Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Tìm min, max của biểu thức (Có lời giải)

CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC
DẠNG 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN
Bài 1: Tìm GTNN của: 
Bài 2: Tìm GTNN của: 
Bài 3: Tìm min của: 
Bài 4: Tìm GTNN của: 
Bài 5: Tìm GTNN của: 
Bài 6: Tìm GTNN của : 
Bài 7: Tìm GTNN của: 
Bài 8: Tìm min của: 
Bài 9: Tìm max của: 
Bài 10: Tìm GTNN của: 
Bài 11: Tìm min của: 
Bài 12: Tìm min của: với a+d = b+c
Bài 13: Tìm GTNN của: 
HD: 
Bài 14: Tìm GTNN của: 
HD:
Bài 15: Tìm GTNN của: 
HD:
Bài 16: Tìm GTNN của: 
HD:
Đặt: 
Bài 17: Tìm GTNN của :
HD:
Đặt: 
Bài 18: Tìm GTLN của: 
Bài 19: Tìm min của: 
Bài 20: Tìm min của: 
Bài 21: Tìm min của: 
Bài 22: Tìm min của: 
Bài 24: Tìm max của: 
Bài 25: Tìm min của: 
Bài 26: Tìm min của: 
Bài 27: Tìm max của: 
Bài 28: Tìm min của: 
Bài 29: Tìm min của: 
Bài 30: Tìm max của: 
Bài 31: Tìm min của: 
Bài 32: Tìm min của: 
Bài 33: Tìm min của: 
Bài 34: Tìm min của: 
Bài 35: Tìm min của: 
Bài 36: Tìm max của :
Bài 37: Tìm max của: 
Bài 38: Tìm max cảu: 
Bài 39: Tìm max cảu: 
Bài 40: Tìm max của: 
Bài 41: Tìm max của: 
Bài 42: Tìm max của: 
Bài 43: Tìm min của: 
Bài 44: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: 
Bài 45: Tìm GTNN của: 
HD:
	Ta có: 
	Do: , Nên 
Bài 46: Tìm min của: 
Bài 47: Tìm GTNN của biểu thức: 
HD:
= dấu bằng khi a=1
Bài 48: Tìm GTNN của biểu thức : 
Bài 49: Tìm Min của: 
DẠNG 2: NHÓM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Bài 1: Tìm GTNN của: 
Bài 2: Tìm min của: 
Bài 3: Tìm min của: 
Bài 4: Tìm min của: 
Bài 5: Tìm min của: 
Bài 6: Tìm max của: 
Bài 7: Tìm min của: 
Bài 8: Tìm max của: 
Bài 9: Tìm min của: 
Bài 10: Tìm min của: 
Bài 11: Tìm min của: 
Bài 12: Tìm min của: 
Bài 13: Tìm min của: 
Bài 14: Tìm min của: 
Bài 15: Tìm min của: 
Bài 16: Tìm min của: 
Bài 17: Tìm min của: 
Bài 18: Tìm min của: 
Bài 19: Tìm max của: 
Bài 20: Tìm min của: 
Bài 21: Tìm GTNN của 
HD:
	Ta có: 
Bài 22: Tìm min của: 
Bài 23: CMR không có giá trị x, y, z thỏa mãn:
Bài 24: Tìm min của: 
Bài 24: Tìm min của: 
Bài 25: Tìm min của: 
Bài 26: Tìm min của: 
Bài 27: Tìm min của: 
Bài 28: Tìm min của: 
Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức : 
HD:
Bài 30: Tìm min của: 
Bài 31: Tìm min của: 
Bài 32: Tìm GTLN của biểu thức: 
Bài 33: Tìm GTNN của biểu thức: 
Bài 34: Tìm GTNN của biểu thức: 
DẠNG 3: PHÂN THỨC
Bài 1: Tìm min của: 
Bài 2: Tìm min của: 
Bài 3: Tìm max của: 
Bài 4: Tìm min hoặc max của: 
Bài 5: Tìm min hoặc max của: 
Bài 6: Tìm min hoặc max của: 
Bài 7: Tìm min hoặc max của: 
Bài 8: Tìm min hoặc max của: 
Bài 9: Tìm min hoặc max của: 
Bài 10: Tìm min hoặc max của: 
Bài 11: Tìm min hoặc max của: 
Bài 12: Tìm min hoặc max của: 
Bài 13: Tìm min hoặc max của: 
Bài 14: Tìm min hoặc max của: 
Bài 15: Tìm min hoặc max của: 
Bài 16: Tìm min hoặc max của: 
Bài 17: Tìm min hoặc max của: 
Bài 18: Tìm cả min và max của: 
Bài 19: Tìm min hoặc max của: 
Bài 20: Tìm min hoặc max của: 
Bài 21: Tìm min hoặc max của: 
Bài 22: Tìm min hoặc max của: 
Bài 23: Tìm min hoặc max của: 
Bài 24: Tìm min hoặc max của: 
Bài 25: Tìm min hoặc max của: 
Bài 26: Tìm min hoặc max của: 
Bài 27: Tìm min hoặc max của: 
Bài 28: Tìm min hoặc max của: 
Bài 29: Tìm min hoặc max của: 
Bài 30: Tìm min hoặc max của: 
Bài 31: Tìm min hoặc max của: 
Bài 32: Tìm min hoặc max của: 
Bài 33: Tìm min của: 
Bài 34: Tìm min hoặc max của: 
Bài 35: Tìm min hoặc max của: 
Bài 36: Tìm min hoặc max của: 
Bài 37: Tìm min hoặc max của: 
Bài 38: Tìm min hoặc max của: 
Bài 39: Tìm min hoặc max của: 
Bài 40: Tìm min hoặc max của: 
Bài 41: Tìm min hoặc max của:
Bài 42: Tìm min hoặc max của: 
Bài 43: Tìm min hoặc max của: 
Bài 44: Tìm min hoặc max của: 
Bài 45: Tìm min hoặc max của: 
Bài 46: Tìm min hoặc max của: 
Bài 47: Tìm min hoặc max của: 
Bài 48: Tìm min hoặc max của: 
Bài 49: Tìm min hoặc max của: 
Bài 50: Tìm min hoặc max của: 
Bài 51: Tìm min hoặc max của: 
Bài 52: Tìm min hoặc max của: 
Bài 53: Tìm min và max của: 
Bài 54: Tìm min hoặc max của: 
Bài 55: Tìm min hoặc max của: 
Bài 56: Tìm min hoặc max của: 
Bài 57: Tìm min hoặc max của: 
Bài 58: Tìm min hoặc max của: 
Bài 59: Tìm min và max của: 
Bài 39: Tìm min 
Bài 60: Tìm min hoặc max của: 
Bài 61: Tìm min hoặc max của: 
Bài 62: Tìm min hoặc max của: 
Bài 63: Tìm min hoặc max của: 
Bài 64: Tìm min hoặc max của: 
Bài 65: Tìm min hoặc max của: 
Bài 66: Tìm min hoặc max của: 
Bài 67: Tìm min hoặc max của: 
Bài 68: Tìm min hoặc max của: 
Bài 69: Tìm min hoặc max của: 
Bài 70: Tìm min hoặc max của: 
Bài 71: Tìm min hoặc max của: 
Bài 72: Tìm min hoặc max của: 
Bài 73: Tìm min hoặc max của: 
Bài 74: Tìm min hoặc max của: 
Bài 75: Tìm min hoặc max của: 
Bài 76: Tìm min hoặc max của: 
Bài 77: Tìm min hoặc max của: 
Bài 78: Tìm min hoặc max của: 
Bài 79: Tìm min hoặc max của: 
Bài 80: Tìm min hoặc max của: 
Bài 81: Tìm min hoặc max của: 
Bài 82: Tìm GTLN của biểu thức: , GTLN đó đạt được tại giá trị nào của x
HD:
Ta có : =>
Bài 83: Tìm GTNN của biểu thức: 
HD:
Ta có : 
Đặt , ta có: 
Bài 84 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
HD:
	Ta có: 
	Do , Dấu bằng khi và chỉ khi x=0
Bài 85: Tìm GTNN của biểu thức : , với x#0
Bài 86: Tìm giá trị lớn nhất của 
Bài 87: Tìm giá trị lớn nhất của 
Bài 88: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 
Bài 89: Cho biểu thức , với x>0, Tìm x để M có GTNN
Bài 90: Tìm GTNN và GTLN của: 
Bài 91: Cho x, y là các số thực khác 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài 92: Cho , Tìm GTNN của : 
Bài 93: Tìm GTNN của : 
Bài 94: Tìm GTNN của : 
Bài 95: Tìm GTLN của: 
Bài 96: Tìm GTLN của: 
Bài 97: Tìm GTLN của: 
DẠNG 4: TÌM MIN, MAX CÓ ĐIỀU KIỆN
Bài 1: Tìm min của: biết :
HD:
=
Bài 1: Cho các số x, y thỏa mãn: , tìm GTNN của 
Bài 2: Tìm min của: biết 
HD:
Bài 3: Tìm min của: biết: a – b =1
HD:
 =
Bài 4: Tìm max của: biết: 
HD:
Từ gt ta có: , thay vào 
Bài 5: Tìm min của: biết: 
HD:
Từ gt=> thay vào C ta được: 
Bài 6: Tìm min của: biết: 
HD:
Từ gt=> thay vào 
Bài 7: Tìm min của: biết: 
HD:
Từ gt=> thay vào E
Bài 8: Cho x+ y= 1, Tìm min của: 
Bài 9: Cho x+ y= 1, Tìm min của: 
Bài 9: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của 
Bài 10: Tìm min của: , biết: a+b=1 và a,b >0
HD:
Ta có: =
Bài 11: Cho x,y thỏa mãn: , Tìm max của: A= x.y
HD:
Từ gt ta có : => 
	=> 
Bài 12: Cho hai số thực a,b 0, thỏa mãn: , Tìm min, max của: 
HD:
Từ gt ta có : 
=> 
Mặt khác : 
=> => 
Bài 13: Cho hai số x,y khác 0 thỏa mãn: , Tìm min, max của: 
HD:
Từ gt ta có : 
=> 
Mặt khác : 
=>
Bài 14: Cho 2 số x,y khác 0 thỏa mãn: , Tìm max, min của 
Bài 15: Cho x,y R khác 0 biết: , Tìm x,y để đạt min và đạt max
HD:
Ta có : 
	4 =
	Mặt khác : 
Bài 16: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: . Tìm min của: 
Bài 17: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm min của: 
HD:
Ta có : 
	Vì x+y =1 nên , thay vào A
	, Đặt xy=t khi đó : 
Bài 17: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: Tìm min của biểu thức: 
Bài 18: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm min của: 
HD:
Từ gt ta có : thay vào 
Bài 19: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn: , Tìm min và max của: 
HD:
Ta có : 
	=> hay 
	mặt khác : 
	=> hay 
Bài 20: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm min của: 
HD:
Từ gt ta có : thay vào A ta được : 
Bài 21: Cho các số thực x,y thỏa mãn: , Tìm max của: 
HD:
Ta có : x+y= - 4, nên , 
 thay vào 
Bài 21: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: , Tìm GTNN của 
Bài 22: Cho x, y, z R, thỏa mãn: , Tìm max của: 
HD:
Từ giả thiết=> thay vào A ta được :
Bài 23: Cho x,y,z R thỏa mãn: . Tìm max của: 
HD:
Từ gt => thay vào 
Bài 24: Cho x,y R thỏa mãn: , Tìm min và max của: 
HD:
Từ gt ta có :
=>=> 
=>=> 
Bài 25: Cho các số thực m,n,p thỏa mãn: , Tìm min, max của: 
HD:
Từ gt ta có : 
	=> 
	=> =>
Bài 26: Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn: , Tìm min, max của: 
HD:
Ta có : , nên ta nhân 6 vào gt :
	=> 
Bài 27: Cho các số thực m, n, p thỏa mãn: , Tìm min max của: 
HD:
Từ gt ta có : 
=> 
=> => 
Bài 28: Cho x,y,z thỏa mãn: , Tìm min max của: 
HD:
Từ gt=> thay vào =
Bài 29: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm min max của: 
HD:
 Từ gt ta có : => 
=>B=
Bài 30: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: , Tìm min max của 
HD:
Từ gt=> thay vào 
Bài 31: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: , Tìm min max của: 
HD:
Từ gt ta có : thay vào 
Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: , tìm min của: 
HD:
Từ x + y= -2, ta có : thay vào và y= - 2 - x thay vào 
Bài 33: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: , Tìm min của
 HD:
Từ x+y= - 2, ta có: 
, , Thay vào b ta được : 
, thay 
Bài 34: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: , Tìm max của: 
HD:
Vì nên và thay vào 
Bài 35: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, Tìm max của: 
HD:
Vì x+y=5 nên , , 
Bài 36: Cho hai số x,y thỏa mãn: , Tìm min max của: 
HD:
Từ gt=>=> => 
Bài 37: Cho các số thực x,y thỏa mãn: , Tìm min max của: 
HD:
Từ gt=> => 
Bài 38: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: , Tìm min max của: 
HD:
Từ gt ta có: 
=> 
=> 
Bài 39: Cho các số x, y, z thỏa mãn: . Tìm min max của: 
HD:
Từ gt ta có: =>khi đó :
Bài 40: Cho các số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của: 
HD:
Từ gt => thay vào 
Bài 41: Cho x, y R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y
HD:
Từ gt=> thay vào  
Bài 42: Cho x,y thỏa mãn: x+y=10, Tìm min của: 
HD:
Ta có : 
Bài 43: Cho x,y 0, x+y=1, Tìm min, max của: 
HD:
Từ gt=> thay vào 
Bài 44: Tìm min max của: , biết: 
HD:
Từ gt => 
	=>
	=> 
Bài 45: Cho , Tìm min, max của: 
HD:
Từ gt=> 
	=> => 
Bài 46: Cho a,b,c không âm thỏa mãn: 3a+2c=51 và c+5b=21, Tìm max của A=a+b+c
HD:
Cộng theo vế giả thiết ta được : 
	Do 
Bài 46: Cho các số nguyên dương a, b, c sao cho 
a, CMR: 
b, Tìm GTNN của 
Bài 47: Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c và 3a+4b=3c+4, Tìm min HD:
Cộng theo vế ta được : do 
Khi đó: 
Bài 48: Cho , Tìm GTLN của biểu thức : 
HD:
Cộng theo vế của gt ta có: do nên 
Bài 49: Cho a+b+c=3, a,b,c>0, CMR: 
Bài 50: Cho x,y,z là các số thực nguyên dương thỏa mãn: , tìm min của: 
HD:
Ta có: 
	MÀ , , , , , 
	nên 
Bài 51: Cho Tìm max 
HD:
Ta có : 
	=> , mặt khác 
	Khi , dấu ‘=’ khi x = y = z = 3 
Bài 52: Cho , Tìm min của: 
HD:
Ta có: 
=>, min 
Bài 53: Cho , , tìm min của: 
Bài 54: Cho a, b, c > 0, thỏa mãn: , Tìm min của: 
HD:
	Vì 
Bài 55: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: , CMR: 	
Bài 56: Cho a+b+c+d=9, Tìm min của: 
HD:
Dự đoán dấu “=” , nên xét 	 =>
	=> dấu bằng xảy ra khi 
Bài 57: Cho ,Tìm max của: 
HD:
Ta có: 
	, Max 
Bài 58: Cho , Tìm min của: 
HD:
Đặt , => và 
Bài 59: Cho a,b>0 thỏa mãn: , Tìm min của: 
HD:
Điểm rơi: ,=> 
	mà => 
Bài 60: Cho a,b>0 thỏa mãn: , Tìm min của: 
HD:
Điểm rơi 
Khi đó: 
Bài 61: Cho x,y dương thỏa mãn: , tìm min của: 
HD :
Điểm rơi: khi đó: , nên khi đó:
, Mà: 
Bài 62: Cho a,b,c,d dương thỏa mãn: , Tìm min của: 
Bài 63: Cho x,y thỏa mãn: , Tìm min của: 
HD:
Từ gt ta có : hoặc 
	TH1: Ta có : thay vào P
	TH2: ta có: thay vào P 
Bài 64: Cho a,b,c dương và tổng bằng 3, Tìm max của: 
Bài 65: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn: , Tìm min của: 
Bài 66: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: , Tìm min 
Bài 67: Cho , tìm min của: 
Bài 68: Cho a,b,c dương thỏa mãn: , tìm min của: 
HD:
Ta có: , dấu “=” khi Vì đặt 
Bài 69: Cho , CMR P luôn dương với mọi x,y R
Bài 70: Cho x,y>0 thỏa mãn: , Tìm min của: 
Bài 71: Tìm min 
Bài 72: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : , Tìm GTLN của :
HD:
Ta có : 
== 
Bài 73: Cho >0 Tìm GTNN của: 
HD :
Ta có: dấu bằng khi hay x=y=z
Bài 74: Cho x,y là các số thực khác 0 thỏa mãn: ,
Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 75: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn : , Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
Bài 76 : Cho , Tìm Min hoặc max của biểu thức : 
HD :
	Ta có : 
Bài 77 : Cho , y > 0 , Tìm Min của 
HD :
	Ta có : 
	 , Điểm rơi cosi : 
Bài 78: Cho x > 0, tìm GTNN của: 
Bài 79: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: , Tìm GTNN của: 
Dạng 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ
Các BĐT phụ là: 
+ dấu “=” khi a=b
+ 
+ 
Bài 1: Tìm min của biểu thức: 
HD:
Tách 
	Dấu ‘’ = ’’ khi 
Bài 2: Tìm min của biểu thức: với 
HD:
Tách 
	Dấu ‘’=’’ khi 
Bài 3: Tìm min của: với x > 0
HD:
Tách , mà 
Bài 4: Tìm min của: 
Bài 5: Tìm min của: với 
HD:
Ta có: , dấu bằng xảy ra khi 
Bài 6: Tìm min của: với x >1
HD:
Ta có: , Dấu bằng khi 
Bài 7: Tìm min của: với x > 0
HD:
Tách , dấu bằng xảy ra khi 
Bài 8: Tìm min của: với 
HD:
Tách 
	Dấu bằng khi 
Bài 9: Tìm min của: 
Bài 10: Tìm min của: với 0 < x < 1
HD:
Ta có: , dấu bằng khi 
Bài 11: Tìm min của: (x > 1)
HD:
, Dấu bằng khi 
Bài 12: Cho x,y >0, Tìm min của: 
HD:
Đặt , mà 
Bài 13: Cho a, b > 0. Tìm min của: với x > 0
HD:
Ta có: 
Bài 14: Cho trước hai số dương a, b, các số dương x,y thay đổi sao cho , Tìm x,y để đạt min, Tìm min S theo a,b
HD:
Ta có , min 
	Dấu bằng khi mà 
Bài 15: Tìm min của: với 
HD:
Ta có: , dấu bằng khi 
Bài 16: Cho a,b,c > 0, CMR: 
HD:
Đặt => , thay vào VT 
	Ta được: 
Bài 17: Cho 0<x<1, Tìm min của: 
HD:
Ta có: , dấu bằng khi 
Bài 18: Cho x,y là số tự nhiên khác 0, sao cho x+y=11, Tìm min 
HD:
Từ gt ta có: , thay vào 
Bài 19: Cho , Thỏa mãn x+y=2016, Tìm min và max của: 
HD:
Ta có : , 
để xy lớn nhất thì nhỏ nhất, do x,y mà x+y=2016 và x # y=>=> => Max B
Để xy nhỏ nhất thì lớn nhất, mà , Giả sử : x 
=> Min B
Bài 20: Tìm min của: biết: x,y>0 và x+ y =1
HD:
	Ta có : , và 
	Khi đó : 
Bài 21 : Cho ba số dương a,b,c có tổng là 1, Tìm Min của : 
HD:
Ta có : , Từ 
	 và 
	mà =>
	Vậy 
Bài 21: Cho a,b,c là các số dương, Tìm min của: 
Bài 22: Cho x,y,z , Thỏa mãn: , CMR: 
Bài 23: Cho a,b,c >0, thỏa mãn: , Tìm min của: 
Bài 24: Cho x,y > 0, thỏa mãn: x+ y= 1, Tìm min của: 
Bài 25: Cho x,y>0, 4xy=1 và x+y=1, Tìm min của: 
HD:
Ta có :, Co si	=> dấu bằng khi 
Bài 26: Cho x,y>0 và , Tìm min của: 
HD:
Gt=
Ta cm ngoặc vuông >0 với mọi x,y=> x+y+2=0
Mặt khác : , mà 
Bài 27: Tìm min của: 
Bài 28: Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: