Chuyên đề: Các bài toán có liên quan đến hàm số

Chuyên đề: 	các bài toán liên quan đến hàm số (1)
 Ths Nguyễn Như Học và các thành viên tổ Toán
Trường THPT Lương Tài 1 – Bắc Ninh.
Bắt đầu từ năm học 2008-2009 trong chương trình Giải tích 12, bài toán khảo sát, vẽ đồ thị hàm số (1) chỉ có ở chương trình nâng cao. Tuy nhiên học sinh học chương trình chuẩn vẫn phải làm các bài toán về hàm số (1) miễn là bài toán đó không liên quan đến việc khảo sát, vẽ đồ thị hàm số (1), điều này được thể hiện ngay trong cấu trúc đề thi của Bộ GD&ĐT. Trên tinh thần đó, chuyên đề này trình bày một số bài toán liên quan đến hàm số (1) : Tính đơn điệu, Cực trị, Tiếp tuyến, Tiệm cận và một số bài toán khác về khoảng cách, tính đối xứng, . . .Do điều kiện thời gian, khả năng còn hạn chế nên rất mong nhận được sự góp ý của các đồng nghiệp.
I/ tính đơn điệu
Ví dụ 1. Tìm các giá trị của m để h/s đồng biến trên từng khoảng xác định.
Giải: 
+/ TXĐ: 
+/ Ta có .
+/ YCBT 
+/ #’= => g(x) > 0 => h/s đã cho đ/b trên từng khoảng xác định.
+/ Nếu #’=m >0 => g(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 không thỏa mãn YCBT.
+/ Vậy các giá trị m phải tìm là .
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên 
Giải.
+/ TXĐ: .
+/ Ta có . 
+/ Do h/s đã cho liên tục tại x = 1nên h/s nghịch biến trên khi và chỉ khi nó nghịch biến trên 
+/ Ta có u(x) đồng biến trên , do đó .
+/ Vậy các giá trị phải tìm là .
Bài tập đề nghị.
Tìm các giá trị của m để hàm số:
1/ nghịch biến trên từng khoảng xác định;
2/ đồng biến trên ;
3/ đồng biến trên ;
 4/ (Cm) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. 
Ii/ Cực trị.
Vớ dụ 1. Tỡm cỏc giỏ trị của m để h/s cú cực trị.
Giải :
+/ TXĐ 
+/ Ta cú từ đú 
+/ Hàm số cú cực trị khi và chỉ khi PT y’ = 0 cú hai nghiệm phõn biệt hay PT cú hai nghiệm phõn biệt khỏc (-1) 
+/ Vậy với -1 < m < 1 thỡ h/s đó cho cú cực trị.
Vớ dụ 2. Tỡm cỏc giỏ trị của m để h/s cú cực đại, cực tiểu. Khi đó tìm m để hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Oy.
Giải:
+/ TXĐ: 
+/ Ta cú từ đú 
+/ Hàm số cú cực trị khi và chỉ khi PT y’ = 0 cú hai nghiệm phõn biệt hay PT cú hai nghiệm phõn biệt khỏc (-m) .
+/ Vậy với m > 0 hoặc m < -1 thỡ h/s đó cho cú cực đại, cực tiểu.
+/ Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm cực trị, khi đó x1, x2 là hai nghiệm của PT g(x) = 0.
+/ Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Oy khi và chỉ khi x1.x2 0.
+/ Vậy với m > 0 thì h/s đã cho có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục Oy
Ví dụ 3. Cho h/s . CMR với mọi m, h/s luôn có CĐ, CT và khoảng cách giữa hai điểm CĐ, CT là không đổi.
Giải:
+/ TXĐ: 
+/ Ta có , PT y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x = 0, x = 2. thì 
+/ y(0) = -m, y(2) = 4 – m, h/s có hai điểm cực trị là (0; -m), (2; 4 – m).
+/ Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là 
+/ Vậy với mọi m, h/s luôn có CĐ, CT và khoảng cách giữa hai điểm CĐ, CT là không đổi.
Ví dụ 4. CMR: nếu h/s có thì ..
Giải:
+/ Ta có (đpcm).
Ví dụ 5. Cho h/s . 
1/ Tìm m để h/s có cực trị.
2/ Viết PT đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (Cm).
Giải:
1/ TXĐ: 
+/ Ta có 
+/ Hàm số có cực trị khi và chỉ khi PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay PT có hai nghiệm phân biệt khác (1- m) .
+/ áp dụng VD4
+/ G/s PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2, khi đó h/s đã cho đạt cực trị tại x1, x2.
+/ Đặt u(x) = x2 – 2x + m+2 => u’(x) = 2x -2
 v(x) = x + m -1 => v’(x) = 1
+/ Do y’(x1) = y’(x2) = 0 nên 
+/ Vậy PT đường thẳng qua hai điểm cực trị là y = 2x -2.
Ví dụ 6. Tìm các giá trị của m để h/s có CĐ, CT thoả mãn .
Giải:
+/ TXĐ: 
+/ Ta có 
+/ Hàm số có cực trị khi và chỉ khi PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay PT có hai nghiệm phân biệt khác 4 
+/ áp dụng VD4
+/ G/s PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2, khi đó h/s đã cho đạt cực trị tại x1, x2.
+/ Đặt u(x) = -x2 + 3x + m => u’(x) = -2x + 3
 v(x) = x - 4 => v’(x) = 1
+/ Do y’(x1) = y’(x2) = 0 nên 
+/ Ta có thoả mãn đk m < 4.
+/ Vậy với m = 3 thì h/s đã cho có CĐ, CT thoả mãn .
Bài tập đề nghị 
Bài 1. Tìm các giá trị của m để các hàm số sau có cực trị:
1/ 
2/ 
3/ 
Bài 2. Cho hàm số 
1/ Tìm các giá trị của m để hàm sau có CĐ, CT;
2/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm CĐ, CT của (Cm).
Bài 3. Tìm các giá trị của m để h/s có CĐ, CT và | yCĐ - yCT | > 8.
Bài 4. Tìm các giá trị của m để h/s có CĐ, CT và (yCĐ - yCT )(m+1) + 8 = 0.
Bài 5. Tìm các giá trị của m để h/s có CĐ, CT và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x + y +2 =0 là bằng nhau.
Bài 6. Tìm các giá trị của m để h/s có CĐ, CT và hai điểm CĐ, CT nằm về hai phía trục Oy.
Bài 7. Tìm các giá trị của m để h/s có CĐ, CT và hai điểm CĐ, CT nằm về hai phía trục Ox.
III. Tiếp tuyến.
Ví dụ 1 . Cho h/s (C) và điểm M bất kỳ thuộc (C) .
Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận tại A và B.
1/ CMR: M là trung điểm AB;
2/ CMR: Tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là không đổi;
3/ CMR: Diện tích tam giác IAB không đổi.
Giải:
1/ Dễ thấy (C) có hai tiệm cận: TCĐ x = 1, TCX tù đó 
+/ Gọi M(xM; yM) , Đặt xM = m => 
+/ Ta có 
+/ PTTT của (C) tại M là (d): y= y(m) (x-m) + y(m) 
=> 
+/ Từ đó 
+/ Do A, M, B thẳng hàng và nên M là trung điểm AB.
2/ Ta có khoảng cách từ M đến TCĐ là d1 = | m – 1 |, khoảng cách từ M đến TCX là 
+/ (đpcm)
3/ Kẻ (đvdt) Từ đó ta có điều phải chứng minh..
Ví dụ 2 . Cho h/s (C). Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 4.
Giải:
+/ Ta có 
+/ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm PT 
+/ Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 có PT y= (x-1) – 2 = x – 3
+/ Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 3 có PT y= (x-3) + 4 = x + 1
Ví dụ 3. Cho h/s (Ca). Tìm a để (Ca) có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác góc thứ nhất của hệ truc tọa độ. Khi đó CMR h/s cũng có CĐ, CT.
Giải:
+/ Ta có 
+/ Đồ thị có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x khi và chỉ khi PT có nghiệm có nghiệm x khác (-1) .
+/ Với a > 2 thì PT x2 + 2x +3 – a = 0 có hai nghiệm phân biệt khác (-1) hay PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt. 
+/ Vậy hàm số đã cho có CĐ, CT.
Ví dụ 4
Cho hàm số 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến của đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C).
Giải:
+/ Tiệm cận xiên  của đồ thị (C) có phương trình y = x -1, nên tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên có hệ số góc là k = -1.
+/ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình : y’ = 1 
+/ Với Phương trình tiếp tuyến là 
+/ Với Phương trình tiếp tuyến là 
Ví dụ 5. Cho hàm số 
Qua điểm A(1; 0) viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị.
Giải:
+/ Đường thẳng này sẽ là tiếp tuyến  hệ phương trình sau có nghiệm:
+/ Ta có:
+/ Lấy (1) trừ (2) ta suy ra:
+/ (H) sẽ có nghiệm   có nghiệm thỏa mãn (2)           
+/ Vậy có 2 tiếp tuyến qua A(1;0)
PT hai tiếp tuyến đó là và 
Ví dụ 6. Cho hàm số 
Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ được đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Giải:
+/ Xét . Đường thẳng qua M có phương trình dạng .
+/ Tiếp tuyến với đồ thị tại có phương trình .
+/ Đường thẳng y = kx + m sẽ là một tiếp tuyến ( qua M(0; m) ) khi và chỉ khi phương trình
hay (m -3)x2 – (2m+2)x +m + 1= 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho
 (2)
+/        (1) có nghiệm 
+/        Điều kiện (2) 
Theo định lí Viet ta có : nên
 ( thỏa mãn (3)).
+/        Vậy các điểm cần tìm trên Oy là .
Bài tập đề nghị.
Bài 1. Cho h/s (C )
Gọi I là tâm đối xứng của (C) và M là một điểm tùy ý trên (C).
Tiếp tuyến tại M với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B. CMR: M là trung điểm AB và diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí M trên (C).
Bài 2. Cho (C): . Tìm điểm M trên (C) có xM > 1 sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Bài 3. Viết PTTT của (C): biết tiếp tuyến song song với đường y = -x.
Bài 4. Viết PTTT của (C): biết tiếp tuyến vuông góc với đường .
Bài 5. Cho đồ thị (C) . CMR trên (C) luôn tồn tại vô số các cặp điểm để tiếp tuyến tại đó song song với nhau đồng thời tập hợp các đường thẳng nối các cặp tiếp điểm đồng quy tại một điểm cố định.
Bài 6. Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến qua A( 1; 0).
Bài 7. Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến qua A( 0;5/4).
Bài 8.Viết PTTT kẻ từ O(0;0) đến (C) . Tìm tọa độ các tiếp điểm.
Bài 9. Cho (C) . Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm kẻ được hai TT vuông góc với nhau đến (C).
IV/ tiệm cận
Tham khảo BT 1.37(a, b, c), 1.41, 1.42(b) SBT GT 12 NC tr.17 – 18.
Ví dụ 1. Tìm a để (Ca): có tiệm cận xiên đi qua A(2;0).
Giải:
+/ Ta có 
+/ Với 
+/ Vậy với thì (Ca) có tiệm cận xiên là đường thẳng (d): y = -x + 1 + a
+/ Đường thẳng (d) đI qua A(2; 0) khi và chỉ khi a = 1.
+/ Do đó a = 1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2. Cho (Cm): . Tìm m để tiệm cậ xiên của (Cm) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
Giải:
+/ Ta có 
+/ Lập luận như VD1, với (Cm) có tiệm cận xiên là (d): y = x + 1 + m.
+/ Gọi , khi đó A(0; m+1), B(-m-1; 0)
+/ Khi đó , nên (m + 1)2 = 16, từ đó ta được m =3 và m = -5.
+/ Vậy m = 3, m= -5 là các giá trị phải tìm.
Bài tập đề nghị.
Bài 1. Cho (Ca) . CMR tiệm cận xiên của (Ca) luôn đI qua một điểm cố định.
Bài 2. Cho (Cm) . Tìm m để TCX của (Cm) tạo với hai trục một tam giác có diện tích bằng 4 .
Bài 3. Cho (C) 
 1/ Lấy M tùy ý trên (C). CMR tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là hằng số.
2/ Tìm N trên (C) để tổng các khoảng cách từ N đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
v/ Một số bài toán khác.
Ví dụ 1. Cho hàm số (C)
1/ Chứng minh đường thẳng (d): y = 3x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B.
2/ Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng (∆): y = 2x + 3.
Giải: 
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) :
Phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 0 nên (d) luôn cắt (C) ở 2 điểm phân biệt A, B.
Hoành độ A, B chính là 2 nghiệm của phương trình (1) , nên do định lí Viet :
Vậy 
 Ví dụ 2. Cho hàm số (C)
Tìm giá trị của m sao cho đường thẳng y = mcắt đồ thị của hàm số tại hai điểm, sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng .
Giải:
+/ Điều kiện cần và đủ để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt là PT có hai nghiệm phân biệt .
 (1) có 2 nghiệm phân biệt với 
+/ Với m 2 khi đó đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt . Giả sử M1(x1; y1), M2(x2; y2)
+/ Khi đó theo bài ra ta có : +/ Do x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) nên theo Viet :
 x1 + x2 = m – 4, x1x2 = 5 – 2m
Từ đó ta có m = -4 hặc m = 4.
Ví dụ 3. Cho hàm số 
Tìm m để đường thẳng (d): y = mx - 2m + 2 cắt đồ thị (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C).
Giải:
+/ Tập xác định : D=R\{1}
+/ Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm phương trình:
+/ Vì 2 nhánh của đồ thị nằm 2 bên đường thẳng x=1
YCBT Phương trình (2) có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1< 1 <x2
 giảI hệ đk này ta được m > 1.
Vậy với m>1 thì đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C).
Ví dụ 4. Tìm m để trên (C) có hai điểm đối xứng với nhau qua I(0;5/2)
Giải:
+/ Xét đường thẳng qua I(0; 5/2) là (d): y = kx + 5/2.
+/ PT hoành độ giao điểm của (d) và (C) là:
+/ Giả sử A(x1;y1), B(x2;y2) đối xứng nhau qua I và cùng thuộc (C), khi đó x1, x2 là nghiệm PT g(x) = 0 và x1 + x2 = 0. Từ đó .
+/ Với k = 3/2 thì 
+/ Vậy A(-3;-2), B(3;7) là các điểm phảI tìm.
Bài tập đề nghị.
Bài 1. Cho (C) và đường thẳng (d): y = 2x + m.
1/ CMR (d) luôn cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt;
2/ Gọi x1, x2 là hoành độ của A, B. Tìm m để (x1- x2)2 nhỏ nhất.
Bài 2. Viết PT đường thẳng (d) qua M(2; 2/5) sao cho (d) cắt (C): tại hai điểm A, B phân biệt và M là trung điểm A, B.
Bài 3. Tìm m để (dm): y = mx + 2 – m cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C).
Bài 4. Tìm trên (C): các điểm đối xứng nhau qua I(1;3).
Bài 5.Tìm hai điểm A, B trên (C): đối xứng nhau qua đường thẳng y = x–1.
VI/ Bài tập tổng hợp
Bài 1. Cho hàm số: 
1/. Xác định m để hàm số có cực trị. Tìm tập hợp các điểm cực đại, cực tiểu.
2/. Khảo sát và vẽ với m=3.
3/ Viết PT tiếp tuyến của đồ thị đi qua A(1;0).
Bài 2. Cho hàm số: (Cm)
1/. Với giá trị nào của m hàm số đồng biến với mọi x>1.
2/. Khảo sát với m=1.
3/. Tùy thuộc vào a biện luận số nghiệm phương trình 
Bài 3. Cho hàm số: 
1/. Tìm điểm cố định đồ thị hàm số đi qua với mọi m.
2/. Xác định m để hàm số có CĐ, CT. Tìm quỹ tích CĐ.
3/. Khảo sát và vẽ đồ thị với m=-1
Bài 4. Cho hàm số: 
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm m để đường thẳng (dm) y=mx-1 cắt đồ thị tại điểm phân biệt nằm về cùng một nhánh của đồ thị.
3/. Gọi M, N là hai giao điểm của đồ thị hàm số với (dm). Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
Bài 5. Cho hàm số: 
1/. Khảo sát với m=-1
2/. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A(6;4)
3/. Tìm m để hàm số có CĐ, CT. Viết phương trnh đường thẳng qua CĐ, CT.
Bài 6. Cho hàm số: 
1/. CMR hàm số có cực trị với mọi m.
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C2) với m=2.
3/. Tìm a để cắt (C2) tại 2 điểm có hoành độ trái dấu.
Bài 7. Cho hàm số: 
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Viết phương trình tiếp tuyến của đò thị hàm số sao cho các tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên. CMR tiếp điểm là trung điểm của đoạn chắn bởi 2 tiệm cận với tiếp tuyến.
3/. Viết phương trình tiếp tuyến qua A(3; -2).
Bài 8. Cho hàm số: 
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm trên đồ thị hàm số những điểm mà khoảng cách đến trục hoàng bằng 2 lần khoảng cách đến trục tung.
Bài 9. Cho hàm số: (C)
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2/. Tìm những điểm trên Oxy mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 10. Cho hàm số: 
1/. Tìm m để hàm số đồng biến /(0;+Ơ)
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1 (C).
3/. Tìm số tiếp tuyến có thể của (C) đi qua mỗi điểm thuộc (C).
Bài 11. Cho hàm số: 
1/. Tìm điểm cố định đồ thị đị qua với mọi m.
2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m=1.
3/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) qua 
Sự tiếp xúc của hai đường cong.
+/ Theo SGK GiảI tích 12 NC: hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ PT có nghiệm và nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.
+/ Tham khảo BT 1.62, 1.63, 1.64, 1.83, 1.87 sách BT GT 12NC .
+/ Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm m để (C1): y = x4-6x3 + 12x2 -14x + 2m2 + m và 	 (C2): y = 2x3 – 10x2 +10x + 1 tiếp xúc nhau.
Bài 2. Tìm m để (C): và (P): y = x2 + m tiếp xúc nhau.
Bài 3. Tìm m để (C1): y = 3x(3x- m + 2) + m2 – 3m và (C2): y = g(x) = 3x+1 tiếp xúc nhau.
Lương Tài, tháng 2 năm 2009
Góp ý xin liên hệ email: nhuhoclt1@gmail.com, website:  22222 222234