
cm	CD > KD
đúng vì kề bù với góc nhọn nên là góc tù:
 > 
Xét DABD và DAKD có 
đ DABD = DAKD (c.g.c) 
đ 	(1)
 và BD = KD	(2)
Trong DCKD, góc CKD kề bù với góc nhọn AKD nên nó là góc tù:
 đ KD < CD	(3)
Từ (2) và (3) suy ra:
BD < CD đ 
Hai tam giác BCM và CBN có
 nên CM > BN (4)
Kẻ NE//BM và ME//AB cắt nhau tại E thì ta có: BN = ME (5)
BM = NE (6) và (7)
Từ (4) và (5) suy ra CM > ME
vậy trong DCME có 
Từ (1) và (7) suy ra đ 
đ CN > EN (8)
Từ (6) và (8) suy ra CN > BM
(trái giả thiết)
Điều này chứng tỏ điều giả sử là sai.
Vậy AB = AC.
Tức là tam giác ABC cân tại A
B.Bài tập
	Bài 1
	Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song m và n lần lượt tại A và B. Chứng minh rằng hai tia phân giác của cặp góc so le trong tương ứng song song với nhau.
	Bài 2
	Cho tam giác ABC với các trung điểm M và N của AB và AC. Kéo dài BN và CM những đoạn NB’ = BN và MC’ = CM. Chứng minh A là trung điểm của B’C’.
	Bài 3
	Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Chứng minh rằng:
AB = CD; AD = BC
AB // CD; AD // BC
	Bài 4
	Cho tam giác ABC trong đó = 900. Kẻ tia phân giác AD của góc A (D ẻ BC). Chứng minh = 450
	Bài 5
	Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có hai đường phân giác BM và CN bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân.