Các bài toán rút gọn biểu thức ôn vào 10

CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC ễN VÀO 10
Cõu 1: Cho biểu thức P = (với x > 0, x 1)
Rỳt gọn biểu thức P.
Tỡm cỏc giỏ trị của x để P > .
Đỏp ỏn:
b) Với x > 0, x 1 thỡ . 
Vậy với x > 2 thỡ P > .
Cõu 2: Rỳt gọn biểu thức:
A = ( với x > 0, x 4 ).
B = ( với a > 0, b > 0, a b)
Đỏp ỏn:
Cõu 3: Cho biểu thức A = với a > 0, a 1
 a) Rỳt gọn biểu thức A.
 b) Tỡm cỏc giỏ trị của a để A < 0.
Đỏp ỏn:
 b) A < 0 .
Cõu 4: Rỳt gọn biểu thức: A = với .
 với a ≥ 0 và a ≠ 1. 
Đỏp ỏn: 
A 
, với .
 B = 
 = 
Cõu 5: Cho biểu thức: P = với a > 0, a ạ 1, a ạ 2.
 a) Rỳt gọn P.
 b) Tỡm giỏ trị nguyờn của a để P cú giỏ trị nguyờn.
Đỏp ỏn:
a) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 2
Ta cú: 
b) Ta cú: P = 
P nhận giỏ trị nguyờn khi và chỉ khi 8 (a + 2)
Cõu 6: Cho biểu thức A=
Rỳt gọn biểu thức A.
Tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức A cú giỏ trị nguyờn.
Đỏp ỏn:
ĐK: x0 và x1
A==với x0 và x1
b) Để A cú giỏ trị nguyờn khi x – 1 là ước của 3.
 x - 1 = -3 x = -2
 x – 1 = -1 x = 0 (loại)
 x – 1 = 1 x = 2
 x – 1 =3 x =4
Vậy biểu thức A cú giỏ trị nguyờn khi x = -2; x = 2 và x = 4
Cõu 7: Cho M = với .
 a) Rỳt gọn M.
 b) Tỡm x sao cho M > 0.
Đỏp ỏn 
 a) M = 
 = 
 = 
 = . 
b) M > 0 x - 1 > 0 (vỡ x > 0 nờn > 0) x > 1. (thoả món)
Cõu 8: Cho biểu thức: K = với x >0 và x1
Rỳt gọn biểu thức K
Tỡm giỏ trị của biểu thức K tại x = 4 + 2
Đỏp ỏn:
a) K = = 
b) Khi x = 4 + 2, ta cú: K = - 1 = 
Cõu 9: Rỳt gọn biểu thức: B = với 
Đỏp ỏn:
Cõu 10: Cho biểu thức: P = với a > 0, a ạ 1	
a) Rỳt gọn biểu thức P
b) Tỡm a để P > - 2
Đỏp ỏn: 
a) P = 
 = .
Vậy P = - 2.
b) Ta cú: P - 2 > - 2 < 1 0 < a < 1
Kết hợp với điều kiện để P cú nghĩa, ta cú: 0 < a < 1
Vậy P > -2 khi và chỉ khi 0 < a < 1
Cõu 11: Rỳt gọn biểu thức B = với .
Đỏp ỏn
 B = .
Cõu 12: Cho biểu thức A = với a > 0, a ạ 1
 	a) Rỳt gọn biểu thức A.
 	b) Tớnh giỏ trị của A khi .
Đỏp ỏn:
 a) Ta cú A = = .
 b) nờn A = .
Cõu 13: Cho biểu thức P = với x > 0.
 a) Rỳt gọn biểu thức P.
 b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để P > .
Đỏp ỏn:
 a) 
 .
 b) Với x > 0 thỡ . 
Vậy với thỡ P > .
Cõu 14: Cho biểu thức A = với a > 0, a 1.
 	a) Rỳt gọn biểu thức A.
 	b) Tỡm cỏc giỏ trị của a để A < 0.
Đỏp ỏn:
a) 
 b) A < 0 .
Cõu 15: Cho biểu thức	P = với a > 0 và a 9.
	a) Rỳt gọn biểu thức P
	b) Tỡm cỏc giỏ trị của a để P > .
Đỏp ỏn:
a) P = .
 = . Vậy P = .
b) Ta cú: > + 3 < 4 < 1 .
 Vậy P > khi và chỉ khi 0 < a < 1.
Cõu 16: Cho biểu thức A =với a > 0, a ạ 1
a) Rỳt gọn biểu thức A.
b) Tớnh giỏ trị của A khi a = 2011 - 2. a = 2017 - 2.
Đỏp ỏn:
 a) A = 
= .
= .
b) a = 2017 - 2 
Vậy A = =12
Cõu 17: Cho biểu thức:	Q = .
a) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của x để Q cú nghĩa. Rỳt gọn Q.
b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của x để Q = - 3- 3.
Đỏp ỏn: 
 ĐKXĐ: x > 0; x 1.
a) Q = .
b) Q = - 3 => 4x + 3 - 1 = 0 (thỏa món)
Cõu 18: Cho biểu thức: P = với a > 0, a 9.
a) Rỳt gọn.
b) Tỡm a để P < 1.
Đỏp ỏn:
 a) P = 
= 
= 
Vậy P = .
b) P < 1 .
Cõu 19: Cho biểu thức: M = 
Rỳt gọn biểu thức M với 
Đỏp ỏn:
M = + x + 1
= 
= x - - x - + x + 1 = x - 2 + 1 = ( - 1)2 
Cõu 20: Cho biểu thức: P = với x > 0.
 a) Rỳt gọi biểu thức P.
 b) Tỡm x để P = 0.
Đỏp ỏn:
a) Ta cú x2 + 
nờn P = 
= . Vậy P = .
b) P = 0 x - = 0 ( - 1) = 0 	x = 0 (loại) ; x = 1 (t/m)
Vậy x = 1 thỡ P = 0
Cõu 21: Rỳt gọn biểu thức: P= với x1 và x >0
Đỏp ỏn:
P = 
= = = 
Câu 22: Rút gọn biểu thức
Đáp án:
Điều kiện:
* Rút gọn:
Câu 23: Cho biểu thứcA = với x > 0 và x ạ 1
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A = 3
Đáp án:
 a)	Ta có: A = = = 
= = = = 	
b) A = 3 => = 3 => 3x + - 2 = 0 => x = 2/3 	
Câu 24: Cho P = + - 
a/. Rút gọn P.
b/. Chứng minh: P < với x 0 và x 1.
Đáp án: 
a) Điều kiện: x 0 và x 1
P = + - 
 = + - 
 = 
 = = 	
b/. Với x 0 và x 1 .Ta có: P < < 
 3 0 )
 x - 2 + 1 > 0
 ( - 1)2 > 0. ( Đúng vì x 0 và x 1)
Câu 25: : Cho biểu thức D = :
	a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D
	b) Tính giá trị của D với a = 
	c) Tìm giá trị lớn nhất của D
Đáp án 
a) - Điều kiện xác định của D là 
D = :
D = 
b) a = 
Vậy D = 
c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có 
Vậy giá trị của D là 1
Câu 26: Cho biểu thức A = 
a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn A
Đáp án 
a) Điều kiện x thỏa mãn
	Û 	Û x > 1 và x ạ 2	
KL: A xác định khi 1 2	
 b) Rút gọn A
A = 	
A = 	
Với 1 < x < 2 A = 	
Với x > 2 A = 	
Kết luận
Với 1 < x < 2 thì A = 
Với x > 2 thì A = 	
Câu 27: Cho biểu thức M =
Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M
Tìm x để M = 5
Tìm x Z để M Z.
Đáp án:
 a) ĐK 
 Rút gọn M =
Biến đổi ta có kết quả: M = = 
 c) M = 
 Do M nên là ớc của 4 nhận các giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4 
 do 
Cõu 28: Cho biểu thức : A = , với x0 và x9.
a) Rỳt gọn biểu thức A. b) Tỡm giỏ trị của x để A = và tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A
Đỏp ỏn:
A = =
===
==
Tỡm giỏ trị của x để A = và tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A
A===9=6x=36 (thoả món điều kiện)
3
=1 Vậy giỏ trị lớn nhất của A bằng 1, khi x=0 (thoả món điều kiện)
Cõu 29: Rỳt gọn biểu thức với và .
Đỏp ỏn:
 Ta cú: ; 
Cõu 30: Cho biểu thức: B = ( + )( - ) với b > 0; b≠ 9
a) Rỳt gọn B
b) Tỡm b để biểu thức B nhận giỏ trị nguyờn.
Đỏp ỏn: 
a) Với b > 0; b9 
B = 
= = 
B = nguyờn khi +3 là ước của 4 vỡ+3≥3 
Nờn +3 = 4 hay =1 b=1
 Vậy với b = 1 thỡ B đạt giỏ trị nguyờn
Cõu 31: Rỳt gọn biểu thức: 	 với .
Đỏp ỏn:Với ĐK: . Ta cú:
Kết luận: Vậy với thỡ 
Cõu 32: Cho biểu thức 
Với những giỏ trị nào của x thỡ biểu thức trờn xỏc định ? Hóy rỳt gọn biểu thức B .
Đỏp ỏn:
 ĐK x>0 và x1
=
Bài tập dạng toán rút gọn
Bài 1 Cho biểu thức : A = với ( x >0 và x ≠ 1)
1) Rỳt gọn biểu thức A.
2) Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại 
Bài 2. Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) 
1) Rỳt gọn biểu thức P.
2) Tỡm giỏ trị của a sao cho P = a + 1.
Bài 3: Cho biểu thức A =
1/.Đặt điều kiện để biểu thức A cú nghĩa
2/.Rỳt gọn biểu thức A
3/.Với giỏ trị nào của x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biểu thức A = ( Với ) 
a) Rỳt gọn A
b) Tỡm x để A = - 1
Bài 5: Cho biểu thức : B = 
1/ Tỡm TXĐ rồi rỳt gọn biểu thức B 
2/ Tớnh giỏ trị của B với x =3 
3/ Tỡm giỏ trị của x để 
Bài 6: Cho biểu thức : P = 
1/ Tỡm TXĐ 
2/ Rỳt gọn P
3/ Tỡm x để P = 2 
 Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
1/ Tỡm TXĐ rồi rỳt gọn Q 
2/ Tỡm a để Q dương 
3/ Tớnh giỏ trị của Biểu thức biết a = 9- 4
Bài 8: Cho biểu thức: M = 
1/ Tỡm ĐKXĐ của M.
2/ Rỳt gọn M
3/Tỡm giỏ trị của a để M = - 4 
Bài 9: Rỳt gọn cỏc biểu thức sau: 
 kq: 
 kq: 
 kq:
 kq:
 kq: 
 kq: 
 kq: 
 kq: 
Bài 10. Cho biểu thức: kq: 
1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức A. 
2, Rút gọn A.
3, Tính giá trị của biểu thức A khi 
4, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1.
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A lớn hơn 
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A - 1 Max 
9, So sánh A với 
Bài 11. Cho biểu thức: kq: 
1, Tìm x để biểu thức B xác định. 
2, Rút gọn B.
3, Tính giá trị của biểu thức B khi x = 
4, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B bằng -2.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B âm.
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B nhỏ hơn -2.
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B lớn hơn 
Bài 12. Cho biểu thức: kq: 
1, Biểu thức C xác định với những giá trị nào của x? 
2, Rút gọn C.
3, Tính giá trị của biểu thức C khi x = 
4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C bằng -3.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C lớn hơn .
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ hơn .
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ nhất.
8, So sánh C với .
Bài 13. Cho biểu thức: kq: 
1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức D. 
2, Rút gọn D.
3, Tính giá trị của biểu thức D khi x = .
4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D bằng 1.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D âm.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D nhỏ hơn -2 .
7, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức D nhận giá trị nguyên.
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D lớn nhất.
9, Tìm x để D nhỏ hơn .
Bài 14. Cho biểu thức: 
1, Tìm a để biểu thức E có nghĩa. 
2, Rút gọn E.
3, Tính giá trị của biểu thức E khi a = 
4, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E bằng -1.
5, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E dương.
6, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ hơn .
7, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ nhất.
8, So sánh E với 1 .
Bài 15. Cho biểu thức: kq: 4a 
1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức F. 
2, Rút gọn F. 
3, Tính giá trị của biểu thức F khi a = 
4, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức F bằng -1. 
5, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ hơn .
6, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ nhất.
7, Tìm giá trị của a để . (). 
8, So sánh E với .
Bài 16. Cho biểu thức: kq: 
1, Tìm x để M tồn tại. 2, Rút gọn M.
3, CMR nếu 0 0. ()
3, Tính giá trị của biểu thức M khi x = 4/25.
4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M bằng -1.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M âm ; M dương.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M lớn hơn -2 .
7, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M lớn nhất.
9, Tìm x để M nhỏ hơn -2x ; M lớn hơn .
10, Tìm x để M lớn hơn .
 Bài 17:
	Cho biểu thức : P = ( với x 0 )
 a) Rỳt gọn biểu thức P.
	b) Tớnh giỏ trị của P tại x thoả món 
Bài 18:
	 Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) 
	a) Rỳt gọn biểu thức P.
	b) Tớnh tại a thoả món điều kiện a2 – 7a + 12 = 0
Bài 19: Cho hai biểu thức : 
	 ; B = với x > 0; y > 0 ; x y
	 Tớnh A.B
Bài 20: Cho biểu thức: P = (với )
a) Rỳt gọn biểu thức P.
	 b)Tỡm giỏ trị của x để P = 
 Bài 21: Rỳt gọn biểu thức: B = (với a>0 , a 4)
Bài 22. Cho biểu thức :
	 P = với x > 0
	 a) Rỳt gọn biểu thức P.
	 b) Tỡm x để P = 2.
	 c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P.
Bài 23: Cho biểu thức: M = với x 0, x 1
Thu gọn biểu thức M.
Tớnh tại x = 
Bài 24: a) Rỳt gọn biểu thức : B = ( x > 0 và x 1)
 b) Tỡm x khi B = – 3
Bài 25: Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 ) 
	 a) Rỳt gọn biểu thức P.
	 b) Tớnh tại a thoả món điều kiện a2 – 7a + 12 = 0
Bài 26: Cho biểu thức : P = với x > 0 và x ≠ 4
Rỳt gọn P.
Tỡm x để P > 3 
Bài 27: a) Rỳt gọn biểu thức : Q = với x > 0 ; y > 0 và 
 b)Tớnh giỏ trị của Q tại x = ; y = 5
Bài 28: Cho biểu thức: P = với a > 0 , a ≠ 1
Rỳt gọn A.
Tỡm cỏc giỏ trị của a để A > 0.
Bài 29: Cho biểu thức : Q = với a > 0 ; a ≠ 1.
 a) Rỳt gọn biểu thức Q.
 b) Chứng tỏ rằng với mọi giỏ trị 0 <a < 1 thỡ Q < 0.
Bài 30: Cho biểu thức , với x ³ 0 và x ạ 9
	a) Rỳt gọn biểu thức A.
	b) Tỡm giỏ trị của x để .
	c) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức A