Bộ đề thi học sinh giỏi Toán lớp 7 - Số 22

§Ò sè 51:
®Ò thi häc sinh giái
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1: (3 điểm): Tính
Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng:
a) 	b) 
Bài 3:(4 điểm) Tìm biết:
a) 	b) 	 
Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phân giác của góc BAC
 AM = BC
Bài 6: (2 điểm): Tìm biết: 
---------------------------------------------------------
ĐÁP ÁN ĐỀ THI 
Bài 1: 3 điểm	
=
= 0.5đ
= 1đ
= 	 0.5	
==	 0.5đ 
= 	 0.5đ
Bài 2:
Từ suy ra 	0.5đ
 khi đó 0.5đ
 	= 	0.5đ
 b) Theo câu a) ta có: 	 0.5đ
	từ 1đ
 	hay 	 0.5đ
	vậy 	 0.5đ
Bài 3: 
a) 
 0.5đ
 hoặc 1đ
Với hay 	 0.25đ	
Với hay 	 0.25đ
b) 
	0.5đ
 0.5đ
 0.5đ
 	0.5đ
Bài 4: 
Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ
Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s
Ta có: và 	1đ	
hay: 0.5đ
Do đó:
; ; 0.5đ
Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ
Bài 5: 
-Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 	0.5đ
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 	1đ
suy ra 
Do đó 
b) ABC cân tại A, mà (gt) nên 
ABC đều nên 
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra . Tia BM là phân giác của góc ABD 
nên 
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ; 
Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC
Bài 6: 
	Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2
 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ
Vì y2 0 nên (x-2009)2 , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1	 0.5đ
Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) 
Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do ) 0.5đ	 
 Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 	 0.5đ
§Ò sè 52:
 ®Ò thi häc sinh giái
 (Thêi gian lµm bµi 120 phót)
 Bµi 1. TÝnh 
Bµi 2. T×m gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng cña x vµ y, sao cho: 
Bµi 3. T×m hai sè d­¬ng biÕt: tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng tû lÖ nghÞch víi c¸c sè 20, 140 vµ 7
Bµi 4. T×m x, y tho¶ m·n: = 3
 Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 . Ph©n gi¸c trong gãc ACB c¾t AB t¹i M. Trªn MC lÊy ®iÓm N sao cho gãc MBN = 400. Chøng minh: BN = MC. 
§Ò sè 52:
 ®Ò thi häc sinh giái
 (Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính: 
	b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a. 
b. 
Bài 3: (4 điểm)
Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o .
Tính và 
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phân giác của góc BAC
 AM = BC
 Hết 
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7
Bài 1:(4 điểm):
Đáp án
Thang điểm
a) (2 điểm)
b) (2 điểm)
3 n + 2 - Với mọi số nguyên dương n ta có:
 = 
 =
 =
 = 10( 3n -2n)
Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
1 điểm
0,5 điểm
Bài 2:(4 điểm)
Đáp án
Thang điểm
a) (2 điểm)
b) (2 điểm)
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 3: (4 điểm)
Đáp án
Thang điểm
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) 
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1) = k 
Do đó (2) 
k = 180 và k =
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
 Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Với k =, ta được: a = ; b =; c =
Khi đó ta có só A =+( ) + () = . 
b) (1,5 điểm)
Từ suy ra 	
 khi đó 
 	= 	
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 4: (4 điểm)
Đáp án
Thang điểm
Vẽ hình
0,5 điểm
a/ (1điểm) Xét và có :
 AM = EM (gt )	
 = (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên : = (c.g.c )	0,5 điểm
 AC = EB	
Vì = = 
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) 
Suy ra AC // BE . 	0,5 điểm	
b/ (1 điểm )
Xét và có : 
AM = EM (gt )
= ( vì )
AI = EK (gt )
Nên ( c.g.c ) 	0,5 điểm Suy ra = 	
Mà + = 180o ( tính chất hai góc kề bù )	
 + = 180o 
 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 	0,5 điểm
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE ( = 90o ) có = 50o 
 = 90o - = 90o - 50o =40o 	0,5 điểm
 = - = 40o - 25o = 15o 	0,5 điểm
 là góc ngoài tại đỉnh M của 
 Nên = + = 15o + 90o = 105o 
 ( định lý góc ngoài của tam giác ) 	0,5 điểm
Bài 5: (4 điểm)
-Vẽ hình	
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 	1 điểm	
suy ra 	0,5 điểm
Do đó 	0,5 điểm
b) ABC cân tại A, mà (gt) nên 
ABC đều nên 	0,5 điểm
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra .
 Tia BM là phân giác của góc ABD 
nên 	0,5 điểm
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ; 
Vậy: ABM = BAD (g.c.g) 
 suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC	0,5 điểm
Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa.