Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - Chuyên đề 8: Bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ 8: BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 1: SO SÁNH HAI SỐ
Bài vận dụng:
10750 và 7375
291 và 535
544 và 2112
19920 và 200315
339 và 1121
98 và 89
333444 và 444333
5143 và 7119 (*)
21995 và 5863 (*)
3976 . 42015 và 71997 (*)
DẠNG 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
Bài tập minh họa:
Bài 1: 
Cho biểu thức: A = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100 và B = 3101 – 1. Chứng minh rằng: A < B.
Cho A = 1 + 4 + 42 +  + 499, B = 4100. Chứng minh rằng: A < B/3
Cho H = 12 +22 +32+...+ 992 + 1002 và B = 10100. Chứng minh rằng H > B
Cho E = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 999.1000 và B = 111111000. Chứng minh rằng E > B.
Bài 2: Cho . 
Chứng minh rằng: 
Bài 3: Cho . Chứng minh: 
Bài 4: Cho A = 1+12+13++12100-1 . Chứng minh rằng:
A < 100
A > 50
Bài 5: Chứng minh rằng: 
Bài 6: Cho . Chứng minh: 
Bài 7: Cho . Chứng minh: 
Bài 8: So sánh với 
Bài 9: Cho . Chứng minh rằng:
C > 712
C > 58
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: 43<C<2,5
Bài 2: Chứng minh rằng: 
Bài 3: Chứng minh rằng: 12-13+14-15++198-199
Chứng minh rằng: 0,2 < A < 0,4.
Bài 4: Chứng minh rằng: 
Bài 5: Cho . Chứng minh: 
Bài 6: Cho . Chứng minh: 
Bài 7: Cho . Chứng minh: 
Bài 8: Cho . Chứng minh 97 < N < 98.
Bài 9: Cho . Chứng minh 
Bài 10: Cho . Chứng minh B < 100.
DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 14-x4-x đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 7-xx-5 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = x-13x +3 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 2x + 4x + 1 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Tìm các số tự nhiên a và b nhỏ nhất sao cho a7 = b8 
Bài 6: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho ta có cách thêm n chữ số vào sau số đó để được số chia hết cho 39.
Bài 7: Viết số 72 thành tổng của hai số mà BCNN của chúng có giá trị lớn nhất.
Bài 8: Cho dãy số tự nhiên 1, 2, 3, 4, , 50.
Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho ƯCLN của chúng đạt giá trị lớn nhất.
Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho BCNN của chúng đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 14+x đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 5x-19x-4 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 10x + 252x +4 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 3x + 7x-1 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 15, ta được: A = 12341415
Hãy xóa đi 15 chữ số của số A để các chữ số còn lại (vẫn giữ nguyên thứ tự như trước) tạo thành:
Số lớn nhất
Số nhỏ nhất
Bài 6: Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân số đó với nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất.
Bài 7: Tổng của bốn số nguyên dương bằng 402. ƯCLN của chúng có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
Bài 8: Dùng mười chữ số khác nhau, hãy viết số chia hết cho 8 có mười chữ số sao cho số đó có giá trị:
Lớn nhất
Nhỏ nhất
DẠNG 4: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỀ TÌM KHOẢNG GIÁ TRỊ CỦA SỐ PHẢI TÌM
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm hai số nguyên dương sao cho tích của hai số ấy gấp đôi tổng của chúng.
Bài 2: Viết phân số 14 thành tổng của hai phân số có tử bằng 1, mẫu dương và khác nhau.
Bài 3: Tìm hai số tự nhiên sao cho tổng của hai số ấy bằng tích của chúng.
Bài 4: Tìm ba số nguyên tố a, b, c khác nhau sao cho: abc < ab + bc + ca
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng số đó có thể phân tích thành tích của hai thừa số có tổng bằng 100 và một trong hai thừa số ấy có dạng aa .
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên sao cho tích của hai số ấy gấp bốn lần tổng của chúng.
Bài 3: Viết phân số 16 thành tổng của hai phân số có tử bằng 1, mẫu dương và khác nhau.
Bài 4: Tìm hai phân số có tử bằng 1, các mẫu dương, biết rằng tổng của hai phân số ấy cộng với tích của chúng bằng 12
Bài 5: Tìm bốn số tự nhiên sao cho tổng nghịch đảo các bình phương của chúng bằng 1.
HƯỚNG DẪN – LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
DẠNG 1: SO SÁNH HAI SỐ
Bài vận dụng:
10750 và 7375
10750 < 10850 = (4.27)50 = 2100. 3150 (1)
7375 > 7275 =(8.9)75 = 2225.3150 (2)
Mà 2100 .3150 < 2225. 3150 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 10750 < 7375
291 và 535
291 = (213)7 = 81927 
535 = (55)7= 31257
=> 291> 535
544 và 2112
Có 544 = (2.27)4 = (2.33)4 = 24.312
2112 = (3.7)12 = 312.712
712 > 24 => 544 < 2112
19920 và 200315
19920 < 20020 = (8.25)20 = (23 . 52)20 = 260.540
200315 > 200015 = (16.125)15 = (24 .53)15 = 260.545
Vì 260.545 > 260.540 nên 200315 > 19920
339 và 1121
339 < 340 = (34)10 = 8110
1121 > 1120 = (112)10 = 12110
Mà 12110 > 8110 => 1121 > 339
98 và 89
98 < 108 = 1004 = 100.1003
89 = 5123 > 5003 = 53.1003 = 125.1003
=> 89 > 98
333444 và 444333
333444 = (3.111)4.111 = (34.1114)111 = 8991111.111333
444333 = (4.111)3.111 = (43.1113)111 = 64111.111333
Mà 8991111.111333 > 64111.111333 nên 333444 > 444333
DẠNG 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:
Bài tập minh họa:
Bài 1: 
Cho biểu thức: A = 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 3100 và B = 3101 – 1. Chứng minh rằng: A < B.
Ta có: A + 1 = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 3100 = 3101-13-1 = 3101-12
A = 3101-12 – 1 = 3101-32 < B = 3101 – 1 (đpcm).
Cho A = 1 + 4 + 42 +  + 499, B = 4100. Chứng minh rằng: A < B/3
A = 1 + 4 + 42 +  + 499 = 4100-14-1 = 4100-13 < 41003 = B3 
Cho H = 12 +22 +32+...+ 992 + 1002 và B = 10100. Chứng minh rằng H > B
H = 12 +22 +32+...+ 992 + 1002 = 100.100+1.(2.100+1)6 =100.101.2016 = 338350 > 10100.
Vậy H > B (đpcm)
Cho E = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 999.1000 và B = 111111000. Chứng minh rằng E > B.
E = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 999.1000 = 1000-1.1000.(1000+1)3 = 999.1000.10013 = 333333000 > 111111000 = B
Vậy E > B
Bài 2: Cho . 
Chứng minh rằng: 
Giải:
Giữ nguyên phân số 122, còn các phân số sau thay bằng các phân số lớn hơn, ta có:
E < 122 + 12.3 +13.4 +.+199.100 = 14 + F
F = 12 - 13 + 13 - 14 ++ 199 - 1100 
Do đó: E < 14 + 12 - 1100 < 34 (ĐPCM)
Bài 3: Cho . Chứng minh: 
Giải:
Biểu thức C là tích của 100 phân số nhỏ hơn 1, trong đó các tử đều lẻ, các mẫu đều chẵn. Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tử đều chẵn, các mẫu đều lẻ. Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của A, giá trị mỗi phân số tăng thêm, do đó:
C < 23.45.67..200201 (2)
Nhân (1) với (2) theo từng vế ta được:
C2 < (12.34.56..199200).(23.45.67..200201)
Vế phải của bất đẳng thức trên bằng 1201
Vậy C2 < 1201 (đpcm)
Bài 4: Cho A = 1+12+13++12100-1 . Chứng minh rằng:
A < 100
Để chứng tỏ A < 100, ta chia A thành 100 nhóm:
A=1+12+13+122++17+123++115++1299++12100-1
Thay mỗi phân số trong dấu ngoặc bằng phân số lớn hơn tronh dấu ngoặc đó, ta được:
A < 1 + 12.2 + 14.4 + 18.8 + + 1299.299 = 100
A > 50
Để chứng tỏ rằng A > 50, ta thêm và bớt 12100 rồi viết A dưới dạng sau:
A = 1 + 12 + 13+122+ 15+123+ 19+124++1299+1+12100- 12100 
Thay các phân số trong mỗi dấu ngoặc bằng phân số nhỏ nhất trong dấu ngoặc đó, ta được:
A > 1 + 12 + 122.2 + 123.22 ++ 12100.299 - 12100 = 1 + 12.100 - 12100 > 50
Bài 5: Chứng minh rằng: 
Giải:
A < 10-110! + 11-111! + 12-112! +  + 1000-11000!
= 19! - 110! + 110! - 111! + 111! - 112! ++ 1999! - 11000! 
= 19! - 11000! < 19! (đpcm).
Bài 6: Cho . Chứng minh: 
Giải:
Ta có: 
Bài 7: Cho . Chứng minh: 
Bài 8: So sánh với 
Giải:
L = 12.23.34.1920 = 120 > 121
Bài 9: Cho . Chứng minh rằng:
C > 712
Ta chọn biểu thức D làm trung gian sao cho C > D, còn D > 712 . Tách C thành hai nhóm, mỗi nhóm có 50 phân số, rồi thay mỗi phân số trong từng nhóm bằng phân số nhỏ trong nhóm đấy, ta được:
C = 1101+1102++1150 +1151+1152++1200 > 1150.50 + 1200.50 = 13 + 14 = 712 (đpcm).
C > 58
Tách C thành 4 nhóm rồi cũng làm như trên ta được:
C > 25125 + 25150 + 25175 + 25200 = 15+16+17+ 18 = 107210 + 18 > 12 + 18 = 58
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: 43<C<2,5
Giải:
Ta tách C thành 3 nhóm:
C=111+112++130+131+132++150+ 151+152++170 
C > 130.20 + 150.20 + 170.20 = 23 + 25 + 27 = 137105 = 113 = 43 (1) 
Tiếp tục, ta tách tổng C thành 6 nhóm:
C=111+112++120+121+122++130+131+132++140+141+142++150+151+152++160+161++170
C < 111.10 + 121.10 + 131.10 + 141.10 + 151.10 + 161.10 
C < 1 + 12 + 13 +14 + 15 + 16 = 1 + 12+13+16+14+15 < 2 + 0,5 = 2,5 (2)
Từ (1) và (2) => 43<C<2,5đpcm
Bài 2: Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có: 12! = 11.2 ; 13! = 12.3 ; 14! <13.4 ; ; 1100! < 199.100 
A < 11.2 + 12.3 + 13.4 ++ 199.100 = 1 - 12 + 12 - 13 + 13 - 14 + + 199 - 1100
= 1 - 1100 < 1
Vậy A < 1 (đpcm).
Bài 3: Chứng minh rằng: 12-13+14-15++198-199
Chứng minh rằng: 0,2 < A < 0,4.
Giải:
A = 12-13+14-15 + 16-17 ++198-199 
Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất = 1360 > 1260 = 0.2
Để chứng minh A < 25 ta viết: 
A = 12-13+14-15+16 - 17-18 --197-198 - 199
Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất < 25 , còn các dấu ngoặc trong biểu thức đều dương, do đó A < 25.
Bài 4: Chứng minh rằng: 
Giải:
A = 122 + 142 + 162 ++11002 = 1221+122+132++1502 < 141+11.2+12.3++149.50 = 141+1-150 < 12 . (đpcm)
Bài 5: Cho . Chứng minh: 
Giải:
Ta có: 2(2n+1)2 < 22n.(2n+2) = 12n - 12n+2
Thay n = 1, 2, 3, , 1003
Ta có: A < 12 - 12008 = 10032008 (đpcm)
DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 14-x4-x đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
A = 4-x+104-x = 1 + 104-x 
Để Amax ó 104-x max 
TH1: 4 – x < 0 thì 104-x < 0 (loại)
TH2: 4 – x > 0 ó x < 4 thì 104-x max ó (4 – x) min ó x max ó x = 3
Vậy khi x = 3 thì Amax = 11
Bài 2: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 7-xx-5 đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
A = 7-xx-5 = 5-x+2x-5 = 2x-5 -1
Để Amax thì 2x-5 max
TH1: x – 5 x 2x-5 < 0 (loại)
TH2: x – 5 > 0 ó x > 5. Để 2x-5 max thì (x – 5)min mà x nguyên nên x = 6
Vậy x = 6 thì Amax = 1
Bài 3: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = x-13x +3 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
A = x-13x +3 = (x+3)-16x +3 = 1 - 16x +3
Để Amin thì 16x +3 max => (x + 3) min ó x min
Nếu x + 3 < 0 thì không tìm được giá trị A nhỏ nhất
Nếu x + 3 > 0 ó x > -3 mà x nguyên nên (x + 3)min khi x = -2
Vậy Amin = -15 khi x = -2
Bài 4: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 2x + 4x + 1 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
A = 2x + 4x + 1 = 2x + 2+2x + 1 = 2 + 2x + 1 
Amin ó2x + 1 min
TH1: Nếu x + 1 > 0 x > -1 => 2x + 1>0 không thỏa mãn.
TH 2: 
Nếu x + 1 x 2x + 1<0 
2x + 1min x + 1 = -1 x = -2 => Amin = 0
Bài 5: Tìm các số tự nhiên a và b nhỏ nhất sao cho a7 = b8 
Giải:
Ta có : a7 = b8 (1) => b = a7b7 = ab7.
Do b là số tự nhiên nên a ⋮ b, đặt a = b.k (k ∈ N)
Do b > 1 nên ab > 1, do đó k ≥ 2 (2)
Thay a = b.k vào (1):
b7k7 = b8 => k7 = b (3)
Từ (2) và (3) : b ≥ 27
Giá trị nhỏ nhất của b là 27. Khi đó k = 2; a = b.k= 27.2 = 28
Đáp số a = 28, b = 27
Bài 6: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho ta có cách thêm n chữ số vào sau số đó để được số chia hết cho 39.
Giải:
Xét n = 1. Không có cách nào thêm một chữ số vào đằng sau chữ số 1 đề được một số chia hết cho 39
Xét n = 2 tồn tại cách thêm hai chữ số vào đăng sau chữ số 2 để được số chia hết cho 39, chẳng hạn như 234 ⋮ 39.
Vậy n = 2
Bài 7: Viết số 72 thành tổng của hai số mà BCNN của chúng có giá trị lớn nhất.
Giải:
Viết 72 thành tổng hai số, có các cách sau:
36 + 36; 35 + 37; 34 + 38; ; 2 +70; 1 + 71.
Ta thấy: 
[36, 36] = 36, [35, 37] = 35.37, [34, 38] < 34.38
[2, 70] > 2.70, [1, 71] = 1.71
Ta sẽ chứng minh rằng 35.37 > 34.38 >  > 2.70 > 1.71. muốn vậy chỉ cần chứng tỏ rằng nếu b > a thì ab > (a – 1)(b + 1). Thật vậy, ta có:
(a – 1)(b + 1) = a(b + 1) + (b + 1) = ab + a – b – 1 = ab – (b – a) – 1< ab.
Vậy [35, 37] có giá trị lớn nhất.
Bài 8: Cho dãy số tự nhiên 1, 2, 3, 4, , 50.
Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho ƯCLN của chúng đạt giá trị lớn nhất.
Tìm hai số thuộc dãy trên sao cho BCNN của chúng đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
 	Gọi a và b là hai số bất kì thuộc dãy 1, 2, 3, , 50. Giả sử a > b
Gọi d ∈ ƯC (a, b) thì a – b ⋮ d. Ta sẽ chứng minh d ≤ 25.
Thật vậy, giả sử d > 25 thì b > 25. Ta có a ≤ 50 mà b > 25 nên 0 < a – b < 25, không thể xảy ra a – b ⋮ d.
d = 25 xảy ra khi a = 50; b = 25.
Vậy hai số có ƯCLN đạt giá trị lớn nhất là 50 và 25.
BCNN (a,b) ≤ a.b ≤ 50.49 = 2450.
Vậy hai số có BCNN đạt giá trị lớn nhất là 50 và 49.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 14+x đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
Để Amax thì (4 + x)min.
TH1: x + 4 x 1x+4 < 0 (loại)
TH2: x +4 > 0 ó x > -4. Để 1x+4 max thì (x + 4 )min mà x nguyên nên x = -3
Vậy x = -3 thì Amax = 1
Bài 2: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 5x-19x-4 đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
Ta có: A = 5x-19x-4 = 5x-20+1x-4 = 5 + 1x-4 .
Để Amax thì (x - 4)min.
TH1: x - 4 x 1x-4 < 0 (loại)
TH2: x - 4 > 0 ó x > 4. Để 1x-4 max thì (x - 4 )min mà x nguyên nên x – 4 = 1 
 x = 5
Vậy x = 5 thì Amax = 6.
Bài 3: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 10x + 252x +4 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải: 
Ta có: A = 10x + 252x +4 = 10x + 20+52x +4 = 5 + 52x +4
Để Amin thì (2x + 4)max.
TH1: 2x + 4 > 0 x > -2 => 52x+4 > 0 (loại)
TH2: 2x + 4 < 0 ó x < -2. Để 52x+4 min thì (2x + 4 )max mà x là số nguyên 
 2x + 4 = -2
 x = -3
Vậy x = -3 thì Amin = 52
Bài 4: Tìm x thuộc số nguyên sao cho biểu thức A = 3x + 7x-1 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải: 
A = 3x + 7x-1 = 3x-3+10x-1 =3 + 7x-1
Để Amin thì (x - 1)max.
TH1: x - 1 x 7x-1 < 0 (loại)
TH2: x - 1 > 0 ó x > 1. Để 7x-1 min thì (x - 1)max mà x nguyên nên x = 2
Vậy x = 2 thì Amin = 10
Bài 5: Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 15, ta được: A = 12341415
Hãy xóa đi 15 chữ số của số A để các chữ số còn lại (vẫn giữ nguyên thứ tự như trước) tạo thành:
Số lớn nhất
Số nhỏ nhất
Giải:
Số A có 21 chữ số, sau khi xóa đi 15 chữ số thì còn lại 6 chữ số abcdeg.
Để được số lớn nhất, ta chọn a = 9 (của số 9). Sau chữ số 9, còn lại dãy chữ số: 101112131415.
Để chọn b ta bớt lại bốn chữ số cuối, còn lại 10111213, chọn chữ số lớn nhất là 3.
Sau chữ số 3 còn lại 1415, đoc chính là cdeg.
Vậy số lớn nhất phải tìm là: 931415.
Để được số nhỏ nhất, ta lần lượt chọn a, b, (a, b có thể bằng 0) là chữ số nhỏ nhất có thể được. Bằng cách giải tương tự như câu a, ta được: 011111.
Bài 6: Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân số đó với nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi phân số phải tìm là ab. Phân số này phải khác 0, nghịch đảo của nó là ba. Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b, ta đặt a = b + m với m ≥ 0.
Ta có: ab+ba=b+mb+bb+m=1+mb+bb+m≥1+mb+m+bb+m=1+m+bb+m=2
Như vậy ab+ba≥2. Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi m = 0, khi đó a = b.
Vậy phân số mà tổng của nó với số nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất là phân số có tử bằng mẫu, tức là phân số có giá trị bằng 1.
Bài 7: Tổng của bốn số nguyên dương bằng 402. ƯCLN của chúng có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
Giải:
Gọi d là ƯCLN của 4 số nguyên dương a1, a2, a3, a4 (1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4) thì a1 = dk1, a2 = dk2, a3 = dk3, a4 = dk4. Ta có: a1 + a2 + a3+ a4 = 402 nên d(k1 + k2 + k3 + k4) = 402.
Gọi k1 + k2 + k3 + k4 = s thì d.s = 402. Như vậy d lớn nhất khi s nhỏ nhất.
Ta có s ≥ 4 và s là ước của 402. Do đó s nhỏ nhất bằng 6. Khi đó d lớn nhất bằng : 402 : 6 = 67.
Các số k1, k2, k3, k4 có tổng bằng 6 (k1 ≤ k2 ≤ k3 ≤ k4) có thể là 1, 1, 1, 3 hoặc 1, 1, 2, 2.
Vậy ƯCLN(a1, a2, a3, a4) có giá trị lớn nhất bằng 67 khi 4 số đó là: 67, 67, 67, 201 hoặc 67, 67, 134, 134.
Bài 8: Dùng mười chữ số khác nhau, hãy viết số chia hết cho 8 có mười chữ số sao cho số đó có giá trị:
Lớn nhất
Nhỏ nhất
Giải:
Chọn 7 chữ số đầu là: 9 8 7 6 5 4 3. Còn lại 3 chữ số 2, 1, 0; lập được số lớn nhất có 3 chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 được 120.
Đáp số: 9876543120.
Ta chọn 6 chữ số đầu là 102345, ta được n = 102345abcd với a, b, c, d ∈ {6, 7, 8, 9}.
Để n chia hết cho 8 thì bcd phải chia hết cho 8. Chỉ có 4 cách chọn bcd bằng 896; 976; 968; 768. Để n nhỏ nhất thì 4 chữ số cuối cùng của n có thể là: 7896; 8976; 7968; 9768, số nhỏ nhất là 7896.
Vậy số n nhỏ nhất là 1023457896.
DẠNG 4: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỀ TÌM KHOẢNG GIÁ TRỊ CỦA SỐ PHẢI TÌM
Bài tập minh họa:
Bài 1: Tìm hai số nguyên dương sao cho tích của hai số ấy gấp đôi tổng của chúng.
Giải:
Gọi hai số nguyên dương phải tìm là a và b, ta có 2(a + b) = ab (1)
Do vai trò của a và b như nhau, ta giả sử rằng a ≤ b, nên a + b ≤ 2b, do đó 2(a + b) ≤ 4b. (2)
Từ (1) và (2) => ab ≤ 4b. Chia hai vế cho b > 0 ta được a ≤ 4.
Thay a = 1 vào (1) ta được 2 + 2b = b, loại.
Thay a = 2 vào (1) ta được 4 + 2b = 2b, loại.
Thay a = 3 vào (1) ta được 6 + 2b = 3b => b = 6
Thay a = 4 vào (1) ta được 8 + 2b = 4b => b = 4
Vậy có hai cặp số thỏa mãn đề bài là 3 và 6, 4 và 4.
Bài 2: Viết phân số 14 thành tổng của hai phân số có tử bằng 1, mẫu dương và khác nhau.
Giải:
Gọi hai phân số phải tìm là : 1a và 1b , ta có 1a + 1b = 14 (1)
Do vai trò của a và b là như nhau , ta giả sử rằng a < b. ta sẽ dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của a ( là số nhỏ hơn).
Hiển nhiên 1a 4. (2)
Mặt khác, do a 1b . Do đó: 1a > 1a+1b : 2 = 18 . => a < 8 (3)
Từ (2) và (3) => 4 < a < 8. Thay các giá trị của a bằng 5, 6, 7 vào (1) ta được hai trường hợp cho b là số tự nhiên: a = 5, b = 20 và a = 6, b = 12.
Vậy có hai cách viết: 14 = 15 + 120 và 14 = 16 + 112
Bài 3: Tìm hai số tự nhiên sao cho tổng của hai số ấy bằng tích của chúng.
Giải:
Gọi hai số tự nhiên cần tìm là a và b
Theo bài ra ta có: a + b = a.b (1)
Nếu một trong hai số bằng 0 thì số kia bằng 0.
Nếu cả hai số khác 0 thì từ (1) ta có:
a+bab = 1 ó 1a + 1b = 1
Do vai trò của a và b là như nhau , ta giả sử rằng a ≤ b. ta sẽ dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của a ( là số nhỏ hơn).
Hiển nhiên 1a 1. (2)
Mặt khác, do a ≤ b nên 1a ≥ 1b . Do đó: 1a ≥ 1a+1b : 2 = 12 => a ≤ 2 (3)
Từ (2) và (3) => 1 a =2. Thay a = 2 vào (1) ta được b = 2
Vậy được hai cặp số cần tìm: (0; 0) và (2; 2).
Bài 4: Tìm ba số nguyên tố a, b, c khác nhau sao cho: abc < ab + bc + ca
Giải:
Chia hai vế của bất đẳng thức abc < ab + bc + ac cho số dương abc được: 1 < 1c +1a +1b (1)
Giả sử a > b > c ≥ 2. Trong ba phân số 1c , 1a , 1b thì 1c lớn nhất nên 1c > 13 , do đó c < 3. Vậy c = 2
Thay c =2 vào (1) được: 1a + 1b > 12 (2)
Trong hai phân số 1a , 1b , phân số 1b lớn hơn nên: 1b >12 : 2 = 14 , do đó b c = 2 nên b = 3.
Thay b = 3 vào (2) được: 1a > 16 . Do đó a b = 3 và a là số nguyên tố, vậy a = 5.
Vậy các số a, b, c phải tìm là 2, 3, 5 và các hoán vị của chúng.
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng số đó có thể phân tích thành tích của hai thừa số có tổng bằng 100 và một trong hai thừa số ấy có dạng aa .
Giải:
Gọi thừa số còn lại là b, ta có aa + b = 100
Do aa 1000 mà b 10, tức a > 2.
Vậy a = 3. Ta có: 33.73 = 1971.
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên sao cho tích của hai số ấy gấp bốn lần tổng của chúng.
Giải:
Gọi hai số phải tìm là a và b, ta có:
4(a + b) = ab (1)
Nếu một trong hai số bằng 0 thì số kia bằng 0.
Nếu cả hai số khác 0 thì từ (1) ta có:
4(a+b)4ab = ab4ab hay 1a + 1b = 14 
Do vai trò của a và b là như nhau , ta giả sử rằng a ≤ b. ta sẽ dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của a ( là số nhỏ hơn).
Hiển nhiên 1a 4. (2)
Mặt khác, do a ≤ b nên 1a ≥ 1b . Do đó: 1a ≥ 1a+1b : 2 = 18 . => a ≤ 8 (3)
Từ (2) và (3) => 4 < a ≤ 8. Thay các giá trị của a bằng 5, 6, 7, 8 vào (1) ta được hai trường hợp cho b là số tự nhiên: a = 5, b = 20, a = 6, b = 12 và a = 8, b = 8
Vậy có 4 cặp số cần tìm: (0; 0), (5; 20), (6; 12), (8; 8).
Bài 3: Viết phân số 16 thành tổng của hai phân số có tử bằng 1, mẫu dương và khác nhau.
Giải:
Gọi hai phân số cần tìm là: 1a , 1b (a ≠ b ≠ 0).
Theo bài ra ta có: 1a + 1b = 16 (1)
Do vai trò của a và b là như nhau , ta giả sử rằng a < b, ta sẽ dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị của a ( là số nhỏ hơn).
Hiển nhiên 1a 6. (2)
Mặt khác, do a 1b . Do đó: 1a > 1a+1b : 2 = 112 . => a < 12 (3)
Từ (2) và (3) => 6 < a < 12. Thay các giá trị của a bằng 7, 8, 9, 10, 11 vào (1) ta được 4 trường hợp cho b là số tự nhiên: a = 7, b = 42, a = 8, b = 24, a = 9, b = 18 và a = 10, b = 15
Bài 4: Tìm hai phân số có tử bằng 1, các mẫu dương, biết rằng tổng của hai phân số ấy cộng với tích của chúng bằng 12
Giải:
Gọi hai phân số cần tìm là: 1a , 1b (a ≤b, ≠ 0).
Theo bài ra ta có: 1a + 1b +1ab = 12 (1)
Hiển nhiên ta có: 1a 2.
Mặt khác, nếu a ≥ 5 thì: 1a + 1b +1ab ≤ 15 + 15 + 125 = 1125 < 12 (loại).
Lần lượt, thay a = 3, a = 4 vào (1) , ta được b = 8, b = 5.
Đáp số: có hai cặp 14;15 và 13;18.
Bài 5: Tìm bốn số tự nhiên sao cho tổng nghịch đảo các bình phương của chúng bằng 1.
Giải:
Gọi 4 số tự nhiên cần tìm là: a, b, c, d, ta có: 1a2 + 1b2 + 1c2 + 1d2 = 1.
Trong 4 số a, b, c, d không có số nào bằng 1, không có số nào lớn hơn hoặc bằng 3, do đó cả 4 số đều bằng 2.