Chuyên đề : Phương pháp giải phương trình và bất phương trình vô tỉ

 khanhnguyennhatrang@gmail.com Tel : 0914455164 
1 
1 
SỞ GD VÀ ĐT KHÁNH HÒA CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM 
TRƯỜNG THPT  GV : NGUYỄN PHAN BÀO KHÁNH NGUYÊN 
TÀI LIỆU NÀY CỦA HỌC SINH : .. 
CHUYÊN ĐỀ : 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 
1. Các phương pháp giải PT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa. 
2) Phương pháp đặt ẩn phụ. 
3) Phương pháp biến đổi thành tích. 
4) Phương pháp nhân liên hợp 
5) Phương pháp đánh giá. 
6) Phương pháp hàm số. 
2. Các phương pháp giải BPT vô tỉ 1) Phương pháp lũy thừa. 
2) Phương pháp đặt ẩn phụ 
3) Phương pháp nhân liên hợp 
4) Phương pháp đánh giá. 
Tài liệu được sưu tầm của 1 giáo viên Nguyễn Trường Sơn và đã được chỉnh sửa bởi : 
 Nguyễn Phan Bảo Khánh Nguyên 
Số điện thoại : 091.44.55.164 
Gmail : khanhnguyennhatrang@gmail.com 
 khanhnguyennhatrang@gmail.com Tel : 0914455164 
2 
2 
BÀI 1 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 
I. Phương pháp lũy thừa. 
- Nêu các dạng phương trình cơ bản. 
Bài 1 Giải các phương trình 
a) 2 3 2 1x x x− + = + b) 23 9 1 2x x x− + = − 
c) 2 2 3 4x x x− = − d) 2 2( 3) 4 9x x x− − = − 
e) 3 7 2 8x x x+ − − = − f) 2 3 5 2x x x+ − − = − 
g) 2 2( 3) 3 2 8 15x x x x x− − + = − + h) 2 2( 4) 10 2 8x x x x+ − = + − 
i) 
2
3 2 1
3 2
x
x x
x
− − = −
−
 j) 
2
4 3 1
4 3
x
x x
x
− − = −
−
Bài 2 Giải phương trình 
a) 2 2 23 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + = + + 
b) 2 2 23 2 4 3 5 4x x x x x x− + + − + = − + 
Bài 3 Giải phương trình 
a) 3 3 35 6 2 11x x x+ + + = + b) 3 3 31 1 5x x x+ + − = 
c) 3 3 32 1 1 3 1x x x− + − = + . HD : 7 6x = (Phải thử , loại nghiệm) 
 Bài 4 Giải phương trình 
a) 1 4 9 0x x x x− + − + + + = . Bình phương 2 lần. nghiệm 0x = 
b) 1 16 4 9x x x x+ + + = + + + . Bình phương 2 lần. nghiệm 0x = 
c) 3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + + 
II. Phương pháp đặt ẩn phụ. 
1) Dạng 1 : Phương trình có chứa ( ) à ( )f x v f x 
Bài 1 Giải phương trình. 
a) 2( 1)( 4) 5 5 28x x x x+ + = + + Nghiệm 4; 9− 
b) 2 25 10 1 7 2x x x x+ + = − − 
c) 2(4 )(6 ) 2 12x x x x− + = − − 
d) 3 2( 5) 2 5 2 2x x x x+ = + − − 
Bài 2 Tìm để phương trình có nghiệm 
a) 2 2 4 (3 )(1 ) 2x x x x m− + + − + = − [ 1;11]m ∈ − 
b) 22 5 4 (3 )(1 2 ) 2x x x x m− + + − + = − 41 56 2[ 1; ]
8
m
+
∈ − 
Bài 3 Giải phương trình : 
a) 5 15 2 4
22
x x
xx
+ = + + b) 3 13 2 7
22
x x
xx
+ = + − 
2) Dạng 2 : Phương trình có chứa àA B v AB+ 
Bài 4 Giải phương trình 
a) 22 3 1 3 2 2 5 3 2x x x x x+ + + = + + + − Nghiệm 25 6 17− 
b) 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − = − 
c) 24 4 2 12 2 16x x x x+ + − = − + − 
d) 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − + 
 khanhnguyennhatrang@gmail.com Tel : 0914455164 
3 
3 
Bài 5 (B – 2011) Giải phương trình : 23 2 6 2 4 4 10 3x x x x+ − − + − = − . Đs : x = 6/5 
Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệm 
a) 21 8 7 8x x x x m+ + − = − + + + 6 2 9[ ;3]
2
m
−
∈ 
b) 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − = 
c) 23( 1 2 1 ) 2 1 2x x m x x x+ + − = + + + − 
3) Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn. 
Chú ý : 1 số bài có thể đặt 2 ẩn phụ đưa về PT tích hoặc đẳng cấp . 
Bài 7 Giải phương trình 
a) 2 2 23 2 1 2 2x x x x x+ − + = + + Đặt 2 2t x= + nghiệm 3;1t x= − 
b) 2 2( 1) 2 3 1x x x x+ − + = + 
c) 2 21 2 . 2x x x x− = − Nghiệm 1 2x = ± 
d) 2 23 48 (3 10) 15x x x x− + = − + 
e) 2 22( 1). 2 1 2 1x x x x x− + − = − − 
f) 2 24 ( 2). 2 15 39x x x x x+ = + − − + 
g) 2 2(1 4 ) 4 1 8 2 1x x x x− + = + + 
h) 3 3(4 1) 1 2 2 1x x x x− + = + + 
i) 3 33 2 ( 2) 2 1x x x x x+ + = + + + 
4) Phương pháp chia 1 lượng thích hợp để làm xuất hiện ẩn phụ. 
Bài 8 Giải phương trình. 
a) 2( 2) 4 2x x x x− − + = bình phương, chia 2x Đặt 4t x
x
= + 0;5t⇒ = thử lại 4x⇒ = 
b) 2 23 2 2 2 2x x x x x+ − + − − = chia cho x ⇒Nghiệm 2x = 
c) 21 4 1 3x x x x+ + − + = Chia 2 vế cho x và đặt 1 14;
4
t x x
x
= + ⇒ = 
d) 2 32( 2) 5 1x x+ = + 
5) Đặt nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp hoặc tích : 
• Chú ý : Nêu cách giải phương trình đẳng cấp bậc hai, ba. 
• Một số bài có thể bình phương trước rồi mới đặt 2 ẩn phụ 
Bài 9 . Giải phương trình 
a) 2 32( 2) 5 1x x+ = + Đs : (5 37) / 2x = ± 
b) 2 32 5 1 7 1x x x+ − = − Đs : 4 6x = ± 
c) 2 2 4 23 1 1x x x x+ − = − + Đs : 1x = ± 
d) 2 25 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = + Đs : 8;(5 61) / 2x = + 
e) 2 27 25 19 2 35 7 2x x x x x+ + − − − = + Đs : 3 2 7; (61 11137) /18+ + 
f) 2 22 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + + Đs : VN 
Bài 10. Giải phương trình : 2 24 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − + = − . Đs : 1/ 3; 4 / 9x x= = 
Bài 11. Giải phương trình : a/ 3 2 33 2 ( 2) 6 0x x x x− + + − = Đs : 2; 2-2 3x = 
- Chú ý có thể sửa lại đề bài thành : 3 ( 2)(3 2 2) 0x x x x− + − + = 
- Bài tập tương tự : b/ 3 2 33 2 ( 1) 3 0x x x x− + + − = c/ 3 2(3 4 4) 1 0x x x x+ − − + = 
 khanhnguyennhatrang@gmail.com Tel : 0914455164 
4 
4 
6) Dạng 6 : Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình 
Bài 12. Giải các phương trình : 
a) 32 3 2 3 6 5 8 0x x− + − − = (A – 2009) Nghiệm 2x = − 
b) 32 3 2 3 6 5 16 0x x− − − + = Nghiệm 2x = − 
c) 2 217 17 9x x x x+ − + − = Nghiệm 1; 4x = 
d) 3 33 3. 35 .( 35 ) 30x x x x− + − = Nghiệm 2 ; 3x = 
e) 
2
1 1 2
2x x
+ =
−
 Nghiệm 1 31;
2
x
− ±
= 
f) 3 31 2. 2 1x x+ = − Nghiệm 1 51;
2
x
− ±
= 
g) 3 32 3. 3 2x x+ = − 
h) 3 2 1 6 4 (2 1)( 4) 7 0x x x x+ − + + + + + = Đs : x = 0 
7) Dạng 7 : Đặt ẩn phụ đặc biệt. 
Bài 13. Giải các PT sau . ( Các dạng : 2ax b cx dx e+ = + + ) 
a) 21 4 5x x x+ = + + PT vô nghiệm. 
b) 24 9 7 7
28
x
x x
+
= + Đặt 
4 9 1
28 2
x y+ = + 
c) 22 6 10x x x+ = + + Đặt 2 3x y+ = + 
d) 22 1 4 12 5x x x+ = − + Đặt 2 1 2 3x y+ = − 
III. Phương pháp biến đổi thành tích. 
Bài 1 Giải phương trình 
a) 23 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + + . Đs : x = 0, x = 1 
b) 43 4
3
x
x x
x
+ + =
+
 Đs : 1x = 
c) 22 3 9 4x x x+ = − − Đs : 1; ( 5 97) /18x = − − 
Bài 2 Giải phương trình 
a) 2 10 21 3 3 2 7 6x x x x+ + = + + + − 
b) 2 8 15 3 3 2 5 6x x x x+ + = + + + − 
c) 22 1 ( 1) 0x x x x x x− − − − + − = 
d) 
2 7 4 4
2
x x
x
x
+ +
=
+
IV. Phương pháp nhân liên hợp. 
Chú ý : Đôi khi liên hợp từ chính các biểu thức có trong PT. 
Loại 1 : Các dạng PT chỉ có 1 nghiệm đẹp (nghiệm đơn) . 
Giải phương trình : 
1. (Khối B 2010) 23 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − = . Đs : 5x = 
2. 32 3 2 3 6 5 16 0x x− − − + = . Đs : 2x = − 
3. 23 2 3 5 0x x x x+ − − + + − = 
4. 23 2 5 0x x x x+ + + − = 
5. 2 212 5 3 5x x x+ + = + + . Đs : 2x = 
6. 2 215 3 2 8x x x+ = − + + 
7. 2 2 2 23 5 1 2 3 3 3 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + Đs : 2x = 
8. 3 2 31 2x x x− + = − . Đs : x = 3 
 khanhnguyennhatrang@gmail.com Tel : 0914455164 
5 
5 
HD Ta chứng minh : 
( ) ( )22 3 32 2 23
3 31 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2
3
3 9
2 5
x x
x
+ +
<
− +
Loại 2 : Các dạng PT có 2 nghiệm đẹp (đơn) 
A. Giải phương trình : 
 PP : Nhân liên hợp với (ax + b) 
 1. 23 3 3 1 5 4x x x x− + = + + + 2. 2 32 5 3 1 2 19 8x x x x+ + = + + + + 
 3. 28 3 24 (7 12 14)x x x x− − = − − 4. 231 34 (4 2)(2 8 9 2)x x x x x+ = − − + − + 
B. Giải phương trình : (1 trong 2 nghiệm đẹp là biên) 
PP : Moi nghiệm đẹp không phải là biên ra, rồi đánh giá phương trình còn lại để được nghiệm đẹp biên 
1. 21 4 1 3x x x+ + = + Đs : x = 0; ½ 
2. 21 9 1 4x x x+ + = + 
3. ( ) 234 2 10 2 9 37 4x 15 33x x x− − − = − − 
ĐK: 5x ≤ . Pt ( ) ( ) 234 4 9 37 8 4 10 2 4 15 81 0x x x x⇔ + − + − − + − − = 
PT ( )( )23 3
4 27 9 8(6 2 ) ( 3)(4 27) 0
4 10 216 4 9 37 9 37
x x
x x
xx x
+ +
⇔ + + + − =
+ −
− − + −
TH 1. 3 0 3x x+ = ⇔ = − (TMPT) 
TH 2. 3x ≠ − pt ( )23 3
36 16 4 27 0
4 10 216 4 9 37 9 37
x
xx x
⇔ + + − =
+ −
− − + −
( )23
36 16 4 27 0
4 10 212 9 37 2
x
xx
⇔ + + − =
+ −+ − −
Do 5x ≤ nên 36 16 4.5 27 0
12 4
VT ≤ + + − = . 
Đẳng thức xảy ra 5x⇔ = . Vậy phương trình có 2 nghiệm là 3− và 5 
@ CÒN CÁCH NÀO ĐỂ GIẢI ??? @ 
Loại 3 : Các dạng PT có 1 nghiệm kép (đẹp) . 
