Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - Chuyên đề 10: Một số phương pháp giải toán

CHUYÊN ĐỀ 10: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
PHƯƠNG PHÁP 1: DÙNG SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG
Bài tập minh họa:
Bài 1: Hiện nay, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Bốn năm trước đây, tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con. Tính tuổi mẹ, tuổi con hiện nay. 
Bài giải
Hiện nay , tuổi mẹ gấp bốn lần tuổi con nên hiệu số tuổi của mẹ và con hiện nay số lần là: 4- 1 = 3 (lần)
Bốn năm trước đây, tuổi mẹ gấp 6 lần tuổi con nên hiệu số tuổi của mẹ và con bốn năm trước đây gấp tuổi con trước đây là 6 – 1 = 5 (lần)
Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con không đổi nên 3 lần tuổi còn hiện nay bằng 5 lần tuổi con bốn năm trước, hay tuổi mẹ hiện nay bằng 5/3 tuổi con bốn năm trước.
Tuổi con hiện nay hơn tuổi con 4 năm trước là 4 tuổi.
Ta có sơ đồ:
4 tuổi
Tuổi con hiện nay: |-----|-----|-----|-----|-----|
Tuổi con 4 năm trước: |-----|-----|-----|
Hiệu số phần bằng nhau là: 5 - 3 = 2 (phần)
Tuổi con hiện nay là: 4 : 2 x 5 = 10 (tuổi)
Tuổi mẹ hiện nay là: 10 x 4 = 40 (tuổi)
Đáp số: con 10 tuổi; mẹ 40 tuổi.
Bài 2: Tuổi bà gấp đôi tuổi mẹ, tuổi con bằng 15 tuổi mẹ. Tính tuổi của mỗi người, biết tổng số tuổi của mẹ và con là 36. 
Bài giải
Theo bài ra ta có sơ đồ:
36 tuổi
Tuổi con: |-----|
Tuổi mẹ: |-----|-----|-----|-----|-----|
Tuổi con là: 36 : (1 + 5) = 6 (tuổi)
Tuổi mẹ là: 	36 – 6 = 30 (tuổi)
Tuổi bà là: 	30 x 2 = 60 (tuổi)
Đáp số: Tuổi con: 6 tuổi
	Tuổi mẹ: 30 tuổi
	Tuổi bà: 60 tuổi
Bài 3: Tuổi bố gấp 3 lần tuổi anh, tuổi anh gấp 2 lần tuổi em. Tuổi bố cộng với tuổi em bằng 42 tuổi. Tính tuổi của mỗi người. 
Bài giải
	Tuổi bố gấp ba lần tuổi anh, tuổi anh gấp 2 lần tuổi em nên tuổi bố gấp tuổi em số lần là: 	 3 x 2 = 6 (lần).
42 tuổi
	Ta có sơ đồ: Tuổi em: |------|
	 Tuổi bố: |------|------|------|------|------|------|
	Theo sơ đồ, tuổi của em là: 42 : (1 + 6) = 6 (tuổi)
	Tuổi của anh là: 	6 x 2 = 12 (tuổi)
	Tuổi của bố là: 	12 x 3 = 36 (tuổi).
Đáp số: Em 6 tuổi, Anh 12 tuổi, Bố 36 tuổi.
Bài 4: Năm nay tuổi cô gấp 6 lần tuổi cháu. Đến khi tuổi cháu bằng tuổi cô hiện nay thì tuổi của hai cô cháu cộng lại bằng 68. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi? 
Bài giải
	Năm nay, nếu coi tuổi cháu là 1 phần thì tuổi cô là 6 phần như thế. Hiệu số phán tuổi của hai cô cháu là: 6 – 1 = 5 (phần).
	Vì hiệu số tuổi của hai cô cháu không thay đổi theo thời gian nên khi tuổi cháu bằng tuổi cô hiện nay thì cháu vẫn kém cô 5 phần tuổi cháu hiện nay. 
	Khi đó ta có sơ đồ:
68 tuổi
	Tuổi cháu: |------|------|------|------|------|------|
Tuổi cô: |------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là: 6 + 11 = 17 (phần)
Khi đó tuổi cháu là: 	68 : 17 x 6 = 24 (tuổi)
Khi đó tuổi cháu bằng tuổi cô hiện nay nên tuổi cô hiện nay là 24 tuổi.
Tuổi cháu hiện nay là: 	24 : 6 = 4 (tuổi).
Đáp số: Cháu: 4 tuổi; Cô: 24 tuổi.
Bài 5: Tổng số tuổi chị và tuổi em hiện nay bằng 32. Khi tuổi chị bằng tuổi em hiện nay thì tuổi chị gấp 3 lần tuổi em. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi? 
Bài giải
	Khi tuổi chị bằng tuổi em hiện nay thì tuổi chị gấp ba lần tuổi em, vậy nếu coi tuổi em hiện nay là 3 phần bằng nhau thì tuổi em trước đây là 1 phần.
	Số phần tuổi chị nhiều hơn tuổi em trước đây là : 3 – 1 = 2 (phần).
	Vì hiệu số tuổi của hai chị em không thay đổi theo thời gian nên hiện nay chị vẫn hơn em hai phần tuổi em trước đây. Do đó nếu coi tuổi em hiện nay là 3 phần tuổi em trước đây thì tuổi chị hiện nay là 5 phần như thế (2 + 3 = 5) ta có sơ đồ:
32 tuổi
	Tuổi em hiện nay: |------|------|------|
	Tuổi chị hiện nay: |------|------|------|------|------|
	Tổng số phần bằng nhau là: 3 + 5 = 8 (phần)
	Tuổi em hiện nay là: 	32 : 8 x 3 = 12 (tuổi)
	Tuổi chị hiện nay là:	32 – 12 = 20 (tuổi)
Đáp số: Em: 12 tuổi; Chị: 20 tuổi.
Bài 6: Tuổi của hai anh em năm nay cộng lại bằng 16. Đến khi tuổi em bằng tuổi anh hiện nay thì tuổi anh bằng 53 tuổi em. Tính tuổi anh và tuổi em hiện nay. 
Bài giải 
	Khi tuổi em bằng tuổi anh hiện nay thì tuổi anh bằng 53 tuổi em, vậy nếu coi tuổi em lúc đó là 5 phần như thế. Hiệu số phần tuổi của hai anh em lúc đó là:
5 – 3 = 2 (phần)
	Vì hiệu số tuổi của hai anh em không đổi theo thời gian nên hiện nay anh vẫn hơn em 2 phần tuổi em lúc đó. Do vậy nếu coi tuổi anh hiện nay bằng 3 phần tuổi em lúc đó thì tuổi em hiện nay là một phần như thế (3 – 2 = 1). Ta có sơ đồ:
16 tuổi
	Tuổi em hiện nay: |------|
	Tuổi anh hiện nay: |------|------|------|
	Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là: 3 + 1 = 4 (phần)
	Tuổi của em hiện nay là: 	16 : 4 = 4 (tuổi)
	Tuổi của anh hiện nay là: 	16 – 4 = 12 (tuổi)
Đáp số: Em: 4 tuổi; Anh: 12 tuổi.
Bài 7: Hiệu của hai số là 1773. Tìm hai số đó biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vòa tận cùng bên phải số bế thì được số lớn. 
Bài giải
1773
	Nếu viết thêm chữ số 0 vào tận cùng bên phải số bé thì được số lớn, như vậy số lớn gập 10 lần số bé hay số bé bằng 110 số lớn. Theo bài ra ta có sơ đồ:
	Số bé: |------|
	Số lơn: |------|------|------|------|------|------|------|------|------|------|
	Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 10 – 1 = 9 (phần)
	Số bé là:	1773 : 9 x 1 = 197
	Số lớn là: 	197 + 1773 = 1970
Đáp số: Số bé: 197; Số lớn: 1970.
Bài 8: Hiện nay mẹ 35 tuổi, con 8 tuổi. Hỏi:
Mấy năm nữa tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con?
Có khi nào tuổi mẹ gấp 5 nần tuổi con không? 
Bài giải
Hiệu số tuổi của hai mẹ con là: 35 – 8 = 27 (tuổi)
27 tuổi
Hiệu số tuổi của hai mẹ con sẽ không thay đổi theo thời gian nên khi tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con thì mẹ vẫn hơn con 27 tuổi. Ta có sơ đồ:
Tuổi con: |------|
Tuổi mẹ: |------|------|------|------|
Khi đó tuổi con là: 27 : (4 – 1 ) = 9 (tuổi)
Vì 9 – 8 = 1 nên sau một năm nữa thì tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con.
Khi tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con thì mẹ vẫn hơn con 27 tuổi. Ta có sơ đồ khi đó:
27 tuổi
Tuổi con: |------|
Tuổi mẹ: |------|------|------|------|------|
Tuổi con khi đó là: 27 : (5 – 1) = 27 : 4
Vì 27 không chia hết cho 4 nên không có khi nào tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con.
Bài 9: Cho phân số 2328. Hãy tìm số tự nhiên m sao cho khi cùng bớt cả tử số và mẫu số của phân số đã cho đi m thì ta được phân số mới có giá trị bằng 23.
Bài giải
	Hiệu của mẫu số và tử số của phân số 2328 là 28 – 23 = 5 
	Nếu cùng bớt m ở cả tử số và mẫu số thì hiệu mẫu số và tử số không đổi (vẫn bằng 5) mà khi đó được phân số mới có giá trị bằng 23 nên ta có sơ đồ:
5
	Tử số mới: |------|------|
	Mẫu số mới: |------|------|------|
	Tử số mới là: 5 : (3 – 2) x 2 = 10
	Số tự nhiên m là:23 – 10 = 13.
Đáp số: số tự nhiên m là 13.
Bài 10: Năm năm trước cha hơn con 36 tuổi. Hỏi năm cha bao nhiêu tuổi thì 3 lần tuổi cha bằng 7 lần tuổi con? 
Bài giải
	Vì hiệu số tuổi của hai cha con không thay đổi theo thời gian nên cha luôn hơn con 36 tuổi.
	Đến năm mà 3 lần tuổi cha bằng 7 lần tuổi con nghĩa là năm tuổi con bằng 37 tuổi cha. Ta có sơ đồ khi đó: 
36 tuổi
	Tuổi con: |------|------|------|
	Tuổi cha: |------|------|------|------|------|------|------|
	Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 7 – 3 = 4 (phần)
	Khi đó tuổi của cha là: 	36 : 4 x 7 = 63 (tuổi)
	Đáp số: tuổi cha: 63 tuổi.
Bài 11: Năm nay mẹ 73 tuổi. Khi tuổi mẹ bằng tuổi con hiện nay thì tuổi mẹ hơn 7 lần tuổi con lúc đó là 4 tuổi. Tính tuổi con hiện nay? 
Bài giải
	Coi tuổi con là 1 phần (khi tuổi mẹ bằng tuổi con hiện nay) thì tuổi mẹ lúc đó là 7 phần như thế là cộng thêm 4 tuổi. Ta có hiệu số tuổi của hai mẹ con là: 
	7 phần tuổi con + 4 tuổi – 1 phần tuổi con = 6 phần tuổi con + 4 tuổi.
	Vì hiệu số tuổi của hai mẹ con không đổi theo thời gian nên hiện nay mẹ vẫn hơn con 6 phần tuổi con khi đó công thêm 4 tuổi. Ta có sơ đồ:
4 tuổi
Tuổi con khi đó: |----|
4 tuổi
Tuổi mẹ khi đó: |----|----|----|----|----|----|----|----|
4 tuổi
Tuổi con hiện nay:|----|----|----|----|----|----|----|----|
73 tuổi
Tuổi mẹ hiện nay: |----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
	Theo sơ đồ ta có:
	7 phần tuổi con + 4 tuổi + 6 phần tuổi con + 4 tuổi = 73 tuổi
	Hay 13 phần tuổi con + 8 tuổi = 73 (tuổi)
	13 phần tuổi con = 65 (tuổi)
	Vậy một phần tuổi con khi đó là: 65 : 13 = 5 (tuổi)
	Tuổi con hiện nay là :	5 x 7 + 4 = 39 (tuổi).
 Đáp số: 39 tuổi. 
Bài 12: Bố nói với con: “10 năm trước đây tuổi bố gấp 10 lần tuổi con”, 22 năm sau nữa thì tuổi bố sẽ gấp đôi tuổi con. Hãy tính tuổi bố và tuổi con hiện nay. 
Bài giải
	Mười năm trước đây, nếu coi tuổi con là 1 phần thì tuổi bố là 10 phần như thế. Thời gian từ cách đây 10 năm đến sau đây 22 năm nữa có số năm là: 
10 + 22 = 32 (năm)
	Theo bài ra ta có sơ đồ:
Tuổi con 10 năm trước: |----|
32 tuổi
Tuổi bố 10 năm trước: |----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
32 tuổi
Tuổi bố 22 năm sau: |----|--------------------------------|----|----|----------------------|
Tuổi con 22 năm sau: |----|--------------------------------| 
Nhìn sơ đồ ta thấy:
	1 phần tuổi con + 32 tuổi = (10 phần tuổi con + 32 tuổi) : 2
Hay 1 phần tuổi con + 32 tuổi = 5 phần tuổi con + 16 tuổi
	16 tuổi = 4 phần tuổi con
	Vậy tuổi con cách đây 10 năm là: 16 : 4 = 4 (tuổi).
	Tuổi bố cách đây 10 năm là: 4 x 10 = 40 (tuổi)
	Tuổi con hiện nay là: 	 4+ 10 = 14 (tuổi)
	Tuổi bố hiện nay là: 	 40 + 10 = 50 (tuổi)
Đáp số: Con: 14 tuổi; Bố: 50 tuổi.
Bài 13: Lớp 5A có số học sinh nữ bằng 25 số học sinh nam. Sang đầu học kỳ II có 4 bạn nữ từ lớp khác chuyển đến nên số học sinh nữa bằng 35 số học sinh nam. Hỏi đầu năm học lớp 5A có bao nhiêu học sinh nữ, bao nhiêu học sinh nam? 
Bài giải
?
	Theo bài ra ta có sơ đồ sau:
4 h/s
	Số học sinh nữ lúc đầu: |----|----|
?
	Số học sinh nữ lúc sau: |----|----|----|
	Số học sinh nam: 	 |----|----|----|----|----|
	Theo sơ đồ số học sinh nữ lúc đầu là: 4 : (3 – 2) x 2 = 8 (học sinh)
	Số học sinh nam là: 	8 : 25 = 20 (học sinh).
Đáp số: 8 học sinh nữ
20 học sinh nam
Bài 14: Có 3 bình nước đựng nước chưa đầy. Sau khi đổ 13 số nước ở bình 1 sang bình 2, rồi đổ 14 số nước hiện có ở bình 2 sang bình 3, cuối cùng đổ 110 số nước hiện có ở bình 3 sang bình 1 thì mỗi bình đều có 9 lít nước. Hỏi lúc đầu mỗi bình có bao nhiêu lít nước? 
Bài giải
	Sau khi đổ 110 số lít nước ở bình 3 sang bình 1 thì bình 3 còn 9 lít nước.
	Vậy trước đó bình ba có số lít nước là: 9: (1 - 110) = 10 (l)
	Trước khi nhận 110 số lít nước của bình 3 thì bình 1 có số lít nước là:
9 – 10x110 = 8(l)
	Vậy lúc đầu bình 1 có số lít nước là: 8 : (1 - 13) = 12 (l)
	Sau khi đổ 14 số nước ở bình 2 sang bình 3 thì bình 2 còn 9 lít (theo bài ra), vậy trước khi đó bình 2 có số lít nước là: 9 : (1 - 14) = 12 (l).
	Vậy trước khi nhận 13 số nước của bình 1 hay lúc đầu bình 2 có số lít nước là:
12 – 12x13 = 8 (l).
	Bình 2 đổ sang bình 3 số lít nước là: 12 x 14 = 3 (l)
	Theo lời giải đầu thì trước khi đổ 110 số nước sang bình 1 thì bình 3 có 10 lít nước, vậy trước khi nhận 3 lít nước ở bình 2 đổ sang hay lúc đầu bình 3 có số lít nước là: 10 – 3 = 7 (l).
Đáp số: Bình 1: 12l; Bình 2: 8l; Bình 3: 7l.
Bài 15: Tìm bốn số tự nhiên chẵn liên tiếp có tổng bằng 5420 
Bài giải
Gọi bốn số tự nhiên chẵn có dạng: 2k; 2k + 2; 2k + 4; 2k +6. (k ∈ N)
	Theo bài ra ta có: 2k + 2k +2 + 2k + 4 +2k + 6 = 5420
	Hay 	8k + 12 = 5420
	8k = 5408
	k = 676 ( TM )
	Vậy 4 số tự nhiên cần tìm là: 1352; 1354; 1356; 1358.
Bài 16: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp biết rằng tổng của số lớn nhất và số nhỏ nhất bằng 114.
Bài giải
	Gọi ba số tự nhiên lẻ liên tiếp là: 2k + 1; 2k + 3; 2k + 5 (k ∈ N)
	Theo bài ra ta có: 2k + 1 + 2k + 5 = 114
	Hay 	4k + 6 = 114
	k = 27 ( TM ) 
	Vậy 3 số tự nhiên lẻ cần tìm là: 55; 57; 59
Bài 17: Hiệu của hai số bằng 1217. Nếu tăng số trừ gấp bốn lần thì được số lớn hơn số bị trừ là 376. Tìm số bị trừ và số trừ. 
Bài giải
	Theo bài ra ta có sơ đồ:
	Số bị trừ: |------------------------|
376
1217
	Số trừ: |--------|
	Số trừ x 4: |--------|--------|--------|--------|
	Ba lần số trừ: 1217 + 376 = 1593
	Số trừ:	1953 : 3 = 531
	Số bị trừ:	531 + 1217 = 1748
	Đáp số: Số trừ: 531; Số bị trừ: 1748
Bài 18: Năm 2000, bố 40 tuổi, Mai 11 tuổi, em Nam 5 tuổi. Đến năm nào, tuổi bố bằng tổng số tuổi của hai chị em? 
Bài giải
	Năm 2000, chênh lệch giữa tuổi bố và tổng số tuổi của hai chị em là:
40 – (11 + 5) = 24 (tuổi)
	Cứ mỗi năm mỗi người tăng thêm một tuổi nên chênh lệch giữa tuổi bố là tuổi 2 chị em sẽ giảm đi: (1 + 1) – 1 = 1 (tuổi)
	Số năm để số tuổi bố bằng tổng số tuổi hai chị em là:
24 : 1 = 24 (năm)
	Lúc đó là năm : 2000 + 24 = 2024.
Đáp số: Năm 2024
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Năm nay tuổi cha hơn 7 lần tuổi con là 3 tuổi. Đến khi tuổi con bằng tuổi cha hiện nay thì tuổi hai cha con cộng lại bằng 109. Tìm tuổi của mỗi người hiện nay. 
Bài giải
	Nếu coi tuổi con là 1 phần thì tuổi cha là 7 phần như thế cộng thêm 3 tuổi. Vậy hiệu số tuổi của hai cha con là 6 phần tuổi con cộng thêm 3 tuổi.
	Vì hiệu số tuổi của hai cha con không thay đổi theo thời gian nên khi tuổi con bằng tuổi cha hiện nay thì con vẫn kém cha 6 phần tuổi con hiện nay cộng thêm 3 tuổi, ta có sơ đồ khi đó:
3t
7 phần
3t
6 phần
7 phần
109 tuổi
	Tuổi con: |---|---|---|---|---|---|---|--|
	Tuổi cha: |---|---|---|---|---|---|---|--|---|---|---|---|---|---|--|
	Theo sơ đồ ta có:
	7 phần + 7 phần + 6 phần + 3 tuổi + 3 tuổi + 3 tuổi = 109 tuổi
	20 phần + 9 tuổi = 109 tuổi
	ó20 phần = 100 tuổi
	Vậy tuổi con hiện nay là: 100 : 20 = 5 (tuổi)
	Tuổi cha hiện nay là: 5 x 7 + 3 = 38 (tuổi).
Đáp số: Con: 5 tuổi; Cha: 38 tuổi.
Bài 2: Hiệu của hai số là 2345. Tìm hai số đó, biết rằng nếu viết thê chữ số 5 vào tận cùng bên phải số bé thì được số lớn. 
Bài giải
	Nếu viết thêm chữ số 5 vào tận cùng bên phải số bé thì được số lớn hơn, như vậy số lớn gấp 10 lần số bé và cộng thêm 5 đơn vị.
	Theo bài ra ta có sơ đồ:
2345
	Số bé : |---|
5
	Số lớn: |---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|--|
Theo sơ đồ ta có 9 lần số bé là: 2345 – 5 = 2340
	Số bé là : 	2340 : 9 = 260
	Số lớn là: 	 260 + 2345 = 2605
Đáp số: Số bé: 260 ; Số lớn: 2605.
Bài 3: Mẹ hơn con 24 tuổi. Cách đây 4 năm tuổi con bằng 14 tuổi mẹ. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Bài giải
	Hiệu số tuổi của hai mẹ con không thay đổi theo thời gian nên cách đây 4 năm mẹ vẫn hơn con 24 tuổi. Ta có sơ đồ khi đó: 
24 tuổi
	Tuổi con : |-------|
5
	Tuổi mẹ : |-------|-------|-------|-------|
Theo sơ đồ tuổi mẹ cách đây 4 năm là: 24 : (4 – 1) x 4 = 32 (tuổi)
Vì mỗi năm mỗi người tăng lên 1 tuổi nên hiện nay tuổi mẹ là:
32 + 4 x 1 = 36 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là:	 36 – 24 = 12 (tuổi)
	Đáp số: Mẹ: 36 tuổi ; Con: 12 tuổi.
Bài 4: Cho phân số 107187. Hãy tìm số tự nhiên, biết rằng nếu cùng bớt cả tử số và mẫu số đi số tự nhiên đó thì ta được phân số mới có giá trị bằng 59. 
Bài giải
	Hiệu của tử số và mẫu số của phân số 107187 là : 187 – 107 = 80
	Nếu cùng bớt cả tử số và mẫu số đi cùng một số tự nhiên thì hiệu mẫu số và tử số vẫn không đổi (vẫn bằng 80) mà khi đó thì được phân số mới có giá trị bằng 59nên ta có sơ đồ:
80
Tử số mới:	 |-----|-----|-----|-----|-----|
Mẫu số mới: |-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
	Tử số mới là: 80 : (9 – 5) x 5 = 100
	Số tự nhiên cần tìm là: 107 -100 = 7
Đáp số: số tự nhiên là 7.
Bài 5: Hiệu của hai số bằng 0,8. Thương của hai số cùng bằng 0,8. Hãy tìm hai số đó. 
Bài giải
0,8 = 45
	Ta có sơ đồ:
0,8
Số bé là:	 |-----|-----|-----|-----|
Số lớn là: |-----|-----|-----|-----|-----|
	Theo sơ đồ hiệu số phần bằng nhau là: 5 – 4 = 1 (phần)
	Số bé là: 	0,8 : 1 x 4 = 3,2
	Số lớn là: 	3,2 + 0,8 = 4
Đáp số: 3,2 và 4.
Bài 6: Hiệu của hai số bằng 20. Thương của hai số bằng 2,25. Tìm hai số đó. 
Bài giải
	Theo bài ta có sơ đồ:
20
Số bé : |-----|-----|-----|-----|
Số lớn : |-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
	Theo sơ đồ hiệu số phần bằng nhau là: 9 – 4 = 5 (phần)
	Số lớn là: 	20 : 5 x 9 = 36
	Số bé là: 	36 – 20 = 16
Đáp số: 36 và 16.
Bài 7: Tìm hai số có hiệu bằng 252, biết số bé bằng 14 tổng của hai số. 
Bài giải
	Số bé bằng 14tổng hai số, nếu coi số bé là 1 phần thì tổng của hai số là 4 phần như vậy. Do đó số lớn có số phần bằng nhau là:
4 – 1 = 3 (phần)
	Vậy số bé bằng 13số lớn. Ta có sơ đồ:
252
Số bé : |-----|
Số lớn : |-----|-----|-----|
	Theo sơ đồ hiệu số phần bằng nhau là: 3 – 1 = 2 (phần)
	Số bé là: 	252 : 2 x 1 = 126
	Số lớn là: 	126 + 252 = 378
Đáp số: số bé: 126; số lớn:378.
Bài 8: Ba năm trước em 6 tuổi và kém chị 6 tuổi. Hỏi mấy năm sau nữa thì 3 lần tuổi chị bằng 4 lần tuổi em? 
Bài giải
	Vì hiệu số tuổi của hai chị em không thay đổi theo thời gian nên em luôn kém chị 6 tuổi.
	Khi 3 lần tuổi chị bằng 4 lần tuổi em nghĩa là khi tuổi em bằng 34 tuổi chị.
Ta có sơ đồ khi đó:
6t
Tuổi em : |-----|-----|-----|
Tuổi chị : |-----|-----|-----|-----|
	Theo sơ đồ hiệu số phần bằng nhau là: 4 – 3 = 1 (phần)
	Khi đó tuổi của em là: 	6 : 1 x 3 = 18 (tuổi)
	Từ khi em 6 tuổi đến lúc em 18 tuổi có số năm là: 18 – 6 = 12 (năm)
	Vậy sau 12 năm từ lúc em 6 tuổi thì 3 lần tuổi chị bằng 4 lần tuổi em
Đáp số: 12 năm.
Bài 9: Một quầy bán vải, lần thứ nhất bán 2m vải, lần thứ hai bán 12 số vải còn lại và 12m. Lần thứ ba bán 12 số vải còn lại và 12m, lần thứ tư bán 12 số vải còn lại và 12 m thì vừa hết. Hỏi quầy vải đó bán được tất cả bao nhiêu mét vải? 
Bài giải
2m
	Ta có sơ đồ:
12m
Số vải lúc đầu: |-----------|-------------------------------------------|
Sô vải sau khi bán lần thứ nhất: |---------------------|--|-------------------|
12m
12m
Số vải sau khi bán lần thứ hai: |---------|--|-------|
Số vải sau khi bán lần thứ ba: |---|---| 
	Theo sơ đồ số vải còn lại sau khi bán lần thứ 3 là: 12 x 2 = 1 (m)
	Số vải còn lại sau khi bán lần thứ hai là: (1 + 12 ) x 2 = 3 (m)
	Số vải còn lại sau khi bán lần thứ nhất là: (3 + 12 ) x 2 = 7 (m) 
	Số vải cửa hàng đó bán được tất cả là: 7 + 2 = 9 (m)
Đáp số: 9 m vải. 
Bài 10: Bình đọc một quyển truyện trong 3 ngày. Ngày đầu Bình đọc được 15 số trang và 16 trang. Ngày thứ hai Bình đọc được 310 số trang còn lại và 20 trang. Ngày thứ ba Bình đọc được 34 số trang còn lại và 37 trang cuối cùng. Hỏi quyển truyện đó có bao nhiêu trang? 
Bài giải
16 trang
	Ta có sơ đồ:
20 trang
Số trang quyển truyện: |------------|-- |---------|------------|------------|------------|
Số trang còn lại sau khi đọc ngày đầu: |----|----|----|---|- |----|----|----|----|----|----|
37 trang
Số trang còn lại sau khi đọc ngày thứ 2: |-------|-------|-------|-------|
	Theo sơ đồ, số trang còn lại sau khi Bình đọc ngày thứ hai là:
37 x 4 = 148 (trang)
	Số trang còn lại sau khi Bình đọc ngày đầu là: 
(148 + 20) : 7 x 10 = 240 (trang)
Số trang của quyển truyện đó là: (240 + 16) : 4 x 5 = 320 (trang)
Đáp số: 320 trang
Bài 11: Hai ngăn sách lúc đầu có tổng cộng 118 cuốn. Sau khi lấy đi 8 cuốn sách ở nhân I, thêm 10 cuốn sách vào ngăn II thì số sách ở ngăn II gấp đôi số sách ở ngăn I. Tính số sách ở mỗi ngăn lúc đầu.
Bài giải
Ta vẽ sơ đồ lúc cuốn sách ngăn II gấp đôi số sách ngăn I (tức là số sách ở hai ngăn lúc sau): 
Ngăn I lúc sau: |--|Ngăn II lúc sau:|--|--| 120
Tổng số sách ở hai ngăn lúc sau:
118 – 8 + 10 = 120 (cuốn)
Số sách ở ngăn I lúc sau: 120 : 3 = 40 (cuốn)
Số sách ở ngăn I lúc đầu là: 40 + 8 = 48 (cuốn)
Số sách ở ngăn II lúc đầu: 118 – 48 = 70 (cuốn)
Bài 12: Tìm số tự nhiên tận cùng bằng 7 biết rằng sau khi xóa chữ số 7 đó thì số ấy giảm đi 484 đơn vị.
Bài Giải
Xóa đi chữ số 7 tận cùng của một số là trừ số đó đi 7 đơn vị rồi chia cho 10. Ta có sơ đồ:
484
Số còn lại: |----|
Số ban đầu: |----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|--|
Số còn lại: (484 – 7) : 9 = 53.
Số ban đầu: 484 + 53 = 537.
Bài 13: Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào sau chữ số hàng đơn vị thì số ấy tăng thêm 2000 đơn vị.
Bài Giải
Theo bài ra ta có: 2000 – 2 = 1998 gấp 9 lần số phải tìm
Số phải tìm là: 1998 : 9 = 222.
Đáp số: 222
Bài 14: Tìm ba số có tổng bằng 210, biết rằng 67 số thứ nhất bằng 911 số thứ hai và bằng 23 số thứ ba.
Bài Giải
Số thứ nhất bằng: 911 : 67 = 2122 (số thứ hai).
Số thứ ba bằng: 911 : 23 = 2722 (số thứ hai).
Tổng của ba số bằng 7022 số thứ hai hay 210.
Đáp số: 63, 66, 81.
Bài 15: Mẹ hơn con 28 tuổi. Sau 5 năm nữa, tuổi mẹ gấp ba tuổi con. Tính tuổi mẹ và con hiện nay.
Bài Giải
Vì hiệu số tuổi của mẹ và con không đổi theo thời gian nên sau 5 năm nữa tuổi mẹ vẫn hơn con 28 tuổi.
Ta có sơ đồ: 
28tuổi
Tuổi con sau 5 năm: |--------|
Tuổi mẹ sau 5 năm: |--------|--------|--------|
Dựa vào sơ đồ ta thấy:
Tuổi con sau 5 năm là: 28 : 2 = 14 (tuổi)
	Tuổi con hiện nay là: 14 – 5 = 9 (tuổi)
	Tuổi mẹ hiện nay là: 9 + 28 = 37 (tuổi)
Đáp số: Con: 9 tuổi; Mẹ: 37 tuổi.
Bài 16: Năm 2000, mẹ 36 tuổi, hai con 7 tuổi và 12 tuổi. Bắt đầu từ năm nào, tuổi mẹ ít hơn tổng số tuổi của hai con?
HD: Trước hết ta tính xem đến năm nào thì tuổi mẹ bằng tổng số tuổi của hai con. Đó là năm 2017. Vậy từ năm 2018 trở đi thì tuổi mẹ ít hơn tổng số tuổi của hai con.
Bài giải
Số năm để tuổi mẹ bằng tổng tuổi hai con là: 
36 – ( 7 + 12) = 17 (năm)
Sô năm để tuổi mẹ bắt đầu nhỏ hơn tổng số tuổi là con là:
17 + 1 = 18 (năm)
Vậy năm đầu tiên là tuổi mẹ ít hơn tổng số tuổi 2 con là:
2000 + 18 = 2018
Đáp số:năm 2018
Bài 17: Anh hơn em 3 tuổi. Tuổi anh hiện nay gấp rưỡi tuổi em, lúc anh bằng tuổi em hiện nay. Tính tuổi hiện nay của mỗi người.
Bài giải
Vì hiệu số tuổi của anh và em không thay đổi theo thời gian nên coi tuổi em trước đây là 1 phần thì tuổi anh trước đây là: 1 phần cộng thêm 3 tuổi  
Vậy tuổi em hiện nay cũng là 1 phần cộng thêm 3 tuổi . 
Tuổi anh hiện nay là: 
1 phần + 3tuổi + 3tuổi = 1 phần + 6 tuổi 
Vì ( 1 phần + 6 tuổi ) này cũng chính là 1,5 phần. Vậy 0,5 phần là 6 tuổi. 
1 phần là: 6 : 0,5 = 12 ( tuổi ) 
Tuổi em hiện nay là: 12 + 3 = 15 ( tuổi ) 
Tuổi anh hiện nay là: 15 + 3 = 18 ( tuổi ) 
Đáp số: Anh: 18 tuổi ; Em: 15 tuổi
Bài 18: Tuổi mẹ hiện nay gấp 2,3 lần tuổi con. 16 năm trước, tuổi mẹ gấp 7,5 lần tuổi con. Hỏi mấy năm sau thì tuổi mẹ gấp đôi tuổi con?
Bài giải
	Hiện nay mẹ hơn con: 2,3 – 1 = 1,3 lần tuổi con hiện nay.
	Còn 16 năm trước mẹ hơn con: 7,5 – 1 = 6,5 lần tuổi con trước kia.
	Vì mẹ luôn hơn con một số tuổi không đổi nên 6,5 lần tuổi con trước kia bằng 1,3 lần tuổi con hiện nay, tức là tuổi con hiện nay gấp: 6,5 : 1,3 = 5 lần tuổi con trước kia.
	Do đó 4 lần tuổi con trước kia là: 16 năm, tuổi con trước kia là 4 tuổi, tuổi con hiện nay là: 4 + 16 = 20 tuổi, tuổi mẹ hiện nay là: 20 x 2,3 = 46 tuổi.
	Mẹ hơn con : 46 – 20 = 26 tuổi. Lúc mẹ gấp đôi tuổi con thì con 26 tuổi, tức là 26 – 20 = 6 năm sau thì tuổi mẹ gấp đôi tuổi con.
Đáp số: 6 năm
PHƯƠNG PHÁP 2: GIẢ THIẾT TẠM
BÀI TẬP MINH HỌA:
Bài 1: Ba ô tô chở tổng cộng 50 chuyến, gồm 118 tấn hàng. Mỗi chuyến, xe thứ nhất chở 2 tấn, xe thứ hai chỏ 2,5 tấn, xe thứ ba chở 3 tấn. Hỏi mỗi xe chở bao nhiêu chuyến biết rằng số chuyến xe thứ nhất gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai?
Bài Giải
	Giả thiết rằng tất cả 50 chuyến đều do xe thứ ba chở thì khối lượng hàng chở được là: 3.50 = 150 (tấn).
	Dôi ra: 150 – 118 = 32 (tấn)
	Để không dôi ra, phải thay một số chuyến của xe thứ ba bằng các chuyến của hai xe kia theo quy luật sau: cứ 5 chuyến của xe thứ ba thay bởi 2 chuyến của xe thứ nhất và 2 chuyến của xe thứ hai. Mỗi lần thay bởi như vậy thì số chuyến không thay đổi, số chuyến của xe thứ nhất luôn gấp rưỡi số chuyến của xe thứ hai, còn khối lượng hàng giảm đi:
3.5 – (2.3 + 2,5.2) = 15 – 11 = 4 (tấn)
	Số lần thay: 	32 : 4 = 8 (tấn)
	Xe thứ nhất chở: 3.8 = 24 (chuyến)
	Xe thứ hai chở: 2 .8 = 16 (chuyến)
	Xe thứ ba chở : 50 – (24 + 16) = 10 (chuyến)
Bài 2: Trên quãng đường AC dài 200 km có một điểm B cách A là 10 km. Lúc 7 giờ, một ô tô đi từ A, một ô tô khác đi từ B, cả hai cùng đi tới C với vận tốc thứ tự bằng 50km/h và 40km/h. Hỏi lúc mấy giờ thì khoảng cách đến C của xe thứ hai gấp đôi khoảng cách đến C của xe thứ nhất? 
Bài Giải
I
	Quãng đường đi của hai ô tô được minh họa như sau: 
M
C
A
	|-----|-------------------------------|------|------|
B
D
II
	Lúc xe thứ hai đến D là thời điểm phải tìm. (DM = DC).
	Giả thiết rằng có một xe thứ ba phải đi quan quãng đường EC dài gấp đôi quãng đường AC của xe thứ nhất phải đi (EC = 200.2 = 400 km), với vận tốc gấp đôi vận tốc của xe thứ nhất (như vậy vận tốc xe thứ ba bằng : 50.2 = 100 km/h) thì cũng trong thời gian như xe thứ nhất, quãng đường còn lại đến C của xe thứ nhất và như vậy xe thứ ba này sẽ gặp xe thứ hại tại D. (Minh họa bằng hình dưới đây)
Quãng đường ED dài hơn quãng đường BD:
400 – 190 = 210 (km).
Vận tốc xe thứ ba lớn hơn vận tốc xe thứ hai:
100 – 40 = 60 (km/h).
Thời gian để xe thứ ba gặp xe thứ hai tại D:
210 : 60 = 3,5 (h).
Vậy thời điểm phải tìm là: 7 + 3,5 = 10h 30ph.
Đáp số: 10 giờ 30 phút
Bài 3: Người ta bơm nước vào một bể: dùng máy I trong 30 phút, dùng máy II trong 20 phút. Tính xem trong mỗi phút mỗi máy bơm được bao nhiêu lít nước, biết rằng mỗi phút máy II bơm được nhiều hơn máy I là 50 lít và tổng cộng hai máy bơm được 21000 lít nước? 
Bài Giải
	Giả sử trong mỗi phút, máy II bơm số nước bằng máy I thì trong 50 phút cả hai máy bơm được:
21000 – 50.20 = 20000 (lít)
Trong mỗi phút, máy I bơm được:
20000 : 50 = 400 (lít)
Trong mỗi phút, máy II bơm được:
400 + 50 = 450 (lít)
Bài 4: Khối 6 của một trường có 366 học sinh, gồm 8 lớp. Mỗi lớp gồm một số tổ, mỗi tổ có 9 người hoặc 10 người. Biết rằng số tổ của các lớp đều bằng nhau, tính số tổ có 9 người, số tổ có 10 người cả khối? 
HD Giải
 	Mỗi lớp gồm một số tổ mỗi tổ 9 người hoặc 10 người, Trước hết ta nhận thấy :
366 : 10 = 36 còn dư
366 : 9 = 40 còn dư
Do đó số tổ của các lớp nằm trong khoảng từ 37 đến 40
Mặt khác số tổ chia hết cho 8 => Số tổ của khối lớp 6 đó là 40 tổ
Giả sử cả 40 tổ đều là tổ 10 người. Khi đó số HS của khối là:
40 .10 = 400 (HS)
So với bài ra thừa ra 400 – 366 = 34 (HS) là do còn có tổ 9 người.
Nếu thay mỗi tổ 10 người bằng một tổ 9 người thì mỗi lần thay bớt được : 
10 – 9 =1
Vậy số tổ có 9 người là 34 : 1 = 34 ( tổ)
Số tổ có 10 người là 40 – 34 = 6 (tổ)
Bài 5: Một câu lạc bộ có 22 chiếc ghế gồm ba loại: ghế ba chân, ghế bốn chân, ghế sáu chân. Tính số ghế mỗi loại, biết rằng tổng số chân ghế bằng 100 và số ghế sáu chân gấp đôi số ghế ba chân? 
Bài Giải
	Giả sử 22 chiếc ghế đều là 4 chân. Khi đó số chân ghế là:
4 . 22 = 88 (Chân)
	So với bài ra bị hụt mất 100 – 88 = 12 (chân) => là do còn có ghê 3 chân, 6 chân. Để không bị hụt đi ta thay các ghế 4 chân bằng hai loại ghế kia theo quy luật: một ghế 3 chân, 2 ghế 6 chân cho 3 ghế 4 chân, khi đó số ghế không thay đổi, quan hệ giữa ghế 3 chân và ghế 6 chân được đảm bảo.
	Mỗi lần thay, số chân ghế tăng thêm: 2.6 + 1.3 – 3.4 = 3 (chân)
	Vậy số lần thay là: 12 : 3 = 4 (lần)
	Số ghế 3 chân là: 4.1 = 4 (ghế)
	Số ghế 6 chân là: 4.2 = 8 (ghế)
	Số ghế 4 chân là: 22 – (4 + 8) = 10 (ghế)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Một số học sinh xếp hàng 12 thì thừa 5 học sinh, còn xếp hàng 15 cũng thừa 5 học sinh và ít hơn trước là 4 hàng. Tính số học sinh? 
HD giải:	
Giả thiết tạm rằng số HS đó khi xếp hang 15 thì cũng được số hàng như khi 
xếp hàng 12, nghĩa là ta phải có thêm 4 hàng nữa. Khi đó có thêm:
15. 4 = 60 (HS)
Trong hai trường hợp số HS ở mỗi hàng chênh lệch nhau :
15 – 12 = 3 (HS)
Số hàng khi xếp hàng 12 là : 60 : 3 = 20 ( hàng)
Số HS là: 	 20 . 12 + 5 = 245 ( HS)
Bài 2: Anh vào cửa hàng mua 12 vở và 4 bút chì hết 36000 đồng. Bích mua 8 vở và 5 bút chì cùng loại hết 27500 đồng. Tính giá trị một quyển vở, giá trị một bút chì. 
HD giải
Giả sử An mua gấp đôi số hàng đã mua là 24 quyển vở và 8 bút chì hết 
36 000. 2 = 72 000 đ
Bích mua gấp ba số hàng đã mua là 24 quyển vở và 15 bút chì hết 
27 500 . 3 = 82 500 đ
Như vậy Bích mua nhiều hơn An 15 – 8 = 7 ( bút chì)
Số tiền chênh lệch là: 	 82 500 - 72 000 = 10 500 đ,
Vậy giá tiền một bút chì là:	 10 500 : 7 = 1 500 đ,
Giá tiền một quyển vở là :( 36 000 – 4. 1 500) : 12 = 2 500 đ
Bài 3: Một tổ may phải may 1800 chiếc cả quần và áo trong 13 giờ. Trong 8 giờ đầu tổ may áo và trong thời gian còn lại tổ may quần. Biết rằng trong 1 giờ, tổ may được số áo nhiều hơn số quần là 30 chiếc. Tính số áo và số quần tổ đã may. 
HD giải
Giả sử trong thời gian còn lại tổ vẫn may áo . Khi đó số áo may thêm được là: 	(13 – 8). 30 = 150 ( chiếc)
Số áo tổ đó may được trong 13 giờ là :1800 + 150 = 1950 ( chiếc)
Số áo tổ đó may được là:	 (1950 : 13) . 8 = 1 200 ( chiếc)
Số quần tổ đó may được là: 1800 – 1200 = 600 ( chiếc)
Bài 4: Một lớp học có 6 tổ, số người của mỗi tổ bằng nhau. Trong một bài kiểm tra, tất cả học sinh đều được điểm 7 hoặc 8. Tổng số điểm của cả lớp là 350. Hãy tính số học sinh của lớp, số học sinh đạt tửng loại điểm? 
HD giải
	Trước hết tính số học sinh của lớp ta thấy:
	350 chia cho 8 , được 43, còn dư;
 350 : 7 = 50
Do đó số học sinh từ 44 đến 50. Do số học sinh chia hết cho 6 nên số học sinh là 48 người.
Giải tiếp bài toán bằng phương pháp tạm, ta tìm được: 4 học sinh được điểm 8; 34 học sinh được điểm 7.
Bài 5: Một đội bóng thi đấu 25 trận, chỉ có thắng và hòa, mỗi trận thẳng được 3 điểm, mỗi trận hòa được 1 điểm, kết quả đội đó được 59 điểm. Tính số trận thắng, số trận hòa của đội bóng. 
HD giải
Giả sử cả 25 trận đều thắng. Khi dó số diểm đội đó có được là :
25 . 3 = 75 (điểm)
So với bài ra thừa ra 75 – 59 = 16 ( điểm) => là do còn có trận hòa
Chênh lệch điểm số của trận thắng và trận hòa là : 3-1 = 2
Như vậy nếu thay mỗi trận thắng bằng một trận hòa thì mỗi lần thay giảm được 2 điểm => Số trận hòa là 16 : 2 = 8 ( trận)
Số trận thắng là : 	25 – 8 = 17 ( trận)
Bài 6: Có 25 gói đường gồm ba loại: gói 5 lạng, gói 2 lạng, gói 1 lạng, có tổng khối lượng tổng cộng là 56 lạng. Biết số gói 1 lạng gấp đôi số gói 5 lạng. Tính số gói mỗi loại. 
HD giải:
	Giả sử cả 25 gói đường là gói 2 lạng. khi đó khối lượng tổng cộng là:
25 . 2 = 50 (lạng)
	So với bài hụt đi: 	56 – 50 = 6 (lạng)
	Để không bị hụt đi ta thay các gói 2 lạng bằng các gói 5 lạng và gói 1 lạng theo quy luật 1 gói 5 lạng, 2 gói 1 lạng cho 3 gói 2 lạng khi đó số gói không thay đổi, quan hệ giữa gói 5 lạng và gói 1 lạng được đảm bảo. Mỗi lần thay tăng thêm được: 	1.5 + 2.1 – 3.2 = 1 (lạng).
	Số lần thay: 6 : 1 = 6 (lần)
	Vậy số gói đường 5 lạng là: 6.1 = 6 (gói)
	Số gói đường 1 lạng là: 	6.2 = 12 (gói)
	Số gói đường 2