Chuyên đề Hình học Khối 10 - Chuyên đề 1: Ứng dụng vectơ để giải toán hình học

CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
Phương pháp chung
Để giải một bài toán tổng hợp bằng phương pháp vectơ ta thường thực hiện theo các bước sau 
Bước 1: Chuyển giả thiết và kết luận của bài toán sang ngôn ngữ của vectơ, chuyển bài toán tổng hợp về bài toán vectơ. 
Bước 2: Sử dụng các kiến thức vectơ để giải quyết bài toán đó. 
Bước 3: Chuyển kết quả bài toán vectơ sang kết quả bài toán tổng hợp.
Sau đây là một số dạng toán thường gặp
I. CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH.
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ và cùng phương, tức là tồn tại số thực k sao cho: .
Để chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định ta đi chứng minh ba điểm A, B, H thẳng hàng với H là một điểm cố định.
2. Các ví dụ. 
Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi có hai số thực , có tổng bằng 1 sao cho: .
Lời giải
* Nếu A, B, M thẳng hàng 
. Đặt và
.
* Nếu với 
Suy ra M, A, B thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho góc xOy . Các điểm A, B thay đổi lần lượt nằm trên Ox, Oy sao cho . Chứng minh rằng trung điểm I của AB thuộc một đường thẳng cố định.
Định hướng: Ta có hệ thức vectơ xác định điểm I là (*) 
Từ ví dụ 1 ta cần xác định hai điểm cố định A', B' sao cho với . Do đó từ hệ thức (*) ta nghĩ tới việc xác định hai điểm cố định A', B' lần lượt trên Ox, Oy
Ta có . từ đó ta cần chọn các điểm đó sao cho . Kết hợp với giả thiết ta chọn được điểm A' và B' sao cho .
Lời giải
Trên Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A', B' sao cho .
Do I là trung điểm của AB nên 
Ta có 
Do đó điểm I thuộc đường thẳng A'B' cố định.
Ví dụ 3: Cho hình bình hành , I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn . Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.
Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta đi tìm số k sao cho 
, muốn vậy ta sẽ phân tích các vectơ qua hai vectơ không cùng phương và và sử dụng nhận xét " với là hai vectơ không cùng phương " từ đó tìm được .
Lời giải (hình 1.35)
Ta có (1)
Hình 1.35
Mặt khác theo giả thiết ta có suy ra 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.
Ví dụ 4: Hai điểm M, N chuyển động trên hai đoạn thẳng cố định BC và BD () sao cho 
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải
Dễ thấy luôn tồn tại điểm I thuộc MN sao cho .
Gọi H là điểm thỏa mãn do đó H cố định.
Ta có 
 (theo (1))
 (3)
Do các điểm B, H cố định, nên điểm I cố định.(xác định bởi hệ thức (3)) 
Ví dụ 5: Cho ba dây cung song song của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác nằm trên một đường thẳng.
Lời giải
Gọi lần lượt là trực tâm của các tam giác
Ta có: , 
và 
 Suy ra 
Vì các dây cung song song với nhau 
Nên ba vectơ có cùng phương
Do đó hai vectơ và cùng phương hay ba điểm thẳng hàng.
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.101: Cho tam giác và các điểm M là trung điểm AB, N thuộc cạnh AC sao cho , P là điểm đối xứng với B qua C. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng.
Bài 1.102: Cho tam giác . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên đường thẳng BC lấy E . Đặt . 
Tìm x để A, O, E thẳng hàng.
Bài 1.103: Cho lấy các điểm I, J thoả mãn , . Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của .
Bài 1.104: Cho tam giác . Hai điểm M, N di động thỏa mãn 
a) Chứng minh rằng MN đi qua điểm cố định.
b) P là trung điểm của AN. Chứng minh rằng MP đi qua điểm cố định.
Bài 1.105: Cho hai điểm M,P là hai điểm di động thỏa mãn . Chứng minh rằng MP đi qua điểm cố định.
Bài 1.106. Cho hình bình hành . Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng và K là trung điểm của EF. 
Bài 1.107: Cho hai tam giác và ; lần lượt là trọng tâm các tam giác . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác , . 
Chứng minh rằng thẳng hàng và tính .
Bài 1.108. Cho tam giác .Các điểm M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao cho .
Tìm điều kiện của a, b, g để M, N, P thẳng hàng.
Bài 1.109: Cho tứ giác ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng trung điểm hai đường chéo AC, BD và tâm O thẳng hàng.
Bài 1.110: Cho lục giác nội tiếp đường tròn tâm O thỏa mãn . Về phía ngoài lục giác dựng các tam giác đồng dạng và cân tại M, N, P, Q, R, S. Gọi lần lượt là trọng tâm tam giác và . Chứng minh rằng ba điểm thẳng hàng.
Bài 1.101: Ta chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Bài 1.102: Ta có: 
A, E, O thẳng hàng 
Vậy là giá trị cần tìm.
Bài 1.103: 
 Suy ra I, J, G thẳng hàng. 
Bài 1.104: a) Gọi G là trọng tâm tam giác suy ra
Suy ra thẳng hàng hay MN đi qua điểm cố định G.
b) P là trung điểm AM 
Gọi I là trung điểm BC, J là trung điểm AI suy ra 
Do đó suy ra MP đi qua điểm cố định J.
Bài 1.105: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác suy ra 
Do đó 
Vậy MP đi qua điểm cố định I.
Bài 1.106: Ta có: , 
. Vì vậy K là trung điểm EF
Bài 1.107: Vì là trọng tâm tam giác suy ra 
Tương tự là trọng tâm tam giác suy ra 
Mặt khác 
Mà lần lượt là trọng tâm các tam giác 
Suy ra 
Do đó 
Vậy 
Bài 1.108: Ta có: 
Ta có: Và 
Để M, N, P thẳng hàng thì ta phải có
.
Bài 1.109: Gọi P, Q, R, S lần lượt là các tiếp điểm của các đoạn thẳng AB,BC,CD,DA đối với đường tròn tâm O. Đặt .
Áp dụng định lý con nhím cho tứ giác ta có:
Suy ra O, M, N thẳng hàng (đpcm)
Bài 1.110: Gọi lần lượt là hình chiếu của lên . Suy ra lần lượt là trung điểm của 
Ta có 
( Vì theo định lí con nhím thì )
Mặt khác suy ra 
Do đó 
Hay ba điểm thẳng hàng.
II. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY.
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta đi chứng minh và điểm A không thuộc đường thẳng CD.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể chứng minh theo hai hướng sau:
+ Chứng minh mỗi đường thẳng cùng đi qua một điểm cố định. 
+ Chứng minh một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại
2. Các ví dụ.
Hình 1.36
Ví dụ 1: Cho ngũ giác . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn MP và NQ.
Chứng minh rằng IJ song song với AE
Lời giải (hình 1.36)
 Ta có 
Suy ra IJ song song với AE
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Các điểm M, N, P thuộc các đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn , thì AM, BN, CP đồng quy tại O, với O là điểm được xác định bởi 
Lời giải
Ta có 
Suy ra M, O, A thẳng hàng hay AM đi qua điểm cố định O
Tương tự ta có BN, CP đi qua O 
Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy
Ví dụ 3: Cho sáu điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi là một tam giác có ba đỉnh lấy trong sáu điểm đó và là tam giác có ba đỉnh còn lại. Chứng minh rằng với các cách chọn khác nhau các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác và đồng quy.
Định hướng. Giả sử sáu điểm đó là A, B, C, D, E, F.
Ta cần chứng minh tồn tại một điểm H cố định sao cho với các cách chọn khác nhau thì H thuộc các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác và . Nếu là tam giác ABC thì là tam giác DEF. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF.
H thuộc đường thẳng khi có số thực k sao cho 
Vì vai trò của các điểm A, B, C, D, E, F trong bài toán bình đẳng nên chọn k sao cho khi đó 
Lời giải
Gọi H là trọng tâm sáu điểm A, B, C, D, E, F khi đó
Giả sử lần lượt là trọng tâm của hai tam giác suy ra 
Suy ra
Do đó GG' đi qua điểm cố định H do đó các đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác và đồng quy.
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.111: Cho tứ giác , gọi K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và tam giác BCD. Chứng minh rằng hai đường thẳng KL và AD song song với nhau
Bài 1.112: Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác lần lượt lấy các điểm sao cho . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho . Chứng minh rằng tam giác có các cạnh tương ứng song song với các cạnh của tam giác .
Bài 1.113: Trên đường tròn cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Qua trọng tâm của ba trong năm điểm đó kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm còn lại. Chứng minh rằng mười đường thẳng nhận được cắt nhau tại một điểm.
Bài 1.114. Cho tứ giác nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Kẻ MM', NN', PP', QQ' lần lượt vuông góc với CD, DA, AB, BC. Chứng tỏ rằng bốn đường thẳng MM', NN', PP', QQ' đồng quy tại một điểm. Nhận xét về điểm đồng quy và hai điểm I, O (I là giao điểm của MP và NQ).
Bài 1.115: Cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi là một tam giác có ba đỉnh lấy trong năm điểm đó, hai điểm còn lại xác định một đoạn thẳng . Chứng minh rằng với các cách chọn khác nhau các đường thẳng nối trọng tâm tam giác và trung điểm đoạn thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 1.116: Cho tam giác . Ba đường thẳng x, y, z lần lượt đi qua A, B, C và chúng chia đôi chu vi tam giác . 
Chứng minh rằng x, y, z đồng quy .
Bài 1.117: Cho tam giác ABC, các đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại M, N, P.Chứng minh AM, BN, CP cùng đi qua một điểm, xác định điểm đó.
Bài 1.118 : Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA
a) Gọi G là giao điểm của MP và NQ. Chứng minh rằng 
b) Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy tại điểm G. 
Bài 1.119: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là một điểm tùy ý. Gọi lần lượt là các điểm đối xứng với M qua các trung điểm I, J, K của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng
a) Các đường thẳng đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường 
b) M, G, O thẳng hàng và .
Bài 1.120: Cho tam giác . Gọi M, N, P là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác với các cạnh . Gọi là đường thẳng đi qua trung điểm PN và vuông góc với BC, là đường thẳng đi qua trung điểm PM và vuông góc với AC, là đường thẳng đi qua trung điểm MN và vuông góc với AB. Chứng minh rằng và đồng quy.
Bài 1.121: Cho hai hình bình hành và sắp xếp sao cho B' thuộc cạnh AB, D' thuộc cạnh AD. Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy.
Bài 1.111: Ta có và 
Trừ vế với vế ta được 
Suy ra KL//AD
Bài 1.112: , vì và nên 
Tương tự ta có và 
Bài 1.113: Giả sử năm điểm đó là nằm trên đường tròn (O). Ta cần chứng minh tồn tại điểm H thuộc mười đường thẳng đó.
Gọi G là trọng tâm của tam giác ; P là trung điểm của đoạn thẳng .Vì (do ) nên điểm H thuộc đường thẳng đi qua G và vuông góc với đường thẳng khi có số thực k sao cho . Mà (vì G là trọng tâm của tam giác ). (vì P là trung điểm của đoạn thẳng )
Do đó 
Hay
Vì các điểm trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn k sao cho 
Khi đó 
Hay (G là trọng tâm của hệ điểm ).
Bài 1.114: Ta cần chứng minh tồn tại điểm H thuộc đường thẳng MM', NN', PP', QQ'.
Vì OP CD (do OC = OD) nên điểm H thuộc đường thẳng MM' khi có số thực k sao cho .
Mà M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD nên
Do đó Hay 
Vì các điểm A, B, C, D trong bài toán có vai trò bình đẳng nên chọn 
Khi đó 
Hay (Dễ thấy I là trọng tâm của tứ giác ABCD)
Vậy H là điểm đối xứng của O qua I.
Bài 1.115: Gọi A, B, C là ba đỉnh của tam giác và DE là đoạn thẳng . Gọi G là trọng tâm tam giác và M là trung điểm của DE thì với điểm O tùy ý ta có 
Do đó GM luôn đi qua điểm cố định O là trọng tâm hệ điểm A, B, C, D, E. 
Bài 1.116: Hướng dẫn :
Đặt 
Giả sử đường thẳng x đi qua A cắt BC tại M khi đó ta có
Suy ra 
Do đó : 
Tương tự ta có :
 Do đó x, y, z đồng quy tại I được xác định bới 
Bài 1.117: Giả sử đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC tại M. 
Gọi B’,C’ là tiếp điểm của cạnh AB,AC với đường tròn bàng tiếp góc A
Khi đó 
Đến đây tương tự bài 1.116.	
Bài 1.118: a) Ta có: 
b) ; 
 cùng phương hay AA1 đi qua G
Tương tự ta có BB1 đi qua G; CC1 đi qua G; DD1 đi qua G
Vậy ta có đồng quy tại G
Bài 1.119: a) Gọi O là trung điểm CC1 
 (vì hình bình hành) hay O là trung điểm AA1 
Tương tự ta có hay O là trung điểm BB1 
Vậy đồng quy tại trung điểm O của mỗi đường
b) Ta có: 
 M, G, O thẳng hàng và 
Bài 1.120: Đặt 
Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm của NP, PM, MN.
O là điểm được xác định 
Suy ra 
Suy ra , tương tự ta có 
Suy ra và đồng quy tại O.
Bài 1.121: Đặt . Gọi I là giao điểm BD' và DB'
Ta có 
Do đó ; 
Suy ra 
Suy ra I, C', C thẳng hàng đpcm
III. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG.
1. Phương pháp.
Phân tích vectơ qua hai vectơ không cùng phương và sử dụng các kết quả sau:
Cho là hai vectơ không cùng phương khi đó
Với mọi vectơ luôn tồn tại duy nhất các số thực sao cho 
Nếu và là hai vectơ cùng phương thì 
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho . Gọi O là giao điểm của CM và BN.
Hình 1.37
Tính tỉ số và 
Lời giải (hình 1.37)
Giả sử ; 
Ta có 
 ; 
Và 
Vì chỉ có một cách biểu diễn duy nhất qua và suy ra
. 
Vậy và .
Ví dụ 2: Cho hình bình hành . M thuộc đường chéo AC sao cho . Trên các cạnh AB, BC lấy các điểm P, Q sao cho . Gọi N là giao điểm của AQ và CP.
Tính tỉ số và theo .
Lời giải (hình 1.38) 
Hình 1.38
Đặt , ta có:
Vì nên 
Mặt khác 
Vì nên 
Từ (1) và (2) ta suy ra: .
Do đó và 
Ví dụ 3: Cho tam giác có trung tuyến AM. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm B’ và C’ . Gọi M' là giao điểm của B'C' và AM. Chứng minh: .
Lời giải (hình 1.39)
Hình 1.39
Đặt 
Vì 
Hay đpcm.
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.122. Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, BC ta lấy các điểm M, N sao cho 
. Gọi I là giao điểm của AN và CM
Tính tỉ số và 
Bài 1.123: Cho tam giác và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC và BC lần lượt tại D, E và F. Một điểm G nằm trên cạnh AB sao cho FG song song AC. 
Tính 
Bài 1.124: Cho có . Phân giác trong AD của góc cắt trung tuyến BM tại I. Tính 
Bài 1.125: Cho tam giác , trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho: , , gọi O là giao điểm của AN và BM. Tính diện tích biết diện tích bằng 1.
Bài 1.126: Cho hình bình hành . Gọi M, N lần lượt là nằm trên cạnh AB, CD sao cho , G là trọng tâm tam giác và AG cắt BC tại I. Tính 
Bài 1.127: Cho tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua trung điểm M của AB dựng đường thẳng MO cắt CD tại N. Biết , tính .
Bài 1.128. Cho tam giác . M là điểm nằm trên cạnh BC sao cho . Một đường thẳng cắt các cạnh lần lượt tại phân biệt. Chứng minh rằng 
Bài 1.129: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M. Qua trung điểm S của BD kẻ SM cắt AC tại K. Chứng minh rằng 
Bài 1.122: Đặt 
Ta có: 
Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có:.
Tương tự: .
Bài 1.123: Ta đặt: .Khi đó . Vì E nằm ngoài đoạn thẳng AC nên có số k sao cho , với . Khi đó 
Điểm D nằm trên AM và EF nên có hai số x và y sao cho: 
Hay 
Vì hai vectơ không cùng phương nên và .
Suy ra, do đó 
Ta có: = 
Chú ý rằng vì hay suy ra 
Do đó 
Bài 1.124: Ta có: 
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Bài 1.125: Vì A, O, N thẳng hàng nên: 
Tương tự: 
 hay (1)
 Đặt , , Ta có : 
Thay vào (1) ta có: 
Từ đó ta có: 
Với 
 hay . 
Vì 
Bài 1.126: Đặt 
Ta có 
Mặt khác G là trọng tâm tam giác suy ra
Vì cùng phương nên 
Bài 1.127: Ta có 
Vì cung phương nên có số thực k sao cho 
Đặt , ta có 
Suy ra 
Bài 1.128: Ta có 
Đặt 
Ta có 
Mặt khác , cùng phương nên 
Hay 
Bài 1.129: (hình 1.56) Đặt 
Hình 1.56
Ta có: (1)
Do: cùng phương nên
Mặt khác
Suy ra 
Từ (1) và (2) suy ra: