Chuyên đề Lý thuyết và bài tập Giải tích 12 - Phần 3: Ứng dụng của tích phân

30 trang

hoaian2

07/01/2023 Lượt xem

426

1 Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Lý thuyết và bài tập Giải tích 12 - Phần 3: Ứng dụng của tích phân", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

PHẦN 3
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
CHỦ ĐỀ 1
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Diện tích hình thang cong
Dạng 1: Cho hàm số liên tục trên . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Ox () và hai đường thẳng và là:
Phương pháp giải:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn .
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân : .
Chú ý: có 2 cách tính tích phân
+ Cách 1: Nếu trên đoạn hàm số không đổi dấu thì:
+ Cách 2: Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn rồi khử trị tuyệt đối.
Dạng 2: Cho hàm số liên tục trên . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục Oy () và hai đường thẳng và là:
2. Diện tích hình phẳng
Dạng 1: Cho 2 hàm số và liên tục trên . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và và hai đường thẳng và là:
Phương pháp giải:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn .
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .
Dạng 2: Cho hai hàm số và liên tục trên . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là: .
Trong đó là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình
Phương pháp giải:
Bước 1. Giải phương trình . Giả sử ta tìm được là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình .
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số : trên đoạn .
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: .
Dạng 3: Cho hai hàm số và liên tục trên . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và và hai đường thẳng và là:
Phương pháp giải:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số trên đoạn .
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân .
Dạng 4: Cho hai hàm số và liên tục trên . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là: .
Trong đó là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình
Phương pháp giải:
Bước 1. Giải phương trình . Giả sử ta tìm được là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình .
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số : trên đoạn .
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân: .
Dạng 5: khi tính diện tích giới hạn 3 hàm số trở lên thì phương pháp chung là vẽ đồ thị rồi dựa vào đồ thị để tính.
Cách tính giới hạn của 3 hàm số: Cho 3 hàm số , và liên tục trên . Khi đó diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số , và là:
Với: + là nghiệm phương trình:
+ là nghiệm phương trình:
+ là nghiệm phương trình:
Trong đó:
Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau:
1. Diện tích S của miền giới hạn:
2. Diện tích S của miền giới hạn:
3. Diện tích S của miền giới hạn:
DẠNG 1
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Cho hàm số liên tục trên đoạn và cắt trục hoành tại điểm (như hình vẽ). Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số , trục hoành và hai đường thẳng . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?
A. B.
C. D.
Cho đồ thị hàm số . Diện tích hình phẳng (phần có đánh dấu gạch trong hình) là:
A. B.
C. D.
Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trục hoành và hai đường thẳng (như hình vẽ).
Đặt Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Cho đồ thị hàm số . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:
A. B.
C. D.
Cho đồ thị hàm số . Diện tích hình phẳng (phần gạch trong hình) là:
A. B.
C. D.
Cho đồ thị hàm số . Diện tích hình phẳng (phần gạch chéo trong Hình 1) là:
A. B.
C. D.
Cho đồ thị hàm số . Diện tích của hình phẳng (phần tô đậm trong hình dưới) là:
A. .
B. .
C. .
D. .
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Diện tích hình phẳng (phần tô màu trong hình vẽ) được tính bằng công thức nào
A. B.
C. D.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường . Đường thẳng chia hình thành hai phần có diện tích (hình vẽ). Tìm để
A.
B.
C.
D.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , và trục hoành như hình vẽ.
A. . B. .
C. . D..
Cho hàm số liên tục trên , đồ thị hàm số như hình vẽ. Diện tích các hình phẳng A, B lần lượt là và . Biết , tính
A.
B.
C.
D.
Tính diện tích của phần hình phẳng giới hạn bởi đường Parabol đi qua gốc toạ độ và hai đoạn thẳng và như hình vẽ bên ?
A..
B..
C..
D..
Cho đồ thị hàm số trên đoạn như hình vẽ và có diện tích . Tính tích phân
A. B.
C. D.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và là:
A. B. C. D.
Tìm d để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , Ox, x =1, x = d (d >1) bằng 2:
A. B. e C. 2e D. e+1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và parabol bằng:
A. B. C. D.
Cho Parabol y = x2 và tiếp tuyến At tại A(1 ; 1) có phương trình: y = 2x – 1. Diện tích của phần bôi đen như hình vẽ là:y
x
A
1
-1
-1
-2
4
1
A. B. C. D. Một số khác
Cho ba đồ thị: và như hình vẽ:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đồ thị trên (phần gạch trong hình) là:
A. . B. . C. . D. .
Tính diện tích của phần hình phẳng gạch sọc (bên dưới) giới hạn bởi đồ thị hàm số bậc ba và trục hoành.
A.. B..
C.. D..
Cho hàm số có đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
B.
C.
D.
Cho đồ thị hàm số trên đoạn như hình vẽ ở bên và có diện tích . Tính tích phân
A. B.
C. D.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
và Tìm để diện tích của hình phẳng gấp
hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên.
A. B.
C. D.
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường và . Đường thẳng chia (H) thành hai phần có diện tích và như hình vẽ bên.
Tìm k để .
A. . B. . C. . D. .
Cho hàm số có đồ thị với là tham số thực. Giả sử cắt trục tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ :
Gọi , và là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm để .
A. . B. . C. . D. .
Parabol chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng thành hai phần có diện tích là và , trong đó . Tìm tỉ số
A. B. C. D.
Gọi là diện tích của mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng với m < 2 và parabol (P) có phương trình . Gọi là diện tích giới hạn bởi (P) và Ox. Với trị số nào của m thì ?
A. . B. . C. . D. .
Cho hàm số có đồ thị . Biết rằng đồ thị tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ âm và đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ dưới đây:
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành.
A. . B. . C. . D. .
Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: , trục tung và trục hoành. Xác định để đường thẳng đi qua điểm có hệ số góc chia thành hai phần có diện tích bằng nhau.
A. . B. . C. . D. .
Cho hai hàm số có đồ thị và liên tục trên . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi và hai đường thẳngđược tính bởi công thức:
A. B.
C. D.
Cho và là hai hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử: và , với , là các nghiệm của phương trình . Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thi của hàm số được cho bởi công thức:
hoặc
Nhận xét nào sau đây đúng nhất?
A. đúng nhưng sai. B. đúng nhưng sai.
C. Cả và đều đúng. D. Cả và đều sai.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2 – x2 và y = x.
A. 5 B. 7 C. D.
Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , và . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. B. C.. D.
Cho hàm số liên tục trên . Gọi là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và Công thức tính diện tích của là công thức nào trong các công thức dưới đây?
A. B. C. D.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành là:
A. B. C. D.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong và .
A. B. C. D.
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường
A. B. C. D.
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. B. C. D.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số , trục và hai đường thẳng bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số và bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. . D. .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. . D.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. . D.
Tính diện tích hình phẳng tạo bởi các đường: Parabol và 2 tiếp tuyến tại các điểm nằm trên .
A. B. C. D.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số và trục hoành bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. . D.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số và trục Ox và đường thẳng bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. . D.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: và trục Ox bằng với . Khi đó giá trị của thuộc khoảng nào sau đây?
A. . B. . C. . D.
Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và . Giá trị cần tìm là:
A.. B. . C. . D. .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng , nhận giá trị nào sau đây:
A. . B. . C. . D. .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng là:
A. B. C. D.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường , và là:
A. . B. . C. . D. .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và trục Ox được tính bởi công thức
A. B.
C. D.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol , tiếp tuyến với nó tại điểm và trục là giá trị nào sau đây?
A. . B. . C.. D..
Cho hàm số có đồ thị . Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ bằng có đồ thị . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , đường thẳng và trục tung. Giá trị củalà:
A.. B.. C.. D..
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đường thẳng , đường thẳng và trục tung được tính như sau:
A. . B. C. D.
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có phương trình và bằng:
A. B. . C. D.
Với giá trị nào của để diện tích của hình phẳng giới hạn bởi , đường tiệm cận xiên của và hai đường thẳng bằng ?
A. . B. . C. . D. .
Kết quả của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, trục tung và đường thẳng có dạng (với là phân số tối giản). Khi đó mối liên hệ giữa và là:
A. B. . C. D.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số , trục và đường thẳng bằng với , , là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của là
A. . B. . C. . D. .
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường trục hoành, trục tung và đường Tìm giá trị của để đường thẳng chia hình phẳng thành hai phần có diện tích bằng nhau
A. B. C. . D.
DẠNG 2
ỨNG DỤNG THỰC TẾ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là người ta làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip và chiều rộng của mặt đường là . Kinh phí để làm mỗi làm đường đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
A. . B. . C. . D. .
Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là , người ta làm một con đường nằm trong sân (Như hình vẽ).
Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là . Kinh phí cho mỗi làm đường đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
A. B. C. D.
Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng (m). Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng (m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
A. (đồng). B. (đồng). C. (đồng). D. (đồng).
Cô Minh Hiền có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng và độ dài trục bé bằng. Cô Minh Hiền muốn trồng hoa trên một dải đất rộng và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là đồng/. Hỏi Cô Minh Hiền cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
A. đồng. B. đồng.
C. đồng. D. đồng.
Một mảnh vườn hình tròn tâm bán kính . Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng nhận làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là đồng. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)
A. đồng.
B. đồng.
C. đồng.
D. đồng.
Người ta trồng hoa vào phần đất được tô màu đen được giới hạn bởi cạnh , , đường trung bình của mảnh đất hình chữ nhật và một đường cong hình sin (như hình vẽ). Biết , . Tính diện tích phần còn lại.
A. . B. .
C. . D. .
Thầy Hiền muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol. Giá của rào sắt là đồng. Hỏi Thầy Hiền phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.
Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật có chiều cao , chiều dài (hình vẽ bên). Cho biết là hình chữ nhật có; cung có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh là trung điểm của cạnh và đi qua hai điểm , . Kinh phí làm bức tranh là đồng/.
Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?
A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng.
CHỦ ĐỀ 2
THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
x
y
O
f(x)
f(x)
b
a
y
x
c
d
O
Quay quanh trục Ox Quay quanh trục Oy
Dạng 1: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục Ox và hai đường thẳng và quay xung quanh trục Ox là: .
Chú ý: Hàm số và liên tục trên đoạn .
Dạng 2: Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục Oy và hai đường thẳng và quay xung quanh trục Oy là: .
Chú ý: Hàm số và liên tục trên đoạn .
Dạng 3: Cho hai hàm số và liên tục, cùng dấu trên đoạn . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng và quay xung quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là:
Dạng 4: Cho hai hàm số và liên tục, cùng dấu trên đoạn . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số trên và hai đường thẳng và quay xung quanh trục Ox tạo nên một khối tròn xoay có thể tích là:
Tóm lại khi giải toán ta thường gặp các dạng sau:
1. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau:quanh Ox một vòng là : .
2. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau:quanh Ox một vòng là : .
3. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau:quanh Oy một vòng là : .
4. Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay miền giới hạn các đường sau:quanh Oy một vòng là : .
DẠNG 1
THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Cho là hàm số liên tục trên đoạn Hình phẳng giới hạn bởi các đường và quay quanh trục tạo thành một khối tròn xoay có thể tích Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. B. C. D.
Cho (H) là miền hình phẳng giới hạn bởi các đường (với a<b) và đồ thị của hai hàm số . Gọi V là thể tích của vật thể tròn xoay khi quay (H) quanh Ox. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. B.
C. D.
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường quanh trục ox là
A. B. C. D.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường , , , quay quanh .
A. . B.. C. . D. .
Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, các đường thẳng , . Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi cho hình quay quanh trục .
A. B. C. D.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục hoành, trục tung, đường thẳng .Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi khi quay quanh trục .
A. B. C. D.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng , . Tính thể tích khối tròn xoay khi hình phẳng quay quanh trục .
A. . B.. C. D.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục Ox và hai đường thẳng quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay. Tính thể tích V của khối tròn xoay
A. . B. . C. . D..
Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi xung quanh trục là (với và phân số tối giản). Giá trị của là
A. B. C. D.
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong , trục hoành và hai đường thẳng . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích , trong đó a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. . B. . C. . D. .
Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và hai đường thẳng quanh trục hoành có thể tích , trong đó a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường , trục hoành và hai đường thẳng và . Biết rằng diện tích của hình phẳng D bằng , với a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. . B. . C. . D. .
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng quay xung quanh trục được xác định bởi công thức nào sau đây ?
A. B.
C. D.
Kí hiệulà hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành. Tính thể tích của vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục
A. B. C. D.
Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường , quay quanh trục có kết quả là (với , là phân số tối giản). Tính
A. B. C. D.
Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình quanh với được giởi hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
A. B. C. D.
Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số và quay quanh .
A. B. C. D.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường. Khi quay xung quanh trục thu được khối tròn xoay có thể tích, với là phân số tối giản. Khi đó bằng bao nhiêu?
A. B. C. D.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục .
A.. B. . C. . D. .
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục hình phẳng giới hạn bởi các đường ; và .
A. B. C. D.
Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục và đường thẳng . Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục
A. B. C. D.
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ,trục Ox và đường thẳng .Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục Ox bằng
A. B.
C. D.
Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục tung và trục hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục .
A. . B.. C. . D. .
Cho hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng , trục và . Hình quay quanh trục tạo thành một vật thể tròn xoay có thể tích là . Hỏi được tính bởi công thức nào sau đây ?
A. B. C. D.
Cho và . Gọi lần lượt là hình chiếu của và xuống trục . Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang khi quay quanh trục Ox.
A. B. C. D.
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay xung quanh trục tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng Tìm và
A. B. C. D.
Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường , và quanh trục . Đường thẳng cắt đồ thị hàm tại (hình vẽ bên). Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác quanh trục . Biết rằng . Khi đó
A. . B. . C. . D. .
Kí hiệu là hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành ,trục tung và đường thẳng . Đường thẳng chia thành hai phần như hình vẽ bên. Khi quay quanh trục hoành ta được hai khối tròn xoay có thể tích tương ứng là .Tìm để .
A.
B.
C.
D.
Trong mặt phẳng (P) cho đường elípcó độ dài trục lớn là , độ dài trục nhỏ là ; đường tròn tâm O đường kính là như hình vẽ. Tính thể tích vật thể tròn xoay có được bằng cách cho miền hình phẳng giới hạn bởi đường elíp và đường tròn (phần hình phẳng được tô đậm trên hình vẽ) quay xung quanh trục
A.
B.
C.
D.
Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là một hình chữ nhật có hai kích thước là và .
A. . B. .
C. . D. .
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ là một hình chữ nhật có hai kích thước là và
A. B. C. D.
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ () thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là và .
A. B. C. D.
Cho một vật thể trong không gian tọa độ Oxyz, gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và Tính thể của Biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ x (với ) là một nửa hình tròn có bán kính bằng
A. B. C. D.
Tính thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi xung quanh trục
A. B. C. D.
DẠNG 2
ỨNG DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY
Ta vẽ nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là và. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB.
A. B.
C. D.
Một hình cầu có bán kính người ta cắt bỏ hai phần bằng hai mặt phẳng song song và cùng vuông góc với đường kính để làm mặt xung quanh của một chiếc lu chứa nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc lu chứa được biết mặt phẳng cách tâm mặt cầu
A. B.
C. D.
Từ một tấm tôn hình chữ nhật với . Người ta cắt miếng tôn theo đường hình như hình vẽ bên để được hai miếng tôn nhỏ.Biết .Tính thể tích của lọ hoa được tạo thành bằng cách quay miếng tôn lớn quanh trục (kết quả làm tròn đến hàng trăm).
A. B. C. D.
Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm , người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đây). Kí hiệu là thể tích của hình nêm (Hình 2).Tính .
A..
B.
C..
D.. Hình 1 Hình 2
Trong chương trình nông thôn mới, tại xã Vĩnh Ngọc - Nha Trang có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).
A. .
B. .
C.
D..
Thành phố Nha Trang định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách nhau 40m,biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m. Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm. Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu)
A. . B. .
C. D..
Một cái chuông có dạng như hình vẽ. Giả sử khi cắt chuông bởi mặt phẳng qua trục của chuông, được thiết diện có đường viền là một phần parabol ( hình vẽ ). Biết chuông cao 4m, và bán kính của miệng chuông là . Tính thể tích chuông?
A. B.
C. D.
Gọi là phần giao của hai khối hình trụ có bán kính , hai trục hình trụ vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. Tính thể tích của .
A. B. .
C. . D. .
Cho hình chữ nhật có , (như hình vẽ).
Gọi lần lượt là trung điểm của , , và . Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình tứ giác quanh trục .
A. B. . C. D. .
Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây . Người ta đo được đường kính của miệng ly là và chiều cao là . Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng đối xứng là một parabol. Tính thể tích của vật thể đã cho.
A..
B..
C..
D..
Có một người cần làm một cái của cổng cố xưa, có hình dạng một parabol bậc hai như hình vẽ. Giả sử đặt cánh cổng vào một hệ trục tọa độ như hình vẽ (mặt đất là trục Ox). Hãy tính diện tích của cánh cửa cổng
A..
B..
C.16.
D. .
Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có 2 đáy là hình tròn bằng nhau và chiều cao bình là 16cm . Đường cong của bình là một cung tròn của đường tròn bán kính là 9.
A.. B..
C.. D..
Người ta làm một chiếc phao bơi như hình vẽ (với bề mặt có được bằng cách quay đường tròn quanh trục ). Biết rằng . Tính thể tích của chiếc phao.
A. B.
C.. D..
Một khối cầu có bán kính bằng , người ta cắt bỏ hai đầu bằng hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường kính của khối cầu và cách tâm khối cầu một khoảng bằng đề làm một chiếc lu đựng nước. Thể tích cái lu bằng
A.. B..
C.. D..
Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là và . Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB.
A.. B.. C.. D..
Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn bán kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:
A. B.
C. D.
Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:
A. B. C. D.
Một thùng đựng nước có dạng hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy bằng R. Khi đặt thùng nước nằm ngang như hình 1 thì khoảng cách từ trục hình trụ tới mặt nước bằng (mặt nước thấp hơn trục của hình trụ). Khi đặt thùng nước thẳng đứng như hình 2 thì chiều cao của mực nước trong thùng là . Tính tỉ số .
A. B.
C. D.
Một khối nón (N) có bán kính đáy r, thiết diện qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy là tam giác đều. Cắt hình nón bởi mặt phẳng đi qua đường kính đáy và vuông góc với đường sinh của khối nón để lấy một cái nêm (xem hình vẽ).Kí hiệu V là thể tích cái nêm. Thể tích V là?
A. B.
C. D.
Cho một khối chỏm cầu (S) có bán kính R và chiều cao h. Tính thể tích V của khối chỏm cầu (S).
A. B. .
C. . D. .
Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ. Tính thể tích của hình đó theo R và r.
A. B.
C. D.
Cho hình vuông ABCD có cạnh 4cm. Tại bốn đỉnh A, B, C, D người ta vẽ lần lượt bốn đường tròn có bán kính bằng nhau và bằng Tính thể tích phần được tô màu khi quay hình phẳng xung quanh trục XY.
A.
B..
C. .
D. .
Câu lạc bộ bóng đá Manchester United dự định xây dựng SVĐ mới có tên là Old trafford. Hệ thống mái của SVĐ dự định được xây dựng có dạng hai hình elip như hình bên với hình elip lớn bên ngoài có độ dài trục lớn là 146 mét, độ dài trục nhỏ là 108 mét, hình elip nhỏ bên trong có độ dài trục lớn là 110mét, độ dài trục nhỏ là 72 mét. Giả sử chi phí vật liệu là 100 đôla mỗi mét vuông. Tính chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân.
A.98100 đôla . B. 98100 đôla .
C.196200 đôla. D.196200 đôla.
Người ta dựng một cái lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” như hình vẽ bên. Đáy của hình (H) là một hình lục giác đều cạnh 3m. Chiều cao SO = 6m (SO vuông góc với mặt phẳng đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi dây nằm trên các đường parabol có trục đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt phẳng (P) qua trung điểm của SO thì lục giác đều có cạnh 1m. Tính thể tích phần không gian nằm bên trong cái lều (H) đó.
A. . B. .
C.. D..
CHỦ ĐỀ 3
BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHUYỂN ĐỘNG
Giả sử là vận tốc của vật tại thời điểm và là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Ta có mối liên hệ giữa và như sau:
● Đạo hàm của quãng đường là vận tốc:
● Nguyên hàm của vận tốc là quãng đường
từ đây ta cũng có quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian là
Nếu gọi là gia tốc của vật thì ta có mối liên hệ giữa và như sau:
● Đạo hàm của vận tốc là gia tốc: .
● Nguyên hàm của gia tốc là vận tốc:
Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét ?
A. . B. . C.. D. .
Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc Quãng đường vật di chuyển được thời điểm đến thời điểm mà vật dừng lại là
A. B. C. D.
Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc 10 (m/s) thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc (m/s) (trong đó t là thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh). Hỏi trong thời gian 7 giây cuối (tính đến khi xe dừng hẳn) thì ô tô đi được quảng đường bằng bao nhiêu?
A. B. C. D.
Một ô tô đang chạy với vận tốc thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều với gia tốc tính quãng đường ô tô đi được sau 6 giây kể từ khi ô tô bắt đầu tăng tốc.
A. B. C. D.
Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật trong đó (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc của khí cầu là:
A. B. C. D.
Một ô tô đang chạy với vận tốc 12m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét ?
A.. B.. C.. D..
Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian t là . Tính quảng đường vật đi được trong khoảng 10s kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
A.. B.. C.. D..
Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là , gia tốc trọng trường là . Quảng đường viên đạn đi được từ lúc bắn cho đến khi chạm đất gần bằng kết quả nào nhất trong các kết quả sau:
A. . B.. C. . D. .
Một ca nô đang chạy trên hồ Tây với vận tốc thì hết xăng; từ thời điểm đó, ca nô chuyển động chậm dần đều với vận tốc , trong đó là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc ca nô dừng hẳn đi được bao nhiêu mét?
A.. B.20. C.30. D.40.
Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc Đi được ,

Tài liệu đính kèm:

chuyen_de_ly_thuyet_va_bai_tap_giai_tich_12_phan_3_ung_dung.docx