Chuyên đề Các bài toán liên quan đến biến đổi lượng giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 2
Lượng giác
Quế võ, tháng 1 năm 2009
	Biến đổi lượng giác là một nội dung cơ bản và quan trọng trong quá trình học tập lượng giác. Thành thạo các phép biến đổi lượng giác là một hành trang rất tốt tạo cho các bạn sự tự tin và linh hoạt khi học tập về các phần khác của chương trình lượng giác, nếu các bạn thấy được tinh thần và phương pháp của lượng giác được vận dụng như thế nào trong các bài toán thì các bạn sẽ thấy được toàn bộ nét đặc trưng và vẻ đẹp của lượng giác.
	Để giúp các bạn có một bộ tài liệu tương đối đầy đủ để học về lượng giác,chúng tôi đã tập hợp các tài liệu để biên soạn chuyên đề này.Chúng tôi đã tham khảo và biên tập một hệ thống các bài tập khá đa dạng và phong phú.Các bài tập được biên soạn theo 2 hướng 
Một số bài tập chúng tôi cung cấp luôn lời giải. Tất nhiên các lời giải đưa ra không phải bao giờ cũng là cách giải duy nhất và hay nhất. Đối với các bài này thì các bạn cần suy nghĩ theo các hướng mở sau:
Giải thích được các phép biến đổi và lập luận trong lời giải
Tìm một lời giải khác nếu có thể
Lí giải xem tại sao lại giải như vậy
Tìm cách vận dụng bài toán
Nêu các bài tập tương tự.
Một số bài tập chúng tôi không cung cấp lời giải.Những bài tập này thuộc dạng cơ bản, dễ hoặc tương tự, đề nghị các bạn suy nghĩ và tự giải quyết.
Chú ý: Đối với các bài toán có phần hướng dẫn đi kèm,các hướng dẫn đó có tính chất giúp các bạn phát hiện ra vấn đề chứ không phải là cách trình bày.
A. TÓM TẮTGIÁO KHOA
.
I. Đơn vị đo góc và cung:
 1. Độ:
 2. Radian: (rad)
 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
Độ
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
3600
Radian
0
II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
(điểm gốc)
(điểm ngọn)
(tia gốc)
(tia ngọn)
 1. Định nghĩa:
 2. Đường tròn lượng giác:
 Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:
III. Định nghĩa hàm số lượng giác:
1. Đường tròn lượng giác:
A: điểm gốc
x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) 
y'Oy : trục sin ( trục tung )
t'At : trục tang 
u'Bu : trục cotang
2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:
 a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= . 
 Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy
 T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Trục cosin
Trục tang
Trục sin
Trục cotang
 Ta định nghĩa:
 b. Các tính chất :
Với mọi ta có : 
c. Tính tuần hoàn 
IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
 Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
 Góc
Hslg
 00
300
450
 600
900
1200
1350
1500
1800
3600
0
sin
0
1
0
0
cos
1
0
-1
1
tg
0
1
kxđ
-1
0
0
cotg
kxđ
1
0
-1
kxđ
kxđ
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
 Đó là các cung :
	1. Cung đối nhau : (tổng bằng 0) (Vd: ,)
	2. Cung bù nhau : ( tổng bằng ) (Vd: ,)
	3. Cung phụ nhau : ( tổng bằng ) (Vd: ,)
	4. Cung hơn kém : (Vd: ,)
	5. Cung hơn kém : (Vd: ,)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau : 
Bù sin
Đối cos
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém 
Phụ chéo
Hơn kém 
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
5. Cung hơn kém :
Hơn kém 
tang , cotang
VI. Công thức lượng giác:
 1. Các hệ thức cơ bản:
 2. Công thức cộng :
 3. Công thức nhân đôi:
4 Công thức nhân ba:
 5. Công thức hạ bậc:
 6.Công thức tính theo 
 7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
 8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
 9. Các công thức thường dùng khác:
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
 Phần 1	Đẳng thức lượng giác không điều kiện
1: Đẳng thức với biến
Trong phần này ta xét các đẳng thức lượng giác mà các biến không bị ràng buộc bởi điều kiện nào.Khi chứng minh các đẳng thức không có điều kiện kèm theo này,chúng ta thường vận dụng các công thức lượng giác, các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản.Tuy nhiên do số luợng các công thức lượng giác khá nhiều nên các bạn có thể gặp khó khăn trong việc lựa chọn công thức nào cho hợp lí.Vì vậy một yêu cầu đặc biệt quan trong là khi thực hiện các phép biến đổi là các bạn cần phảp có một định hướng rõ ràng để tránh việc lúng túng khi lựa chon công thức
Các bài toán chứng minh đẳng thức
Khi gặp các bài toán dạng này chúng ta có thuận lợi là kết quả đã có trong đề bài.Từ đó dẫn đến các hướng để giải quyết:
Hướng 1: Biến đổi vế trái sao cho bằng vế phải.Thông thường ta dựa vào chính vế phải,từ về trái ta tìm cách phân tích,tách.ghép,biến đổi... làm xuất hiện các biểu thức trong vế phải
Bài 1: 
	Chứng minh rằng 
Hướng dẫn:
Bởi vì .Nên ta biến đổi vế trái sao cho tử thức và mẫu thức xuất hiện cos,sin.
Khi đó ta có:
Hướng 2:Biến đổi vế phải sao cho bằng vế trái.Ta xuất phát từ VP tìm cách làm xuất hiện các biểu thức trong vế trái.Các bạn có thể lấy ngay ví dụ một để thực hiện theo hướng này hoặc theo dõi ví dụ sau:
Bài 2:	
	Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn:
Nhận xét:
Cũng có thể nhân cả tử và mẫu của VT với để làm theo hướng thứ nhất.Nhưng thông thường thì việc tách ra bao giờ cũng dễ hơn việc thêm vào.
Hướng thứ 3: biến đổi cả vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức trung gian.
Bài 3: Chứng minh rằng:
	Ta có 	(1)
	 	(2)
Từ (1) và (2) ta được điều phải chứng minh.
Bài 4: chứng minh: 
Hướng dẫn:
Ta có 
Do đó 
Bài 5: Chứng minh rằng:	(*)
Ta có: (*)
Mà 
Do đó:
(*)
 	(hiển nhiên đúng).
Bài 6: Chứng minh:
a/ Ta có: 
b/ Ta có: 
Do đó: 
Lấy (1) + (20 + (3) + (4) ta được:
Bài 7: Chứng minh:
a/ Ta có:	sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2xcos2x
b/ Ta có:	sin6x + cos6x = (sin2x + cos2x)(sin4x – sin2xcos2x + cos4x)
	 (do kết quả câu a)
c/ Ta có:	
Bài 8: Chứng minh: sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = cos32x
	Cách 1: 
	sin3x.sin3x + cos3x.cos3x =	 	Cách Cách 2:
	sin3x.sin3x + cos3x.cos3x =
Bài 9: Chứng minh 
HD
Ta có 
* 
*
Lấy (1) + (2) ta được điều phải chứng minh.
Các bạn làm thêm một số bài sau:
Bài 10 	Chứng minh rằng: 
	c.
Bài 11 	Chứng minh các đẳng thức sau: 
	a. 
	b. 
Bài 12 	Chứng minh rằng với mọi x ta có:
	d. 
	e. 
	f. 
Các bài toán rút gọn biểu thức
 	Việc rút gọn biểu thức lượng giác khó hơn bài toán chứng minh vì không biết trước kết quả của quá trình biến đổi.Thường thì kết quả phải ở dạng đơn giản nhất mới được chấp nhận.Với loại toán này ta bắt buộc phải biến đổi từ biểu thức trong đề bài,nhưng cũng nên để ý một chút về dạng của biểu thức để việc định hướng trở nên đơn giản hơn.Chẳng hạn,dạng phân thức thì tìm cách làm xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu để giản ước,dạng căn thức thì tìm cách đưa về dạng bình phương của một biểu thức.
Bài 1: Rút gọn biểu thức A= 
Tính giá trị của A nếu 
HD
Với có (do sinx > 0)
Do đó 
Bài 2: 	Rút gọn biểu thức sau:
Bài 3: 	Rút gọn biểu thức sau:
	a. 
	b. 
	c. 
	d. 
	e. 
	f. 
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến:
 Dạng bài tập này cũng không biết trước kết quả cuối cùng nhưng ta hoàn toàn có thể kiểm tra được kết quả đó như thế nào thông qua một suy luận đơn giản là:Vì biểu thức không phụ thuộc vào biến nên với mọi giá trị của biến biểu thức không thay đổi,do đó ta chỉ cần thay một giá trị bất kì của biến sẽ kiểm tra được kết quả của biểu thức:
Bài 1: Chứng minh rằng các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x:
	a. 
	b. 
	c. 
Hướng dẫn:
a/
Nhận xét:
Có thể kiểm tra kết quả,bằng cách thay một giá trị bất kì của x vào biểu thức ban đầu
	Với 
Việc sử dụng công thức hạ bậc để có thể thực hiện các phép biến đổi dễ dàng hơn.
Nguyên tắc chung để chứng minh một tổng không phụ thuộc vào biến là ta biến đổi về cùng một hàm số lượng giác(để các giá trị đó giản ước hết).Trong phép biến đổi ở trên ta đã tìm cách ghép các biểu thức rồi sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích đưa tất cả các hàm số lượng giác về một hàm số cos2x.Các bạn cũng có thể tách ghép theo một cách khác,miễn là đưa tất cả về cùng một hàm số lượng giác là được.
Bài 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x:
	a) 
	b) 
HD
a) Ta có:
b) Với điều kiện 
	Ta có: 
Bài 3:	 Chứng minh rằng các biể thức sau không phụ thuộc vào biến x:
	a. 
	b. 
Bài 4:	Chứng minh giá trị của các biểu thức sau là một hằng số:
	a. 
	b. 
	c. 
	d. 
Tìm điều kiện của tham số để biểu thức không phụ thuộc vào biến
	Biến đổi về dạng và lập luận A(m)=0.
Bài 1 	Tìm m sao cho:
	không phụ thuộc vào x
Hướng dẫn:
	Sử dụng kết quả câu a và b của bài 1.5 ta có:
	f(x) không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi 
Các bài tập còn lại làm tương tự
Bài 2 	Tìm m sao cho các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
	a. 
	b. 
Bài 3 	Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc vào x
	a. 
	b. 
	c. 
Bài 4 	Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc vào x
	a. 
	b. 	
Dạng kết quả được chỉ ra trong đề bài:
Phần này khá đơn giản,đề nghị các bạn tự giải quyết
Bài 1 	Biến đổi biểu thức sau thành tích
	a. d.
	b. e. 
	c. 	 	 f. 
Bài 2	Chứng minh rằng là một bình phưong hoàn toàn
	(Chứng minh A có dạng )
2. Đẳng thức với số cụ thể. Tính giá trị biểu thức
	Trong phần trước chúng ta chỉ xét những biểu thức chứa biến và các dạng bài tập của nó.Phần này sẽ tiếp tục tìm hiểu về các biểu thức của các số cụ thể,sẽ có nhiều khó khăn hơn.
A.Tính trực tiếp giá trị của biểu thức nhờ vận dụng các công thức biến đổi phù hợp
Trong phần này các bạn cần biến đổi, ghép cặp hợp lí nhằm tạo ra các tính chất đặc biệt. Để làm được điều đó các bạn phải căn cứ vào các góc trong đề bài và xét mối quan hệ giữa các góc ấy.
Bài 1 	Tính tổng đơn giản nhờ ghép cặp triệt tiêu
	a. 
Hướng dẫn:
Nhận thấy giữa các góc ,các cặp có tổng bằng .Nên ta biến đổi A như sau:
Bài 2: Chứng minh 
Hướng dẫn:
Ta có 
Mặt khác 
Do đó 
B.Tính tổng, tích các biểu thức có quy luật bằng cách nhân thêm một lượng phù hợp
	Thông thường đó là tổng hoặc tích của một hàm số lượng giác của các góc mà 2 góc liên tiếp cách nhau một khoảng không đổi(chẳng hạn cách nhau )hoặc tỉ lệ với nhau theo một tỉ số nhất định.Biểu thức cần nhân thêm ở đây thường là tạo ra các số hạng giống nhau,nhưng trái dấu để giản ước hết.
Bài 1: Chứng minh 
Hướng dẫn:
Ta có 
Bài 2: Chứng minh 16sin100sin300sin500sin700 = 1
Ta có A = 
Bài 3	Tính các tổng sau:
Hướng dẫn:
	a.Nhân cả 2 vế với ta được:
	Chia cả 2 vế cho thu được 
Nhận xét
Đối với biểu thức là một tổng,thường tạo ra hiệu của 2 hàm sin hoặc 2 hàm cosin để giản ước dần các số hạng giống nhau.
Nếu các số hạng có dạng lũy thừa thì nên hạ bậc để dễ biến đổi
Bài 4	Tính các tổng sau:
Hướng dẫn:
	b/Ta có:
	Nhân 2 vế của B với ta được:
	Từ đó suy ra .
Nhận xét:
Đối với các biểu thức dạng tích ta thường đưa về dạng tích các hàm số lượng giác của các góc,mà góc sau gấp đôi(hoặc bằng một nửa) góc trước.
Sử dụng công thức góc nhân đôi.
Bài 5	Chứng minh rằng
Bài 6	Chứng minh rằng
Bài 7	Tính giá trị: 
Bài 8	Chứng minh
	a. 
	b. 
Bài 9	Chứng minh rằng:
Bài 10	Chứng minh rằng:
Bài 11	Tính tổng: 	
C. Hệ thức Viet và ứng dụng để tính giá trị của một biểu thức
	Chúng ta đã quá quen thuộc với định lí Viet cũng như ứng dụng của nó trong các bài toán về phương trình bậc 2,hay các bài về biểu thức nghiệm đối xứng.Trong phần này các bạn sẽ tiếp tục thấy được vẻ đẹp và tính ứng dụng rộng rãi của nó trong các bài tính giá trị của một biểu thức lượng giác.
Bài 1	Chứng minh rằng:
Hướng dẫn:
	a.Nhận thấy là nghiệm của phương trình ,suy ra 	 là nghiệm của phương trình 
	Áp dụng định lí Viet ta được điều phải chứng minh:
	d.Nhận thấy: là nghiệm của phương trình (*)
	Đặt ,và đưa phương trình(*) về dạng (**) 
	Theo nhận xét trên thì phương trình(**) có 3 nghiệm là:
	Do đó: 
Bài 2	 Chứng minh rằng: 
Bài 3 	Tính giá trị của biểu thức
Bài 4	a/Chứng minh rằng là nghiệm của phương trình 
	b/Tính tổng sau:
	c/Đặt Chứgn minh rằng:
D.Tính tổng và tích hữu hạn
Các bài toán tính tổng và tích hữu hạn thường có tính quy luật điều quan trọng nhất là ta phải tìm ra quy luật ấy.Trong các bài dưới đây,có một số câu được coi như gợi ý để làm các câu tiếp theo.Một số bài toán đề bài cho dưới dạng chứng minh,nó trở thành một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên,sẽ rất thuận lợi trong việc sử dụng phương pháp quy nạp.
Bài 1	a. Chứng minh: 
	 	 b. Rút gọn: 
Bài 2	Cho 
	a. Chứng minh 
	b. Tính tổng Sn
	c. Tương tự tính 
Bài 3 
	a. Chứng minh 
	b. áp dụng tính 
Bài 4	
	Tính 
Bài 5 
	a. Chứng minh 
	b. Tính 
Bài 6 	Tính các tổng sau:
	a. 
	b. 
	c. 
	d. 
Bài 7	Rút gọn:
Bài 8	Chứng minh:
Bài 9	Chứng minh các đẳng thức sau:
Bài 10	Chứng minh rằng: 
	(HD:Pp quy nạp)
Bài 11	Rút gọn: 
Phần 2: Đẳng thức lượng giác có điều kiện
Bài 1: Cho Chứng minh rằng:	
	Ta có: 
	Vậy:	
Bài 2: (CĐMGTW3 năm 2006)
Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c. Giả sử a + c = 2b.
Chứng minh rằng: .
Giải:
Ta có a + c = 2b ósinA +sinC = 2sinB => 
Cách 2
Có 
	a + c =2b => p – a + p – c = 2(p – b )
Bài 3: (CĐSP Vĩnh Phúc năm 2005)
	Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện (*)
	Chứng minh rằng: .
Giải:
Từ (*) 
Mà với mọi tam giác ta đều có: 
	.
Bài 4
Cho DABC. Chứng minh rằng: .
Hướng dẫn:
 .
Mặt khác: 
Vậy .
Bài 5: (ĐH khối A 2004)
	Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện: 
	Tính ba góc của tam giác ABC.
Giải:
Cách 1:
Do nên 
Mặt khác tam giác ABC không tù nên 
Suy ra 
Vậy 
Theo giả thiết: M = 0 
Cách 2: Từ đề bài ta có 
Vì tam giác ABC không tù nên 
Như vậy vế trái của (*) 
Vậy từ (*) ta có: và 
Suy ra và Vậy 
Cách 3 (Ước lượng + phép tính đạo hàm)
Đặt 
Đặt 
Sự biến thiên của f’(t)
Ta có 
Vậy 
Suy ra f(t) đồng biến trên 
Vậy 
Dấu đẳng thức xảy ra 
Nhận xét: Cách này phức tạp, rườm rà hơn cách 1 vì đã không sử dụng ước lượng khi A không tù ( do đó đi tới hàm bậc 4 đối với ).
Cách 4: (Ứng dụng tích vô hướng của các véc tơ)
Từ điểm O bất kì thuộc vẽ các véc tơ đơn vị theo thứ tự vuông góc với cạnh BC, AC, AB và hướng ra ngoài , 
Ta có 
Để ý 
Tương tự có 
Ta được 
Theo giả thiết nên 
Suy ra 
Bởi vậy từ (1) kéo theo 
Dấu đẳng thức xảy ra 
Bài 6 	Cho . Tính tgx.tgy
Bài 7 	Tính nếu 
Bài 8 	Tính biết sin2x = 
Bài 9	Cho sin2a + sin2b = 2sin2(a + b). Tính tga. tgb 
Bài 10	Cho . Tính sin2a.
Bài 11	a. Cho 
	Chứng minh: 
	b.Cho(a,b>0).
	Chứngminh: 
Bài 12	Cho x = cos2a. Tính giá trị biểu thức: 	
Bài 13	Chứng minh rằng nếu có thì 
Bài 14	Chứng minh rằng nếu ta có msin(a +b) = cos(a – b) với 	và thì không phụ thuộc a,b.
Bài 15
	a. Cho Chứng minh rằng: 
	b. Cho Chứng minh rằng: 
Bài 16 Cho . Chứng minh: 
Bài 17	Cho 
	Chứng minh rằng: 
Bài 18	Chứng minh rằng nếu ta có: 
	 thì 
Bài 19	Cho sinx + cosx = a. Tính theo a với n = 1, 2,.., 7
Bài 20	Cho Tính 
Bài 21	Chứng minh rằng nếu thì (tga + 1)(tgb + 1) = 2
Bài 22	Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có a + c = 2b thì 	 
Bài 23	Chứng minh rằng tam giác ABC có 
Bài 25	Chứng minh rằng nếu có tga = 2tgb thì sin(a + b) = 3sin(a - b)
Bài 26	Tìm mối liên hệ giữa a, b, c sao cho: 
Bài 27	Cho là nghiệm của phương trình: 
	Tính theo a, b, c giá trị của biểu thức: 
Bài 28	Cho . 
	Chứng minh: 
Bài 29	Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau và các góc thoả 	mãn: . 
	Chứng minh: 
Bài 30	Cho biết . 
	Chứng minh: 
Bài 31	Cho a và b là hai góc nhọn. 
	Chứng minh rằng: 
Bài 32	Cho . Chứng minh: 
Bài 33	Cho tg (a + b) = 3tga. Chứng minh: 
Bài 34	Chứng minh rằng :
Bài 35	Chứng minh rằng: 
Bài 36	Cho biết là ba nghiệm của phương trình	 
	và là ba nghiệm của phương trình .
	Chứng minh:
MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
Như ta đã thấy các phép biến đổi lượng giác thật linh hoạt, mềm dẻo. Vì thế mà ta có thể đưa một số bài toán Đại số về dạng lượng giác để khai thác các phép biến đổi đó, khi đó bài toán trở nên đơn giản hơn. Chẳng hạn trong kì thi tuyển sinh Đại học năm 2008 vừa qua ở đề thi khối B có một bài có thể áp dụng phương pháp này:
Bài 1: (ĐH khối B 2008)
	Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ thức . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Giải:
Từ giả thiết ta đặt x = sint, y = cost, 
Khi đó 
	 (1)
Để (1) có nghiệm khi và chỉ khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -6 và giá trị lớn nhất của P bằng 3.
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
	a) y = 2sin8x + cos42x
	b) 
Hướng dẫn:
a) Ta có 
Đặt t = cos2x với 
Khi đó 
Ta có 
Do đó 
b) Do điều kiện nên miền xác định 
Đặt thì 
Vậy
Nên y giảm trên (0; 1)
Vậy 
Cách khác: 
	Dấu “=” chẳng hạn tại x = 
	Suy ra maxy = 1
	Dấu “=” chẳng hạn tại x = 0
	Suy ra mixy = -1
Bài 3: Cho hàm số 
	Tìm m để y xác định với mọi x,
Hướng dẫn:
Xét 
Đặt t = sin2x với 
Y xác định với mọi x khi và chỉ khi