Bài tập tổng hợp về tam giác - đường trung tuyến, phân giác

BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ TAM GIÁC – ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, PHÂN GIÁC
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. 
	a/ Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác cân. 
	b/ Kẻ BH ^ AD ( H Î AD ), kẻ CK ^ AE ( K Î AE). Chứng minh rằng BH = CK và HK//BC
	c/ Gọi O là giao điểm của BH và CK. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao? 
	d/ Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng AM, BH, CK đồng quy.
HD: a. DABD=DACE b. DBDH = DCKE 
 c. DOBC cân tại O vì B = C d, Chỉ ra A,O,M thẳng hàng
Bài 2: Cho D ABC cân tại A . Vẽ BH ^ AC ( H Î AC), CK ^ AB, ( KÎ AB ). 
	a/ Vẽ hình 	
	b/ Chứng minh rằng AH = AK 
	c/ Gọi I là giao điểm BH và CK. Chứng minh KAI=HAI	
	d/ Đường thẳng AI cắt BC tại P. Chứng minh AI ^ BC tại P. 
HD: b. DAHB=DAKC c. DKAI=DHAI d. DABH=DACH
Bài 3: Cho D ABC cân tại A. Kẻ AH ^ BC ( H Î BC ) . 
	a/ Chứng minh BH = HC 	 
	b/ Kẻ HE ^ AC ( E Î AC), HF ^ AB ( F Î AB ). Hỏi D HEF là tam giác gì? Vì sao? 
HD: a. DABH=DACH b. DHFB=DHEC
Bài 4: Cho tam giác ABC cân có AB = AC = 5cm, BC= 8cm. Kẻ AH vuông góc với BC tại H.
a/ Chứng minh: HB = HC và BAH = CAH.
b/ Tính độ dài AH.
c/ Kẻ HD ^ AB ( D Î AB ), Kẻ HE ^ AC (E Î AC ). Chứng minh: êHDE là êcân
HD: a, DABH=DACH b. Pitago AH=3cm c. DBHP=DCHE
Bài 5: Cho êABC cân tại A. Kẻ BD vuông góc với AC và kẻ CE vuông góc với AB. BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) 
b) BAI = CAI 
c) AI là đường trung trực của BC.
HD:b. DEAI = DDAI c. Gọi H là giao AI và BC, DABH=DACH
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Qua A vẽ đường thẳng d // BC. Chứng minh rằng:
a) êABD = êACD.
b) AD là tia phân giác của góc BAC.
c) ADd.
HD: b. DADB=DADC c. AD vuông BC, BC//d
Bài 7: Cho êABC có góc A bằng 600. Tia phân giác của góc ABC cắt tia phân giác của góc ACB ở I.
a) Cho biết CBA = 2ACB. Tính số đo ACB .
b) Tính số đo BIC.
HD: a. B + C = 120O 
Bài 8: Cho êABC, D là trung điểm cạnh BC. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DA. Chứng minh rằng:
a) êADB = êEDC.
b) AB//CE.
c) ABE = ECA
HD:b. DAB = DEC theo a c. êACE =êEBA
Bài 9: Cho êABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D; E là một điểm trên cạnh BC sao cho BE = BA. 
a) Chứng minh rằng: êABD = êEBD.
b) Chứng minh rằng: DEBC.
c) Gọi F là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng DC = DF.
HD: c. êDEC = êDAF.
Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có góc A bằng 600. D là trung điểm của cạnh AC. Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = AD. Chứng minh rằng:
a) êADE là tam giác đều.
b) êDEC là tam giác cân.
c) CEAB.
HD:b. DE=CD=AD c. Góc CED=30
Bài 11: Cho êABC vuông cân tại A. M là trung điểm cạnh BC. Điểm E nằm giữa M và C. Vẽ BHAE tại H, CKAE tại K. Chứng minh rằng:
a) BH = AK.
b) êHBM = êKAM.
c) êMHK vuông cân.
HD:a. êABH=êACK c. MK = MH, góc MKH = MHK = MHB = 45
Bài 12: Cho đoạn AB = 7cm, trên AB lấy C sao cho AC = 2cm, trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB kẻ Ax và By cùng vuông góc với AB. Lấy D trên Ax, E trên By sao cho AD = 10cm, BE = 1cm.
a) Tính CD, CE.
b) Chứng minh CD vuông góc CE
HD: b. Kẻ DH vuông By, suy ra ADHB là HCN, từ đó tính ED
Bài 13: Cho D ABC, trung tuyến AM cũng là phân giác.
	a/ Chứng minh rằng D ABC cân
	b/ Cho biết AB = 37, AM = 35, tính BC.
Bài 14: Cho ABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB,AC. 
Trên tia đối của tia FB lấy P sao cho PF = BF. Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao cho QE = CE.
a) Chứng minh A là trung điểm của PQ.
b) Chứng minh BQ // AC và CP // AB.
c) Gọi R là giao điểm của hai đường thẳng PC và QB. Chứng minh chu vi PQR bằng hai lần chu vi ABC.
d) Chứng minh AR, BP,CQ đồng quy tại một điểm
Bài 15. Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi Ax là tia phân giác góc A. Qua trung điểm M của BC kẻ đường thẳng vuông góc với Ax, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D và E. 
a) Chứng minh tam giác ADE cân.
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DE tại F. Chứng minh BD = BF.
c) Chứng minh BD = CE.
Bài 16. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi H, J, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến AB, AC, BC. Biết KI = lcm, BK = 2cm, KC = 3cm.
a) Chứng minh BHI = BKI
b) Chứng minh tam giác AHI là tam giác vuông cân.
c) Tính chu vi tam giác ABC
Bài 17. Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho MB = AB, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho NC = AC. Qua M kẻ đường thẳng song song với AB. Qua N kẻ đường thẳng song song với AC. Hai đường thẳng đó cắt nhau tại P. Chứng minh:
a) MA, NA lần lượt là tia phân giác của 
b) Tia PA cắt BC tại K. Chứng minh PA là tia phân giác của , từ đó suy ra AK là tia phân giác của .
Bài 18. Cho tam giác ABC. Các đường phân, giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K.
a) Chứng minh BK là phân giác của góc ABC.
b) Cho các tia phân giác các góc A và C trong tam giác ABC cắt nhau ở I Chứng minh B, I, K thẳng hàng.
c) Cho biết = 70°. Tính .
Bài 19. Cho tam giác ABC cân tại A. CP, BQ là các tia phân giác trong của tam giác ABC (P AB, Q AC). Gọi O là giao điểm của CP và BQ.
a) Chứng minh tam giác OBC là tam giác cân.
b) Chứng minh điểm O cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
c) Chứng minh đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó.
d) Chứng minh CP = BQ.
e) Tam giác APQ là tam giác gì? Vì sao
Bài 20. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC (H BC).
Tia phân giác của cắt BC ở D.
a) Chứng minh tam giác ACD là tam giác cân.
b) Các tia phân giác của và cắt nhau ở I. Chứng minh. CI đi qua trung điểm, của AD. Từ đó tính góc .
Bài 21. Tam giác ABC có I là giao điểm các tia phân giác của các góc B và C. Gọi D là giao điểm của AI và BC. Kẻ IH vuông góc với BC (H BC). Chứng minh:
a) AD là tia phân giác của ;	b) 	c) 
Bài 22. Cho tam. giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại điểm M. Kẻ MDBC (D BC).
a) Chứng minh BA = BD.
b) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DM và BA. Chứng minh ABC = DBE.
c) Kẻ DH MC (H MC) và AK ME (K ME). Gọi N là giao điểm của hai tia DH và AK. Chứng minh MN là tia phân giác góc HMK.
d) Chứng minh ba điểm B, M, N thẳng hàng.
Bài 23. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M, trên tia đối tia của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.
 a) Chứng minh tam giác AMN cân.
b) Kẻ BEAM (EAM), CFAN (FAN). Chứng minhBME = CNF.
c) EB và FC kéo dài cắt nhau tại O. Chứng minh AO là tia phân giác của góc MAN.
d) Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM, qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AN, chúng cắt nhau ở H. Chứng minh ba điểm A, O, H thẳng hàng.
Bài 24. Cho Oz là tia phân giác của . Từ một điểm B trên tia Ox vẽ đường thẳng song song với tia Oy cắt Oz tại điểm C. Kẻ BHOy; CMOy; BKOz ( H, MOy; KOz). MC cắt Ox tại P. Chứng minh:
K là trung điểm của OC.	 b) KMC là tam giác đều.	c) OP > OC
Bài 25. Cho tam giác vuông ABC () có AB > AC. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với BC và cắt tia đối của tia AC tại E.
	a, Chứng minh AED = ABC.	b, Tính số đo các gúc của ABE.
Bài 26. Cho tam giác ABC. Vẽ phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH BC, DM AH, EN AH. Chứng minh rằng:
DM = AH
EN = AH. Có nhận xét gì về DM và EN
Gọi O là giao điểm của AN và DE. Chứng minh rằng O là trung điểm của DE