Chuyên đề Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình

CHUYÊN ĐỀ 
NHẬN BIẾT HÌNH, TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT HÌNH.
A. LÝ THUYẾT.
1. Phương pháp nhận biết tam giác cân.
-Tam giác có hai cạnh bằng nhau.
-Tam giác có hai góc bằng nhau.
-Tam giác có 1 trung tuyến vừa là đường cao (hoặc vừa là đường phân giác).
2. Phương pháp nhận biết tam giác đều.
-Tam giác có ba cạnh bằng nhau.
-Tam giác có ba góc bằng nhau.
-Tam giác cân có 1 góc bằng 600.
3. Phương pháp nhận biết tam giác vuông.
-Tam giác có một góc bằng 900.
-Tam giác có 1 trung tuyến xuất phát từ một đỉnh bằng nửa cạnh đối diện
-Tam giác có tổng bình phương hai cạnh bằng bình phương cạnh thứ ba (định lý pytago đảo).
4. Phương pháp nhận biết tam giác vuông cân.
-Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau.
-Tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng 450
5. Phương pháp nhận biết hình thang, hình thang cân.
*Hình thang:
-Tứ giác có hai cạnh đối song song.
*Hình thang cân.
-Hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau.
-Hình thang có hai đường chéo bằng nhau.
6. Phương pháp nhận biết hình bình hành.
-Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song.
-Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau.
- Tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau.
-Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau.
-Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
7. Phương pháp nhận biết hình chữ nhật.
-Tứ giác có 3 góc vuông.
-Hình bình hành có 1 góc vuông.
-Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
8. Phương pháp nhận biết hình thoi.
-Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.
-Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
-Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc.
-Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác của một góc.
9. Phương pháp nhận biết hình vuông.
-Hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau.
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau.
-Hình thoi có 1 góc vuông.
-Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
B. BÀI TẬP.
Bài 1: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. BM và DN cắt AC lần lượt ở P và Q.
a/ So sánh các đoạn AP, PQ, QC.
b/ Tứ giác MPNQ là hình gì ?
c/ Tính tỉ số để MPNQ là hình chữ nhật.
d/ Tính để MPNQ là hình thoi.
e/ Tam giác ACD phải có gì đặc biệt để MPNQ là một hình vuông.
Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi K là điểm chính giữa của cung AB. Gọi M là một điểm trên cung AK, N là một điểm trên dây cung BM sao cho BN = AM. Chứng minh rằng:
a/ ∆AMK = ∆BNK.
b/ MKN là tam giác vuông cân và MK là phân giác ngoài của góc AMN.
c/ Khi M chuyển động trên cung AK thì đường vuông góc với BM kẻ từ N luôn đi qua một điểm cố định ở trên tiếp tuyến của nửa đường tròn tại B.
Bài 3. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. D và E lần lượt là điểm chính giữa của các cung AB và AC. DE cắt AB ở I và cắt AC ở L.
a/ Chứng minh DI = IL = LE.
b/ Chứng minh tứ giác BCED là hình chữ nhật.
c/ Chứng minh tứ giác ADOE là hình thoi và tính các góc của hình này.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hai đường tròn đường kính AB và AC có tâm là O1 và O2. Một cát tuyến biến đổi đi qua A cắt đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại M và N.
a/ Chứng minh ∆MHN là tam giác vuông.
b/ Tứ giác MBCN là hình gì?
c/ Gọi F, E, G lần lượt là trung điểm của O1O2, MN, BC. Chứng minh F cách đều 4 điểm E, G, A, H.
d/ Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E di chuyển trên đường nào ?
Bài 5. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên tia BC lấy đoạn BK = b (b < a). Trên tia đối của tia DC lấy đoạn DE = BK. Dựng hình bình hành KAEN.
a/ Chứng minh rằng KAEN là hình vuông.
b/ Chứng minh rằng khi b thay đổi (tức K di động trên BC kéo dài) thì điểm N nằm trên tia phân giác của góc DCK.
c/ Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng CN không phụ thuộc vào a.
d/ Gọi I là trung điểm của AN. Chứng minh 3 điểm B, D, I thẳng hàng.
Bài 6. Cho hình thang ABCD. P và Q lần lượt là trung điểm hai đáy AB và CD, M và N lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD và BC. R và S lần lượt là trung điểm hai đường chéo BD và AC.
a/ Tứ giác PSQR là hình gì ? Tứ giác ABCD thêm điều kiện gì để PSQR là hình thoi ? Là hình vuông ?
b/ Chứng minh rằng 4 điểm M, N, R, S thẳng hàng và RS bằng nửa hiệu của hai đáy.
c/ Chứng minh rằng MN và RS có cùng một trung điểm.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có các đường chéo vuông góc với nhau tại I.
a/ Chứng minh rằng nếu từ I ta hạ đường vuông góc xuống một cạnh của tứ giác thì đường vuông góc này qua trung điểm của cạnh đối diện của cạnh đó.
b/ Gọi M, N, R, S là trung điểm của các cạnh của tứ giác đã cho. Chứng minh MNRS là hình chữ nhật.
c/ Chứng minh đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật này đi qua chân các đường vuông góc hạ từ I xuống các cạnh của tứ giác.
Bài 8. Cho hình vuông ABCD. Lấy B làm tâm, bán kính AB vẽ đường tròn phía trong hình vuông. Lấy AB làm đường kính vẽ đường tròn phía trong hình vuông. Gọi P là điểm tùy ý trên cung AC (không trùng với A và C), H và K lần lượt là hình chiếu của P trên AB và AD, PA và PB cắt nửa đường tròn lần lượt ở I và M.
a/ Chứng minh I là trung điểm của AP.
b/ Chứng minh PH, BI, AM đồng quy.
c/ Chứng minh PM = PK = AH.
d/ Chứng minh tứ giác APMH là hình thang cân.
e/ Tìm vị trí điểm P trên cung AC để ∆APB là tam giác đều.
Bài 9. Cho tam giác ABC. Kẻ EF//BC (E thuộc AB, F thuộc AC) sao cho AE = CF. Qua E kẻ một đường thẳng song song với AC, cắt BC ở D.
a/ Chứng minh AD là phân giác của góc A.
b/ Tam giác ABC phải có điều kiện gì tứ giác EFCD là hình thoi?
Bài 10. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C và D chia nửa đường tròn đó thành 3 phần bằng nhau (điểm C ở gần điểm B).
a/ Chứng minh tứ giác BCDO là hình thoi và góc BOD = 1200.
b/ Gọi I là trung điểm của dây cung AD. Chứng minh tứ giác OBDI là hình thang.
c/ Tiếp tuyến của đường tròn tại A cắt tia OI ở E và tia BD ở F. Chứng minh OE = AF.
d/ Chứng minh .
-------------------------Hết------------------------