Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

Các dạng toán luyện thi vào lớp 10
Căn thức và biến đổi căn thức
Kiến thức cơ bản
Căn bậc hai
Căn bậc hai số học
Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a
Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
Một cách tổng quát: 
So sánh các căn bậc hai số học
 - Với hai số a và b không âm ta có: 
Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức 
Căn thức bậc hai
Với A là một biểu thức đại số , người ta gọi là căn thức bậc hai của A, A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
 xác định (hay có nghĩa) A 0
Hằng đẳng thức 
Với mọi A ta có 
Như vậy: + nếu A 0
 + nếu A < 0
Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương
Định lí: + Với A 0 và B 0 ta có: 
 + Đặc biệt với A 0 ta có 
Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích của các thừa số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau 
Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó
Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có: 
Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương a/b, trong đó a không âm và b dương ta có thể lần lượt khai phương hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai.
Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dương ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Với hai biểu thức A, B mà B 0, ta có , tức là
+ Nếu A 0 và B 0 thì 
+ Nếu A < 0 và B 0 thì 
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+ Nếu A 0 và B 0 thì 
+ Nếu A < 0 và B 0 thì 
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
- Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có 
Trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có
- Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có 
- Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có
Căn bậc ba
Khái niệm căn bậc ba:
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a
Với mọi a thì 
Tính chất
Với a < b thì 
Với mọi a, b thì 
Với mọi a và thì 
Kiến thức bổ xung
Căn bậc n
Căn bậc n () của số a là một số mà lũy thừa n bằng a
Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)
Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ
Căn bậc lẻ của số dương là số dương
Căn bậc lẻ của số âm là số âm
Căn bậc lẻ của số 0 là số 0
Căn bậc chẵn (n = 2k )
Số âm không có căn bậc chẵn
Căn bậc chẵn của số 0 là số 0
Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là và 
Các phép biến đổi căn thức.
 xác định với 
 xác định với 
 với A
 với A
 với A, B
 với A, B mà 
 với A, B
 với A, B mà 
 với A, B mà B 0
 với A, B mà B 0, 
 với A, mà 
 với A, mà 
Bất đẳng thức và bất phương trình 
Bất đẳng thức
Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f1(x), f2(x), ,fn(x) là các biểu thức bất kì
. 
Đẳng thức xảy ra khi cùng dấu
Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, , an là các số không âm, khi đó
Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 =  = an
Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1, a2, , an ) và (b1, b2, , bn ) là hai bộ số bất kì, khi đó
Đẳng thức xảy ra khi (quy ước bi == 0 thì ai = 0)
Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 hoặc 
Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai
Cho nhị thức f(x) = ax + b (a 0). Khi đó ta có.
x
- -b/a +
f(x) = ax + b
Trái dấu với a
 Cùng dấu với a
Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0). Khi đó ta có
Nếu 
x
- -b/2a +
f(x) = ax2 + bx + c
 Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a
Nếu 
x
 - x1 x2 +
f(x)
 Cùng dấu a 0 Trái dấu a	 0 Cùng dấu a 
Biến đổi tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 0). Khi đó ta có 
 với 
Nếu a > 0 thì nên 
Nếu a < 0 thì nên 
* Chú ý. Nếu (k là hằng số dương) khi đó ta có
Amin A’max
	Amax A’min
Ví dụ minh họa
Bài tập chọn lọc
Bài 1. Cho biểu thức: 
Rút gọn P
Tính giá trị của P với 
Bài 2. Cho biểu thức 
Rút gọn P
Tính giá trị của P với 
Tính giá trị lớn nhất của a để P > a
Bài 3. Cho biểu thức 
Rút gọn P
Tính giá trị của P với 
Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4. Cho biểu thức : 
Rút gọn M
Tìm x để M > 0
Tìm các giá trị củ m để có các giá trị của x thỏa mãn: 
Bài 5: Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
Rút gọn A.
Tìm x để .
Bài 6: Cho .
Rút gọn A.
Tìm x để A > -6.
Bài 7: Cho .
Rút gọn B.
Tìm x để B > 0.
Bài 8: Cho C = 
Rút gọn C.
Chứng minh rằng C < 1.
Bài 9: Cho biểu thức: 
Rút gọn A.
Tìm x để A = -15.
Bài 10: Cho biểu thức: .
Rút gọn rồi tìm giá trị của A khi a = -5.
Tìm x khi A = 15.
Bài 11: Cho biểu thức: .
Rút gọn M.
Tìm giá trị của M khi .
Tìm giá trị của x để .
Bài 12: Cho biểu thức: .
Rút gọn biểu thức A.
Tìm giá trị của x để A = 3.
Bài 13: Rút gọn biểu thức: rồi tìm giá trị của x để A = 3/2.
Bài 14: Cho biểu thức: 
Rút gọn rồi tìm giá trị của x để Q < 1.
Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên.
Bài 15: Cho biểu thức: 
 Rút gọn P.
Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
Bài 16: Cho biểu thức: 
Rút gọn Q.
Biết x > 1, hãy so sánh Q với 
Tìm x để Q = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của Q?
Bài 17. Cho biểu thức 
	, với x 0 và x9
Rút gọn P
Tìm các giá trị của x để P < -1/3
Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 18. Cho biểu thức
	 với x > 0, y > 0
Rút gọn A
Biết xy = 16. Tìm giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Bài 19. Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức A
Với giá trị nào của x thì A = -3
Bài 20: Cho biểu thức: .
Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
Tính giá trị của A khi 
Bài 21: Cho .
Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
Rút gọn A.
Bài 22: Cho .
Tìm điều kiện của x để B có nghĩa.
Tĩm x để B > 0.
Bài 23: Cho biểu thức: .
Tìm điều kiện để E có nghĩa.
Rút gọn E.
Bài 24: Cho .
Tìm điều kiện của a, b để A có nghĩa.
Rút gọn A.
Bài 25: Cho biểu thức: .
Rút gọn A.
Tìm các giá trị của x để A = 1.
Bài 26: Cho biểu thức: 
Tìm điều kiện xác định của A.
Rút gọn A.
Tìm x để A < 2.
Bài 27. Xét biểu thức 
Rút gọn B
Tìm các giá trị của a sao cho B > 1
Tính giá trị của B nếu 
Bài 28. Xét biểu thức
Rút gọn A
Cho giá trị của biểu thức A sau khi đã rút gọn bằng . Chứng minh rằng a/b = 9/10
Bài 29. Xét biểu thức
Rút gọn P
Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0
Tìm các giá trị của x để |P| = 1
Bài 30. Cho biểu thức 
Rút gọn A
Tính giá trị của A khi x = 2/7
Bài 31. Cho biểu thức 
Rút gọn B
Tính giá trị của x để B = -9
Bài 32: Cho biểu thức: 
Rút gọn P.
Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 33: Cho .
Rút gọn P.
Tính giá trị của P với .
Tìm giá trị lớn nhất của P.
