Chuyên đề Các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số

LỜI NÓI ĐẦU
	Trong chương trình môn toán lớp 12, bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số đóng vai trò quan trọng trong phần hàm số và đồ thị, bài toán tiếp tuyến thường xuyên có mặt trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và các đề thi vào đại học và cao đẳng.
	Để giúp các em học sinh ôn luyện thi một cách có hệ thống và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi, trong thời gian qua từ kinh nghiệm giảng dạy và đọc các sách tham khảo chúng tôi viết một chuyên đề nhỏ “Các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số”
	Do kinh nghiệm còn hạn chế nên không thể tránh khỏi được thiếu sót, vậy rất mong được sự đóng góp bổ sung của bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn
 Tổ toán trường THPT Quế Võ số 1
PHẦN I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
Cho hàm số: y = f(x) có đồ thị là (C), điểm Mo(xo ; f(xo)) (C) 
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: 
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm Mo(xo ; f(xo))
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm Mo(xo ; f(xo)) là:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm Mo(xo ; f(xo)) có phương trình là:
Điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau:
Định nghĩa: Giả sử hai hàm số f và g có đạo hàm tại điểm x0. Ta nói rằng hai đường cong và tiếp xúc với nhau tại điểm nếu M là một điểm chung của chúng và hai đường cong có tiếp tuyến chung tại M. Điểm M được gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.
Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau:
Hai đường cong và tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
( Nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm)
PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Bài toán 1: ( Biết tọa độ tiếp điểm)
	Cho đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm 
	Cách giải: +) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có dạng: 
	 +) Tính và tính 
	 +) Viết phương trình tiếp tuyến cần lập.
Các ví dụ:
	Ví dụ 1: Cho hàm số . (C)
	 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(0; 2)
	Bài giải: 
	Ta thấy A(0;2) (C) 
	Ta có: ; 
	Phương trình tiếp tuyến cần lập là: 
	Ví dụ 2: Cho hàm số , có đồ thị là (C)
	 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm trên đồ thị có hoành độ x = 2
	Bài giải: 
	Gọi điểm 
	Ta có: ; 
	Phương trình tiếp tuyến cần lập là: 
	Ví dụ 3: Cho hàm số 
	 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các giao điểm của đồ thị với trục hoành.
	Bài giải: 
	Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phương trình: 
	Ta có: 
	Các phương trình tiếp tuyến cần lập là: 
Nhận xét: Khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ở dạng này cần kiểm tra xem điểm đã cho thuộc đồ thị hàm số chưa? 
	Nếu cho hoành độ của điểm thì phải tìm tung độ còn nếu cho tung độ thì phải tìm hoành độ
Bài tập tương tự:
Cho hàm số 
Viết phương trinh tiếp tuyến của đồ thị tại điểm trên đồ thị có tung độ y = - 4
Cho hàm số 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là tâm dối xứng của đồ thị hàm số
Cho hàm số 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Bài toán 2: ( Biết hệ số góc)
	Cho hàm số có đồ thị là (C) 
	Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc là k
	Cách giải: 	+) Tính 
	+) Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình: 
	+) Giải phương trình tìm được x0, từ đó tìm được , từ đó tìm được 
	+) Viết phương trình tiếp tuyến cần lập: 
Các ví dụ:
	Ví dụ 1: Cho hàm số 
	Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 
	Bài giải: 
	Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng nên có hệ số góc là: k = -3
	Ta có ; 
	Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình: 
	Với x0 = 0 , phương trình tiếp tuyến cần lập là: 
	Với x0 = 2 , phương trình tiếp tuyến cần lập là: 
	Ví dụ 2: Cho hàm số 
	Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
	Bài giải:
	Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng nên có hệ số góc k = 3
	Ta có: 
	Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình: 
	Với , phương trình tiếp tuyến cần lập là: 
	Với x0 = 4 , phương trình tiếp tuyến cần lập là: hay 
	Ví dụ 3: Cho hàm số 
	Tìm trên đồ thị điểm mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .
	Bài giải: 
	Từ giả thiết ta có hệ số góc của tiếp tuyến cần lập là: k = 3
	Ta có 
	Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình: 
	Với x = -2, ta có y = 0
	Với x = 2, ta có 
Vậy có hai điểm cần tìm: 
	Ví dụ 4: Cho hàm số: 
Tìm trên đồ thị điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất
	Bài giải:
	Ta có 
	 = 
	 = 6
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị đã cho nhỏ nhất bằng đạt được khi 
Điểm cần tìm là: 
Nhận xét: Dựa vào bài toán tiếp tuyến biết hệ số góc ta tìm được tiếp điểm của đồ thị hàm số với tiếp tuyến.
Bài tập tương tự:
Cho hàm số 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng 
Cho hàm số . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là tâm đối xứng của đồ thị và chứng minh rằng tiếp tuyến đó có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài toán 3: (Biết đi qua một điểm)
	Cho hàm số , viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm 
Cách giải:
	Cách 1: (Dùng điều kiện tiếp xúc)
	+) Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm và có hệ số góc k : 
	+) Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
	+) Giải hệ phương trình tìm được x và k suy ra phương trình tiếp tuyến.
(Nghiệm x của hệ chính là hoành độ tiếp điểm)
Cách 2: 
	+) Gọi tọa độ tiếp điểm là: 
Thì phương trình tiếp tuyến có dạng: 
	+) Vì tiếp tuyến đi qua điểm nên ta có: 
	+) Giải phương trình tìm được x0 suy ra phương trình tiếp tuyến cần lập.
Các ví dụ:
	Ví dụ 1: Cho hàm số . Viết phương trình của đồ thị hàm số đi qua điểm A( 1; 0)
	Bài giải:
	Đường thẳng d đi qua điểm A( 1; 0), hệ số góc k phương trình có dạng: 
	Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
	Thế k từ phương trình (2) vào phương trình (1) ta được:
	Với x = 1, ta được k = - 3
Vậy phương trình tiếp tuyến cần lập là: 
Nhận xét: Thấy A( 1; 0) thuộc đồ thị hàm số nên hệ phương trình luôn có nghiệm x = 1
	Ví dụ 2: Cho hàm số 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm M( - 1; 2)
	Bài giải: 
	Đường thẳng d đi qua điểm M( - 1; 2), hệ số góc k có phương trình là: 
	Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số hệ phương trình sau có nghiệm: 
	Giải hệ tìm được : 
Vậy các phương trình tiếp tuyến cần lập là: 
Ví dụ 3: Cho hàm số 
Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm tại M đi qua gốc tọa độ
Bài giải:
	Đường thẳng d đi qua gốc 0(0; 0), hệ số góc k phương trình có dạng: 
	Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số hệ phương trình sau có nghiệm: 
	Giải hệ tìm được 
Vậy điểm cần tìm là: M 
Ví dụ 4: Cho hàm số 
Tìm mọi điểm trên trục tung sao cho qua mỗi điểm đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
Bài giải:
	Gọi điểm 
	Đường thẳng đi qua điểm M, hệ số góc k phương trình có dạng:
	Đường thẳng là tiếp tuyến hệ phương trình sau có nghiệm:
	Dùng phương pháp thế ta được phương trình: 
 (*)
	Để kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số thì phương trình (*) phải có đúng 3 nghiệm phân biệt.
	Đưa phương trình (*) về pt: (**) 
	Để thỏa mãn bài toán thì pt(**) phải có 2 nghiệm: 
Vậy điểm cần tìm là: 
Ví dụ 5: Cho hàm số 
Tìm trên trục tung điểm mà từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số
Bài giải:
	Gọi điểm 
Đường thẳng đi qua điểm M, hệ số góc k phương trình có dạng:
	Đường thẳng là tiếp tuyến hệ phương trình sau có nghiệm:
Dùng phương pháp thế đưa về phương trình: 
 (*)
Để kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số thì phương trình (*) phải có đúng một nghiệm khác 1
+) Nếu b 1: Phương trình (*) có đúng một nghiệm x = 
+) Nếu b = 1: Phương trình (*) có đúng 1 nghiệm 
Vậy điểm cần tìm là: 
Bài tập tương tự:
Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm M(0; 4)
Cho hàm số . Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số xuất phát từ điểm A(3; 0)
Cho hàm số . Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số có hoành độ . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và là tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Tìm trên trục hoành các điểm sao cho từ đó kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số: 
Cho đồ thị của hàm số . Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số kẻ từ điểm A(. Kiểm nghiệm rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Giải hệ tìm được