PP : Nhân liên hợp với (ax + b) 
1. 2 2 2 0x x x− + − = 2. 2 1 2 2 1x x x+ = + − 
3. 2 22( 1) 3 1 2 2 5 2 8 5x x x x x x− + + = + + − − 4. 24 12 1 4( 5 1 9 5 )x x x x x+ + − = − + − 
Loại 4 : Các dạng PT có nghiệm không đẹp 
1. 2 3 2 ( 1) 2 1x x x x− − = − + 2. 2 21 ( 2) 2 2x x x x x+ − = + − + 
3. 3 2 23 2 2 4 2 11x x x x x x+ + + = + + + 4. 3 2 2( 1) 1 1x x x x+ = + + + 
5. 2 2 2 3 1 2(3 1)x x x x x+ − + = + + + 6. 22 4 5 2 8 1 3 1x x x x x+ − + = − + + 
7. 2 3 2(6 12 6) 2 1 22 11x x x x x x+ − − = + − 8. 6 5 1 1 0
12 3 1
x x x
xx
− + −
+ =
++ +
9. 2 22 2 4 2 2 2x x x x x+ + − + − = + − 10. 32 33 4 2x x x= + + 
BT Thêm : 
1. 2 32( 2) 5 1x x+ = + 2. 3 2 5 ( 4) 2x x x x x− − − = + + 
3. 22 6 1 4 5x x x− − = + 4. 3 2 2( 1) 1 1x x x x+ = + + + 
5. 2 3 2 ( 1) 2 1x x x x− − = − + 6. 2 215 2 1 5x x x x= + + + + 
7. 2 2 2 1 6 5x x x+ = + + + 
 khanhnguyennhatrang@gmail.com Tel : 0914455164 
6 
6 
Loại 5 : Các dạng PT có 1 nghiệm đẹp , 1 nghiệm không đẹp : 
PP : Moi nghiệm đẹp ra trước, hoặc nghiệm k đẹp ra trước tùy độ phức tạp của PT tiếp theo 
1.(2015) 
2
2
2 8 ( 1)( 2 2)
2 3
x x
x x
x x
+ −
= + + −
− +
Loại 6 : Liên hợp từ chính các biểu thức trong PT : 
Bài 1. Giải phương trình : 
a) 2 22 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = + . Đs : x = 0; 8/7 
b) 2 22 1 1 3x x x x x+ + + − + = . Đs : Từ phương trình 0x⇒ > . x =1 . 
Các bài rèn luyện thêm 
Bài 1 Giải phương trình 
a) 2 23 1 ( 3) 1x x x x+ + = + + . b) 4 3 10 3 2x x− − = − 
c) 2 (2 )(5 ) (2 )(10 )x x x x x− − = + − − d) 2 22 16 18 1 2 4x x x x+ + + − = + 
e) 2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − + = + + + − + 
f) 2 2 2 23 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + 
Bài 2 Giải phương trình : 
a) 3 2 4 1 2 3x x x+ = − + − b) 3 2 31 3 2 3 2x x x− + − = − 
c) 2 32 11 21 3 4 4 0x x x− + − − = d) 3 2 31 1x x x− + = − 
BÀI TẬP ĐỂ GIẢNG CHO HS : 
BÀI 1 : 1 NGHIEM ĐẸP : 2(x 1) 2 ( 6) 7 7 12x x x x x+ + + + + ≥ + + (khối D – 14) 
BÀI 2 : có 2 NGHIEM ĐẸP : 2 22 3 21 17x x x x x− + − − ≥ − 
BÀI 3: NGHIEM kép ĐẸP : a/ 2 2 2 0x x x− + − = b/ 
2
3 3 14
1
x x
x x x
+ +
= +
− +
BÀI 4: NGHIEM không ĐẸP : a/ 2 4 3 ( 1) 8 5 6 2x x x x x+ + = + + + + 
b/ 2 3 2(6 12 6) 2 1 22 11x x x x x x+ − − = + − - 1 nghiem kép đẹp và 4 nghiệm k đẹp 
V. Phương pháp đánh giá. 
Loại 1: Tìm 1 nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất 
 1/ 2 35 6
3 4x x
+ =
− −
 2/ 1 1x x x− − − = 
Loại 2 : Đánh giá 2 vế đối lập : 
Bài 1 Giải các PT sau : 
a) 22 4 6 11x x x x− + − = − + Nghiệm 3x = 
b) 22 10 12 52x x x x− + − = − + 
c) 2 2 5 1 2x x x− + + − = Nghiệm 1x = 
d) 2 2 23 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − − Nghiệm 1x = − 
e) 62 1 19 2 2 10 24
x x
x x
− + − =
− + −
Bài 2 Giải PT sau : 
a/ 3 2 22 7 11 25 12 6 1x x x x x− + − = + − . HD:VT : 22 (7 4)( 3) ( ôs )x x x c i= − − + ≤ VP. Nghiệm 1;7x = 
b/ 3 2 22 5 3 3 2 6 1x x x x x+ + − = + − Nghiệm 1; 3x = 
 khanhnguyennhatrang@gmail.com Tel : 0914455164 
7 
7 
c/ 1 122 2 4 ( )2x x xx
− + − = − + 1 12( 2 ) ( 2 ) 42PT x x xx
⇔ − + + − + ≤ 
Bài 3. Giải phương trình:
2
2
2
6 15 6 18
6 11
x x
x x
x x
− +
= − +
− +
 (1) 
HD: ( ) ( )
2
2
4(1) 1 3 9
3 2
x
x
⇔ + = − +
− +
. Mà : ( )2
4 41 1 3
23 2x
+ ≤ + =
− +
 và ( )23 9 3x − + ≥ . Đs : x=3 
Bài 4 .Giải phương trình 2 4 2 413 9 16x x x x− + + = 
HD : Bình phương 2 vế ta được : 2 2 2 2(13 1 9 1 ) 256x x x− + + = . 
Áp dụng bđt bunhia : 2 2 2 2 2 2 2(13 1 9 1 ) ( 13. 13 13 3 3. 3 3 ) 40(16 10 )x x x x x− + + = − + + ≤ − 
⇒ VT 2 240(16 10 )x x≤ − . Áp dụng cosi VT VP≤ . Nghiệm 2
5
x = ± . 
Loại 3: Biến đổi về dạng tổng các bình phương 
1. 4 2 2 22 2 16 2 6 20 0x x x x x x− − + + − + = 2. 24 1 5 4x x x+ = − + 
3. 21 2 1 2 2x x x− + + = − 4. 220 38 4 1 6 2 3 12 2 5 3x x x x x+ = + + + + + + 
 IV : Phương pháp hàm số. 
PP : Xét hàm số (t)f luôn liên tục và đơn điệu thì PT (u) (v)f f u v= ⇒ = . 
Loại 1 : Các bài toán không chứa tham số : 
Bài 1 Giải các phương trình. 
a) 5 7 16 14x x x x+ − + + + + = . Đs : 9x = 
b) 31 4 5x x x− = − − + . Đs : 1x = . 
c) 22 1 3 4x x x− + + = − . Đs : 1x = . 
Bài 2 (CĐ – 2012) Giải phương trình 34 ( 1) 2 1 0x x x x+ − + + = . Đs : (1 5) / 4x = + 
Bài tập tương tự : 
a) 2 2 22 (4 1) ( 3 1) 3x x x x x x+ = + + + . Đs : 3
4
0;x = 
 b) 34 ( 2) 2 3 0x x x x+ − + + = 
Loại 2 : Các bài toán chứa tham số : 
Bài 1. Tìm m để phương trình có nghiệm : 2 22 4 2 4m x x x x= + + + − + . Đs : [4; )m∈ +∞ 
Bài 2. Tìm m để phương trình có nghiệm : 24 2x mx m− = − + . HD : Cô lập tham số, 8' 0 0;
5
y x= ⇔ = 
Bài 3. Tìm m để phương trình có nghiệm : 1 1 5 18 3 2 1x x x x m+ + − − − − − = + 
Bài 4 .(A – 2007) Tìm m để phương trình có nghiệm : 243 1 1 2 1x m x x− + + = − . HD : Cô lập m . 
Bài 5. (B – 2004) Tìm m để PT có nghiệm : 2 2 4 2 2( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − − 
HD : Đặt ẩn phụ : 2 21 1t x x= + − − 
Bài 6. (B – 2007) CMR : với mọi 0m > PT 2 2 8 ( 2)x x m x+ − = − luôn có hai nghiệm phân biệt : 
 khanhnguyennhatrang@gmail.com Tel : 0914455164 
8 
8 
BÀI 2 : PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 
I) Phương pháp lũy thừa. Có ba dạng phương trình cơ bản : 
Dạng 1 : 
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) [ ( )]
f x
f x g x g x
f x g x
 ≥

< ⇔ ≥
 <
Dạng 2 : 
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) [ ( )]
f x
g xf x g x
g x
f x g x
 ≥

 ⇔  ≥

>
Dạng 3 : A B C+ < 
Bài 1 Giải bất phương trình : 
a) 2 2 15 3x x x− − ≤ − Kết quả : [5;6]x ∈ 
b) 2 6 5 8 2x x x− + − ≥ − Kết quả : [3;5]x ∈ 
c) 2 2 8 3x x x− − < − 
d) 2 3 10 2x x x− − ≥ − 
Bài 2 Giải bất phương trình : 
a) 2 2( 3) 4 9x x x− + ≤ − 
b) 5 1 1 2 4 ( 2005)x x x A− − − > − − [2;10)x⇒ ∈ 
c) 7 13 3 9 5 27x x x− − − ≤ − 
d) 1 2 2 5 1 ( 2009)x x x CD+ + − ≤ + − 
e) 
22( 16) 73 ( 2004)
3 3
x x
x A
x x
− −
+ − > −
− −
Bài 3 Giải bất phương trình : 
a) 
251 2 1
1
x x
x
− −
<
−
b) 
28 2 1
6 3
x x
x
+ − ≥
−
c) 
2
1 1
2 12 3 5 xx x
>
−+ −
5 3( ; ) (1; ) (2; )
2 2
S −= −∞ ∪ ∪ +∞ 
Bài 4 Giải bất phương trình : 2 24 3 2 3 1 1x x x x x− + − − + ≥ − 
II) Phương pháp đặt ẩn phụ. 
Bài 1 Giải bất phương trình : 
a) 2 25 10 1 7 2x x x x+ + > − − ( ; 3) (1; )T = −∞ − ∪ +∞ 
b) 2 22 5 6 10 15x x x x+ − − > + 
c) 2( 3)(8 ) 11 0x x x x− − + − < 
Bài 2 Giải bất phương trình : 
a) 5 15 2 4
22
x x
xx
+ < + + 12 3
1
x x
x x
+
− >
+
Bài 3 (B – 2012) Giải bất phương trình 21 4 1 3x x x x+ + − + ≥ . Đs : 1[0; ] [4; )
4
x ∈ ∪ +∞ 
Bài 4 (Thử GL – 2013) Giải BPT : 2 22 3 5 4 6x x x x x− − + ≤ − − . Đs : [3 13; )x ∈ + +∞ 
Bài 5 Giải bất phương trình 
 khanhnguyennhatrang@gmail.com Tel : 0914455164 
9 
9 
a) 2 25 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − ≤ + . Đs : 5 61[ ;8]
2
x
+
∈ 
b) 2 27 25 19 2 35 7 2x x x x x+ + − − − < + 
Bài 6 Giải BPT : 1. 3 2(3 4 4) 1 0x x x x+ − − + ≤ Đs : S = 1 51;
2
 +
− 
 
 2. 3 2 33 2 ( 2) 6 0x x x x− + + − ≤ 
HD : C1 : chia lượng thích hợp C2 : đưa về tích 
III) Phương pháp nhân liên hợp. 
Bài 1 Giải bất phương trình : 
a) 1 1x x x+ − − ≥ 
b) 
21 1 8 1
2
x
x
− −
< Nghiệm 
1 1[ ;0) (0; )
32 2
T −= ∪ 
c) 2 2( 3) 4 9x x x− + ≤ − 
Bài 2 Giải bất phương trình : 
a) Giải phương trình : 23 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − < . Đs : 1[ ;5)
3
x
−
∈ 
b) Giải phương trình : 32 3 2 3 6 5 16 0x x− − − + ≥ . Đs : x [ 2;6 / 5]∈ − 
IV) Phương pháp đánh giá. 
Bài 1 Giải các PT sau : 
a) 22 4 6 11x x x x≥− + − − + Nghiệm 3x = 
b) 22 2 5 1 1 2x x x x x− + + − ≤ + − Nghiệm 1x = 
c) 2 2 23 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x≤+ + + + + − − Nghiệm 1x = − 
d) 62 1 19 2 2 10 24
x x
x x
≥− + −
− + −
Bài 2 Giải PT sau : 
a) 3 2 22 7 11 25 12 6 1x x x x x≥− + − + − VT : 22 (7 4)( 3) ( ôs )x x x c i= − − + ≤ VP 
b) 3 2 22 5 3 3 2 6 1x x x x x≥+ + − + − 
Bài 3 (A – 2010) Giải BPT : 
2
1
1 2( 1)
x x
x x
− ≥
− − +
Hướng dẩn : 
Ta có 21 2( 1) 0x x− − + < nên 22( 1) 1 (1)BPT x x x x⇔ − + ≤ − + . 
Mặt khác ta lại có : 2 2 22( 1) 2(1 ) 2( ) 1 (2)x x x x x x− + = − + ≥ − + 
Từ đó 22( 1) 1x x x x⇒ − + = − + . 
Dấu bằng khi 3 51 ( / 0)
2
x x x t m x
−
− = ⇔ = ≥