Hệ phương trình
Kiến thức cơ bản
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c R (a2 + b2 0)
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: 
Phương trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c
Nếu a 0, b 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số 
Nếu a 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung
Nếu a = 0, b 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: trong đó a, b, c, a’, b’, c’ R 
Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
 Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có
(d) // (d’) thì hệ vô nghiệm
(d) (d’) = thì hệ có nghiệm duy nhất
(d) (d’) thì hệ có vô số nghiệm 
Hệ phương trình tương đương 
Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Quy tắc thế
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn
Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ 
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Quy tắc cộng
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau
áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (phương trình một ẩn)
Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
Hệ phương trình đưa về phương trình bậc hai
- Nếu hai số x và y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2 4P) khi đó hai số x, y là nghiệm của phương trình: x2 + SX + P = 0
Kiến thức bổ xung
Hệ phương trình đối xứng loại 1
Định nghĩa:
Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phương trình của hệ không đổi
Cách giải
Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S2 4P
Giải hệ để tìm S và P 
Với mỗi cặp (S, P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình: 
t2 – St + P = 0
Ví dụ
Giải hệ phương trình 
Hệ phương trình đối xứng loại 2
Định nghĩa
 Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại
Cách giải
Trừ vế theo vế hai phương trình trong hệ để được phương trình hai ẩn
Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm được thành phương trình tích
Giải phương trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn
Giải phương trình một ẩn vừa tìm được ròi suy ra nghiệm của hệ
Ví dụ
Giải hệ phương trình 
Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2
Định nghĩa
- Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng: 
Cách giải
Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phương trình không
Nếu x 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ
Khử x rồi giải hệ tìm t
Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x)
Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx
* Lưu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tương tự
Ví dụ
Giải hệ phương trình 
Ví dụ minh họa
Bài tập chọn lọc
Bài 1. Giải các hệ phương trình
Bài 2. Giải các hệ phương trình 
.	 
Các bài HPT có chứa tham số
Bài 1. Cho hệ phương trình
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phương trình
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 2. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình 
Có nghiệm thỏa mãn điều kiện . Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.
Bài 3. Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình 
Có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó.
Bài 4. Cho hệ phương trình 
Giải hệ phương trình đã cho bằng phương pháp đồ thị
Nghiệm của hệ phương trình đã cho có phải là nghiệm của phương trình 3x - 7y = - 8 không ?
Nghiệm của hệ phương trình đã cho có phải là nghiệm của phương trình 4,5x + 7,5y = 25 không ? 
Bài 5. Cho hai đường thẳng (d1): 2x - 3y = 8 và (d2): 7x - 5y = -5
	Tìm các giá trị của a để đường thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2)
Bài 6. Cho ba đường thẳng
	(d1): y = 2x - 5 (d2): y = 1 (d3): y = (2m - 3)x -1
	Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng đồng quy
Bài 7. Cho hệ phương trình 	
Tìm các giá trị của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
Bài 8. Tìm các giá trị của a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(-5; -3) và điểm B(3; 1)
Bài 9. Tìm các giá trị của m để
Hệ phương trình: có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
Hệ phương trình: có nghiệm thoả mãn điều kiện x > 1, y > 0
Bài 10. Cho hệ phương trình 
Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm x, y là các số nguyên
Bài 11. Cho hệ phương trình 
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xy đạt giá trị lớn nhất 
Bài 12. Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức 
	P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) và (x + 2). 
Bài 13. Cho hệ phương trình 
	Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn nhất 
Bài 14. Cho hệ phương trình 
	 m, n là các tham số
	a. Giải và biện luận hệ phương trình 
	b. trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
Bài 15. Tìm a và b để hệ phương trình sau có nghiệmcó nghiệm với mọi giá trị của tham số m
Bài 16. Tìm tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
Bài 17. Biết cặp số (x, y) là nghiệm của hệ phương trình: 
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y).
Bài 18. Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phương trình: Xác định giá trị của tham số a để hệ thỏa mãn tích xy nhỏ nhất.
Bài 19. Cho hệ phương trình: 
Giải và biện luận hệ phương trình biết rằng x, y là độ dài các cạnh của một hình chữ nhất.
Bài 20. Cho hệ phương trình: 
Giải và biện luận theo tham số m.
Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên.
Bài 21. Cho hệ phương trình: (m là tham số).
Giải và biện luận theo m.
Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dương.
Bài 22. Cho hệ phương trình: 
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 23 Cho hệ phương trình: 
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn nhất.
Bài 24. Cho hệ phương trình: 
Giải hệ khi m = -1.
Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1.
Bài 25. Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m: 
Bài 26. Cho hệ phương trình: 
Giải hệ khi m = 2.
Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0.
Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.
Bài 27. Cho hệ phương trình: 
Giải hệ khi m = - 3.
Giải và biện luận hệ đã cho theo m.
Bài 28. Cho hệ phương trình: (m là tham số nguyên).
Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0, y < 0.
Bài 29. Cho hệ phương trình: 
Giải và biện luận hệ đã cho.
Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức: .
Bài 30. Cho hệ phương trình: 
Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi.
Xác định m để M thuộc góc vuông phần tư thứ nhất.
Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng .
Bài 31. Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình: có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
Bài 32. Cho hệ phương trình: 
Giải và biện luận theo m.
Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên.
Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định.
Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng .
Bài 33. Giải và biện các hệ phương trình: 
a. 	b. 	c. 
Bài 34. Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình lúc m = 1.
Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số.
Bài 35. Cho hệ phương trình (m là tham số ): 
Chứng tỏ lúc m = 1, hệ phương trình có vô số nghiệm.
Giải hệ lúc m khác 1.
Bài 36. Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y - 8z +3 = 0.
Bài 37. Với giá trị nào của m, hệ phương trình: có nghiệm?
Bài 38. Cho hệ phương trình: . Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt. Tìm các nghiệm đó.
Bài 39. Cho hệ phương trình: . Xác định m để hệ phương trình có nghiệm kép.
Bài 40. Cho hệ phương trình: . Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Bài 41. Cho x, y là hai số nguyên dương sao cho: . Tìm giá trị của biểu thức: M = x2 +y2.
Bài 42. Cho hệ phương trình: 
Giải và biện luận hệ phương trình trên. 
Không giải hệ phương trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
Bài 43. Cho hệ phương trình: (a là tham số).
Giải hệ phương trình với a = 2.
Giải và biện luận hệ phương trình.
Tìm giá trị nguyên của a để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất.
Bài 44. Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết: 
A(-1; 1), B(-1; 3).
A(1; 2), B(3; 2).
A(1; 5), B(4; 3).
Bài 45. Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1). Tìm tọa độ đỉnh D của hình bình hành ABCD.
Bài 46. Cho bốn điểm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng.
Bài 47. Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2). Hãy xác định tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 48. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm, vô số nghiệm: 
Bài 49. Cho hệ phương trình: (m là tham số).
Giải hệ phương trình trên.
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0, y < 0.
Bài 50. Cho hệ phương trình: (m là tham số)
Giải hệ phương trình. 
Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên.
Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất.
Bài 51. Cho hệ phương trình: (m là tham số)
Giải hệ phương trình.
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện xy nhỏ nhất.
Bài 52. Tìm giá trị của a để hệ sau có nghiệm duy nhất: 
Bài 53. 
Tìm các giá trị nguyên của tham số a hoặc m để hệ phương trình có nghiệm là số dương, số âm.
;
Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình sau: có nghiệm x > 0 và y < 0.
Với giá trị khác 0 nào của m thì hệ phương trình: có nghiệm thỏa mãn 
Bài 54. 
Cho hệ phương trình: 
Giải hệ phương trình với a = 2.
Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất.
Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau vô nghiệm.
