Chuyên đề 1: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề 1:
 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
 Để góp phần tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Toán THPT , xin nêu ra đây một số phương pháp giải và các bài toán mang tính minh họa.
I.-Phương pháp phản chứng.
-Phương pháp phản chứng được sử dụng nhiều trong các bài toán Logic, các bài toán đại số hoặc hình hình,về cơ bản gồm các bước: Tuy nhiên trng dạng 
 ta có thể vận dụng : - đúng, hay : - đúng.
-Sau đây xin giới thiệu vài bài toán liên quan.
1- Bài toán 1: Cho , , , thì : (1)
-Giải.
+Giả sử , nếu : ( dạng 
+Ta có:
-Do , nên (*) không thể xảy ra 
hay : không thể xảy ra.
Vậy: 
2-Bài toán 2 : Chứng minh rằng, nếu 
 thì : 
-Giải.
+Giả sử : 
+Ta có : 
-Từ đẳng thức (*) dể thấy : 
 .Từ (i) : (mâu thuẫn với giả thiết)
 .Từ (ii) : 
	 ( mâu thuẫn với giả thiết)
Vậy không thể : 
Hay : .
II.-Phương pháp qui nạp.
-Phương pháp qui nạp được dùng nhiều trong các bài toán về dãy số, cấp số .Thông thường có các bước : Kiểm tra mệnh đề đúng với P(n0) , Giả sử mệnh đề đúng với P(k),Chứng minh mệnh đề đúng ở bước P(k+1) tiếp theo. Kết luận : Vậy mệnh đề đúng với mọi k.
-Xin giới thiệu một vài bài toán dạng này.
1-Bài toán 1: Chứng minh rằng : với mọi n ≥ 3. (1)
-Giải.
+Khi n = 3 : -bất đẳng thức đúng khi n = 3.
+Giả sử (1) đúng với n = k , là : (2)
+Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, là : 
 hay : (3)
Thật vậy : Từ (2): 
Vậy : với mọi n ≥ 3.
2-Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có:
-Giải.
+Khi n = 1 : - bất đẳng thức đúng khi n = 1.
+Giả sử (1) dúng khi n = k , là : 
+Ta chứng minh (1) đúng khi n = k +1, là :
 hay : 
Thật vậy , từ (2) : 
Do : 
Nên : 
Hay : 
Vậy : - đúng với mọi n nguyên dương.
3-Bài toán 3: Cho 
 Chứng minh rằng: 
-Giải.
+Khi n = 2 , với thì (1) trở thành: 
-Do . Nên hay 
 -bất đẳng thức đúng khi n = 2. 
+Giả sử (1) đúng khi n =k ( k >2) , là : 
+Ta chứng minh (1) đúng khi : n = k+1 (k>2), là :
Với thì 
Thật vậy: Do ,
- mặt khác do : 
Nên : 
Vậy: ,với . 
III.-Phương pháp dùng BĐT Cauchy
-Bất đẳng thức Cauchy –trong chương trình THPT , bao gồm một số dạng chính sau:
	. - dấu = xảy ra khi a = b.
	. - dấu = xảy ra khi a = b = c.
	. 
 - dấu = xảy ra khi a1 = a2 == an.
-Xin giới thiệu một vài bài toán dạng này.
1-Bài toán 1: Cho a,b,c là các số dương và 
 Chứng minh rằng : 
-Giải.
+Donên (1)
+Do a>0 , b>0, c>0 và ,nên 0 < a,b,c < 1
Gọi , ta chứng minh : thì ta luôn có : 
Khi đó: 
Đề chứng minh (*), áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số : 2x2 , (1- x)2, (1- x2)2 , được :
Từ đó : 
Hay : 
2-Bài toán 2: Cho a,b,c > 0 và a + b + c =1 
 Chứng minh : 
-Giải.
+Áp dụng 3 lần BĐT Chauchy cho 2 số, được:
Cộng từng vế tương ứng, được:
Vậy : 
3-Bài toán 3: Cho 3 số a,b,c > 0 .
 Chứng minh : (1) 
-Giải.
+Áp dụng 3 lần BĐT Cauchy cho 2 số ,ta được:
Cộng từng vế tương ứng, được:
 ,do 
Nên: 
Vậy : .
IV.-Phương pháp dùng tam thức bậc hai.
-Tính chất của tam thức bậc hai : f(x) = ax2 + bx + c ,được ứng dụng khá rộng rãi trong các toán về bất đẳng thức; ta xem xét một vài trường hợp 
a)- Vận dụng tính chất : 
b)-Vận dụng tính chất : 
c)-Vận dụng tính chất : f(x) có 2 nghiệm x1 < x2 thì $ c : a.f(c) < 0
-Sau đây xin giới thiệu một vài bài toán dạng này.
1-Bài toán 1: Cho các số ,sao cho : (1)
Chứng minh rằng : (2)
-Giải.
+Biến đổi tương đương (1), được:
Cho thấy : 
-Đẳng thức xảy ra khi : 
-Để chứng minh (2) ta xét . Do nên 
Vậy : .
2-Bài toán 2: Cho (1) .Chứng minh : (2)
Giải.
+Từ (1) cho ta: 
+Thay vào (2), được : 
Bất dẳng thức (2’) đúng , suy ra (2) đúng.
3-Bài toán 3: Cho b > 0 và n số thực dương a1,a2,..an , sao cho: 
với k = 1,2,3,.,n. Đặt và .
Chứng minh rằng : 
Giải.
+Xét tam thức , luôn có 2 nghiệm : và 
+Do , ta có : 
Cho k = 1,2,..,n và cộng từng vế đẳng thức tương tự với (*) , được:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số và , lại được:
Vậy : 
V.-Phương pháp giải tích 
-Một số bất đẳng thức được chứng minh dựa theo các tính chất giải tích như sau:
 +Với 3 điểm A,B,C bất kỳ , luôn có: 
 +Với 2 vecto , bất kỳ , luôn có : , Khi thay bằng biểu thức tọa độ: 
-Vận dụng tính chất trên ta xét một số bài toán sau:
1-Bài toán 1: Cho .Chứng minh : 
Giải.
Biến đổi tương đương (1) , được:
 (1’)
-Đặt 
Ta được : 
-Do tính chất ,ta suy ra :
 (1’)
Hay : 
2-Bài toán 2: Cho a,b,c,d là 4 số thỏa mãn: 
 Chứng minh rằng : (1)
Giải.
-Từ (*): Gọi M(a;b) thỏa mãn : thì M Î( C1) có phương trình 
 , có tâm I1(1;1) và R1 =1 .
-Từ (**): Gọi N(c;d) thỏa mãn : thì N Î( C2) có phương trình : , có tâm I2(6;6) và R2 =36 .
-Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương: (1’)
Cho biết đường thảng I1I2 cắt (C1) tại M1, M2 và cắt (C2) tại N1,N2. 
Xác định các độ dài như sau:
Và 
Khi đó M1N2 là độ dài lớn nhất của MN, M2N1 là độ dài lớn nhất của MN, nên:
Tù đó ta có : 
Vậy : 
Xin cảm ơn quí Thầy , Cô và các em học sinh quan tâm tìm hiểu chuyên đề này.
--------------------------------