Chuyên đề một số phương pháp tính tích phân

Phần I
đặt vấn đề
 Toán học là một môn khoa học tự nhiên , toán học có một vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực khoa học, nhưng toán học lại rất gần gũi với thực tiễn. Một trong các chủ đề của chương trình giải tích lớp 12 là tích phân và ứng dụng của tích phân; Vấn đề tích phân là một trong những bài toán học sinh yêu thích bởi không những được áp dụng trong các bộ môn khoa học khác mà còn ứng dụng rất cụ thể trong thực tế. Trong các kì thi, đặc biệt là thi đại học thường gặp rất nhiều các bài toán tính tích phân hay tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay. Vấn đề đặt ra là cần tính các tích phân trên cơ sở lí thuyết, việc định hướng cho học sinh có các phương pháp giải và lựa chọn các phương pháp phù hợp với từng bài toán là mục đích tôi làm chuyên đề này. Ngoài ra chuyên đề còn giúp các em phát triển khả năng tư  duy, sáng tạo và say mê bộ môn toán học.
Với những lí do đó và tôi đang trực tiếp giảng dạy lớp 12 nên tôi đã thực hiện đề tài này, nội dung đề tài được thực hiện trong các tiết bài tập chủ đề tự chọn và ôn tập cuối năm.
GiảI quyết vấn đề
2.1 Cơ sở lí luận của vấn đề
 CHUYấN ĐỀ Một số phƯơng pháp tính tích phân
a. Lí thuyết
1. Định nghĩa tích phân
1. Công thức Niutơn - Laipnit:
Chú ý: Tích phân chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số tích phân. Vì vậy ta có thể viết:
2. ý nghĩa hình học của tích phân
 Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên [a; b] thì là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f (x) ,trục hoành và các đường thẳng x = a ; x = b.
3.Các tính chất của tích phân
Giả sử các hàm số f(x) , g(x) liên tục trên khoảng K và a, b,c là các điểm thuộc K. Dựa vào định nghĩa ta có các tính chất sau: 
Tính chất 1. 
Tính chất 2. 
Tính chất 3. 
Tính chất 4. 
Tính chất 5. 
Tính chất 6. Nếu thì 
Tính chất 7. Nếu thì 
Tính chất 8. Cho t biến thiên trên đoạn [a;b] thì là nguyên hàm của f(t) và G(a) = 0.
B. Các phƯơng pháp cơ bản
 1. phương pháp phân tích sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
CÁC CễNG THỨC NGUYấN HÀM CƠ BẢN:
Stt
Cơ bản
Mở rộng 1
Mở rộng 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
 Bằng các phếp biến đổi sơ cấp hoặc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi các biểu thức dới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận đợc từ bảng nguyên hàm cơ bản. Từ đó ta xác định đợc giá trị của tích phân.
Ví dụ: Cho hàm số 
Tìm hai số A, B sao cho 
Tính 
Giải
Ta có 
Đồng nhất thức ta đợc: 
Với kết quả câu a. ta đợc: 
Bài Tập
1. = 6. 2. = 	3. = . 4. = 4. 5. = 2. 	6. = 
7. = . 8. = 2	 	9. = 
10. 11. = . 	12. = 0 
13. 14. 	15. = 
16. =	17. 
18. = 0. 19. 20. 
21. = 22. 23.  TQ của cỏc bài 21đ 23: Tớnh I = = ?
24. = . 25. 26. = 
27. = 28. = 29. = 1 
30. Cho I = & J = 
 a) Tớnh I + J & I – J
 b) Tớnh I, J
2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
 Phơng pháp đổi biến số để tính tích phân có hai dạng cơ bản dựa trên cơ sở là định lí sau:
Định lí:
Nếu và là hàm số cú đạo hàm trong [a; b] thỡ:
Nếu hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [a; b], hàm số và 
Tồn tại đạo hàm liờn tục trờn đoạn 
. Khi t biến đổi từ đến thỡ x biến thiờn trong [a; b] 
 Khi đú: .
* Đổi biến số dạng 1. Tớnh 
Nếu viết đợc g(x) dới dạng f[u(x)] u’(x), Thì bài toán đa về tính tích phân mới đơn giản hơn:
Ví dụ: Tính tích phân: I = 
Giải
Đặt Khi đó: 
 Đổi cận x = 0 thì t =1; x = thì x = 2 
* Đổi biến số dạng 2. Tớnh Ta thực hiện theo cỏc bước sau
 Bước1: Chọn trong đú là hàm số mà ta chọn cho thớch hợp.
