Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 các tỉnh - Năm học 2020-2021

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐĂK LĂK
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2020 – 2021
MÔN: TOÁN LỚP 9 – THCS
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30/3/2021
Bài 1. (4 điểm)
1)	Cho biểu thức với và 
Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức A nhận giá trị nguyên
2)	Cho phương trình với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho 
Bài 2. (4 điểm)
1)	Cho parabol (P): y=x2 và đường thẳng (d): y=x+b. Tìm b để đường thẳng (d) cắt parabol tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho (với I là trung điểm của AB).
2)	Giải phương trình 
Bài 3. (4 điểm)
1)	Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn: 
2)	Cho x, y, z là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
 chia hết cho 
Bài 4. (4 điểm) Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AD, BE, CF của ∆ABC cắt nhau tại H.
1)	Chứng minh AF.AB=AE.AC
2)	Chứng minh DH là tia phân giác của EDF
3)	Giả sử ACB=600. Chứng minh 2EF+BF=CF
Bài 5. (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có BAD=600, BCD=1200, tia phân giác của BAD cắt BD tại E. Tia phân giác của BCD cắt BD tại F. Chứng minh rằng:
Bài 6. (2 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
..HẾT..
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐỒNG NAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, đề gồm một trang có sáu câu.
Câu 1. (6 điểm)
1) Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn và 
Tính giá trị của biểu thức 
2) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn 
Câu 2. (3 điểm)
Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 
Câu 3. (3 điểm)
Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 2025 nguyên tố cùng nhau với 2021.
Câu 4. (2,5 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn. Chứng minh 
Câu 5. (1,5 điểm)
Cho một hình chữ nhật và 17 đường thẳng phân biệt thỏa mãn: Mỗi đường thẳng chia hình chữ nhật đã cho thành hai tứ giác có tỉ lệ diện tích bằng . Chứng minh rằng trong 17 đường thẳng đã cho tồn tại ít nhất 5 đường thẳng đồng quy tại một điểm.
Câu 6. (4 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC ngoại tiếp đường tròn (I) và nội tiếp đường tròn (O). Goi D, E, F lần lượt là giao điểm của ba tia AI, BI, CI với đường tròn (O), biết D khác A, E khác B, F khác C. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng AD và EF, gọi N là giao điểm của hai đường thẳng OD và EF.
1) Chứng minh I là trực tâm của tam giác DEF.
2) Chứng minh 
HẾT
(Thí sinh được sử dụng máy tính cầm tay, không được sử dụng tài liệu)
Họ và tên thí sinh:.Số báo danh:.Trường:..
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
GIA LAI
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 04/04/2021
Câu 1 (4,5 điểm).
	1) Tính giá trị biểu thức , biết 
	2) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 9p+1 là lập phương của một số tự nhiên.
Câu 2. (4,5 điểm).
	1) Giải phương trình 
	2) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) sao cho 
Câu 3 (4,0 điểm).
	Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm H và đường thẳng d là một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với (O,R), (O’,R’) lần lượt tại A, B. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn trên tại H cắt đường thẳng d tại M.
	1) Chứng minh rằng tam giác MOO’ là tam giác vuông.
	2) Gọi (I,r) là đường tròn tiếp xúc ngoài với hai đường tròn (O,R), (O’,R’) và tiếp xúc với đường thẳng d. Tính r theo R, R’.
Câu 4 (3,0 điểm).
	Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau tại điểm H. Biết diện tích tam giác AMC bằng (đơn vị diện tích). Tính độ dài cạnh AB.
Câu 5 (2,0 điểm).
Trong một giải bóng đá có n đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận). Ở mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm, đội thua 0 điểm. Kết thúc giải, người ta nhận thấy số trận thắng – thua gấp đôi số trận hòa và tổng số điểm của tất cả các đội là 280. Hãy tìm n là số đội bóng tham gia thi đấu.
Câu 6 (2 điểm).
	Trong một cuộc họp có 6 đại biểu. Người ta nhận thấy cứ ba đại biểu bất kỳ có hai người quen nhau. Chứng minh rằng luôn có ba đại biểu trong đó mỗi người đều quen với hai người còn lại.
--------	HẾT --------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2020 - 2021
Môn thi: TOÁN 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3,0 điểm). 
Cho biểu thức (với ).
a) Rút gọn 
b) Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2 (2,0 điểm). 
Trong mặt phẳng cho parabol và đường thẳng ( là tham số). Tìm tất cả các giá trị của để cắt tại hai điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác bằng (đơn vị diện tích).
Câu 3 (4,0 điểm). 
a) Giải phương trình .
b) Giải hệ phương trình .
Câu 4 (2,0 điểm). 
Tìm các số nguyên dương thỏa mãn là số hữu tỷ và là số nguyên tố.
Câu 5 (7,0 điểm). 
1. Cho tam giác có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn Các đường cao của tam giác cắt nhau tại cắt tại và ( thuộc cung nhỏ ). 
a) Chứng minh tam giác cân.
b) Chứng minh .
c) Chứng minh 
2. Cho đường tròn nội tiếp tam giác , tiếp xúc với ba cạnh lần lượt tại các điểm Gọi là trung điểm của Chứng minh các đường thẳng đồng quy.
Câu 6 (2,0 điểm). Cho là ba số thực dương, tùy ý. Chứng minh rằng:
.
Hết
Họ và tên thí sinh Số báo danh
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ
Năm học: 2020 – 2021
 Môn thi: Toán
Ngày thi: 13 tháng 01 năm 2021
 Thời gian làm bài: 150 phút
 (Đề thi gồm 01 trang)
Bài I (5,0 điểm)
1) Giải phương trình 
2) Cho a, b, c là các số thực dương đôi một khác nhau. Chứng minh biểu thức có giá trị nguyên.
Bài II (5,0 điểm)
1) Biết a, b, c là các số nguyên thỏa mãn a+b+c chia hết cho 3 và ab-bc-ca chia hết cho 3. Chứng minh ab-bc-ca chia hết cho 9.
2) Cho đa thức có nghiệm (a, b là các số hữu tỉ). Chứng minh P(x) chia hết cho đa thức .
Bài III (2,0 điểm)
	Với các số thực không âm a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài IV (6,0 điểm)
	Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác nhọn ABC (AB<AC). Đường tròn (I) tiếp xúc với BC, CA lần lượt tại D, E. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BI, cắt AI tại J. Gọi P là hình chiếu vuông góc của J trên BC.
1) Chứng minh BD=CP
2) Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AJ và BC. Chứng minh .
3) Gọi Q là giao điểm của hai đường thẳng JP và DE. Gọi K là trung điểm của PQ.
Chứng minh BK vuông góc với AP.
Bài V (2,0 điểm)
1) Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn .
2) Cho một hình chữ nhật có diện tích bằng 1. Năm điểm phân biệt được đặt tùy ý vào hình chữ nhật sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng (mỗi điểm trong năm điểm đó có thể được đặt trên cạnh hoặc đặt nằm trong hình chữ nhật).
a) Chứng minh mọi tam giác tạo bởi ba điểm trong năm điểm đã cho đều có diện tích không vượt quá .
b) Với mỗi cách đặt năm điểm vào hình chữ nhật như trên, gọi N là số tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong năm điểm đó và có diện tích không vượt quá . Tìm giá trị nhỏ nhất của N. 
---------HẾT----------
Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh. Số báo danh:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang, gồm 13 câu)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC: 2020 – 2021
PHẦN THI CÁ NHÂN
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (10 điểm, thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1. Rút gọn biểu thức 
Câu 2. Tính giá trị của biểu thức khi 
Câu 3. Có 5 chữ cái C, O, V, I, D để biểu thị 5 chữ số khác nhau và khác 0. Tổng của 5 chữ số COVID, DCOVI, IDCOV, VIDCO, OVIDC là 277775. Tính C+O+V+I+D.
Câu 4. Để tổ chức kỳ thi HSG lớp 9 Hội đồng thi X dự định sắp xếp mỗi phòng thi 15 thí sinh thì lấy thừa ra 2 em. Nếu bớt đi một phòng thì tất cả thí sinh dự thi vừa đủ chia đều cho các phòng còn lại. Hỏi Hội đồng thi X có tất cả bao nhiêu thí sinh dự thi. Biết rằng các thí sinh dự thi các môn khác nhau có thể ngồi cùng một phòng và mỗi phòng thi không được xếp quá 22 thí sinh.
Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Câu 6. Để đo khoảng cách từ chiếc thuyền đang đậu ở vị trí A đến bờ sông bên kia. Nam xác định các điểm B, C ở hai bờ sông sao cho A, B, C thẳng hàng và BC vuông góc với hai bờ sông (giả thuyết hai bờ sông song song với nhau), rồi chọn một điểm E ở bờ sông bên này (cùng bờ với Nam) (Hình bên). Tiến hành đo được BE=90m và các góc BEA=300, BEC=600. Hỏi Nam tính được khoảng cách từ chiếc thuyền đến bờ sông bên kia bằng bao nhiêu?
Câu 7. Giải hệ phương trình 
Câu 8. Cho đường thẳng d: . Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 4.
Câu 9. Hình bên gồm 13 hình vuông đều có diện tích bằng 1 cm2. Các điểm A, B, C là các đỉnh của các hình vuông (như hình vẽ). Điểm E nằm trên cạnh BC sao cho AE chia hình gồm 13 hình vuông bên thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính độ dài đoạn BE.
Câu 10. Cho tam giác ABC có BAC=900, ABC=200. Các điểm P và Q lần lượt nằm trên cạnh AC, AB sao cho ABP=100 và ACQ=300. Tính PQA.
II. PHẦN TỰ LUẬN (10 điểm, thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11. (3 điểm) Giải phương trình 
Câu 12. (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là trung điểm AB. Lấy hai điểm D, E lần lượt nằm trên cạnh AB, AC sao cho BD<DA, AE<EC và OD=OE.
a. Chứng minh rằng OA2-OD2=DA.DB
b. Gọi G, H, K lần lượt là trung điểm của đoạn BE, CD và ED. Chứng minh rằng KGH=EKH
Câu 13. (2 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
..HẾT..
 UBND TỈNH HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2020 – 2021
 MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
 Ngày thi: 27/01/2021
 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
 (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1. (2,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức với x > y > 0.
2. Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn: . Tính .
Câu 2. (2,0 điểm)
1. Giải phương trình : 
2. Giải hệ phương trình: 
Câu 3. (2,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 3 = 0.
2. Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn : (a - b)(b - c)(c - a) = a + b + c.
Chứng minh a + b + c chia hết cho 27.
Câu 4. (3,0 điểm)
1. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Qua A lần lượt kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến với đường tròn (O; R) (B, C là các tiếp điểm). Lấy điểm D thuộc đường tròn (O; R) sao cho BD song song với AO, đường thẳng AD cắt đường tròn (O; R) tại điểm thứ hai là E. Gọi M là trung điểm của AC.
a) Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).
b) Từ D kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O; R), tiếp tuyến này cắt ME tại T. Gọi r1, r2, r3 lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp của ΔOME, ΔOTE, ΔOMT. Chứng minh khi A thay đổi thì r1 + r2 + r3 luôn không đổi.
2. Cho tam giác ABC có ba góc nhon. Chứng minh sin2A + sin2B + sin2C > 2.
Câu 5. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: 2xy + 5yz + 6zx = 18xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
.. HẾT .
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ
KHÓA THI NGÀY 17.3.2021
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (3 điểm)
	Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a-b=1
	Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 2. (3 điểm)
	Giải phương trình: 
Bài 3. (4 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BD (). Đường tròn (BCD) cắt cạnh AB tại E. Chứng minh AE+AB=BC.
Bài 4. (3 điểm)
	Cho bốn số thực a, b, c, d thỏa điều kiện . Chứng minh bất đẳng thức:
Bài 5. (4 điểm)
	Cho tứ giác ABCD (AB không song song với CD) nội tiếp đường tròn (O) và M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Các dây MC, MD cắt AB lần lượt tại các điểm F, E.
	a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.
	b) Gọi I là giao điểm của MC và MD. Gọi J là giao điểm của MD và AC. 
	Chứng minh: IJ song song với AB.
	c) Đường thẳng IJ cắt AD, BC, CD lần lượt tại các điểm P, Q, K.
	Chứng minh: KP.KQ=KI.KJ
Bài 6. (3 điểm) 
	Cho phương trình (1) với a, b là các tham số nguyên. Giả sử phương trình (1) có một nghiệm là .
a) Tìm a, b.
b) Chứng minh rằng là một số nguyên và A chia hết cho 4.
HẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO AN GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ
Khóa ngày 20/03/2021
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (3,0 điểm)
Rút gọn
Câu 2. (4,0 điểm)
Cho ba đường thẳng (d1): y = x — 6; (d2): y=-2m+6x+2m+1
(d3): y = (m + l)x —m — 6.
a. Với giá trị nào của tham số m thi (d1) trùng với (d2), (d2) trùng với (d3)?
b. Tim các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho phân biệt và đồng quy.
Câu 3. (4,0 điểm)
Phân tích 2x2 + 5xy — 3y2 thành các nhân tử. Từ đó giải hệ phương trình.
Câu 4. (2,0 điểm)
Cho a; b là hai số nguyên tố thỏa mãn a2 - 7b - 4 = O. Tính tổng a + b. 
Câu 5. (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC có hai đường cao BD vå CE (EAB; DAC) cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của AB. 
a. Chứng minh tam giác BMD cân.
b. Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính CH.
Câu 6. (3,0 điểm)
Chia hình chữ nhật ABCD thành bốn tam giác vuông cân và một hình vuông EFGH như hình vẽ. Biết diện tích hình vuông bằng 2 cm2. Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD.
-------Hết-------
•	Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. 
•	Giám thị không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9THCS
NĂM HỌC 2020-2021
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 23/03/2021
Câu 1 (3,0 điểm).
1)	Rút gọn biểu thức , với x>0, .
2)	Tính giá trị của biểu thức với .
Câu 2 (3,0 điểm).
1)	Giải phương trình 
2)	Giải hệ phương trình 
Câu 3 (3,0 điểm).
1)	Tìm tất cả các số chính phương có ba chữ số và chia hết cho 56.
2)	Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình .
Câu 4 (4,0 điểm).
1)	Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là và , trong đó x1, x2 là các nghiệm của phương trình .
2)	Cho các số thực dương a, b thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Câu 5 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC có BAC=600. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm M, N, P. Đường thẳng IM cắt NP tại K, đường thẳng qua K và song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại E, F. Gọi G là trung điểm của BC.
1)	Chứng minh AEIF là một tứ giác nội tiếp đường tròn.
2)	Chứng minh ba điểm A, K, G thẳng hàng.
3)	Gọi S1 là diện tích tứ giác INAP và S2 là diện tích tam giác IEF. Chứng minh 
Câu 6 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kỳ trên cung nhỏ AD (E khác A và D). Gọi M là giao điểm của EC và OA, N là giao điểm của EB và OD. Chứng minh rằng . Đẳng thức xảy ra khi E ở vị trí nào trên cung nhỏ AD?
.HẾT
	SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH 
	BẮC GIANG 	NĂM HỌC 2020-2021 
	 	MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 
	ĐỀ CHÍNH THỨC 	Ngày thi: 06/3/2021 
	(Đề thi gồm 03 trang) 	Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề. 
Mã đề thi 101
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (6 điểm). 	
Câu 1: Nghiệm của phương trình
 là 
	A. x= 5. 	B. x= 4. 	C. x= 7 . 	D. x= 9 . 
Câu 2: Cho . S là tập hợp các giá trị nguyên của a để M nhận 
giá trị nguyên. Tập S có tất cả bao nhiêu tập con ? 
	A. 3. 	B. 8. 	C. 4. 	D. 2. 
Câu 3: Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A sao cho OA= 3R . Đường thẳng qua A và cắt đường tròn tại hai điểm B, C. Tính AB.AC. 
	A. AB.AC = 5R2. 	B. AB.AC = 2R2. 	C. AB.AC = 8R2. 	D. AB.AC = 3R2. 
Câu 4: Có bao nhiêu cặp số (x y; ) với x> 0, y> 0 thỏa mãn phương trình 4x2 +9y + 1= 3x + ? 
	A. 1. 	B. 2. 	C. 0 . 	D. 4. 
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H ∈ BC ) ; AB= 2, AC= 3CH . Diện tích tam giác ABC bằng 
	A. .	B. .	C. . 	D. . 
Câu 6: Có bao nhiêu giá trị x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên?
	A. 1. 	B. 2. 	C. 3. 	D. 4. 
Câu 7: Gọi M là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên đường thẳng y= (m+2)x + m −5 (với m là tham số). Giá trị lớn nhất của OM bằng 
	A. .	B. 	C. 	D. 
Câu 8: Cho biểu thức f (x)=(x3 + 6x−7)2021. Biết , giá trị của f (a)là 
	A. 1. 	B. −2. 	C. 0 . 	D. −1. 
Câu 9: Biết điểm M ( x 0; y 0) là điểm mà đường thẳng y = (1 − m) x + 2m−	6 luôn đi qua với mọi m . 
Giá trị của biểu thức A = x 02 + y02 là 
	A. -2. 	B. 20. 	C. 6. 	D. 4.	 	
Câu 10: Cho hai hàm số y=(m2 +1)x+2 và y= 2x +m +1. Tìm tham số m để đồ thị của hai hàm số đã cho là hai đường thẳng song song. 
	A. m=±1. 	B. m=1. 	C. m= 2 . 	D. m=−1. 
Câu 11: Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD (D thuộc BC) sao cho BD = a ; CD =b; a> b. Tiếp tuyến tại A của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C cắt BC tại M. Độ dài MA được tính theo công thức nào sau đây ? 
A. 
B. 
C. 
D. 
Câu 12: Tìm hai tham số m n,	 để hệ phương trình có vô số nghiệm. 
	A. m= 2;n=−2 . 	B. m= 2;n= 6. 	C. m=− 2;n=−	2. 	D. m=− 2;n= 2 . 
Câu 13: 	Cho ba số 	x, y, z sao 	cho 	x≥1, y≥ 2,z≥ 3. 	Giá trị lớn nhất 	của là , (a ,b, c ∈¥). Tổng a+ b+ c bằng 
	A. 22. 	B. 18. 	C. 20. 	D. 19. 
Câu 14: Cho hệ phương trình 	 ( với m là tham số) có nghiệm (x0; y0). Giá trị 
lớn nhất của x0y0 là 
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 15: Cho hệ phương có nghiệm (x0;y0). Tính .
	A. . 	B. . 	C. . 	D. . 
Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH . Giả sử AB= 6cm BH, 	= 4cm . Tính BC. 
	A. 10cm. 	B. BC= 9cm. 	C. BC=10,5cm . 	D. BC=cm . 
Câu 17: Phương trình có bao nhiêu nghiệm ? 
	A. 4. 	B. 2. 	C. 1. 	D. 0 . 
Câu 18: Cho đường tròn (O;R) và hai điểm A, B cố định nằm ngoài đường tròn sao cho OA=2R. 
Điểm C nằm trên đoạn thẳng AO sao cho và điểm M thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ 
nhất của MA+2MB bằng 
	A. BC . 	B. 4BC . 	C. 3BC . 	D. 2BC . 
Câu 19: Cho đường tròn tâm O có bán kính OA= R , dây cung BC vuông góc với OA tại trung điểm M của đoạn thẳng OA, kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B , tiếp tuyến đó cắt OA tại E . Độ dài đoạn thẳng BE là 
	A. 3R. 	B. 	C. 	D. 
Câu 20: Cho các hàm số y= 0,5x+3, y= 6−x, y =mx có đồ thị lần lượt là các đường thẳng d1, d2, ∆m. Với những giá trị nào của tham số m thì ∆m cắt d1, d2 tại hai điểm A, B sao cho A có hoành độ âm, B có hoành độ dương ? 
