Chuyên đề Giải một số dạng phương trình chứa căn thức bậc hai, bậc ba bằng cách nâng lên lũy thừa

 Tờn : Trương Quang An
 Giỏo viờn Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xó Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngói
 Điện thoại : 01208127776
Giải một số dạng phương trình 
chứa căn thức bậc hai, bậc ba bằng cách nâng lên lũy thừa
Phương trình vô tỷ (phương trình chứa ẩn trong dấu căn) là một dạng toán khó đối với học sinh nhất là học sinh THCS. Hiện nay, đối với bậc THCS phương trình vô tỉ chỉ được đề cập ở lớp Đại số 9 và cũng chỉ dừng lại ở phương trình chứa căn thức bậc hai. Phương trình chứa căn thức bậc cao hơn chỉ có trong sách nâng cao. Tuy nhiên trong các đề thi học sinh giỏi, thi tuyển vào lớp 10 thường xuất hiện dạng toán này. Khi gặp các phương trình có chứa căn thức, học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm khi giải. Với phương trình chứa căn thức bậc hai, học sinh thường chỉ quen một phương pháp là nâng luỹ thừa hai vế để làm mất dấu căn, nhưng trong quá trình giải sẽ thường mắc phải một số sai lầm trong phép biến đổi tương đương phương trình như không tìm tập xác định, không tìm điều kiện trước khi nâng lũy thừa hai vế, dẫn đến kết quả thừa hoặc thiếu nghiệm. 
1. Cơ sở xuất phát:
Phương trình chứa căn thức bậc hai và căn thức bậc 3 là phương trình có chứa ẩn số dưới dấu căn bậc hai, căn bậc ba. Ví dụ: . Đối với phương trình chứa căn thức ta thường sử dụng một số phép biến đổi cơ bản sau:
1. 
2. 
3. 
4. 
Các bước giải phương trình chứa căn thức (dạng chung)
- Điều kiện xác định của phương trình.
- Dùng các phép biến đổi tương đương đưa về dạng phương trình đã học.
- Giải phương trình vừa tìm được.
- Đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện xác định và kết luận nghiệm.
Chú ý: Với những phương trình có ĐKXĐ là (trong quá trình biến đổi không đặt điều kiện) khi tìm được nghiệm phải thử lại.
Phương pháp nâng lên luỹ thừa là phương pháp nâng hai vế của phương trình lên lũy thừa bậc n để làm mất căn bậc n. Đây là phương pháp thường dùng khi 2 vế của phương trình có luỹ thừa cùng bậc.
2. Diễn biến quá trình tác động của biện pháp:
2.1 Phương trình chứa căn thức bậc hai:
Nếu n chẵn thì ta chỉ thực hiện việc nâng lên lũy thừa được khi cả vế của phương trình không âm. Vì vậy đối với phương trình chứa căn bậc chẵn trước khi nâng lên lũy thừa phải phải tìm điều kiện cho ẩn để cả hai vế phương trình không âm. Sau đó nâng lên lũy thừa bậc n và giải phương trình mới nhận được.
	a. Dạng 1: (I)
Đây là dạng phương trình thường gặp trong chương trình giảng dạy, sách giáo khoa toán 9 phần đại số vẫn thường gặp dạng và . Đối với dạng phương trình này thì điều kiện xác định là điều kiện để các căn thức ở vế trái có nghĩa. 
Lưu ý: Nhiều trường hợp biến đổi dúng phép “” thì sau khi tìm được nghiệm phải kiểm tra ( thử lại) để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) ( Bài 25 SGK toán 9 tập 1)
Giải: Điều kiện x 1 khi đó:
(1) 9(x - 1) = 441
 x - 1 = 49
 x = 50 ( nhận)
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S = {50}.
Ví dụ 2: 	Giải phương trình : 	(2)
Giải: Điều kiện - 4 < x < 1 	(*)
Khi đó 2 vế của phương trình (1) không âm, bình phương hai vế ta có:
(1) 1 - x + 4 + x + 2 
 (3)
Bình phương hai vế của phương trình (3) ta có:
(3) (1 - x)(4 + x) = 4 
 - x2 - 3x + 4 = 4 
 x(x + 3) = 0
 x = 0 hoặc x = - 3
Đối chiếu với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình (2) là: x = 0; x = -3.
b. Dạng 2: (II)
Đây là dạng phương trình rất thường gặp trong chương trình, đồng thời đây cũng là phương trình “trung gian” trong biến đổi phương trình tương đương. Dạng phương trình này ta cần đặt điều kiện để vế phải không âm. Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy thông thường học sinh hay “bỏ quên” bước này.
