Chuyên đề: Điểm cố định của họ đường cong phụ thuộc tham số

Chuyên đề: Điểm cố định của họ đường cong phụ thuộc tham số
A.Tóm tắt lý thuyết.
 Trước hết ta thưà nhận bổ đề sau:
1)Bổ đề:Nếu pt: 
 Có vô số nghiệm hoặc có số nghiệm >=n thì
 .
2)Phương pháp tìm điểm cố định của họ đường cong y=f(x,m) (Cm)
 .Bước 1:Gọi điểm Alà điểm cố định của (Cm)
 .Bước 2:(Thiết lập pt ẩn m) đúng 
 đúng (1)
 .Bước 3:Giải hệ (1) được là điểm cố định
Chú ý:số nghiệm của hệ (1) là số điểm cố định cuả (Cm).
B.Các bài tập minh hoạ(tổ chức học tập).
Bài tập 1:Cho họ đường cong y= (Cm)
 Tìm điểm cố định của họ đường cong
 Bài giải
 Gọi là điểm cố định của họ (Cm)
 Ta có 
 Vậy A(0,0) B(1,1) C(-1,-1) là điểm cố định của họ (Cm).
Bài tập 2:Cho họ đường thẳng
 Tìm điểm cố định của họ đường thẳng.
 Bài giải
 Gọi là điểm cố định của họ đường cong .Khi đó:
 (2) 
Bài tập 3:Cho họ đường cong
 (Cm)
 Tìm điểm cố định của họ (Cm)
 Bài giải
 Gọi là điểm cố định của (Cm)
 Vậy (Cm) luôn đi qua (0;1).
Chú ý:Ngoài cách tìm điểm cố định của họ đường (Cm)như trên ta còn có các
 cách sau:
 Cách 1:-là điểm cố định của (Cm):y=f(x,m)
 , 
 -Lấy đạo hàm theo m ta có:
 Lấy đạo hàm theo m ta có:.
 Vậy(2,0) là điểm cố định của (Cm).
 Cách 2:Ta xét hai giá trị đặc biệt củatham số(chẳng hạn m=0,1)
 Có hai đường cong 
 và y
 Giao 2 đường cong này là nghiệm hệ 
 Thử lại thấy (2;0) (Cm) đúng mọi m.
 Tuy nhiên để tìm điểm cố định ta nên dùng phương pháp cơ bản nói 
 Trong phần 1.
C.ứng dụng :
i) Đoán nghiệm của pt bậc cao chứa tham số.
 Trước hết ta tìm điểm cố định là nghiệm của pt mọi m.
 VD:Tìm m để pt: (3)
 có 3 nghiệm phân biệt
 Bài giải
 Gọi là điểm cố định của họ (Cm).Khi đó ta có
 (2,0) là điểm cố định của họ(Cm).
+)Khi đó :pt (3) nhận x=2 là nghiệm.
 Pt (3) có 3 nghiệm phân biệt
 có 2 nghiệm phân biệt khác 2
ii)Tìm đường thẳng cố định tiếp xúc họ đường cong (Cm):
 Đây là bài toán viết pt đường thẳng chưa xác định điểm mà đường thẳng đi qua ,chưa biết vecto pháp tuyến .Vecto chỉ phương hay hệ số góc.Nhiều trường hợp việc tìm điểm cố định tỏ ra đắc hiệu.
 VD:Cho họ đường cong (Cm):
 Tỡm đường thẳng tiếp xỳc (Cm) 
 Bài giải:
 +)Tỡm điểm cố định của họ (Cm)
 Gọi là điểm cố định của họ (Cm).Khi đú
 Vậy (-1;-2) là điểm cố định của (Cm).
 +) Cú
 Vậy đường thẳng tiếp xỳc với (Cm) tại A(-1;-2) cú pt 
 y=1(x+1)-2 hay y=x-1
D.Bài tập tự luyện
 1)Tỡm điểm cố định của họ đường cong 
 2) 
 3) 
 4)Chứng minh rằng luụn tiếp xỳc với 
 một đường thẳng cố định.
 5)CMR cú tiệm xiờn 
 luụn đi qua điểm cố định.
 Chuyờn đề: QUỸ TÍCH ĐẠI SỐ
A.Phương phỏp tỡm quỹ tớch đại số
 Bài toỏn :Cho M thuộc mặt phẳng cú tớnh chất () 
 Tỡm tập hợp cỏc điểm M
 Trường hợp 1:Nếu tớnh được tọa độ của M
 Giả sử 
 Ta chỉ cần thực hiện sơ đồ sau:
H=
Tim tập gia trị 
Khử m cú 
F()=0
Tim tập gia tri của :B
H=
H=
TGT 
Hoặc
TGT
Trường hợp 2:Khụng tớnh được 
 Ta thiết lập hệ thức ,bất đẳng thức chứa (cỏc hệ thức này khử hết tham số).Khi đú ta xỏc định được tập hợp cỏc điểm M.
B.Bài tập minh họa(tổ chức học tập và rốn luyện kỹ năng).
1)Bài 1:Tỡm quỹ tớch đỉnh của parabol
 Bài giải
Gọi S là đỉnh của parabol
 Khi đú	
Khử m từ hệ thức trờn cú
Mặt khỏc tập giỏ trị của là R
Suy ra quỹ tớch cỏc đớnh là đường thẳng y=x-0,75
Chỳ ý: Cú thể hiểu đỉnh S là cực trị của hàm số.Khi đú 
Khử m ta thu được .
Bài 2:Tỡm quỹ tớch điểm cực đại ,điểm cực tiểu của đồ thị hàm số:
Bài giải
 Ta cú:
 Vậy với mọi m ta luụn cú bảng biến thiờn 
	x	m-1	m	m+1	
 	+	0	-	-	0	+
 y
Gọi T là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
Ta cú:
 Khử m ta cú:
 Do 
cú tập giỏ trị là R nờn quỹ tớch cỏc điểm là đồ thị hàm số 
Lập luận tương tự quỹ tớch cỏc điểm cực đại D là đồ thị của hàm số 
Chỳ ý:Nếu hai quỹ tớch trờn cắt nhau tại O(0,0),điều đú cú nghĩa trờn mặt phẳng tồn tại một điểm là điểm cực đại của đồ thị ứng với một giỏ trị của m nào đú.Và cũng là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với một giỏ trị khỏc của m.
Ngoài ra một số bài toỏn quỹ tớch đại số mà ta khụng tớnh toạ độ của điểm đang xột.
Bài tập 3:Tỡm quỹ tớch cỏc điểm T mà từ đú ta kẻ được tới đường hai tiếp tuyến đú tạo với nhau gúc 
Bài giải:
 Giả sử T() là điểm mà đường thẳng qua T cú phương trỡnh là
 Đường thẳng này là tiếp tuyến của pẩpol
 pt cú nghiệm kộp
 (1)
Từ T kẻ 2 tiếp tuyến (1) cú hai nghiệm phõn biệt 
Khi đú gúc 2 tiếp tuyến là 
 .
 Do đú T (C) cú pt: với .
 Vậy quỹ tớch T la hypebol cú pt:.
Để luyện tập ta xột một số baiI tập sau:
1)Cho hàm số (C)
 Tỡm k để y=k.x+1 cắt (C) tại hai điểm phõn biệt A,B.Tỡm quỹ tớch trung điểm I của AB.
2)Tỡm m để đồ thị hàm số 
 Cú cực đị ,cực tiểu.Tỡm quỹ tớch cỏc điểm cực đại.
3)Cho hàm số 
 Tỡm m để đường thẳng (d):2.x-y+m=0 cắt (C) tại hai điểm phõn biệt M,N.
 Hóy tỡm quỹ tớch trung điểm I của MN.
4)Tỡm quỹ tớch giao điểm của 
 Với Oy khi m thay đổi.
5) Cho (E) .Tim quỹ tớch cỏc điểm trờn mặt phẳng tọa độ mà từ đú kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) mà hai tiếp tuyến đú vuụng gúc với nhau.