A. −0,5 < m < 1. 
B. − 1< m < 0,5; m≠ 0. 
C. − 1< m < 0,5. 
II. TỰ LUẬN 
Câu 1. (5,5 điểm) 
D. − 0,5 < m < 1; m≠ 0. 
1. Cho biểu thức , . 
a)	Rút gọn biểu thức A. 
b)	Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. 
2. Cho đường thẳng d: y =ax + b, (a ≠ 0) đi qua M (1;4) và cắt Ox tại điểm A có hoành độ dương, cắt Oy tại B có tung độ dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =OA + OB . 
Câu 2. (3,5 điểm) 
1.	Giải phương trình 7x2 − 5x + 6= (11x−1). 
2.	Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn a –b là số nguyên tố và 3c2 = ab + bc + ca . Chứng minh rằng 8c+1 là số chính phương. 
Câu 3. ( 4 điểm) Cho tam giác ABC (AB < BC < CA) ngoại tiếp đường tròn tâm I . Lấy E và F lần lượt trên các đường thẳng AC và AB sao cho CB=CE=BF đồng thời chúng nằm về cùng phía với A so với đường thẳng BC . Các đường thẳng BE và CF cắt nhau tại G . 
a)	Chứng minh rằng bốn điểm C , E , I và G cùng nằm trên một đường tròn. 
b)	Trên đường thẳng qua G và song song với AC lấy điểm H sao cho HG = AF đồng thời H nằm khác phía với C so với đường thẳng BG . Chứng minh rằng EHG=12CAB
Câu 4. ( 1 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Chứng minh rằng: 
.
------ HẾT ------ 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 
Họ và tên thí sinh: ....................................Số báo danh:.......................... 
Cán bộ coi thi số 1 (Họ tên và ký)............................................................ 
Cán bộ coi thi số 2 (Họ tên và ký)............................................................ 
UBND TỈNH BẮC NINH 	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 	NĂM HỌC 2020 - 2021
	¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 	Môn thi: TOÁN 9 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm) 
1.	Cho và . Chứng minh rằng: 
2.	Cho biểu thức 
a.	Rút gọn P . 
b.	Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x≥4. 
Câu 2 (2,0 điểm) Cho phương trình: x2 −2mx + m2 − m −6 = 0 (m là tham số). 
1.	Tìm m để phương trình có hai nghiệm. 
2.	Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1 và x2 sao cho 
Câu 3 (4,0 điểm) 
1.	Giải hệ phương trình: 	 
2.	Tìm các số tự nhiên x, y, z sao cho x2 + y2 + z2 + 3 < xy + 3y + 2z 
Câu 4 (2,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c =9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức: P =	a	+	b	+	c	 
	b3 + 5b2 − 3b + 18	c3 + 5c2 − 3c + 18	a3 + 5a2 − 3a + 18
Câu 5 (6,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâm O . Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC . Đường thẳng BO cắt các đường thẳng EF, DF lần lượt tại I, K . 
1.	Tính số đo góc BIF . 
2.	Giả sử M là điểm di chuyển trên đoạn CE. 
a.	Khi AM = AB, gọi H là giao điểm của BM và EF . 
Chứng minh rằng ba điểm A, O, H thẳng hàng. 
b.	Gọi N là giao điểm của đường thẳng BM với cung nhỏ EF của (O); P, Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE và DF . 
 Xác định vị trí điểm M để độ dài đoạn thẳng PQ lớn nhất. 
Câu 6 (2,0 điểm) 
1.	Cho 19 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng nằm trong một hình lục giác đều có cạnh bằng 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có ít nhất một góc không lớn hơn 450 và nằm trong đường tròn có bán kính nhỏ hơn . 
2. Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn 1< a < b < c và nhận giá trị nguyên. 
====== Hết ====== 
Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo danh:....................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức
BÌNH ĐỊNH
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9
Năm học: 2020 – 2021
Môn: TOÁN – Ngày thi: 18/03/2021
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
-------------------- oOo --------------------
Bài 1. (5.0 điểm) 
1.	Giải phương trình: 
2. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 
 Chứng minh rằng phương trình: ax2 + bx + c =0 luôn có nghiệm. 
Bài 2. (6.0 điểm) 
1.	Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x2 +y )(x +y2)=(x-y)3. 
2.	Cho 69 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 100. Chứng minh rằng có thể chọn ra từ 69 số đó 4 số sao cho trong chúng có 1 số bằng tổng của 3 số còn lại. 
Bài 3. (4.0 điểm) 
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB , trên nửa đường tròn (O) lấy điểm C sao cho cung BC nhỏ hơn cung AC , qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AB tại D . Kẻ CH vuông góc với AB (H ÎAB), kẻ BK vuông góc với CD (K ÎCD); CH cắt BK tại E . 
a) Chứng minh BK +BD < EC . 	
b) Chứng minh BH.AD = AH.BD	
Bài 4. (3.0 điểm) 
 Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm di động trên BC (M khác B C, ). Hình chiếu của M lên AB AC, lần lượt là H và K . Gọi I là giao điểm của BK và CH . Chứng minh rằng đường thẳng IM luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. (2.0 điểm) 
 	Tìm tất cả các giá trị của x để: 
---------- ˜ HẾT ™ ----------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH
	TỈNH BÌNH DƯƠNG	Năm học: 2020 – 2021
	ĐỀ CHÍNH THỨC	Môn thi: TOÁN
	Thời gian làm bài: 150 phút
	(không tính thời gian phát đề)
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức:
M=x9+x-x20202021 với x=27+91033710-11710+91-1810
b) Rút gọn biểu thức:
N=11+11+111+21+121+31++12011+2021
Câu 2. (6,0 điểm)
a) Giải phương trình: 6x2-7x-20+32x-5-23x+4-6=0
b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa x + y + x = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=2x+89y+1825z.
c) Cho phương trình: x3 + (2m – 5)x2 + (m2 – m + 7)x – m2 – m – 3 = 0 (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt.
Câu 3. (5,0 điểm)
a) Cho 40 số nguyên tố dương thay đổi sao cho có tổng bằng 58. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng các bình phương của chúng.
b) Giả sử ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a > 0, bc = 3a2, a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
a≥1+233.
Câu 4. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có đường tròn nội tiếp (I). Các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh CA, AB (E khác C và A; F khác B và A) sao cho EF tiếp xúc với đường tròn (I) tại điểm J. Gọi H là hình chiếu của J trên BC.
a) Chứng minh rằng HJ là phân giác của EHF.
b) Ký hiệu S1, S2 lần lượt là diện tích của tứ giác BFJL và CEJK. Chứng minh rằng:
S1S2=BF2CF2.
c) Gọi D là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng ba điểm P, J, D thẳng hàng.
HẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH PHƯỚC
ĐỀ DỰ BỊ
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 14/03/2021
Câu 1. (5.0 điểm).
1. Cho biểu thức: 
a. Rút gọn M b. Tìm giá trị của x để M >1
2. Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 
Tính giá trị của biểu thức 
Câu 2. (5.0 điểm).
1. Giải phương trình: .
2. Giải hệ phương trình sau: 
3. Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng (d): y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P).
a. Tính độ dài AB.
b. Tìm m để đường thẳng (d’): y = - x + m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD = AB.
Câu 3. (5.0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB . Trên cùng mặt phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax, By của (O). Trên (O) lấy điểm C (CA < CB ) và trên đoạn thẳng OA lấy điểm (D khác O, A ). Đường thẳng vuông góc với CD tại C cắt Ax, By lần lượt tại E, F. AC cắt DE tại G, BC cắt DF tại H, OC cắt GH tại I .
a. Chứng minh hai tam giác AGE, FHG đồng dạng và I là trung điểm của GH
b. Gọi J, K lần lượt là trung điểm của DE, DF Chứng minh I, J, K thẳng hàng
c. Gọi M là giao điểm của JO và DK. Chứng minh tam giác JOK vuông và ba đường thẳng DE, IF, KO đồng quy.
Câu 4. (2.0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí điểm D, E sao cho tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất 
Câu 5. (3.0 điểm). 
1. Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 
...HẾT
· Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP TỈNH LỚP 9
Năm học 2020 – 2021
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm 01 trang)
Câu 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức 
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị của x để A<1.
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho hàm số (*)
Chứng minh rằng với mọi hàm số (*) luôn đồng biến trên với mọi m.
Câu 3. (6,0 điểm)
a) Một đoàn học sinh đi tham quan khu di tích lịch sử hang Pác Bó bằng ô tô. Nếu mỗi xe chỉ chở 22 học sinh thì còn thừa một học sinh. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều số học sinh vào các xe còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu xe ô tô và có bao nhiêu học sinh đi tham quan, biết rằng số học sinh trên mỗi xe không quá 32 em.
b) Chứng minh rằng tổng chia hết cho 15.
Câu 4. (6,0 điểm)
	Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R; CD là dây cung di động trên nửa đường tròn sao cho CD = R và C thuộc cung AD (C khác A, D khác B). AD cắt BC tại H, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại F.
a) Chứng minh tứ giác CFDH nội tiếp.
b) Chứng minh: CF.CA = CH. CB
c) Gọi I là trung điểm của HF. Chứng minh tia OI là tia phân giác của góc COD
d) Chứng minh rằng khi dây cung CD di động trên nửa đường tròn, diện tích tam giác OID có giá trị không đổi.
Câu 5. (2,0 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn:
----------------Hết----------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:.Số báo danh:
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2020 – 2021
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 01 trang)
Câu 1. (2,5 điểm)
	a) Cho biểu thức với x>0 và 
Rút gọn M và chứng minh rằng 
	b) Cho hai số thức dương x, y thỏa mãn điều kiện 
Tính giá trị của biểu thức 
Câu 2. (1,0 điểm)
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (O là gốc tọa độ), cho hình bình hành OABC có điểm A(3;5), điểm C thuộc đường thẳng y=-x và có hoàng độ dương. Biết rằng diện tích của hình bình hành OABC bằng 24. Tìm tọa độ điểm B.
Câu 3. (2,5 điểm)
	a) Tìm x biết 
	b) Giải hệ phương trình 
Câu 4. (1,0 điểm) Một số tự nhiên có ba chữ số có tổng chữ số hàng trăm với chữ số hàng đơn vị bằng 9 và nếu đổi chữ hai số hàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới có ba chữ số nhỏ hơn số ban đầu là 99. Tìm số đã cho, biết rằng số đó chia hết cho 18.
Câu 5. (3,0 điểm)
	Cho tam giác ABC nhọn có hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi F là hình chiếu của H trên BC, M là tiếp điểm của EF với đường tròn nội tiếp tam giác DEF, I là giao điểm (khác F) của HF với đường tròn đường kính DF và N là giao điểm của IM và ED.
	a) Chứng minh rằng ba điểm A, H, F thẳng hàng và BE.BA+CD.CA=BC2.
	b) Chứng minh rằng hai đường thẳng ED và HN vuông góc với nhau.
	c) Cho và bán kính đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC bằng R. Gọi K là điểm thay đổi trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) và P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của K tren AB và AC. Khi PQ lớn nhất, hãy tính diện tích tam giác OPQ theo R.
---HẾT----
Họ và tên học sinh:Số báo danh:Phòng thi:...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1. (4,0 điểm)
a)	Tính giá trị của biểu thức khi 
b)	Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 
Câu 2. (4,0 điểm)
a)	Giải phương trình 
b)	Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M, N là hai điểm phân biệt di động lần lượt trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1;2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 3. (4,0 điểm) 
a)	Giải hệ phương trình 
b)	Một nhóm học sinh được giao sắp xếp 810 quyển sách vào tủ ở thư viện trong một thời gian nhất định. Khi bắt đầu làm việc, nhóm được bổ sung thêm học sin