 Bước 2: Lấy vi phõn 
 Bước 3: Tớnh cỏc cận và tương ứng theo a và b.
 Bước 4: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt
 Khi đú: 
Lưu ý: một số dấu hiệu nhận biết 
 1. Xuất hiện thỡ ta đặt x = a.sint với t 
 2. Xuất hiện thỡ ta đặt x = a.tant với t
 3. Xuất hiện thỡ ta đặt x = với t
 4. Xuất hiện thỡ đặt x = a.cos2t 
Ví dụ1 Tính tích phân: I = 
Giải
Đặt x = sint, khi đó dx = cost dt
Đổi cận 
Ví dụ2: Tính tích phân: I = 
Giải
 Đặt x= a.cos2t, khi đó dx = -2a. sin2t dt
 Đổi cận: 
Ta có 
Bài Tập
31.= 	32.= 	33. = sin1 
34.= 	35.= 	36. 
37.=2 	38. = 39. =
40.= 41. = 42. = 
43. = 	44.= 45.=
46. = 	47. = 	48.=
49. = 50. = 	51. 
52. Cho I = & J = 
 a) Hóy tớnh I, J.	 Đỏp số: I = J = .
 b) Áp dụng tớnh: I = , J = 
*Ghi nhớ: Cho là hàm số liờn tục trờn [0; 1] ta cú: 
53. 	54. 55. 
56. = 	57. = 58.
3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
 Công thức : 
Cần lu ý một số phép chọn:
Dạng 1: (hoặc ) với P(x) là đa thức thuộc R(x) 
 Khi đó đặt u = P(x)
Dạng 2: f(x) = eax. cosx (hoặc f(x) = eax. sinx ) thì đặt u = cosx (hoặc u = sinx) 
Dạng 3: f(x) = P(x)eax (hoặc f(x) = P(x)eax ) Thì đặt u = P(x)
Dạng 4: f(x) = xa lnx thì đặt u = lnx.
Ví dụ1: Tính tích phân: 
Đặt: 
Khi đó 
Xét tích phân: 
Vậy 
Ví dụ2: Tính tích phân: 
Giải
Tính 
Tính 
Đặt 
Vậy 
Vớ d ụ 3 Tính tích phân: 
Giải
Đặt 
Bài Tập
59. 	 	60.= 	61. 62. = 63. = 	64. 
65. = 66.= 	67.= 68.= 69. = 	70.= 
71. = 72.	73. 
4. Một số phép đổi biến đặc biệt
Cho hàm số f(x) liờn tục trờn đoạn [-a,a] , a>0
 	Đặt I = Chứng minh đợc:
 	a) Nếu f(x) là hàm số chẵn thi I = 2
 	b) Nếu f(x) là hàm số lẻ thi I =0.
 	Áp dụng tớnh cỏc tớch phõn sau:
 = =0. = =.
= =0. = =0. 
 Cho a > 0 và là hàm chẵn , liờn tục trờn .
 Ta chứng minh đợc với mọi cD ta luụn cú: 
 	 Áp dụng tớnh cỏc tớch phõn sau:
= =. 	 = == 
= 	 	= 
= 	
 Cho hàm số tuần hoàn chu kỳ T, xỏc định và liờn tục trờn 
và cho . Ta chứng minh rằng: 
 	Áp dụng tớnh tớch phõn sau: 
4. Cho hàm số liờn tục trong [-1; 1]. 
Chứng minh rằng:	
 	Áp dụng tớnh cỏc tớch phõn sau:
I= 	J= = 	K=
5. Tính tích phân các hàm số lượng giác
*)Phương phỏp hệ số bất định đối với tớch phõn lượng giỏc
Để tớnh: Thỡ ta tỡm cỏc hệ số A, B, C sao cho:
 	.
Tớnh : Ta đặt . 
 thay & 
 	Áp dụng tớnh cỏc tớch phõn sau:
74. 	Đỏp số: 
75. 
*) T ớnh tớch phõn dạng : 
Ta đổi biến số bằng cỏch đặt: 
Áp dụng tớnh cỏc tớch phõn sau
76. 	77.	
78. Đỏp số: I1 = 0
79. Đỏp số: I1 = 0
80. Đ ặt v à 
 a. Tớnh I – 3 J và I + J
 b. Tớnh I và J . Tớnh 
 Đỏp số: 
6. Tính tích phân các hàm số phân thức 
 Chỳ ý: - Nếu Q(x) là đa thức khụng phõn tớch được thành nhõn tử thỡ viết Q(x) về dạng Q = (ax + b)2 + c2 rồi đặt ax + b = c tant
 - Nếu Q(x) là đa thức phõn tớch được thành nhõn tử thỡ mỗi phõn thức đều cú thể phõn tớch được thành tổng cỏc phõn thức cơ bản dạng:
 1) 
 2) 
 ( Khi đa thức x2 + px + q cú biệt thức < 0 )
 Ngoài ra cú thể dựng: và đặt: t = x + a 
cú tớch phõn dạng (*) sau đú tớnh tớch phõn (*) bằng phương phỏp tớch phõn từng phần: Đặt: 
 3) 
 ( Khi đa thức x2 + px + q cú biệt thức < 0 )
Lưu ý: Tỡm cỏc hằng số A, B, C, M, N bằng cỏch cõn bằng hệ số của cỏc luỹ thừa cựng bậc ở hai vế hoặc cho x cỏc giỏ trị hợp lý để tỡm.
81. Xỏc định cỏc hệ số A, B, C để: 
 Tớnh : I = 
82. 83. 84. 
85. 86. 87. 
88. 89. 90. 
91. 92. 
7. Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Cỏc bài toaỏn tớnh tớch phõn hàm chứa dấu căn thức thường chỳ ý tới phương phỏp dặt ẩn phụ
93. 94. 
 95. 96. 
8. Tính tích phân các hàm số chứa dấu trị tuyệt đối
Xột dấu biểu thức f(x,m) trờn đoạn [a; b] phỏ dấu trị tuyệt đối rồi tỏch thành tổng cỏc tớch phõn. Chẳng hạn f(x,m) = 0 cú nghiệm c, d.. thuộc đoạn [a; b ] khi đú:
97. 	 98. 	
99. 100. 	 
 MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHI ỆP VÀ ĐẠI HỌC
*Đề thi tốt nghiệp 2004-2005: Tớnh : I = Đỏp số: 
*Đề thi tốt nghiệp 2005-2006: Tớnh : I = Đỏp số: 
(Khụng phõn ban).
*Đề thi tốt nghiệp 2005-2006: Tớnh: I = và J = 
 (Hệ phõn ban).
*Đề thi tốt nghiệp 2006-2007: Tớnh : I = Đỏp số: 
(Khụng phõn ban).
*Đề thi tốt nghiệp 2007-2008: Tớnh : I = Đỏp số: 
(Khụng phõn ban).
*Đề thi tốt nghiệp 2007-2008: Tớnh : I = Đỏp số: 
(Hệ phõn ban).
Đề dự bị 2002-khối A. tớnh I = . Đỏp số: 
Đề dự bị 2002-khối B. Tớnh I = . Đỏp số: .
Đề dự bị 2002-khối D. Tớnh I = . Đỏp số: .
 Năm 2003 - A : Tớnh tớch phõn I = 	Đỏp số: I = 
Đề dự bị 1 - 2003-khối A. Tớnh I =. 	Đỏp số: .
Đề dự bị 2 - 2003-khối A. Tớnh I = 	Đỏp số: 
 Năm 2003 - B : Tớnh tớch phõn I = 	Đỏp số: 
Đề dự bị 1 - 2003-khối B. Tớnh I = 	Đỏp số: .
Đề dự bị 2 - 2003-khối B. Cho hàm số 
 Tỡm a và b biết rằng: và . 	Đỏp số: 
 Năm 2003 - D : Tớnh tớch phõn I = Đỏp số: I =1.
Đề dự bị 1 - 2003-khối D. Tớnh I = 	Đỏp số: .
Đề dự bị 2 - 2003-khối D. Tớnh I = 	Đỏp số: 
 Năm 2004 - A : Tớnh tớch phõn I = 	Đỏp số: 
Đề dự bị 1 - 2004-khối A. Tớnh I = Đỏp số: .
 Năm 2004 - B : Tớnh tớch phõn I = Đỏp số: 
Đề dự bị 1 - 2004-khối B. Tớnh I = 	 Đỏp số: 
Năm 2004 - D : Tinh tớch phõn I = 	 Đỏp số: 
Đề dự bị 1 - 2004-khối D. Tinh tớch phõn I = Đỏp số: 
Năm 2005 - A : Tớnh tớch phõn I = 	Đỏp số: 
Đề dự bị 1 – 2005-khối A. Tớnh I = Đỏp số: .
Đề dự bị 2 – 2005-khối A. Tớnh I = 	Đỏp số: 
Năm 2005 - B : Tớnh tớch phõn I = 	Đỏp số: 
Đề dự bị 1 – 2005-khối B. Tớnh I = 	Đỏp số: 
Đề dự bị 2 – 2005-khối B. Tớnh I = 	Đỏp số: 
Năm 2005 - D : Tớnh tớch phõn I = Đỏp số: 
Đề dự bị 1 – 2005-khối D. Tớnh I = 	Đỏp số: 
Đề dự bị 2 – 2005-khối D. Tớnh I = 	Đỏp số: 
Năm 2006 - A : Tớnh tớch phõn I = Đỏp số: I = 
Năm 2006 - B : Tớnh tớch phõn I = 	Đỏp số: I = .
Năm 2006 - D : Tớnh tớch phõn I = 	 Đỏp số: .
Năm 2007 - D : Tớnh tớch phõn I = 	 Đỏp số: .
Năm 2008 - A : Tớnh tớch phõn I = Đỏp số: I = .
Năm 2008 - B : Tớnh tớch phõn I = 
 	 Đỏp số: .
Năm 2008 - D : Tớnh tớch phõn I = 	Đỏp số: .
Năm 2009 - A : Tớnh tớch phõn I = Đỏp số: 
Năm 2009 - B: Tớnh tớch phõn I = Đỏp số: 
Năm 2009 - D : Tớnh tớch phõn I = Đỏp số: 
Đại học QG Hà Nội: 
Tớnh I = Đỏp số: 
 J = Đỏp số: I = x + 
Đại học KTQD Hà Nội: Tớnh: I = =. 
Đại học Kiến trỳc Hà Nội: 
 Tớnh: I ==. J == 
Học viện Kỹ thuật quõn sự: 
 Tớnh: I ==. J = =1.
Học viện ngõn hàng: Tớnh: I = =.
Đại học ngoại ngữ Hà Nội: Tớnh: I = , J = 
Đại học GTVT Hà Nội: 
Tớnh: I ==. J = =. K == 
Đại học Thỏi Nguyờn: I = (n =1, 2, ). Đỏp số: I = 
 J = =. K = =.
CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I. TÍNH DIỆN TÍCH HèNH PHẲNG
f(x)
A. Lý thuyết:
1. Hỡnh thang cong dựng trờn trục hoành.
x
O
b
a
D
 Hvẽ : 
y
f(x)
2. Nếu f(x) chưa xỏc định dấu.
c
d
b
x
a
O
 Hvẽ: 
 =
y
3. Miền D tạo bởi hai đường cong f(x) và g(x).
D
g(x)
f(x)
a
b
O
x
 	 Hvẽ:
y
D
f(x)
4. Khi f(x) và g(x) chưa biết hàm nào lớn hơn thỡ.
g(x)
b
x
O
 Hvẽ: 
Chỳ ý: Tất cả cỏc cụng thức trờn đều đưa biến là x ta cú thể chuyển thành biến y khi đú coi x là hàm và coi y là biến.
B. Bài Tập. 
 Hóy tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi miền D cho sẵn.
1. 	2. 3. 
4. 	5. 6. 
7. 8. Đỏp số: 9. 	Đỏp số: 
10. Cho Parabol và A(1, 2).
a) Gọi d là đường thẳng qua A với hệ số gúc bằng k. Hóy tớnh diện tớch của (D) tạo bởi Parabol và đường thẳng d.
b) Tỡm k để diện tớch miền D là lớn nhất. 	Đỏp số: k = 2.
11. Cho Parabol và đường thẳng y =(m+1)x+2. Hóy xỏc định m sao cho phần diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đường thẳng và Parabol là lớn nhất. 
 Đỏp số: m = 0 và .
12. Cho hàm số (C) và A(2, -4).
a) Tỡm hai tiếp tuyến qua A với đồ thị (C).
b) Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi 2 tiếp tuyến và (C). Đỏp số: 
13. 14. 15. 
16. Parabol chia diện tớch hỡnh trũn tõm O(0, 0) và bỏn kớnh theo tỉ số nào. Đỏp số: .
17. 18. 	Đỏp số: 
19. Cho (a > 0) với A(a, ) thuộc đường cong. Một đường thẳng (d) song song với tiếp tuyến tại A cắt đường cong tại hai điểm phõn biệt M, N. Gọi D là miền tạo bởi đường cong và đường thẳng (d). Chứng minh .
20. Cho hàm số : y= (1) ( m là tham số)
 	a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số (1) ứng với m = - 1.
 	b) Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục toạ độ.
(Đại học & cao đẳng năm 2002-D).	Đỏp số: S = (đvdt) 
21. Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường: y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x
(Đại học & cao đẳng năm 2007-A).	 	Đỏp số: 
II. TÍNH DIỆN TÍCH TH Ể TÍCH KHỐI TRềN XOAY KHI QUAY QUANH OX HOẶC OY
f(x)
y
A. Lý thuyết.
1. Miền D tạo bởi f(x) Quay xung quanh Ox.
a
x
b
O
 Hvẽ: 
2. Miền D tạo bởi hai miền f(x) và g(x) khi quay quanh Ox.
f(x)
g(x)
x
O
y
Hvẽ: 
Nếu thỡ
y
3. Khi quay xung quanh Oy.
f(y)
O
x
 Hvẽ: 
g(y)
f(y)
x
O
4. Khi 2 miền quay quanh Oy.
y
Nếu 
thỡ Hvẽ
5. Đặc biệt.
II. Bài Tập.
22. Tỡm và . Đỏp số: , 
23. Tỡm và . Đỏp số: , 
24. Cho hỡnh Elớp: . Tỡm và . 
Đỏp số: và 
25. Cho hỡnh trũn: . Tỡm =? (Thể tớch hỡnh xuyến).
Đỏp số: 
26. Cho hỡnh trũn: . Tỡm , . (Thể tớch hỡnh xuyến). 
Đỏp số: 
27. Tỡm . Đỏp số: 
28. Tỡm . Đỏp số: 
29. Tỡm Tỡm . Đỏp số: .
30. Tỡm và . Đỏp số: , 
31. Tỡm và . Đỏp số: , 
32. Tỡm . Đỏp số: 
2.2 Thực trạng của vấn đề
 * Thuận lợi: Bản thân tôi đã qua nhiều năm giảng dạy về vấn đề tích phân, có nhiều loại sách để giáo viên và học sinh tham khảo. Trong quá trình giảng dạy giáo viên có thể tăng hoặc giảm mức độ khó đối với bài tập phù hợp với đối tượng học sinh..
 * Khó khăn: Thời gian thể nghiệm đề tài còn ít, đối với từng dạng bài tập chưa được củng cố khắc sâu.
2.3 Các biện pháp tiến hành
 Su tầm và phân dạng bài tập; Hướng cho học sinh cách nhận dạng để chọn phương pháp cho phù hợp; Hướng dẫn học sinh về mặt cơ sở lí luận, sau khi thực hành các bài tập cơ bản giáo viên cần giao một lượng bài tập nhất định yêu cầu học sinh về nhà giải quyết và giáo viên cần kiểm tra kết quả thực hiện của học sinh.
2.4 Hiệu quả kinh nghiệm
 Đối với giáo viên thì đề tài này là một tài liệu thiết thực phục vụ việc giảng dạy; Còn với học sinh đã có được một phương tiện thuận lợi trong việc giải quyết các bài toán về tích phân.
2.5 Kết luận
 Đề tài này tôi đã thực hiện trong chương trình lớp 12 nâng cao chương tích phân trong các tiết học chủ đề tự chọn và trong phần ôn tập thi tốt nghiệp. Qua quá trình thực hiện thấy rằng các em đã có kỹ năng sử dụng phương pháp tính tích phân một cách phù hợp với từng bài toán. học sinh có nhiều ý tưởng độc đáo, sáng tạo trong giải toán. Ngoài ra học sinh đã biết vận dụng phương pháp này một cách linh hoạt vào việc giải các loại bài toán khác. Rõ ràng có phương pháp giải hiệu quả đã tạo cho học sinh niềm hứng thú, yêu thích bộ môn toán học.
	Trong đề tài này, tôi thấy còn hạn chế trong phần nội dung do thời gian thực hiện còn hạn chế. Rất mong đợc sự đóng góp về nội dung cũng nh phần trình bày đề tài để tôi bổ sung cho đề tài đợc hoàn chỉnh hơn.
 ý kiến thẩm định của hội đồng khoa học các cấp
Nhận xét của tổ chuyên môn
	 Sơn La, ngày tháng 5 năm 2010
	 T/M tổ chuyên môn
 Lê Thị Thu
 Nhận xét của hội đồng khoa học nhà trường
	 Sơn La, ngày tháng năm 2010