Bài toán Xác định đồng tiền giả- tiền thật

Bài toán 
'xác định đồng tiền giả- tiền thật'
I/ Đề bài: (của TS Trần Nam Dũng. 
- ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc gia TP HCM)
Có 9 đồng tiền nhìn ngoài giống hệt nhau, trong đó có 5 đồng thật, 4 đồng giả xếp thành một vòng tròn. Hai đồng tiền giả không xếp cạnh nhau. Các đồng tiền thật nặng như nhau, các đồng tiền giả nặng như nhau và nặng hơn tiền thật. Hãy dùng cân đĩa không có quả cân xác định các đồng tiền giả chỉ sau 2 lần cân. 
 HÌNH 1 à
II/ Bài giải:
Theo đề thì: 2 đồng tiền giả không nằm cạnh nhau, nghĩa là các đồng tiền thật và giả nằm xen kẽ nhau, nhưng có 5 đồng tiền thật nằm xen kẽ 4 đồng tiền giả à nên theo nguyên lí Dirichle, ít nhất cũng có 2 đồng tiền thật nằm liền nhau tại 1 trong 4 khoảng xen kẽ 2 đồng tiền giả. Nếu chia 4 góc phần tư vòng tròn là I,II,III và IV thì 2 đồng tiền thật liền nhau có thể nằm lần lượt trong các góc đó.(Hình 2 a,b,c, d).
Giải sử: 
Trong hình 2à
 àTiền thật; 
 à tiền giả
1/ Cách cân như sau:
Tách 9 đồng tiền thành 3 nhóm (3 đồng tiền liền nhau thành 1 nhóm) theo 4 phương án có thể xếp như hình 3. 
Dù cách chia nhóm như thế nào thì cũng tồn tại 1 nhóm có 2 đồng tiền giả (Nguyên lí Dirichle)
Cân lần thứ nhất: 
Đặt 2 nhóm bất kì lên 2 đĩa cân, ta xác định được nhóm có 2 đồng tiền giả, (Chẳng hạn. là nhóm C Hình 3a, hoặc A hình 3b, hoặc C hình 3c và 3d). Biết rằng,
2 đồng tiền giả trong nhóm nặng hơn này không nằm liền nhau nên đồng tiền ở giữa chắc chắn là đồng tiền thật. 
 Để riêng đồng tiền thật ra ta chọn đươc 2 đồng tiền giả.
 Với 2 nhóm kia, 2 đồng tiền liền 2 đồng tiền giả đã biết chắc chắn là 2 đồng tiền thật ta cũng để riêng ra.
 Bây giờ còn 4 đồng của 2 nhóm kía đồng tiền giả có thể nằm giữa ( như nhóm A-B hinh 3a,3c) hay bên cạnh (như nhóm C – B hình 3b, 3d) ?
Cân lần thư hai:
Đặt 2 nhóm 3 đồng tiền bằng nhau lên 2 đĩa cân, bỏ 2 đồng tiền thật đã biết từ lần cân thứ nhất ra trước; 
Sau đó bỏ tiếp 2 đồng tiền giữa. 
 (Hình 4 với 2 trường hợp) à
 - Nếu Cân vẫn thăng bằng chứng tỏ 
 2 đồng tiền vừa bỏ ra là 2 đồng tiền 
 giả
Nếu cân lệch bên nào thì đồng tiền còn lại là giả và ngược lại đồng tiền vừa lấy ra là tiền thật
Như vậy ta đã tìm ra 4 đồng tiền giả chỉ với 2 lần cân
Đây là cách cân tiện lợi nhất, vì nếu đang có sẵn 2 nhó bằng nhau ta không mất thêm động tác; Nếu đặt sau thì cũng chỉ việc rút thêm ra 2 đồng tiền giữa nhóm cần xác định thật/giả. Tất nhiên cần nhớ đúng vị trí đồng tiền ở giữa.
III.- Kêt luận:
Bài giải này hơi dài dòng và thêm hình minh họa để các bạn hiểu cách suy luận theo logic toán học. Thực hành thì rất đơn giản với 2 lần cân:
lần 1: chia 9 đồng tiền thành 3 nhóm à xác định nhs nặng hơn có 2 đồng giả.
Lần 2: cân 2 nhóm còn lại và lấy dần ra để xác định đồng 2 đồng tiền giữa thật hay giả.