Chuyên đề: Luyện tập hình học không gian

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP 
 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
 HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN TỈNH ĐỒNG THÁP
 GV: VÕ THÀNH NHUNG
Đặt vấn đề:
 	Mỗi môn học trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh.
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên luôn phải yêu cầu học sinh nắm được chuẩn kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ đó tạo thái độ và động cơ học tập đúng đắn.
 Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta có nhiều vấn đề cần giải quyết cho mỗi phân môn của toán học phổ thông,trong đó vấn đề giảng dạy và kỹ năng giải toán hình học không gian cổ điển của thầy và trò còn nhiều điều cần nghiên cứu . 	Chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 là nội dung có thể nói là rất trừu tượng, có nhiều kiến thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn trong việc vẽ và nhìn hình không gian, khả năng vận dụng kiến thức đã có để giải bài tập toán còn nhiều hạn chế  
Xuất phát từ thực tế trên và qua nhiều năm giảng dạy môn hình học không gian cổ điển tương đối có kết quả , nay tôi xin đề nghị một phương pháp để dạy luyện tập bài tập chương khối đa diện trong các tiết bài tập và tự chọn trên lớp hay tăng tiết của lớp (trên cơ sở chuẩn kiến thức và bài tập sách giáo khoa) để học sinh rèn kỹ năng giải toán về khối đa diện và giúp mọi đối tượng học sinh ,nhất là học sinh trung bình - yếu kém lĩnh hội kiến thức cơ bản nhất . 
Cơ sở lí luận: 
 Đề tài được nghiên cứu và thực hiện trên thực tế kinh nghiệm đã giảng dạy các tiết dạy luyện tập về khối đa diện mà trọng tâm là thể tích khối đa diện. 
Khi giải bài tập toán, học sinh phải được trang bị các kiến thức cơ bản hình học của lớp dưới ,các kỹ năng phân tích đề bài và hình vẽ không gian để từ đó suy luận ra quan hệ giữa kiến thức củ và kiến thức mới, giữa bài toán đã làm và bài toán sẻ làm , hình thành phương pháp giải toán bền vững và sáng tạo. 
Các tiết dạy bài tập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống từ dễ đến khó nhằm gây hứng thú cho học sinh , kích thích óc tìm tòi , sáng tạo của học sinh. 
Hệ thống bài tập phải giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắt những kiến thức cơ bản nhất nhất , và dần dần phát triển khả năng suy luận, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt và sáng tạo vào giải thuật của một bài toán. Từ đó học sinh có hứng thú và tạo ra động cơ học tập tốt đối với môn hình học không gian.
Cơ sở thực tiển:
Trong quá trình giảng dạy hình học không gian, tôi thấy đa số học sinh rất lúng túng, kỹ năng giải toán hình không gian còn yếu ,thậm chí không vẽ được một hình đơn giản. Bên cạnh đó bài tập sách giáo khoa của chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 đưa ra chưa được cân đối, rất ít bài tập cơ bản, đa phần là bài tập khó, đặc biệt quá phức tạp đối với học sinh trung bình ,yếu kém dẫn đến học sinh có tư tưởng chán nản , e sợ không học môn hình học không gian. 
Do đó dạy bài tập toán, đặc biệt với chương này giáo viên cần có phương pháp giảng dạy hấp dẩn,sinh động , gây hứng thú cho học sinh ,giáo viên cần tìm tòi, sáng tạo để soạn bài tập trên cơ sở chuẩn kiến thức và sách giáo khoa, thiết kế hình vẽ rỏ ràng và giải thuật ngắn gọn hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản của bài học, hình thành phương pháp, kĩ năng, kỹ xảo giải các bài toán hình không gian và lĩnh hội kiến thức mới bền vững , từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong các kỳ thi.
Mục tiêu : 
	Giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản nhất của chương, phân biệt khối đa diện, thể tích khối đa diện, các đa diện đều. Tất cả học sinh rèn được kỹ năng tính toán các đại lượng hình học, tính được thể tích khối đa diện tương đối đơn giản. Trên cơ sở đó học sinh nắm được kiến thức cơ bản và rèn kỷ năng giải các bài tập khó hơn về khối đa diện. 