Ví dụ: Giải phương trình: (4)
Thường gặp phương trình này học sinh sẽ giải như sau:
	 2x2 - 1 = 9x2 - 48x + 64
 7x2 - 48x + 65 = 0
Giải ra được x1 = 5; x2 = 
Vậy phương trình (4) có hai nghiệm x1 = 5; x2 =
 Sai lầm của học sinh là chưa tìm điều kiện xác định ( vế phải phải là biểu thức không âm) đã vội tiến hành bình phương hai vế vì vậy giải phương trình xuất hiện các nghiệm ngoại lai x2 = . Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần khắc sâu cho học sinh tìm điều kiện xác định trước khi bình phương hai vế, và kiểm tra lại các nghiệm tìm được có phải là phương trình đã cho ban đầu không, đồng thời cần rèn cho học sinh kỹ năng giải bất phương trình để xác định chính xác điều kiện xác định của phương trình (II).
Cách giải đúng: 
Điều kiện xác định: 3x - 8 
Khi đó bình phương hai vế phương trình (4) ta được:
	 2x2 - 1 = 9x2 - 48x + 64
 7x2 - 48x + 65 = 0
Giải ra được x1 = 5 ( nhận); x2 = ( loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 5
c. Dạng 3:	(III)	
ở phương trình hai vế đều có căn bậc hai, học sinh có thể mắc sai lầm để nguyên hai vế như vậy và bình phương hai vế để làm mất căn . Vì vậy giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh có thể mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất của luỹ thừa bậc 2: a = b a2 = b2 nhưng điều ngược lại chỉ đúng khi a, b cùng dấu. Vì vậy khi bình phương hai vế được phương trình mới tương đương với phương trình ban đầu khi hai vế cùng dấu.
ở phương trình (II) khi ta tìm điều kiện xác định vế phải không âm, nhưng vế trái chưa chắc đã không âm, vì vậy ta nên chuyển vế đưa về phương trình có hai vế cùng không âm. Sau đó mới tiến hành nâng lên lũy thừa và thực hiện các bước giải.
Ví dụ 1: Giải phương trình: (5)
Giải: Điều kiện: (6)
ở đây ta thấy với điều kiện vế phải không âm nhưng vế trái chưa hẳn không âm khi giải học sinh thường mắc phải sai lầm là không biến đổi hai vế của phương trình mà để vậy nâng lên lũy thừa vì vậy khi hướng dẫn giải GV cần hướng dẫn để học sinh nhận ra phải biến đổi tiếp để hai vế của phương trình cùng dấu sau đó mới nâng lên lũy thừa. 
 (5) 
 Đến đây học sinh có thể bình phương hai vế:
 	(**)
Ta lại gặp phương trình có một vế chứa căn, học sinh có thể mắc sai lầm là bình phương tiếp 2 vế để vế phải mất căn mà không để ý hai vế đã cùng dấu hay chưa.
	11x - 2 = 0 hoặc x - 2 = 0
 hoặc x = 2 . Và trả lời phương trình (**) có 2 nghiệm : .
Sai lầm của học sinh là gì? 
 + Khi giải chưa chú ý đến điều kiện để các căn thức có nghĩa nên sau khi giải không đối chiếu với điều kiện ở (6) : Điều kiện : vì vậy không phải là nghiệm của (5)
+ Khi bình phương hai vế của phương trình (**) cần có điều kiện vậy không là nghiệm của (5) 
Hướng khắc phục: Sau khi phân tích sai lầm mà học sinh gặp, từ đó tôi hướng học sinh đến cách giải đúng không phạm sai lầm đã phân tích .
 Cách 1: Sau khi tìm được và thử lại (5) không nghiệm đúng. Vậy (5) vô nghiệm. ( cách thử lại này thường làm khi việc tìm TXĐ của phương trình đã cho là tương đối phức tạp )
Cách 2: Đặt điều kiện tồn tại của các căn thức của (5) , sau khi giải đến (**) ta tìm điều kiện để bình phương hai vế vậy x thoả mãn : nên phương trình (5) vô nghiệm.
Cách 3: Có thể dựa vào điều kiện của ẩn để xét nghiệm của phương trình .
Điều kiện của (5) : do đó 
Vế trái < 0, vế phải 0 nên phương trình (5) vô nghiệm .
Sau đó tôi ra một số bài tập tương tự cho học sinh trình bày lời giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình: (7)
	Giải: Điều kiện xác định (***)
Khi đó (7) 
Hai vế không âm nên ta bình phương hai vế được: .
Điều kiện để bình phương hai vế là , kết hợp với điều kiện (***) ta thấy phương trình vô nghiệm.
2.2 Phương trình chứa căn thức bậc ba:
	Đối với trường hợp n lẻ ta chỉ cần tìm điều kiện của ẩn để căn thức có nghĩa, sau đó áp dụng quy trình giải tương tự trường họp trên.( nên kiểm tra lại nghiệm tìm được có thõa mãn phương trình ban đầu không?)
Dạng phương trình chứa căn thức bậc lẻ ( thường ở THCS là bậc ba) rất ít gặp trong sách giáo khoa và sách bài tập. Tuy nhiên trong sách nâng cao và thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào lớp 10 vẫn có dạng phương trình này. Phương trình có chứa căn thức bậc lẻ không cần điều kiện biểu thức trong căn lớn hơn 0 vì vậy việc tìm điều kiện xác định thuận lợi hơn so với tìm điều kiện của căn thức bậc chẳn.
d. Dạng 4: (IV).
+ ở căn bậc lẻ: có nghĩa với nên không cần đặt điều kiện .
	+ ở luỹ thừa bậc lẻ: a = b a2n+1 = b2n+1; (nN) nên không cần xét đến dấu của hai vế.
Ví dụ 1: Giải phương trình: (8)
Giải: Điều kiện xác định .
Lập phương hai vế phương trình (8) ta được:
(7) 2 - 3x = -8
 x =
Vậy phương trình có tập nghiệm là S =
	+ Tuy nhiên trong nhiều trường hợp khi ta nâng lên lũy thừa hai vế sẽ xuất hiện một phương trình mới nhìn rất phức tạp, học sinh thường lúng túng, vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh khéo léo sử dụng các hằng đẳng thức đã học để biến đổi. Đối với phương trình chứa căn thức bậc ba sau khi lập phương hai vế thu goạn hai vế, vế trái sẽ xuất hiện lại biểu thức vì vậy có thể thay biểu thức này bằng a để biến đổi đưa về phương trình mới. Tuy nhiên để vế trái xuất hiện biểu thức học sinh cần sử dụng linh hoạt hằng đẳng thức : khi đó có thể đưa phương trình đã cho về dạng A.B = 0 để giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình: (9). 
Giải: Điều kiện xác định 
Lập phương hai vế của phương trình (8) ta được:
(9) 
25 + x + 3 - x + 3. (10)
Phương trình sau khi lập phương rất dài và nhìn rất phức tạp, tuy nhiên nếu ta sử dụng hằng đẳng thức biến đổi vế phương trình (10) và sử dụng điều kiện của đề bài thay vào phương trình (10) ta sẽ được một phương trình đơn giản hơn nhiều:
Vì nên :
(10) 28 + 12 
 12 
 (***)
Lập phương hai vế của (***) ta được:
 (25 + x)(3 - x) 	= 27 
 - x2 - 22x + 75 	= 27
 x2 + 22x - 48 	= 0 
 (x - 2)(x + 24)	= 0
 x = 2 hoặc x = - 24
Thử lại: + Với x = 2 ta có 
+ Với x = - 24 ta có 
Vậy nghiệm của phương trình (8) là: x = 2; x = -24
Ví dụ 3: Giải phương trình : (11) 
+ ở phương trình (11) học sinh cũng nhận xét có chứa căn bậc 3 nên nghĩ đến việc lập phương hai vế :
Giải: Điều kiện xác định 
Lập phương hai vế
(11) 
 (12)
thay vào phương trình (11) ta được:
 (13) 
 Giải ra: ; thay lại vào phương trình (11) ta thấy nghiệm đúng, nên đó là 2 nghiệm của phương trình ban đầu. Vậy (11) có nghiệm .
 + ở phương trình (11) ngoài việc lập phương hai vế cần sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt để đưa phương trình về dạng đơn giản a.b = 0 rồi giải.
Chú ý: Do từ (12) suy ra (13) ta thực hiện phép biến đổi không tương đương, vì nó chỉ tương đương khi x thoả mãn : . Vì vậy việc thay lại nghiệm của (12) vào phương trình đã cho là cần thiết. Nếu không thử lại có thể sẽ có nghiệm ngoại lai.
e. Dạng 5: (V)
Đối với phương trình (V) thông thường khi giải đa số học sinh biết phải nâng hai vế lên lũy thừa bậc ba, nhưng khi khai triển hằng đẳng thức ở vế trái gặp biểu thức phức tạp học sinh sẽ gặp khó khăn trong biến đổi. Dạng (V) giáo viên cần hướng dẫn và khắc sâu cho học sinh trong việc sử dụng hằng đẳng thức đã học biến đổi tiếp vế trái đưa về dạng A.B = 0.
Ví dụ: Giải phương trình : . (13)
Giải: Điều kiện xác định: 
	Lập phương hai vế phương trình (13) ta được:
	(13) 
Ta thấy vế trái phương trình mới phức tạp hơn phương trình ban đầu. Để giải phương trình ta phải biến đổi vế trái bằng cách rút gọn đồng thời nhóm một vài hạng tử lại và đặt nhân tử chung:
Theo đề bài : nên:
 (14) 
Ta lập phương 2 vế phương trình để biến đổi tiếp:
Đến đây ta có thể hướng dẫn học sinh chuyển vế đưa về phương trình tích và giải được kết quả: x1=0; x2 = 
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm : x1=0; x2 =.
Bài tập vận dụng :
Bài 1 Giải phương trình
Bài 2 Giải phương trỡnh 
Bài 3 Giải phương trỡnh
 Bài 4 Giải phương trỡnh 
. 
Bài 5 Giải phương trỡnh.
Bài 6 Tỡm để phương trỡnh cú nghiệm
Bài 7 Giải phương trỡnh : 
Bài 8 Giải phương trỡnh
Bài 9Giải phương trỡnh : 
Đặt . Nghiệm 
Bài 10 Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm
Bài 11 Giải phương trỡnh