Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - Chuyên đề 4: Dãy số tự nhiên theo quy luật

CHUYÊN ĐỀ 4: DÃY SỐ TỰ NHIÊN THEO QUY LUẬT
DẠNG 1: MỘT SỐ DÃY SỐ TỔNG QUÁT
A = 1+2+3++(n-1)+n = n.(n+1)2 
A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +.+ (n – 1) n = n-1.n.(n+1)3
A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1) =n-1.n.(2n+1)6
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n = n-2.n-1.n.(n+1)4 
A = 12 +22 +32+...+(n-1)2 +n2 = n.(n+1)(2n+1)6 
A = 13 +23 +33+...+(n-1)3 +n3 = n.(n+1)22 
A = 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) 
A = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn = ( p1) 
A = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn = ( p 1) 
A =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1) = n2.(n + 1)
A = 13+ +33 +53 +... + (2n +1 )3 = (n +1)2.(2n2 +4n +1) 
A = = nn+1 , ( n > 1 ) 
A = = = n.(n+3)4.n+1.(n+2)
A = =n.(n+2)(n+1)2
DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
A = 1 + 2 + 3 + + 2015
B = 1 + 3 + 5 + + 1017
C = 2 + 4 + 6 + + 2014
D = 1 + 4 + 7 + + 2008
E = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 1001.1002
F = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 2013.2015
G = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 ++ 2013.2014.2015
H = 12 +22 +32+...+ 992 + 1002 
I = 12 +22 +32+...+10012 +10022
J = 6+16+30+48+...+19600+19998
K = 2+5+9+14+...+4949+5049
L = 22 +42 +62 +...+982 +1002
M = 13+23+33+...+993+1003
N = 1 + 52 + 53 +  + 5100
O = 1 + 31 + 32 + + 3100
Bài 2: Tìm giá trị của x để thỏa mãn điều kiện:
Cho A= 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100
Hỏi :
a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? 
b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n
Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33++ 3118+ 3119
a) Thu gọn biểu thức M. 
b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Cho A = 1 – 2 + 3 – 4 +....... 99 – 100
a) Tính A. 
b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? 
c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ? 
Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....
a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? 
b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? 
Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....
a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. 
b) Tìm số hạng thứ 2004 của A. 
Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: 
(x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655
Tìm x biết : 
x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010
Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn 2, 4, 6, 8,  Biết mỗi chữ số viết mất 1 giây. Hỏi bạn Lâm cần bao nhiêu phút để đánh số trang cuốn sách?
Tích A = 1.2.3500 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
Tính giá trị của biểu thức sau:
A = 9 + 99 + 999 + + 99950 chữ số
 Cho A = 1 + 4 + 42 +  + 499, B = 4100. Chứng minh rằng: A < B/3
HƯỚNG DẪN - LỜI GIẢI – ĐÁP SỐ
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
A = 1 + 2 + 3 + + 2015
A = 2015.(2015+1)2 = 2015.20162 = 2015.1008 = 2031120
B = 1 + 3 + 5 + + 1017 
B = (1017 + 1).1017-12+ 1:2 = 1018.509:2 = 259081
C = 2 + 4 + 6 + + 2014 
C= (2014 + 2).2014-22+ 1:2 = 2016.1007:2= 1015056
D = 1 + 4 + 7 + + 2008 
D = (2008 +1).2008-13+ 1:2 = 2009.670:2= 673015
E = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + 1001.1002
E = 1002-1.1002.(1002+1)3 = 1001.1002.10033 = 335337002
F = 1.3 + 2.4 + 3.5 + + 2013.2015
F = 2014-1.2014.(2.2014+1)6 = 2013.2014.40296 = 2722383213
G = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 ++ 2013.2014.2015
G = 2015-2.2015-1.2015.(2015+1)4 = 2013.2014.2015.20164 
G = 4117265071920
H = 12 +22 +32+...+ 992 + 1002 
H = 100.(100+1)(2.100+1)6 = 100.101.2016 = 338350
I = 12 +22 +32+...+10012 +10022
I = 1002.(1002+1)(2.1002+1)6 = 1002.1003.20056 = 335839505
J = 6+16+30+48+...+19600+19998
12.J = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + . + 98.100 + 99.101
12.J = 100-1.100.(2.100+1)6 = 99.100.2016 = 331650
J = 331650 . 2 = 663300
K = 2+5+9+14+...+4949+5049
2K = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 +  + 99.102
2K = 1.(2 + 2) + 2.(2 + 3) + 3.(2 + 4) + + 99.(2 + 100)
2K = 1.2 + 1.2 + 2.2 + 2. 3 + 3.2 + 3.4 + + 2.99 + 99.100
2K = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100) + 2.(1 + 2 + 3 + 4 + + 99)
2K = 100-1.100.(100+1)3 + 2.99.(99+1)2
2K = 333300 + 9900
2K = 343200
K = 343200 : 2 = 171600
L = 22 +42 +62 +...+982 +1002
L = 22.(12 + 22 + 32 + + 502)
L = 4.50.(50+1)(2.50+1)6 = 4.50.51.1016 = 171700
M = 13+23+33+...+993+1003
M = 100.(100+1)22 = 100.10122 = 50502 = 25502500
N = 1 + 52 + 53 +  + 5100
N = 1+5.(1+5+52 +....... + 599 )
 N = 1+5.( 1 + 5 +52+ ...... + 599 + 5 100 - 5100 ) 
 => N= 1+5.( N - 5100 ) 
=> N = 1+ 5.N - 5101
4N = 5101-1
N = 5101-14
O = 1 + 31 + 32 + + 3100
O = 3101-12
Bài 2: Tìm giá trị của x để thỏa mãn điều kiện:
Cho A= 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 3100
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
Ta có A = 3.(1+ 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 399)
	A = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 399 + 3100 – 3100)
	A = 3.(1 + A – 3100)
	A = 3 + 3.A - 3101
	2A = 3101 – 3
	A = 3101-32
2A + 3 = 3n
ó 2. 3101-32 + 3 = 3n
ó 3101 – 3 + 3 = 3n
ó 3101 = 3n
ó n = 101
Cho M = 3 + 32 + 33 + 34 +.....3100
Hỏi :
M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao? 
Ta có: M chia hết cho 4 vì 
M = 3.(1 + 3) + 32.(1 + 3) + + 399.(1 + 3)
M = 3.4 + 32.4+ + 399.4
M = 4.(3 + 32 + + 399) ⋮ 4
Ta có:
M ⋮ 12 vì M = 4.(3 + 32 + + 399) ⋮ 4; 3 mà (4;3)=1
b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n
M = 3.(1+ 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 399)
	M = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34 +.....+ 399 + 3100 – 3100)
	M = 3.(1 + M – 3100)
	M = 3 + 3.M - 3101
	2M = 3101 – 3
	M = 3101-32
2M + 3 = 3n
ó 2. 3101-32 + 3 = 3n
ó 3101 – 3 + 3 = 3n
ó 3101 = 3n
ó n = 101
Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33++ 3118+ 3119
Thu gọn biểu thức M. 
M = 3120-12
Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?
Xét M = 3120-12 
Một số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thì chữ số tận cùng là 1. Do đó, 3120 =34.30 có tận cùng là 1 => M có tận cùng là 0 => M chia hết cho 5
M = 1 +3 + 32+ 33++ 3118+ 3119
M =(1 +3 + 32) + 33.(1 +3 + 32) + + 3117.(1 +3 + 32)
	M = 13 + 33 .13 + + 3117 .13
	M = 13.(1 + 33 ++ 3117) ⋮ 13
Vậy M chia hết cho 5, chia hết cho 13.
Cho A = 1 – 2 + 3 – 4 +....... 99 – 100
Tính A. 
A = ( 1 + 3 +  + 99) – (2 + 4 ++ 100)
A = (99 + 1).99-12+1: 2 – (100+2).100-22+1: 2 
A = 100.50:2 – 102.51:2
A = 2500 – 2601 = -101
A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?
A không chia hết cho 2, 3 và 5
A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ? 
Ư(A) ={-101; -1; 1; 101} và 4 ước nguyên.
vậy A có 2 ước tự nhiên
Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....
Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? 
A = 1 + 6 + 6 + .
Nếu n lẻ : A = 1 + 6.n-12 = 181 => 6.n-12 = 180 => n-12 = 30 => n = 61 ( TM )
Nếu n chẵn: A = - 6 – 6 - 6 - . = (-6).n2 = -3n = 181 (loại)
Vậy A có 61 số hạng.
Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ? 
Nếu n chẵn: A = - 6 – 6 - 6 - . = (-6).n2 = -3n 
Nếu n lẻ: A = 1 + 6 + 6 + . = 1 + 6.n-12 = 3n - 2
Cho A= 1– 7 + 13 – 19 + 25 – 31 +....
Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. 
Theo câu 5 n chẵn => A = -3n = -3.40 = -120
Tìm số hạng thứ 2004 của A. 
Ta có số hạng thứ nhất: A1 = 1
Số hạng thứ 2: A2 = (-1)2-1.(1 + 6)
Số hạng thứ 3: A3 = (-1)3-1.(1 + 6.2)
Số hạng thứ 4: A4 = (-1)4-1.(1 + 6.3)
.
Số hạng thứ n: An = (-1)n-1.[1+6.(n-1)]
n = 2004 => A2004 = (-1)2003-1.[1+6(2004-1)] = - (1+6.2003) 
A2004 = -12019
Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: 
(x+2)+(x+12)+(x+42)+(x+47) = 655
ó 4.x + 2 + 12 + 42 + 47 = 655
ó 4.x + 103 = 655
ó 4.x = 655 – 103 = 552
ó x = 552 : 4 = 138
Tìm x biết : 
x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010
ó2010x + (1 + 2 + 3 ++ 2009) = 2009.2010
ó2010x + 2009.(2009+1)2 = 2009.2010
ó2010x = 2009.2010 – 2009.2010:2
ó x = 2009 – 2009: 2 = 1004,5
Bạn Lâm đánh số trang một cuốn sách dày 284 trang bằng dãy số chẵn 2, 4, 6, 8,  Biết mỗi chữ số viết mất 1 giây. Hỏi bạn Lâm cần bao nhiêu phút để đánh số trang cuốn sách?
Từ trang 2 đến trang 8 gồm: (8 - 2) : 2 +1 = 4 trang ứng với 4 chữ số
Từ trang 10 - 98 gồm ( 98 - 10) : 2 + 1 = 45 trang ứng với 90 chữ số
Từ trang 100 - 284 gồm (284 - 100) : 2 + 1 = 93 trang ứng với 93.3 = 279 chữ số
Vậy bạn Lâm phải viết tất cả : 4 + 90 + 279 = 373 chữ số tương ứng với 373 
giây hay 6 phút 13 giây .
Tích A = 1.2.3500 tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
 Số mũ của 5 trong 500! là
[5005]+[50052]+[50053]=124
Vậy tích 500! có tận cùng 124 chữ số 0.
Tính giá trị của biểu thức sau:
A = 9 + 99 + 999 + + 99950 chữ số 9
A = 10 – 1 + 102 – 1 + 103 – 1 ++ 1050 – 1
A = 10 + 102 + 103 ++ 1050 – (1+1+1++150 chữ số 1)
A = 11111050 chữ số 1 – 50 = 111.106048 chữ số 1
 Cho A = 1 + 4 + 42 +  + 499, B = 4100. Chứng minh rằng: A < B/3
Ta có A = 4100-13 < 41003 = B (đpcm)