Phương trình
Kiến thức cơ bản
Phương trình bậc nhất một ẩn
Định nghĩa
- Phương trình có dạng ax + b = 0. Trong đó a, b R và a 0
Cách giải và biện luận
Nếu a = 0. Khi đó: + b = 0 thì phương trình có VSN
 + b 0 thì phưong trình VN
Nếu a 0. Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất x = - b/a
Phương trình bậc hai một ẩn
Định nghĩa
- Phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0. Trong đó a, b, c R và a 0
Cách giải và biện luận
Nếu a = 0. Phương tình có dạng bx + c = 0: Phương trình bậc nhất 
Nếu a 0. Khi đó (hoặc )
+ (hoặc ): Pt vô nghiệm
+ (hoặc ): Pt có nghiệm kép (hoặc )
+ (hoặc ): Pt có hai nghiệm phận biệt
	 	(hoặc )
Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì ta có thể viết
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x -x2)
Định lí Viet
Định lí thuận
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm đó là và 
Định lí đảo
Nếu hai số x và y có tổng và tích thỏa mãn thì hai số x và y là hai nghiệm của phương trình t2 - St + P = 0
 Đại 9 – Chương IV
 Phương trỡnh: ax2 + bx + c = 0 ( a # 0 )
 x1 + x2 = S ; x1.x2 = P
Phương trỡnh cú 2 nghiệm đối nhau:
   ∆ > 0 P > 0 x1.x2 < 0
 S = 0 S = 0 x1 + x2 =0
 2) phương trỡnh cú 2 nghiệm nghịch đảo:
 ∆ > 0 ∆ > 0 
 P = 1 x1.x2 = 1
 3) phương trỡnh cú 2 nghiệm cựng dấu:
 ∆ > 0 ∆ > 0
 P > 0 x1.x2 > 0 
 4) phương trỡnh cú 2 nghiệm trỏi dấu:
 ú P < 0 ú x1.x2
 5) phương trỡnh cú 2 nghiệm dương:
 ∆ > 0 ∆ > 0 
 P > 0 x1.x2 > 0
 S > 0 x1 + x2 > 0
 6) phương trỡnh cú 2 nghiệm õm:
 ∆ > 0 ∆ > 0 
 P > 0 x1.x2 > 0
 S < 0 x1 + x2 < 0
 7) phương trỡnh cú 2 nghiệm khụng dương:
 ∆ > 0 ∆ > 0 
 P > 0 x1.x2 > 0
 S < 0 x1 + x2 < 0
 8) phương trỡnh cú 2 nghiệm khụng õm:
 ∆ > 0 ∆ > 0 
 P > 0 x1.x2 > 0
 S > 0 x1 + x2 > 0
 9) Phương trỡnh cú 2 nghiệm trỏi dấu và giỏ trị tuyệt 
 đối của nghiệm dương lớn hơn giỏ trị tuyệt đối của 
 nghiệm õm.
 P < 0 x1.x2 < 0
 S > 0 x1 + x2 > 0
 10) Phương trỡnh cú 2 nghiệm trỏi dấu và giỏ trị tuyệt 
 đối của nghiệm dương nhỏ hơn giỏ trị tuyệt đối của
 nghiệm õm.
 P > 0 x1.x2 < 0
 S < 0 x1 + x2 < 0
 11) Phương trỡnh cú 2 nghiệm trỏi dấu và bằng nhau về 
 giỏ trị tuyệt đối.
 P > 0 x1.x2 < 0
 S = 0 x1 + x2 = 0
 * NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG:
 1) x12 + x2 2 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2
 2) x12 - x2 2 = (x1 + x2) . (x1 – x2) => x1 – x2 = 
 => (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1.x2
 3) (x1 + x2)2 = (x1 – x2)2 + 4x1.x2
 4) x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1.x2(x1 + x2)
 5) A2 > a (a > 0)
 ú /A/ > a ú A a
 6) A2 0)
 => /A/ < a ú - a < A < a
* Vớ dụ: 
 5) x2 > 2
 ú x 2
 6) x2 < 2
 ú - 2 < x < 2
Bài tập chọn lọc
Bài 1. Tìm các giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung
	x2 + mx + 1 = 0;	x2 + x + m = 0
Bài 2. Cho hai phương trình x2 + p1x + q1 = 0;	x2 + q2x + q2 = 0
	Chứng minh rằng nếu thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm
Bài 3. Với giá trị bào của k thì hai phương trình sau:
	2x2 + (3k + 1)x - 9 = 0;	6x2 + (7k - 1)x - 19 = 0
	Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó
Bài 4. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c
	(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0 
Bài 5. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của m ột tam giác. Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: 
a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b = 0
Bài 6. Cho ba phương trình 
	x2 + 2ax + ac = 0;	x2 - 2bx + ab - c = 0;	 x2 + 2cx + c = 0 
 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình trên có nghiệm
Bài 7. Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0. Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm nếu một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn
a(a + 2b + c) < 0
5a + 3b + 2c = 0
Bài 8. Tìm các giá trị của k để phương trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - 2 = 0 có nghiệm là số hữu tỉ.
Bài 9. Cho phương trình: 2x2 - 3x + 1 = 0. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình . Không giải phương trình hãy tìm giá trị các biểu thức sau:
	a. 	b. 	c. 	d. 
Bài 10. Cho phương trình: x2 + (2m - 1)x - m = 0
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất 
Bài 11. Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: 3x2 + 5x - 6 = 0. Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn y có các nghiệm 
	;	
Bài 12. Cho phương trình . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức
a. 
b. 
Bài 13. Cho phương trình (k – 1)x2 – 2kx + k – 4 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên, hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào k
Bài 14. Tìm các giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình:
x2 + (m - 2)x + m + 5 = 0 thỏa mãn 
x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 thỏa mãn x1 = 2x2
x2 - mx + m + 1 = 0 thỏa mãn x1x2 + 2(x1 + x2) -19 = 0
Bài 15. Cho phương trình bậc hai: mx2 - (5m - 2)x + 6m - 5 = 0
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là hai số đối nhau
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
Bài 16. Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0
	Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn 
 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó
Bài 17. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 
	2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x1x2 - 2x1 - 2x2|
Bài 18. Cho phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m 
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 19. Cho phương trình: x2 + px + q = 0
	Tìm các giá trị của p và q sao cho hai nghiệm của phương trình thỏa mãn
Bài 20. Cho phương trình bậc hai: x2 - 2x - m2 = 0 có các nghiệm x1, x2. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1, y2 sao cho:
y1 = x1 - 3, y2 = x2 - 3
y1 = 2x1 - 1, y2 = 2x2 - 1
Bài 21. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm thỏa mãn:
Bài 22. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có ít nhất một phương trình vô nghiệm
	x2 + ax + b - 1 = 0
	x2 + bx + c - 1 = 0
	x2 + cx + a - 1 = 0
Bài 23. Cho 2 phương trình: 
x2 + 2x + a = 0 (1) và (1 + a)(x2 + 2x + a) - 2(a - 1)(x2 + 1) = 0 (2)
	Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (2) vô nghiệm.
Bài 24. Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + m - 1 = 0.
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Chứng minh rằng biểu thức: A = x1(1 - x1) + x2(1 - x2) tron đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m
Bài 25. Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + 4 = 0
Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình 
Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức: 
Bài 26. Tìm các giá trị của m và n để hai phương trình sau tương đương
	x2 + (4m + 3n)x - 9 = 0.
	x2 + (3m + 4n)x + 3n = 0	
Bài 27. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2
Chứng minh rằng phương trình cx2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt
Chứng minh rằng S = x1 + x2 + x3 + x4 4
Bài 28. Cho phương trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m = 0
Biết rằng phương trình có một nghiệm x1 = 2,tìm m rồi tìm nghiệm còn lại
Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phương trình thỏa mãn bất đẳng thức 
 -2 < x1 < x2 < 4
Bài 29. Tìm a sao cho nghiệm của phương trình 
 x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + 1 = 0. 
 Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
Bài 30. Cho a, b, c là ba số dương khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau: 
 x2 + ax + b = 0
 x2 + bx + c = 0
 x2 + cx + a = 0.
Có một phương trình vô nghiệm, một phương trình có nghiệm
Bài 31. Cho biết phương trình x2 + bx + c = 0, với b, c là các số hữu tỉ có một nghiệm là . Tìm các cặp số (b, c)
Bài 32. Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương trình bậc hai: 
 (m - 2)x2 - 2(m - 1)x + m = 0. Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền là 
Bài 33. Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phương trình: mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 
 thỏa mãn điều kiện: :
Bài 34. Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số).
Tìm m để phương trình có nghiệm.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thỏa mãn x1 + 4x2 = 3.
Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.
Bài 35. Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn .
-Bài 36. Cho phương trình x2 + 5x - 1 = 0 (1)
Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là lũy thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1).
Bài 37. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a và b: 	
	(a + 1)x2 - 2(a + b)x + (b - 1) = 0.
Bài 38. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m: 	
	x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = 0.
Bài 39. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
Bài 40. Tìm giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: 	
	x2 + ax + 8 = 0 (1) và x2 + x + a = 0 (2).
Bài 41. Tìm giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm x ≥ 0: 	
	(m + 1)x2 - 2x + (m - 1) = 0.
Bài 42. Xác định m để phương trình: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 có hai nghiệm cùng âm, cùng dương, và trái dấu nhau
Bài 43. Tìm giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x3 - m(x + 1) + 1 = 0.
Bài 44. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b và c: 
x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x- b) = 0
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = 0.
Bài 45. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm nếu .
Bài 46. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm nếu 	bm = 2(c + n): 
x2 + bx + c = 0 và x2 + mx + n = 0.
Bài 47. Cho phương trình bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực α mà af(α) ≤ 0 thì phương trình có nghiệm.
Bài 48. Cho biết các phương trình ax2 + bx +2 c = 0 và ax2 + bx - c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm. Vận dụng bài 22 để chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm.
Bài 50. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình sau có nghiệm: 
Bài 51. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:	
x2 + 2x + m = 0 (1)	và x2 + mx + 2 = 0 (2).
Bài 52. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:	
x2 + (m - 2)x + 3 = 0 và 2x2 + mx + m + 2 = 0.
Bài 53. Tìm giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:	
2x2 + (3m - 5)x - 9 = 0 và 6x2 + (7m-15)x -19 = 0.
Bài 54. Tìm giá trị nguyên của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:	
2x2 + (3m - 1)x - 3 = 0 và 6x2 - (2m - 3)x - 1 = 0.
Bài 55. Tìm giá trị của m để một nghiệm của phương trình 2x2 - 13x + 2m = 0 (1) gấp đôi một nghiệm của phương trình x2 - 4x + m = 0 (2).
Bài 56. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c ≠ 0. Biết rằng các phương trình 	
x2 + ax + bc = 0(1) và x2 + bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó.
Bài 57. Cho các phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2).
Biết phương trình (1) có nghiệm dương m, 
Chứng minh rằng phương trình (2) có nghiệm n sao cho m + n ≥ 2.
Bài 58. Cho các phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2).
Tìm liên hệ giữa các số a, b, c biết rằng các nghiệm x1, x2 của phương trình (1), các nghiệm x3, x4 của phương trình (2) thỏa mãn đẳng thức: .
Bài 59. Phương trình x2 + bx + c = 0 có nghiệm x1, x2. Phương trình x2 - b2x + bc = 0 có nghiệm x3, x4. 
Biết x3 - x1 = x4 - x2 = 1. Xác định b và c.
Bài 60. Tìm các số a, b sao cho các phương trình: x2 + ax + 6 = 0 và x2 + bx + 12 = 0 có ít nhất một nghiệm chung và nhỏ nhất.
Bài 61. Tìm m để phương trình x2 + mx + 2m - 4 = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.
Bài 62. Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 63. Tìm m để phương trình 3x2 - 4x + 2(m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2.
Bài 64. Tìm m để phương trình (m - 1)x2 - (m - 5)x + (m - 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1.
Bài 65. Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phương trình x2 + x + m = 0 đều lớn hơn m?
Bài 66. Tìm giá trị của m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: 
x3 - (m + 1)x2 + (m