Thời gian thực hiện:
 Các tiết bài tập theo phân phối chương trình và tự chọn ( hay các tiết bồi dưỡng, phụ đạo ,...)
 Đối tượng: học sinh khối 12 trường có đầu vào chất lượng trung bình - yếu, học theo chương trình chuẩn hay nâng cao. 
Các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh: 
+ Phần lớn học sinh không nhớ các hệ thức trong tam giác và tứ giác,.....
+ Các kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11 còn rất hạn chế .
+ Kỹ năng tư duy phân tích giã thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong hình không gian và hình học phẳng còn quá yếu.
+ Kỹ năng vẽ hình trong không gian quá kém.
Phương pháp luyện tập tổng quát môn hình học không gian cổ điển:
	1. Mục đích yêu cầu:
+ Ôn tập cho học sinh một số kiến thức cần thiết: hệ thức trong tam giác thường, tam giác vuông, các kiến thức cơ bản của tam giác đều, cân,... hình vuông, chữ nhật ....
+ Ôn tập cho học sinh một số kiến thức trọng tâm về quan hệ song song, vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng, mặt phẳng .....đã học ở lớp 11.
+ Hệ thống bài tập được phân loại theo khối đa diên và các dạng thông dụng trong các kỳ thi : bài tập được soạn ra từ dễ đến khó, khai thác triệt để và tinh giản các bài tập trong sách giáo khoa kết hợp soạn thêm bài tập bằng cách sắp xếp lại theo dạng từ đơn giản đến phức tạp trên cơ sở yêu cầu của chuẩn kiến thức.
+ Bài tập chương này trong sách giáo khoa rất khó, khi chọn bài tập trong sách giáo khoa có bài ta cần thay đổi một số giả thiết :về độ dài của một cạnh,về góc giữa đường thẳng với đường thẳng ,với mặt phẳng và góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng ...để học sinh dễ tính toán, dễ tiếp thu; các bài tập khó phải bổ sung thêm những câu hỏi hướng dẩn để giảm bớt độ tư duy phức tạp của bài toán hoặc soạn lại đơn giản hơn theo yêu cầu bài tập đó.
+ Trước khi dạy mỗi dạng bài tập, giao bài tập về nhà cho học sinh chuẩn bị trước từ đơn giản đến phức tạp có mục đích cũng cố trọng tâm của bài học. 
+ Dạy xong các dạng bài tập ,giáo viên giao bài tập vừa sức, tương tự về nhà cho các học sinh tự rèn luyện các kỹ năng xây dựng hình không gian và các giải thuật toán học .
	Bằng cách này học sinh yếu, trung bình có thể tiếp thu được những yêu cầu 
 cơ bản nhất của chương, học sinh khá nâng cao được kỷ năng giải toán, có 
 hứng thú trong môn học hình không gian cổ điển và đạt kết quả tốt trong các 
 kỳ thi cuối năm . 
	2. Phương pháp luyện tập đối với một bài tập hình học không gian :
Giáo viên dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh đối với bài tập, để từ đó có bước ôn tập các kiến thức cần thiết cho học sinh trước khi giáo viên hướng dẩn học sinh thực hiện giải bài luyện tập.
Giáo viên hướng dẩn luyện tập học sinh phân tích đề bài để dựng hình .
Trên cơ sở hình đã vẽ,giáo viên hướng dẩn ,luyện tập học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ hơn,đơn giản hơn và phải thực hiện giải thuật theo một thứ tự hợp suy luận logic của hình đã vẽ.
Sau khi thực hiện xong một bài tập, giáo viên phải củng cố các kiến thức toán học quan trọng nào của bài tập yêu cầu học sinh khắc sâu và để vận dụng cho các bài tập khác.
Nội dung thực hiện:
Ôn tập kiến thức cơ bản: 
ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho vuông ở A ta có : 
Định lý Pitago : 
AB. AC = BC. AH 
BC = 2AM 
b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = , 
	 b = c. tanB = c.cot C 
 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
 * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
 * Định lý hàm số Sin: 
3. Các công thức tính diện tích.
 a/ Công thức tính diện tích tam giác:
 a.ha = với
Đặc biệt :*vuông ở A : ,* đều cạnh a: 
 b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
 c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
 d/ Diên tích hình thoi : S = (chéo dài x chéo ngắn)
 d/ Diện tích hình thang : (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 
 e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao 
 f/ Diện tích hình tròn : 
ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A.QUAN HỆ SONG SONG
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 
I. Định nghĩa:
Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung.
II.Các định lý:
ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
I. Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung.
II.Các định lý:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia.
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.
B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
I.Định nghĩa:
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó.
II. Các định lý:
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P).
ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
I.Định nghĩa:
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
II. Các định lý:
ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). 
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)
ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
§3.KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng:
 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: 
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: 
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
d(a;b) = AB
§4.GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b 
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b. 
2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) 
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.
3. Góc giữa hai mặt phẳng 
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. 
 Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì 
trong đó là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).
ÔN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
	 V= B.h 
với 
Thể tích khối hộp chữ nhật:
 V = a.b.c 
với a,b,c là ba kích thước
Thể tích khối lập phương:
 V = a3 
với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
 V=Bh 
với 
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:
4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:
với 
Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a, 
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a, 
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = ,
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng 
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
II/ Bài tập:
Nội dung chính 
 Bài tập soạn trong các tiết dạy được phân loại theo các dạng thông dụng trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và trên cơ sở chuẩn kiến thức đối với học sinh trung bình yếu, đi từ dễ đến khó để đạt được yêu cầu thi tốt nghiệp THPT .
LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
 Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh để ôn tập: 
+ Học sinh không vẽ được lăng trụ đứng tam giác .
+ Học sinh không xác định được cạnh tam giác vuông cân 
+ Học sinh không biết dùng định lí Pythagor để tính chiềo cao lăng trụ.
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình
+ Dựng tam giác vuông đáy ABC hay A'B'C' .
+ Dựng các cạnh bên lăng trụ đứng.
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ.
+ Phân tích từ V = B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+Tìm diện tích đáy ABC thì phải dùng công thức nào ? tìm cạnh nào ? tại sao ?
+Tìm chiều cao AA' của lăng trụ phải dùng tam giác nào bởi định lí gì ?
Lời giải:
 Ta có
 vuông cân tại A nên AB = AC = a
ABC A'B'C' là lăng trụ đứng 
Vậy V = B.h = SABC .AA' = 
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán chướng ngại văn hóa và nhận thức của học sinh để ôn tập: 
+ Học sinh không vẽ được lăng trụ tứ giác đều .
+ Học sinh không xác định được tam giác BDD' vuông tại D
+ Học sinh không biết dùng định lí Pythagor để tính đường chéo đáy
+ Học sinh không tính được cạnh của hình vuông ABCD.
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình
+ Dựng tứ giác đều ABCD hay A'B'C'D' .
+ Dựng các cạnh bên của lăng trụ đứng.
+ Học sinh dựng một đường chéo BD' của lăng trụ .
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ.
+ Phân tích V= B.h để có h =4a và tìm B trong hình là diên tích đối tượng nào ? 
+Tìm diện tích đáy ABCD thì phải tìm cạnh nào ? tại sao ?
+Tìm BD thì dùng tam giác nào? tại sao ? Suy ra cạnh hình vuông ABCD ?
Lời giải:
 ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên 
 BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 
 ABCD là hình vuông 
Suy ra B = SABCD = 
 Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 
 Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh 
 a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: 
+ Học sinh không vẽ được lăng trụ tam giác đều.
+ Học sinh không xác định được đường cao và diện tích của tam giác đều .
+ Học sinh không biết xác định I chân đường cao để vận dụng định lý 3 đường 
 vuông góc .
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình
+ Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của lăng trụ đứng.
+ Dựng tam giác A'BC và các đường cao A'I , AI . Tại sao ?
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ.
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm diên tích B = SABC bằng công thức nào ?
+ Từ diện tích suy ra cạnh nào ? tại sao ? 
+ Tìm h = AA' dùng tam giác nào và định lí gì ?
Lời giải:
 Gọi I là trung điểm BC .Ta có
ABC đều nên
.
 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 
 Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc 
 tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật 
 không có nắp. Tính thể tích cái hộp này. 
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: 
+ Học sinh không vẽ được tấm bìa còn lại sau khi cắt ở 4 góc của tấm bìa .
+ Học sinh không dựng được hình hộp theo đề bài yêu cầu
+ Học sinh không xác định được đường cao và diện tích đáy của hộp .
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình:
+ Dựng tấm bìa và các đường cắt song song cạnh hình vuông.
+ Dựng hộp bằng cách gấp tấm bìa theo các đường cắt. Tại sao ?
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm h = AA' ? Tại sao ?
+ Tìm AB ? Suy ra B = SABCD = AB2 ? 
Giải
 Theo đề bài, ta có 
AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có 
AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm 
 và chiều cao hộp h = 12 cm
 Vậy thể tích hộp là 
V = SABCD.h = 4800cm3
 Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 
 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ.
 Tính thể tích hình hộp . 
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: 
+ Học sinh không vẽ được hình hộp đứng có đáy là hình thoi.
+ Học sinh không xác định được tam giác ABD đều .
+ Học sinh không tính được diện tích hình thoi
+ Học sinh không tính được AC để suy ra BD'
+ Học sinh không biết dùng định lý Pythagor vào tam giác BDD' để tính DD'
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình thoi ABCD hay A'B'C'D' và dựng các cạnh bên của hình hộp.
+ Dựng chéo lớn AC của ABCD ? và chéo nhỏ của hình hộp?
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm diện tích B của hình thoi ABCD bằng cách nào ?
+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và định lí gì ?
Lời giải:
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
và SABCD = 2SABD = 
Theo đề bài BD' = AC = 
 Vậy V = SABCD.DD' = 
	Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.
	 ĐS: ; S = 3a2 
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng . Tính thể tích của lăng trụ.
 Đs: V = 2a3 
Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ.
 Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ .
 Đs: V = 1080 cm3
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ.
 Đs: V = 24a3
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ.
 Đs: V = 64 cm3
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ.
 Đs: V = 2888
Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m2 . Tính thể tích khối lập phương Đs: V = 8 m3
Bài 9: Cho hình hộp chữ nhật có 3 kích thước tỉ lệ thuận với 3,4,5 biết rằng độ dài một đường chéo của hình hộp là 1 m.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
 Đs: V = 0,4 m3
Bài 10: Cho hình hộp chữ nhật biết rằng các đường chéo của các mặt lần lượt là . Tính thể tích khối hộp này . Đs: V = 6
2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
	Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 .
 Tính thể tích lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: 
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.
+ Học sinh không biết cạnh bên lăng trụ đứng vuông góc đáy để suy ra tam giác 
 vuông 
+ Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài 
 một cạnh của tam giác .
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và dựng các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng A'B ? 
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Tìm hình chiếu của A'B trên đáy ABC. Suy ra góc [A'B,(ABC)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Lời giải:
 Ta có là hình chiếu của A'B trên đáy ABC . 
 Vậy 
 SABC = 
 Vậy V = SABC.AA' = 
	Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 vuông tại A với AC = a , = 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300. 
 Tính AC' và thể tích lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: 
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.
+ Học sinh không biết điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
+ Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài 
 một cạnh của tam giác .
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và dựng các cạnh bên của hình lăng trụ đứng .
+ Dựng BC' ? 
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Tìm hình chiếu của BC' trên (AA'C'C). Suy ra góc [BC',(AA'C'C)] = ?
+ Tìm AC' trong tam giác nào?Dùng hệ thức lượng giác gì ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Lời giải: .
Ta có:
nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).
Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = = 30o 
 V =B.h = SABC.AA'
 là nửa tam giác đều nên 
 Vậy V = 
 Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
 và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. 
 Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ . 
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: 
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.
+ Học sinh không biết cạnh bên vuông góc đáy để suy ra tam giác vuông 
+ Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài 
 một cạnh của tam giác .
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình vuông ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng BD' và BD ? 
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Tìm hình chiếu của BD' trên đáy ABCD. Suy ra góc [BD',(ABCD)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm diện tích B của hình vuông ABCD bằng công thức nào ?
+ Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
 Giải: 
 Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD .
 Vậy góc [BD';(ABCD)] = 
Vậy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' = 
 Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh 
 a và = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .
 Tính thể tích của hình hộp.
Hoạt động của giáo viên:	 
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: 
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.
+ Học sinh không biết cạnh bên vuông góc đáy để suy ra tam giác vuông 
+ Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài 
 một cạnh của tam giác.
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình thoi ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của hình lăng trụ đứng.
+ Dựng AB' ?
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Tìm hình chiếu của AB' trên (ABCD). Suy ra góc [AB',(ABCD)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Dựng BD. Suy ra tam giác ABD có hình tính gì ? Suy ra diện tích B của 
 ABCD bằng cách nào? 
+Tính h = BB' trong tam giác nào ? Dùng hệ thức lượng giác nào ?
 Giải
đều cạnh a 
vuông tạiB
 Vậy 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết 
A'C = a và A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ
	 ĐS: 
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết 
BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ.
	 ĐS: 
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') một góc 30o . 
Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS: ; 
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết 
AC = a và biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30o . 
Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. ĐS: , S = 
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 .
 Tính thể tích lăng trụ ĐS: 
Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD) một góc 30o và hợp với (ABB'A') một góc 45o .
 Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đs: 
Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông . Gọi O là tâm của ABCD và OA' = a .Tính thể tích của khối hộp khi:
ABCD A'B'C'D' là khối lập phương .
OA' hợp với đáy ABCD một góc 60o .
A'B hợp với (AA'CC') một góc 30o.
 Đs:1);2) ;3)
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và 
BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
 1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o .
 2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o . Đs: 1)V = 2)V = 
Bài 9: Chiều cao của lăng trụ tứ giác đều bằng a và góc của 2 đường chéo phát xuất từ một đỉnh của 2 mặt bên kề nhau là 60o.Tính thể tích lăng trụ và tổng diện tích các mặt của lăng trụ . Đs: V = a3 và S = 6a2
Bài 10 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB = a ; AD = b ; AA' = c và BD' = AC' = CA' =
Chúng minh ABCD A'B'C'D' là hộp chữ nhật.
Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc đường chéo. Chứng minh rằng .
3) Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
	Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 
 600 .Tính thể tích lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: 
+ Học sinh không dựng được khối lăng trụ theo đề bài đã cho.
+ Học sinh không biết cạnh bên lăng trụ đứng vuông góc đáy để suy ra tam giác 
 vuông 
+ Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài 
các cạnh tam giác.
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng tam giác ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng mặt (A'BC) ? 
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?
+ Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?
+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Lời giải:
Ta có 
 Vậy 
 SABC = 
 Vậy V = SABC.AA' = 
 Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt 
 (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. 
 Tính thể tích khối lăng trụ.
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: 
+ Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông.
+ Học sinh không biết cách tạo ra phương trình đại số để tìm độ dài một cạnh .
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng tam giác đều ABC hay A'B'C' và các cạnh bên của hình lăng trụ .
+ Dựng mặt (A'BC) ? 
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Nhận xét có hình tính gì ? Suy ra I là trung điểm của BC cho ta vị trí 
 AI và A'I thế nào với BC? Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Đặt BC = 2x . Suy ra A'I bởi tam giác nào ?
+ Từ diện tích tam giá A"BC suy ra x bởi công thức nào?
+ Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Giải: đều mà AA' nên A'I(đl 3). 
 Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = = 30o
 Giả sử BI = x .Ta có 
 A’A = AI.tan 300 = 
 Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8
 Do đó VABC.A’B’C’ = 8
 Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng 
 (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật. 
Hoạt động của giáo viên:
Gv: Dự đoán các chướng ngại văn hóa và nhận thứccủa học sinh: 
+ Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .
 + Học sinh không áp dụng được các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông .
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích đề bài để dựng hình :
+ Dựng hình vuông ABCD hay A'B'C'D' và các cạnh bên của lăng trụ đứng .
+ Dựng mặt (BDC') ? 
Gv: Hướng dẩn học sinh phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:
+ Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ?
+ Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ? 
+ Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?
+ Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Gọi O là tâm của ABCD . Ta có
ABCD là hình vuông nên
CC'(ABCD) nên OC'BD (đl 3). Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = = 60o 
 Ta có V = B.h = SABCD.CC'
ABCD là hình vuông nên SABCD = a2 
 vuông nên CC'