Chinh phục Hệ phương trình

Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
1 
CHINH PHỤC HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHIÊN BẢN 2.0 do GIA ĐÌNH LOVEBOOK biên soạn 
Anh em tham gia: Bùi Văn Cường, Lương Văn Thiện, Nguyễn Xuân Tùng, Mai Văn Chinh, 
Phan Ngọc Đức, Lê Nhất Duy, Đinh Thị Thu Hà, Ngô Lương Thanh Trà, Ngô Lương Thanh 
Trà, Hoàng Trung Hiếu 
Một số thông tin phiên bản 2.0: 
Số trang: 500 trang khổ A4 (phiên bản 1.0 – 368 trang) 
Ngày phát hành: 25/09/2015 
___________________________________________________ 
Đặt trước sách Lovebook phiên bản 2.0: https://goo.gl/XeHwk5 
Giải đáp các thắc mắc trong sách Lovebook:  
Tài liệu Lovebook chọn lọc: 
Kênh bài giảng Lovebook: https://goo.gl/OAo45w 
Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên Lovebook: goo.gl/ol9EmG 
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
2 
LỜI NÓI ĐẦU 
Các bạn đang cầm trên tay một cuốn sách tham khảo về luyện thi Đại Học – Cao Đẳng phần Hệ 
Phương Trình! “Vâng, lại là một quyển Hệ phương trình nữa!”. Tôi chắc chắn là sẽ có không ít bạn, thậm chí 
là phần lớn các bạn học sinh sẽ có suy nghĩ như vậy khi cầm quyển sách này trong tay! Thực ra suy nghĩ đó 
rất đúng; lý do là vì trên thị trường hiện nay, có quá nhiều, tìm ở đâu cũng thấy có những quyển sách tham 
khảo về phần Hệ Phương Trình luyện thi Đại Học – Cao Đẳng. Và chất lượng các sách thì do có quá nhiều 
sách nên các quyển sách cũng chỉ có chất lượng bình bình với nhau. Nhưng, tôi xin nhấn mạnh một điều 
rằng bạn không nên coi quyển sách này giống các quyển sách khác. Nói ít làm nhiều, xin mời bạn cùng theo 
dõi và đánh giá bài tập ví dụ mẫu ngay sau đây. Bài tập này được trích trong đề thi Đại Học khối A năm 2014. 
Bài giải đã tập hợp tất cả tâm lực của chúng tôi. Bạn sẽ nhận ra sự khác biệt nằm ở đây. 
{
x√12 − y + √y. (12 − x2) = 12 (1)
x3 − 8x − 1 = 2√y − 2 (2)
 Hướng dẫn: 
Bài toán này có một phương trình gây nhiều chú ý, đó là phương trình (1). Các số 12 xuất hiện nhiều lần 
trong phương trình (1) không phải ngẫu nhiên, khi mà vị trí xuất hiện của chúng luôn đi kèm với dấu +. Do 
đó chắc chắn chúng ta sẽ phải xử lý phương trình (1) trước; sau đó mới thay kết quả thu được từ phương 
trình (1) vào phương trình (2). 
 Xử lý phương trình (1). 
Một lời khuyên là: khi bế tắc ở một phương trình, chúng ta hãy nghĩ đến Bất đẳng thức! Và khi đã nghĩ đến 
Bất đẳng thức, chúng ta có thể nhanh chóng nhận thấy các cách giải quyết phương trình (1) lần lượt xuất 
hiện. 
 Cách 1: Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki. 
Với những bạn có kiến thức về Bất đẳng thức ở mức khá, sẽ không quá khó để có thể nhận ra rằng nếu sử 
dụng Bất đẳng thức này vào phương trình (1), ta sẽ thấy ngay được kết quả mà không phải thông qua một 
bước biến đổi lắt léo nào. Cụ thể biến đổi: 
[√12 − y. x + √y. (12 − x2)]
2
≤ (x2 + 12 − x2)(12 − y + y) = 144 
⇒ x√12 − y + √y. (12 − x2) ≤ 12 
Vậy là dấu “=” sẽ phải xảy ra! Phương trình (1) được giải quyết trong 1 dòng! 
Các bạn có thể tìm dạng tổng quát của Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki trong phương pháp đánh giá bằng 
Phương pháp tọa độ. 
 Cách 2: Từ kết quả của cách 1, dựa vào điều kiện xảy ra dấu “=”, chúng ta có thể tiến hành 
nắn để sử dụng Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Cụ thể biến đổi: 
 
 
   
 







2
2
2
x 12 y
x 12 y x 12 y
2
y 12 x
y 12 x
2
.
 ⇒ x√12 − y +√y. (12 − x2) ≤ 12 
Do đó, dấu “=” phải xảy ra. Cách giải quyết này cũng rất dễ hiểu. 
 Cách 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn. 
Để tạo ra sự đồng bộ về bậc giữa các thành phần trong phương trình (1), chúng ta sẽ tiến hành phép đặt ẩn 
phụ là a = √12 − y. Khi đó y = 12 − a2, cũng sẽ khớp với √12 − x2. Và một khi đã tiến hành đặt ẩn phụ 
không hoàn toàn, chúng ta chỉ còn lại cách xử lý là bình phương lên để khử căn, rồi tiến hành biểu diễn các ẩn 
qua nhau. 
Phương trình (1) sẽ trở thành: 
 x. a + √(12 − x2)(12 − a2) = 1 
⇔ √(12 − x2)(12 − a2) = 12 − xa 
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
3 
⇔ {
12 ≥ x. a
(12 − x2)(12 − a2) = (12 − xa)2
⟺ {
12 ≥ x. a
(x − a)2 = 0
⟺ {
xa ≤ 12
x = a
⇒ x = √12 − y ⇒ {
x > 0
x2 = 12 − y
Cách giải quyết này rất không có sự góp mặt của môt yếu tố cao siêu nào như hai cách đầu. Tuy nhiên để có 
thể nhìn ra sự “đẳng cấp” giữa x và √12 − y thì cũng không phải dễ dàng. 
 Cách 4: Nhân biểu thức liên hợp. 
- TH1: Nếu x. √12 − y = √(12 − x2)y; từ phương trình (1) ta suy ra: 
x. √12 − y = √(12 − x2)y = 6 ⇔ {
x > 0
x2(12 − y) = 36
y(12 − x2) = 36
⟺ {
x > 0
x2 = y = 6
Thử lại không thỏa mãn phương trình (2). 
- TH2: Với x. √12 − y −√(12 − x2)y ≠ 0; 
Nhân cả 2 vế phương trình (1) với x. √12 − y − √(12 − x2)y ta được: 
[x. √12 − y + √(12 − x2)y] [x. √12 − y − √(12 − x2)y] = 12 [x. √12 − y −√(12 − x2)y] 
⇔ x2(12 − y) − (12 − x2)y = 12(x.√12 − y − √(12 − x2)y) 
⇔ x2 − y = x.√12 − y − √(12 − x2)y (3) 
Kết hợp giữa (1) và (3) ta có: 
















22
2
2
x12y
0x
2
xy12
)yx(12
2
12yx
y12x
Cách xử lý này có lẽ sẽ ít được nghĩ đến, vì khó có thể định hình được rằng sẽ tạo ra được một hệ phương 
trình với hai ẩn {
x√12 − y
√(12 − x2)y
 . 
 Xử lý phương trình (2). 
Sau khi đã xử lý xong phương trình (1) bằng một trong số các cách giải quyết trên, kết quả thu được là: 
y = 12 − x2 
Đem thế vào phương trình (2), chúng ta thu được một phương trình vô tỉ không mấy dễ nhìn: 
x3 − 8x − 1 = 2√10 − x2 
Đến đây, chúng ta sẽ tiến hành “ép nghiệm” để giải quyết bài toán. Ngoài ta chúng ta còn có thể giải quyết 
bài toán bằng cách “khảo sát hàm số”; cách này sẽ được trình bày ở những phần sau: 
x3 − 8x − 1 = 2√10 − x2 ⇔ (x3 − 8x − 3) − (2√10 − x2 − 2) = 0 
⇔ (x − 3) [x2 + 3x + 1 +
2(x + 3)
√10 − x2 + 1
] = 0 
Do x ≥ 0 nên x2 + 3x + 1 +
2(x + 3)
√10 − x2 + 1
> 0 
Vậy là bài toán đã được giải quyết hoàn toàn bằng nhiều hướng suy nghĩ hoàn toàn khác nhau. 
Bài giải chi tiết 
 Biến đổi phương trình (1). 
 Cách 1: Bất đẳng thức Cô-si: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số không âm ta có: 
x√12 − y ≤ |x|√12 − y ≤
x2 + 12 − y
2
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
4 
√y. (12 − x2) ≤
y + 12 − x2
2
Cộng theo vế 2 bất đẳng thức lại, ta có: 
x√12 − y + √y. (12 − x2) ≤
x2 + 12 − y
2
+
y + 12 − x2
2
= 12 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: {
x = |x|
x2 = 12 − y
⟺ {
x ≥ 0
y = 12 − x2
 Cách 2: Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki: 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 
[√12 − y. x + √y. (12 − x2)]
2
≤ (x2 + 12 − x2)(12 − y + y) = 144 
⇒ x√12 − y +√y. (12 − x2) ≤ 12 
Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi: 
x
 √12 − x2
=
√12 − y
√y
⟺ x√y = √(12 − x2)(12 − y) 
⇔ {
x ≥ 0
x2y = (12 − x2)(12 − y)
⟺{
x ≥ 0
y = 12 − x2
 Cách 3: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: 
Đặt a = √12 − y, ta có: 
 x. a + √(12 − x2)(12 − a2) = 12 
⇔ √(12 − x2)(12 − a2) = 12 − xa 
⇔ {
12 ≥ x. a
(12 − x2)(12 − a2) = (12 − xa)2
⇔ {
12 ≥ x. a
(x − a)2 = 0
⟺ {
x. a ≤ 12
x = a
⇒ x = √12 − y ⇒ {
x > 0
x2 = 12 − y
 Cách 4: Nhân biểu thức liên hợp: 
- TH1: Nếu x. √12 − y = √(12 − x2)y 
Từ phương trình (1) ta suy ra: 
x. √12 − y = √(12 − x2)y = 6 
⇔ {
x > 0
x2(12 − y) = 36
y(12 − x2) = 36
⟺ {
x > 0
x2 = y = 6
Thử lại không thỏa mãn phương trình (2): 
- TH2: x. √12 − y − √(12 − x2)y ≠ 0 
Nhân cả 2 vế phương trình 1 với x. √12 − y − √(12 − x2)y ta được: 
[x. √12 − y + √(12 − x2)y] [x. √12 − y − √(12 − x2)y] = 12 [x. √12 − y − √(12 − x2)y] 
⇔ x2(12 − y) − (12 − x2)y = 12 [x. √12 − y − √(12 − x2)y] 
⇔ x2 − y = x.√12 − y − √(12 − x2)y (3) 
Kết hợp giữa (1) và (3) ta có: 
{
 x√12 − y =
x2 − y + 12
2
√(12 − x2)y =
12 + y − x2
2
⟺ {
x ≥ 0
y = 12 − x2
 Biến đổi phương trình (2). 
Thay y = 12 − x2 vào phương trình (2) ta được: 
 x3 − 8x − 1 = 2√10 − x2 
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
5 
⇔ (x3 − 8x − 3) − (2√10 − x2 − 2) = 0 
⇔ (x − 3) (x2 + 3x + 1 +
2(x + 3)
√10 − x2 + 1
) = 0 
Do x ≥ 0 nên x2 + 3x + 1 +
2(x + 3)
√10 − x2 + 1
> 0 
Suy ra x = 3. Từ đó suy ra y = 3. Thay vào thỏa mãn đề bài. Vậy x = y = 3 
 Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {
x = 3
y = 3
 Nguồn gốc: Chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng, bài toán này được ta ra dựa trên tinh thần của 
việc sử dụng Bất đẳng thức; nếu bắt nguồn ý tưởng từ cách 3 và 4 thì khó lòng mà căn chỉnh sao cho sẽ tạo 
ra được các kết quả như ý muốn. 
Vậy là chúng ta đã theo dõi xong. Suy nghĩ của bạn bây giờ cảm thấy thế nào? Quyển sách này khác 
những quyển sách khác về Hệ phương trình mà bạn đã từng đọc qua ở điểm nào? Những điều này chắc hẳn 
mỗi người sẽ có một câu trả lời cho riêng mình. Và tôi xin nói với bạn rằng, khi bạn đã cầm quyển sách này 
lên trên tay, có nghĩa là bạn có duyên với quyển sách, và không nên lãng phí duyên nợ này. Tôi tin chắc bạn 
sẽ không cảm thấy thất vọng trong quá trình sử dụng quyển sách này như những quyển sách đã từng làm 
bạn thất vọng trước đây! Các bạn hãy coi chúng tôi như là một người bạn vô hình để có thể chỉ đường, dẫn 
lối cho các bạn khi các bạn gặp phải vướng mắc trong quá trình sử dụng quyển sách! 
Quyển sách này trình bày đa số các bài tập theo một khung mẫu: Đề bài – Hướng dẫn – Bài giải chi 
tiết – Nguồn gốc. Các bài tập trong sách đều được nêu rõ nguồn gốc xuất xứ để tạo ra (nếu có). Việc này có 
tác dụng gì trong quá trình luyện thi? Chúng tôi sẽ định hướng lời giải trước trong phần Hướng dẫn, sau đó 
tiến hành giải chi tiết bài toán trong phần Bài giải chi tiết, cuối cùng là nêu ra Nguồn gốc và cách để có thể 
tạo ra một bài toán như vậy. Tác dụng của phần Nguồn gốc lớn hơn nhiều so với phần Bài giải chi tiết; vì khi 
đã biết được nguồn gốc xuất xứ và cách tạo ra bài toán, bạn không những có thể giải được bài toán một cách 
chuẩn xác, mà còn có thể hiểu được rõ bản chất của bài toán và có thể tạo ra vô số các bài toán tương tự 
khác để phục vụ luyện tập thêm. Đôi khi bạn còn có thể biến tấu một hoặc một số thành phần nào đó của 
quá trình tạo ra bài toán để có thể tạo ra một bài toán có hình dạng khác đi so với bài toán ban đầu; điều 
này có tác dụng rất lớn để hình thành phản xạ giải toán của bản thân bạn. Bạn sẽ không thấy quá bỡ ngỡ khi 
người ra đề chỉ biến đổi đôi chút những đề bài cũ; vì bạn đã “đi guốc trong bụng” họ rồi. 
 Về cách sử dụng quyển sách làm sao cho đạt được hiệu quả cao nhất có thể, tôi xin nêu ra một 
cách thức sử dụng quyển sách này, bao gồm hai loại hình là Cá nhân và Nhóm! Các bạn có thể tham khảo 
hoặc tự tìm ra cho mình cách sử dụng cuốn sách sao cho hiệu quả nhất đối với bản thân. 
 Về mặt cá nhân: Bạn nên đọc qua hết phần lý thuyết tôi nêu ra ở đầu những phương pháp. Khi 
nghiên cứu các ví dụ, bạn không nên xem ngay những phần diễn thuyết của tôi bên dưới đề bài, việc làm 
này sẽ làm hạn chế tư duy của bạn nếu bạn quá làm dụng vào lời giải. Bạn nên nháp để tìm lời giải cho riêng 
mình, vì không có gì có thể tốt bằng lời giải do chính bạn tự thân nghĩ ra! Khi không nghĩ được ra lời giải 
cho riêng mình, bạn có thể xem phần Hướng dẫn. Bạn nên xem từ từ, vừa xem vừa nghĩ xem suy nghĩ của 
mình bị mắc ở chỗ nào mà không thể giải được; vì có thể suy nghĩ của bạn bị mắc ở một chi tiết nào đó mà 
chúng tôi nêu ra trong phần hướng dẫn. Sau khi đọc xong phần hướng dẫn, thay vì đọc tiếp Bài giải chi tiết, 
bạn nên tự mình tìm lời giải cho bài toán trên tinh thần đã đọc và hiểu phần Hướng dẫn. Khi vẫn gặp vướng 
mắc trong quá trình trình bày lời giải, bạn có thể xem phần Bài giải chi tiết. Phần này cũng nên xem từ từ 
xem mình đang mắc ở chỗ nào. Sau khi đã tiếp thu được lời giải chuẩn của bài toán, bạn nên tự trình bày lại 
lời giải của bài toán theo ý mình; hoặc cũng có thể tự tìm cho mình một cách giải quyết khác cho bài toán. 
Nếu bạn có thể tìm được thì đó là một điều rất đáng quý! Cuối cùng, khi đã trình bày xong, bạn hãy nên suy 
nghĩ xem “do đâu mà lại có những bài toán như vậy, người ra đề tạo ra bài toán này như thế nào, liệu có thể 
tạo ra những bài toán tương tự cùng những biến thể khác không,.?”! Rồi bạn hãy trình bày các suy nghĩ đó 
của bạn về bài toán ra một chỗ riêng. Sau khi đã xong (hoặc chưa nghĩ ra được nguồn gốc), các bạn hãy xem 
phần Nguồn gốc được nêu ra ở sau cùng của bài toán để xem suy nghĩ của chúng ta có giống nhau không! 
Bạn có thể tiếp thu thêm được các khía cạnh về nguồn gốc mà tôi đã nêu ra, hoặc cũng có một số khía cạnh 
khác về nguồn gốc của bài toán mà tôi không biết nhưng bạn lại tự mình tìm ra được! 
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
6 
- Về mặt nhóm: Các bạn có thể tự lập ra cho mình một nhóm các bạn cùng sử dụng sách để có 
thể luyện tập thêm được nhiều hơn nữa (lợi ích ngoài lề là rèn khả năng làm việc nhóm). Các bạn sẽ 
cùng nhau sử dụng quyển sách này, mỗi bạn sẽ phải hoàn thành phần “cách thức sử dụng theo cá 
nhân” mà tôi đã trình bày ở trên. Sau đó, mỗi bạn hãy tạo ra nhiều đề bài tương tự đi kèm các biến 
thể do bạn tùy chỉnh, rồi gửi cho nhau làm; người này sẽ làm ví dụ do người khác đặt ra. Càng nhiều 
người thì càng có nhiều biến thể xuất hiện. Và đương nhiên cũng không nên biến thể bài toán thành 
“quá khích” mà biến nó thành đánh đố! Điều này không có chút tác dụng nào trong việc luyện tập, 
dễ gây tâm lý sợ sệt khi giải toán! 
1. Loss leaves us empty - but learn not to close your heart and mind in grief. Allow life to replenish you. 
When sorrow comes it seems impossible - but new joys wait to fill the void. 
Sự mất mát khiến chúng ta trống rỗng - nhưng hãy học cách không để sự đau khổ đóng lại trái tim và tâm hồn 
mình. Hãy để cuộc đời đổ đầy lại bạn. Dưới đáy u sầu, dường như điều đó là không thể - nhưng những niềm vui 
mới đang chờ đợi để lấp đầy khoảng trống. 
___Pam Brown___ 
2. Love begins with a smile, grows with a kiss, and ends with a teardrop. 
Tình yêu bắt đầu với nụ cười, lớn lên với nụ hôn, và kết thúc bằng giọt nước mắt. 
___Khuyết danh___ 
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
7 
Phản xạ hệ phương trình 
 Cuốn sách này là sự đúc kết rất nhiều kinh nghiệm, kỹ năng và tất cả “mẹo” của các anh chị sau 
nhiều năm gắn bó với HPT. Đây có đây sẽ là một trong những cuốn sách HPT hay, đầy đủ, chi tiết và mang 
nhiều tâm huyết tình cảm của những người viết nhất hiện nay. Nhưng giữa vô vàn những phương pháp đã 
được phân tích, trình bày ở đây, khi gặp một HPT bất kì chắc hẳn thật khó khăn để lựa chọn được một 
phương pháp để sử dụng. Đầu tiên là có thể giải được bài toán và hơn cả là sẽ giải bài toán một cách thật 
“đẹp”. Chính vì lí do ấy, bài viết này nhằm cung cấp cho các em một cách nhìn tổng quan nhất, một lối tư duy 
logic nhất khi tìm kiếm lời giải cho một HPT bất kì. Bài viết này nhằm hướng dẫn cho các em cách quan sát, 
tư duy và đưa ra những nhận định, đánh giá và rút ra chìa khóa của bài toán. Do đó bài viết chưa thực sự 
đầy đủ các phương pháp (PP). Vì vậy các em hãy tự rèn luyện để hình thành một “PHẢN XẠ” nhanh và đầy 
đủ nhất của riêng mình! 
 Bài viết này gồm 2 phần: 
A. Điểm lại một số phương pháp thường dùng nhất trong đề thi Đại Học, Học Sinh Giỏi. 
B. Tư duy giải Hệ Phương Trình 
A. Tổng quan một số phương pháp giải hệ phương trình 
Trong đề thi đại học có một số PP thường gặp: 
- Phân tích thành nhân tử. 
- Đặt ẩn phụ. 
- Hàm số. 
Vì một số phương pháp như phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ đã được đề cập đến rất chi tiết trong 
cuốn sách này cũng như hầu hết cái tài liệu về Phương trình, Hệ phương trình và đã quá quen thuộc. Cùng 
với xu hướng hiện nay của đề thi khá “ưu ái” cho phương pháp hàm số nên ở đây tôi xin trình bày một số 
điểm chú ý về các phương pháp khác và tập trung kĩ hơn ở phương pháp hàm số. 
1. Phân tích thành nhân tử 
Chỉ xin đề cập tới 2 phương pháp thường gặp nhất: 
- Phương pháp nhẩm nghiệm, đặc biệt là dùng máy tính để nhẩm nghiệm như đã trình bày ở phần Phụ lục 
2: Hướng tư duy PNĐ. 
- Phương pháp dùng phương trình bậc 2 để giải Hệ phương trình: 
Đây là một phương pháp khá hữu ích trong các bài Hệ phương trình ở mức độ thi đại học. 
* Đặc điểm nhận dạng: Khi trong Hệ phương trình có xuất hiện phương trình bậc 2 với 1 ẩn (giả sử là ẩn x), 
ta xem đây là phương trình bậc 2 ẩn x, tham số y và giải bình thường như một phương trình bậc 2. 
Lưu ý: Nếu tính ∆ mà không biểu diễn được dưới dạng bình phương thì phương pháp này không dùng 
được. 
Nhận thấy phương trình (1) bậc 1 với cả x và y, phương trình (2) bậc 3 với x, bậc 2 với y. Do đó xem (2) là 
phương trình bậc 2 với y, x là tham số: 
(2) ⇔ y2 − (x2 + 2x + 1)y + (2x3 + x2) = 0 
I (D–2012) Giải hệ phương trình: {
xy + x − 2 = 0 (1)
2x3 − x2y + x2 + y2 − 2xy − y = 0(2)
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
8 
∆= (x2 + 2x + 1)2 − 4. (2x3 + x2) = (−x2 + 2x + 1)2 
Do đó PT (2) có 2 nghiệm: [
y = x2
y = 2x + 1
+ Với y = x2 hệ phương trình đã cho tương đương với: {
xy + x − 2 = 0
y = x2
⇔ {
x3 + x − 2 = 0
y = x2
⇔ {
x = 1
y = 1
+ Với y = 2x + 1 hệ phương trình đã cho tương đương với: 
{
xy + x − 2 = 0
y = 2x + 1
⇔ {
(2x + 1)x + x − 2 = 0
y = 2x + 1
⇔ {
2x2 + 2x − 2 = 0
y = 2x + 1
⇔
[
{
x =
−1 + √5
2
y = √5
{
x =
−1 − √5
2
y = −√5
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: 
1 5 1 5
1
2 2
1
5 5
x x x
y
y y
; ; 
Đây cũng chính là cách xử lý mà tôi muốn nói đến trong ví dụ 6 trong phần Phân tích thành nhân tử - Nhân 
liên hợp – Hằng đẳng thức. Các bạn có thể tham khảo hướng xử lý khác tại đó. 
2. Đặt ẩn phụ 
Phương pháp này rất quen thuộc, đặc biệt chú ý đến Phương pháp chia để làm xuất hiện ẩn phụ: 
Kĩ thuật này có 1 số dấu hiệu nhận dạng như phương trình có các tích xy, x2 y2, f(x)g(y) tuy nhiên tất 
cả các dấu hiệu này đều không đặc trưng mà chủ yếu dựa trên kinh nghiệm và tư duy của người giải. Do đó 
hãy tự làm một số ví dụ và rút ra kinh nghiệm cho mình: 
1) {
x2 + 1 + y(y + x) = 4y
(x2 + 1)(y + x − 2) = y
 2) {
1 + x3y3 = 19x3
y + xy2 = −6x2
3) {
x(x + y + 1) − 3 = 0
(x + y)2 −
5
x2
+ 1 = 0
(D − 2009) 
4) {
(x4 − 2x3 + x2)(1 + y2 − 2y) = 16y
2x2y − 2xy + y2 − 10y + 1 = 0
Cách xác định biểu thức đem chia sẽ được giới thiệu trong Phương pháp Đặt ẩn phụ. 
3. Hàm số 
*Cơ sở lý thuyết: 
Với f(x) và g(x) là 2 hàm số liên tục trên 𝔻 ta có: 
1. Hàm số f(x) đơn điệu trên 𝔻 thì: 
+) f(x) = a có không quá 1 nghiệm trên 𝔻 (nếu f(α) = a thì x = α (α ∈𝔻)) 
+) f(u) = f(v)  u = v ∀ u, v ∈ 𝔻. 
2. f(x) và g(x) đơn điệu và ngược chiều biến thiên trên 𝔻 thì f(x) = g(x) có không quá 1 nghiệm trên 𝔻. 
3.+) f(x) đồng biến trên 𝔻 thì f(u) > f(v)  u > v ∀ u, v ∈𝔻. 
+) f(x) nghịch biến trên 𝔻 thì 
f(u) > f(v)⇔ u < v ∀ u, v ∈ 𝔻 
*Phương pháp làm: 
- Từ Hệ phương trình biến đổi về dạng f(u) = f(v) 
- Chứng minh hàm đặc trưng f(t) đơn điệu trên 𝔻. Suy ra f(u) = f(v) ⇔ u = v 
- Từ u=v kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ phương trình để giải Hệ phương trình. 
*Những chú ý khi làm bài bằng phương pháp này: 
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
9 
1. Cố gắng cô lập biến để chuyển phương trình thành F(x) = G(y) nếu có thể. 
Cô lập biến phương trình (1): (1) ⇔ (x + 2)√x2 + 4x + 7 + x + 2 = −y√y2 + 3 − y 
2. Nếu có thể, hãy cố định một vế làm hàm đặc trưng và biến đổi vế còn lại theo hàm đặc trưng này 
Xét tiếp ví dụ II sau khi cô lập biến ta được PT (1)⇔ (x + 2)√x2 + 4x + 7 + x + 2 = (−y)√(−y)2 + 3 +
(−y) 
Dế thấy VP đơn giản và gọn hơn. Do đó cố định VP và chọn f(t) = t√t2 + 3 + t là hàm đặc trưng. 
Khi đó VP = f(−y). 
Ta tìm cách biến đổi VT về dạng f(u(x)). 
Dễ thấy ở đây u(x) = x + 2 khi đó VT = (x + 2)√(x + 2)2 + 3 + (x + 2) = f(x + 2) 
Phương trình trở thành f(x + 2) = f(−y) 
Bài giải chi tiết 
{
(x + 2)√x2 + 4x + 7 + y√y2 + 3 + x + y + 2 = 0 (1)
√x2 + y + 1 = x − y + 1 (2)
Điều kiện: {
x − y + 1 ≥ 0
x2 + y + 1 ≥ 0
(∗) 
Với x; y thỏa mãn (∗): (1) ⇔ (x + 2)√x2 + 4x + 7 + x + 2 = (−y)√(−y)2 + 3 + (−y)(3) 
Xét hàm số f(t) = t√t2 + 3 + t trên ℝ có f ′(t) = √t2 + 3 +
t2
√t2 + 3
+ 1 > 0∀ t ∈ ℝ. 
Do đó f(t)đồng biến trên ℝ. 
Lại có (3) ⇔ f(x + 2) = f(−y) ⇔ x + 2 = −y ⇔ y = −x − 2 
Kết hợp với phương trình (2)ta được {
y = −x − 2
√x2 + (−x − 2) + 1 = x − (−x − 2) + 1
⇔ {
y = −x − 2
√x2 − x − 1 = 2x + 3
⇔ {
y = −x − 2
2x + 3 ≥ 0
x2 − x − 1 = 4x2 + 12x + 9
⇔ {
x = −1
y = −1
Kết hợp với điều kiện (∗)ta suy ra hệ phương trình có nghiệm (−1;−1). 
3. Tìm các dấu hiệu đối xứng: bậc, căn bậc 2, bậc 3, hệ số 
Kí hiệu: deg(f(x)): bậc của hàm f(x) 
VD: deg(x2 + 3x − 1) = 2, deg(√x + 1) =
1
2
 .. 
II Giải hệ phương trình: {
(x + 2)√x2 + 4x + 7 + y√y2 + 3 + x + y + 2 = 0 (1)
√x2 + y + 1 = x − y + 1 (2)
III 
Giải hệ phương trình: {
2x + 4x√1 + 4x2 −√y = 2√y + y2(1)
 3x2 +√y + 3 = √y (2)
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
10 
Chương I: Bổ sung kiến thức khi giải hệ phương trình 
Hệ phương trình gồm hai hay nhiều phương trình (thường là hai). Thực chất của việc đi giải hệ 
phương trình là việc tìm ra liên hệ giữa hai phương trình trong hệ với nhau. Ta có thể làm việc đó bằng cách 
xử lý từng phương trình riêng lẻ, hoặc là xử lý đồng thời cả hai phương trình. Để có thể xử lý được thì ta 
cần phải được trạng bị những phương pháp biến đổi cơ bản khi giải hệ phương trình. Bước cuối cùng của 
việc giải hệ phương trình là việc giải phương trình. Các kỹ thuật giải phương trình cũng cần được đầu tư và 
chú ý. Tôi sẽ không đề cập đến những thứ quá cơ bản, mà chỉ đề cập đến những thứ thực sự cần thiết, tránh 
gây dài dòng nhiều chữ. 
 Trong phần này, chúng tôi sẽ lần lượt trình bày theo các phần sau: 
 BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA. 
I: BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG LẬP PHƯƠNG. 
II: LƯỢNG GIÁC HÓA. 
 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN. 
I: DẠNG ĐẶC BIỆT. 
II: DẠNG TỔNG QUÁT (ĐỌC THÊM). 
 BÀI 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ - NHÂN LIÊN HỢP – HẰNG ĐẲNG THỨC. 
 BÀI 4: CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC. 
I: ÉP NGHIỆM. 
II: KHẢO SÁT HÀM SỐ. 
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
11 
Bài 1: Phương trình bậc ba 
Như các bạn đã biết, không có công thức nghiệm cho phương trình bậc ba trong chương trình 
THPHƯƠNG TRÌNH; do đó nếu trong quá trình giải mà bạn chẳng may gặp phải một phương trình bậc ba 
thì chắc chắn rằng phương trình đó luôn có thể giải được bằng những kiến thức của THPHƯƠNG TRÌNH 
(với điều kiện là đề bài không được nhầm lẫn). Ở đây ta chỉ đề cập đến những phương trình bậc ba không 
có nghiệm hữu tỉ (hoặc không nhẩm được nghiệm). Khi gặp những phương trình đó, ta có thể đánh giá nó 
vô nghiệm trong tập xác định, lượng giác hóa, biến đổi hai vế về dạng lập phương,. 
Việc đánh giá phương trình bậc ba vô nghiệm trong tập xác định thực ra chỉ là khảo sát hàm số bậc 
ba đó trên miền xác định; rồi từ bảng biến thiên, ta sẽ có thể suy ra phương trình vô nghiệm trong tập xác 
định cho trước. 
I: Biến đổi hai vế về dạng lập phương 
Cách làm của phương pháp này là đưa phương trình bậc ba đã cho về một đẳng thức có dạng A3 = 
B3 (với A và B là hai đa thức cùng một biến). Cách làm này tưởng chừng như quá cơ bản, nhưng sự thật là 
rất ít học sinh nghĩ đến phương pháp này khi gặp một phương trình bậc ba không có khả năng nhẩm nghiệm! 
Hướng dẫn: 
Chắc chắn là việc cố gắng tìm nghiệm chẵn cho phương trình này đã phá sản khi mà máy tính không 
thể cho ra nghiệm chẵn ở cả phần Equation và Solve. Điều này khiến đa số các bạn chán nản. Nhưng thực 
chất của bài toán là đây: 
Phương trình ⇔ 3x3 = −6x2 + 12x − 8 
⇔ 4x3 = x3 − 6x2 + 12x − 8 
⇔ 4x3 = (x − 2)3 
⇔ x− 2 = x√4
3
⇔ x =
2
1 − √4
3 
Với cái nghiệm lẻ thế kia thì máy tính không hiển thị chính xác cũng là đúng thôi. Nhưng chúng ta lại có thể 
hiển thị chính xác nghiệm đó trong bài giải! Điều đó chứng tỏ chúng ta có tư duy! Chúng ta nhận thấy rằng 
diễn biến hệ số trong phương trình là (3; 6; -12; 8); diễn biến này có nét giống với diễn biến hệ số của khai 
triển (x − 2)3. Do đó, ta sẽ nhóm để tạo ra (x − 2)3. Thật may mắn khi mà vế kia cũng là một lập phương. 
⇒ Để có thể sử dụng được phương pháp này trong giải phương trình bậc ba thì điều quan trong và 
bắt buộc là diễn biến hệ số của ba số cuối phải là thành phần của một khai triển lập phương (trong trường 
hợp diễn biến hệ số của ba số đầu trùng với hệ số trong khai triển lập phương thì bài toán lại không có gì 
đáng nói). 
Nguồn gốc: Bài toán trên có thể tạo ra không khó. Người ra đề sẽ đi từ biểu thức A3 = B3 (với A và B 
là hai hàm bất kỳ cùng biến số). Đương nhiên phương trình A = B phải luôn có thể giải được. Để bài toán 
trở nên khó khăn, người ra đề sẽ nắn để cho phương trình A = B có nghiệm lẻ. 
Ví dụ như (x + 1)3 = 2x3⇔ x3 − 3x2 − 3x − 1 = 0 là một sản phẩm của quá trình. 
Bạn hãy thử sức với bài tập tương tự sau. 
Hướng dẫn: 
Sau khi quy đồng, bạn sẽ nhìn thấy diễn biến hệ số là (3; 3; 1). 
1
4
1 
( Trích 90 đề toán tập 2 – GSTT): Giải phương trình: 3x3 + 6x2 − 12x + 8 = 0 1 
2 Giải phương trình: x3 − x2 − x =
1
3
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
12 
Nghiệm: x =
1
√4
3
− 1
II: Lượng giác hóa 
Tinh thần của phương pháp này xoay quanh hai công thức lượng giác sau (thực chất chỉ cần sử dụng 
một): { sin3x = 3 sin x − 4 sin
3 x
cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x
. Nếu ta đặt {
t = sin x
t = cos x
 thì từ phương trình bậc ba với ẩn t, ta có thể đưa về 
phương trình lượng giác đơn giản. Để cụ thể, ta xét ví dụ sau. 
Hướng dẫn: 
Việc tìm nghiệm hữu tỉ trong phương trình trên là không thể, vì Equation hiển thị đúng 3 nghiệm 
vô tỉ! Nên chắc chắn ta chỉ có thể giải bằng phương pháp nhẩm nghiệm thông thường. Việc đưa hai vế về 
dạng lập phương cũng không có kết quả, vì không có hạng tử bậc hai. Với hướng làm Lượng giác hóa, tuy 
rằng diễn biến bậc của phương trình đã thỏa mãn (3; 1), nhưng diễn biến hệ số của phương trình không 
phải (4; -3); vậy nên ta sẽ phải tạo ra diễn biến hệ số (4; -3). Muốn vậy, ta sẽ đặt x = acos t rồi đi tìm a để 
có được diễn biến hệ số thích hợp. Tuy nhiên, do |cos t| ≤ 1 nên giá trị tuyệt đối của tất cả các nghiệm không 
được vượt quá |a|. 
a3 cos3 t − 3a cos t = α(4 cos3 t − 3 cos t) 
Điều này tương đương với 
a3
3a
=
4
3
⇒ a = 2. Vậy ta có lời giải như sau: 
Bài giải chi tiết 
3 Giải phương trình: x3 − 3x + 1 = 0 
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
13 
Chương II: Các phương pháp giải hệ phương trình 
Giải hệ phương trình là tìm mối liên hệ giữa hai phương trình với nhau. Ngoài những hệ phương 
trình có phương pháp giải tổng quát như các hệ đối xứng, hệ đẳng cấp thì có nhiều phương pháp được biểu 
diễn dưới nhiều bài toán khác nhau; nhưng tóm gọn lại cũng chỉ là những phương pháp: thế, đặt ẩn phụ, 
khảo sát hàm đại diện,. Bằng việc sử dụng các biến đổi như: đưa về phương trình tích, dùng hằng đẳng 
thức, nhân liên hợp, cân bằng bậc – hệ số,.... 
 Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày tất cả các phương pháp để giải quyết một hệ phương trình. 
Bao gồm các phương pháp thường xuyên được sử dụng trong các đề thi thử và đề thi Đại học. 
 BÀI 1: CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN. 
I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP. 
II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I. 
III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II. 
 BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH 
I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT BẬC HAI. 
II: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT BẬC CAO. 
 BÀI 3: PHƯƠNG PHÁP THẾ. 
 BÀI 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ. 
 BÀI 5: PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐẠI DIỆN. 
 BÀI 6: PHƯƠNG PHÁP ẢO HÓA (PHỨC HÓA). 
 BÀI 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ (HOẶC BẤT ĐẲNG THỨC). 
 Chân lý cuối cùng của ở cuộc đời này là tình yêu có nghĩa là sống và sống là yêu. 
___Voltaire ___ 
Read more: 
yeu.html#ixzz3kdzbfRmt 
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
14 
Bài 1: Các hệ phương trình cơ bản 
I- Hệ phương trình đẳng cấp 
Đây là những hệ phương trình mà ta sẽ có thể nhận ra được sự tồn tại của những yếu tố đồng bậc 
xuất hiện ở cả hai phương trình. Sự đẳng cấp ở đây có thể là tương đồng về bậc ở hai vế tương ứng của hai 
phương trình, hoặc là tương đồng về sự lệch bậc giữa hai vế của từng phương trình. Cách đơn giản nhất để 
giải quyết những hệ phương trình này là thực hiện nhân theo vế hai phương trình cho nhau để cân bằng 
bậc, hoặc cũng có thể chia theo vế hai phương trình cho nhau rồi tiến hành đưa phương trình thu được về 
một ẩn. 
Hướng dẫn: 
Cái nhìn đầu tiên của chúng ta khi gặp hệ trên là từng vế tương ứng của hai phương trình là đồng 
bậc với nhau. Nên nếu ta tiến hành nhân để cân bằng bậc thì sẽ đưa về phương trình đẳng cấp, và có thể 
đơn giải biểu diễn x theo y (hoặc ngược lại). Cụ thể, ta sẽ nhân vế bậc cao của phương trình này với vế bậc 
thấp của phương trình kia. 
Bài giải chi tiết 
Nhân chéo theo vế hai phương trình trong hệ với nhau, ta được: 
Phương trình ⇔ 5x2(x2 − y2) = 12y2(x2 + y2) ⇔ 5x4 − 17x2y2 − 12y4 = 0 
⇔ (5x2 + 3y2)(x − 2y)(x + 2y) = 0 ⇔ [
x = 2y
x = −2y
 Với x = 2y; (1) ⇔ 2y. 3y2 = 6y ⇔ [
y = 0 ⇒ x = 0
y = ±1 ⇒ x = ±2
 Với x = −2y; (1) ⇔ −2y. 3y2 = 6y ⇔ y = 0 ⇒ x = 0 
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm là: {
x = 0
y = 0
; {
x = 2
y = 1
; {
x = −2
y = −1
Lưu ý: Ta cũng có thể giải bằng cách chia tương ứng hai vế của hai phương trình cho nhau rồi tiến 
hành đặt ẩn t = x
y
. Tuy nhiên để làm được theo cách này thì ta phải xét trường hợp y = 0. Do đó cách làm 
này sẽ rườm rà hơn cách trên. 
 Nguồn gốc: Việc tạo ra một đề bài như trên không hề khó khăn; ta sẽ đi từ một phương trình bậc cao 
bất kỳ (và phải giải được) rồi thêm một ẩn nữa vào để nó thành đẳng cấp; cuối cùng là tách thành hai phương 
trình theo ý bạn muốn! 
Ví dụ như t3 − 5t2 − 2t + 6 = 0 ⇔ x3 − 5x2y − 2xy2 + 6y3 = 0 
⇒ {
x3 − 5x2y = 6
y3 − xy2 = −3
Hướng dẫn: 
38 Giải hệ phương trình: 
39 Giải hệ phương trình: 
Trích đoạn Chinh phục hệ phương trình phiên bản 2.0 Lovebook.vn 
15 
Bài 3: Phương pháp thế 
Nguyên tắc để áp dụng phương pháp Thế là kết nối những cái chung tồn tại ở hai phương trình. Cái 
chung đó có thể là đã có sẵn trong đề bài; cũng có thể là bạn phải biến đổi sơ qua một vài dấu tương đươ