Bài tập ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9

Sách giải – Người thầy của bạn  
1 
Bài tập ơn thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 9 
(Chuẩn kiến thức, kỹ năng) 
PHẦN I: ĐỀ BÀI 
1. Chứng minh 7 là số vơ tỉ. 
2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) 
 b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacơpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2. 
4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : 
a b
ab
2

 . 
 b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 
bc ca ab
a b c
a b c
     
 c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 
5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3. 
6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 
7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 
8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a b a b   
9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a 
 b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 
10. Chứng minh các bất đẳng thức : 
 a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 
11. Tìm các giá trị của x sao cho : 
 a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1. 
12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 
13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá 
trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đĩ. 
14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0. 
15. Chứng minh rằng khơng cĩ giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : 
Sách giải – Người thầy của bạn  
2 
 x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0 
16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
2
1
A
x 4x 9

 
17. So sánh các số thực sau (khơng dùng máy tính) : 
 a) 7 15 và 7 b) 17 5 1 và 45  
 c) 
23 2 19
và 27
3

 d) 3 2 và 2 3 
18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vơ tỉ lớn hơn 2 nhưng nhỏ hơn 3 
19. Giải phương trình : 2 2 23x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x        . 
20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4. 
21. Cho 
1 1 1 1
S .... ...
1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1
     
  
. 
 Hãy so sánh S và 
1998
2.
1999
. 
22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a khơng phải là số chính phương thì a là số vơ tỉ. 
23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng : 
a) 
x y
2
y x
  
b) 
2 2
2 2
x y x y
0
y x y x
   
      
  
c) 
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y x y
2
y x y x y x
     
          
    
. 
24. Chứng minh rằng các số sau là số vơ tỉ : 
a) 1 2 
b) 
3
m
n
 với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0. 
25. Cĩ hai số vơ tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ khơng ? 
Sách giải – Người thầy của bạn  
3 
26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : 
2 2
2 2
x y x y
4 3
y x y x
 
    
 
. 
27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : 
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
     . 
28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vơ tỉ là một số vơ tỉ. 
29. Chứng minh các bất đẳng thức : 
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) 
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 
c) (a1 + a2 + .. + an)
2 ≤ n(a1
2 + a2
2 + .. + an
2). 
30. Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2. 
31. Chứng minh rằng :      x y x y   . 
32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
2
1
A
x 6x 17

 
. 
33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
x y z
A
y z x
   với x, y, z > 0. 
34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4. 
35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. 
36. Xét xem các số a và b cĩ thể là số vơ tỉ khơng nếu : 
a) ab và 
a
b
 là số vơ tỉ. 
b) a + b và 
a
b
 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 
c) a + b, a2 và b2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 
37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 
38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh : 
a b c d
2
b c c d d a a b
   
   
39. Chứng minh rằng  2x bằng  2 x hoặc  2 x 1 
Sách giải – Người thầy của bạn  
4 
40. Cho số nguyên dương a. Xét các số cĩ dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ;  ; a + 15n. 
Chứng minh rằng trong các số đĩ, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96. 
41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau cĩ nghĩa : 
2
2 2
1 1 1 2
A= x 3 B C D E x 2x
xx 4x 5 1 x 3x 2x 1
       
    
2G 3x 1 5x 3 x x 1       
42. a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ? 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 2 2M x 4x 4 x 6x 9      . 
 c) Giải phương trình : 2 2 24x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81        
43. Giải phương trình : 2 22x 8x 3 x 4x 5 12     . 
44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau cĩ nghĩa : 
2 2
2
1 1
A x x 2 B C 2 1 9x D
1 3x x 5x 6
       
  
2 2
2
1 x
E G x 2 H x 2x 3 3 1 x
x 42x 1 x
        
 
45. Giải phương trình : 
2x 3x
0
x 3



46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x x  . 
47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B 3 x x   
PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI 
1. Giả sử 7 là số hữu tỉ  
m
7
n
 (tối giản). Suy ra 
2
2 2
2
m
7 hay 7n m
n
  (1). Đẳng thức này 
chứng tỏ 2m 7 mà 7 là số nguyên tố nên m  7. Đặt m = 7k (k  Z), ta cĩ m2 = 49k2 (2). Từ 
(1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3). Từ (3) ta lại cĩ n2  7 và vì 7 là số nguyên tố nên 
n  7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số 
m
n
 khơng tối giản, trái giả thiết. Vậy 7 khơng 
phải là số hữu tỉ; do đĩ 7 là số vơ tỉ. 
Sách giải – Người thầy của bạn  
5 
2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a)  b) vì (ad – bc)2 ≥ 0. 
3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta cĩ y = 2 – x. Do đĩ : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2 + 2 ≥ 2. 
Vậy min S = 2  x = y = 1. 
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1, ta cĩ : 
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1)  4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S  S ≥ 2.  mim S = 2 khi x = y = 1 
4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương 
bc ca bc ab ca ab
và ; và ; và
a b a c b c
, ta 
lần lượt cĩ: 
bc ca bc ca bc ab bc ab
2 . 2c; 2 . 2b
a b a b a c a c
      ;
ca ab ca ab
2 . 2a
b c b c
   cộng 
từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. 
c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta cĩ : 
3a 5b
3a.5b
2

 . 
 (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b)  122 ≥ 60P  P ≤ 
12
5
  max P = 
12
5
. 
Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2  a = 2 ; b = 6/5. 
5. Ta cĩ b = 1 – a, do đĩ M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Dấu “=” xảy ra khi a = ½ . 
Vậy min M = ¼  a = b = ½ . 
6. Đặt a = 1 + x  b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3. 
Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại cĩ a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2. 
Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1. 
7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b). 
8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b |  a2 + 2ab + b2 ≥ a2 – 2ab + b2 
  4ab > 0  ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu. 
9. a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0. 
b) Ta cĩ : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức này cĩ hai vế đều 
dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8. 
10. a) Ta cĩ : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2). 
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn, ta được : 
Sách giải – Người thầy của bạn  
6 
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2). 
11. a) 
4
2x 3 1 x 3x 4 x
2x 3 1 x 3
2x 3 x 1 x 2
x 2

                  
b) x2 – 4x ≤ 5  (x – 2)2 ≤ 33  | x – 2 | ≤ 3  -3 ≤ x – 2 ≤ 3  -1 ≤ x ≤ 5. 
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1  (2x – 1)2 ≤ 0. Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên chỉ cĩ thể : 2x – 1 = 0 
Vậy : x = ½ . 
12. Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0 (1). Nhân hai vế 
của (1) với 4 rồi đưa về dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 + (a – 2d)2 = 0 (2). Do đĩ ta cĩ : 
a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0. 
13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998  M ≥ 1998. 
Dấu “ = “ xảy ra khi cĩ đồng thời : 
a b 2 0
a 1 0
b 1 0
  

 
  
 Vậy min M = 1998  a = b = 1. 
14. Giải tương tự bài 13. 
15. Đưa đẳng thức đã cho về dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0. 
16. 
 
22
1 1 1 1
A . max A= x 2
x 4x 9 5 5x 2 5
    
   
. 
17. a) 7 15 9 16 3 4 7      . Vậy 7 15 < 7 
b) 17 5 1 16 4 1 4 2 1 7 49 45           . 
c) 
23 2 19 23 2 16 23 2.4
5 25 27
3 3 3
  
     . 
d) Giả sử    
2 2
3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 18 12 18 12         . 
Bất đẳng thức cuối cùng đúng, nên : 3 2 2 3 . 
18. Các số đĩ cĩ thể là 1,42 và 
2 3
2

Sách giải – Người thầy của bạn  
7 
19. Viết lại phương trình dưới dạng : 2 2 23(x 1) 4 5(x 1) 16 6 (x 1)        . 
Vế trái của phương trình khơng nhỏ hơn 6, cịn vế phải khơng lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ 
xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1. 
20. Bất đẳng thức Cauchy 
a b
ab
2

 viết lại dưới dạng 
2
a b
ab
2
 
  
 
 (*) (a, b ≥ 0). 
Áp dụng bất dẳng thức Cauchy dưới dạng (*) với hai số dương 2x và xy ta được : 
2
2x xy
2x.xy 4
2
 
  
 
Dấu “ = “ xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức là khi x = 1, y = 2.  max A = 2  x = 2, y = 2. 
21. Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng : 
1 2
a bab


. Áp dụng ta cĩ S > 
1998
2.
1999
. 
22. Chứng minh như bài 1. 
23. a) 
2 2 2x y x y 2xy (x y)
2 0
y x xy xy
  
     . Vậy 
x y
2
y x
  
b) Ta cĩ : 
2 2 2 2
2 2 2 2
x y x y x y x y x y
A 2
y x y x y x y x y x
        
                 
        
. Theo câu a : 
2 22 2
2 2
x y x y x y
A 2 2 1 1 0
y x y x y x
       
                
     
c) Từ câu b suy ra : 
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y
0
y x y x
   
      
   
. Vì 
x y
2
y x
  (câu a). Do đĩ : 
4 4 2 2
4 4 2 2
x y x y x y
2
y x y x y x
     
          
    
. 
24. a) Giả sử 1 2 = m (m : số hữu tỉ)  2 = m2 – 1  2 là số hữu tỉ (vơ lí) 
b) Giả sử m + 
3
n
 = a (a : số hữu tỉ)  
3
n
 = a – m  3 = n(a – m)  3 là số hữu tỉ, 
vơ lí. 
25. Cĩ, chẳng hạn 2 (5 2) 5   
Sách giải – Người thầy của bạn  
8 
26. Đặt 
2 2
2
2 2
x y x y
a 2 a
y x y x
      . Dễ dàng chứng minh 
2 2
2 2
x y
2
y x
  nên a2 ≥ 4, do đĩ 
| a | ≥ 2 (1). Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – 2 + 4 ≥ 3a 
 a2 – 3a + 2 ≥ 0  (a – 1)(a – 2) ≥0 (2) 
Từ (1) suy ra a ≥ 2 hoặc a ≤ -2. Nếu a ≥ 2 thì (2) đúng. Nếu a ≤ -2 thì (2) cũng đúng. 
Bài tốn được chứng minh. 
27. Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : 
 4 2 4 2 4 2 2 2 2
2 2 2
x z y x z x x z y x z y xyz
0
x y z
    
 . 
Cần chứng minh tử khơng âm, tức là : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ 0. (1) 
Biểu thức khơng đổi khi hốn vị vịng x  y  z  x nên cĩ thể giả sử x là số lớn nhất. Xét 
hai trường hợp : 
a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x ở (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với : 
x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ 0 
 z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ 0 
Dễ thấy x – y ≥ 0 , x3 – y2z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx2 – z3 ≥ 0 nên bất đẳng thức trên đúng. 
b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y ở (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với : 
x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ 0 
 z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ 0 
Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng. 
Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : 
2 2 2
x y z x y z
1 1 1 3
y z x y z x
      
               
      
. 
28. Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vơ tỉ b là số hữu tỉ c. Ta 
cĩ : b = c – a. Ta thấy, hiệu của hai số hữu tỉ c và a là số hữu tỉ, nên b là số hữu tỉ, trái với giả 
thiết. Vậy c phải là số vơ tỉ. 
29. a) Ta cĩ : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)  (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2). 
Sách giải – Người thầy của bạn  
9 
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn ta được : 
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 
c) Tương tự như câu b 
30. Giả sử a + b > 2  (a + b)3 > 8  a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8  2 + 3ab(a + b) > 8 
 ab(a + b) > 2  ab(a + b) > a3 + b3. Chia hai vế cho số dương a + b : ab > a2 – ab + b2 
 (a – b)2 < 0, vơ lí. Vậy a + b ≤ 2. 
31. Cách 1: Ta cĩ :  x ≤ x ;  y ≤ y nên  x +  y ≤ x + y. Suy ra  x +  y là số nguyên 
khơng vượt quá x + y (1). Theo định nghĩa phần nguyên,  x y là số nguyên lớn nhất khơng 
vượt quá x + y (2). Từ (1) và (2) suy ra :  x +  y ≤  x y . 
Cách 2 : Theo định nghĩa phần nguyên : 0 ≤ x -  x < 1 ; 0 ≤ y -  y < 1. 
Suy ra : 0 ≤ (x + y) – ( x +  y ) < 2. Xét hai trường hợp : 
- Nếu 0 ≤ (x + y) – ( x +  y ) < 1 thì  x y =  x +  y (1) 
- Nếu 1 ≤ (x + y) – ( x +  y ) < 2 thì 0 ≤ (x + y) – ( x +  y + 1) < 1 nên 
 x y =  x +  y + 1 (2). Trong cả hai trường hợp ta đều cĩ :  x +  y ≤  x y 
32. Ta cĩ x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + 8 ≥ 8 nên tử và mẫu của A là các số dương , suy ra A > 0 
do đĩ : A lớn nhất  
1
A
 nhỏ nhất  x2 – 6x + 17 nhỏ nhất. 
Vậy max A = 
1
8
  x = 3. 
33. Khơng được dùng phép hốn vị vịng quanh x  y  z  x và giả sử x ≥ y ≥ z. 
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z : 
3
x y z x y z
A 3 . . 3
y z x y z x
     
Do đĩ 
x y z x y z
min 3 x y z
y z x y z x
 
         
 
Sách giải – Người thầy của bạn  
10 
Cách 2 : Ta cĩ : 
x y z x y y z y
y z x y x z x x
   
         
  
. Ta đã cĩ 
x y
2
y x
  (do x, y > 0) nên để 
chứng minh 
x y z
3
y z x
   ta chỉ cần chứng minh : 
y z y
1
z x x
   (1) 
(1)  xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) 
 xy + z2 – yz – xz ≥ 0  y(x – z) – z(x – z) ≥ 0  (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) 
(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đĩ (1) đúng. Từ đĩ tìm được 
giá trị nhỏ nhất của 
x y z
y z x
  . 
34. Ta cĩ x + y = 4  x2 + 2xy + y2 = 16. Ta lại cĩ (x – y)2 ≥ 0  x2 – 2xy + y2 ≥ 0. Từ đĩ 
suy ra 2(x2 + y2) ≥ 16  x2 + y2 ≥ 8. min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2. 
35. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm : 
1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz (1) 
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x y)(y z)(z x)   (2) 
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều khơng âm) : 2 ≥ 9. 3 A  A ≤ 
3
2
9
 
 
 
max A = 
3
2
9
 
 
 
 khi và chỉ khi x = y = z = 
1
3
. 
36. a) Cĩ thể. b, c) Khơng thể. 
37. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b). 
38. Áp dụng bất đẳng thức 
2
1 4
xy (x y)


 với x, y > 0 : 
2 2 2 2
2
a c a ad bc c 4(a ad bc c )
b c d a (b c)(a d) (a b c d)
     
  
      
 (1) 
Tương tự 
2 2
2
b d 4(b ab cd d )
c d a b (a b c d)
  
 
    
 (2) 
 Cộng (1) với (2) 
2 2 2 2
2
a b c d 4(a b c d ad bc ab cd)
b c c d d a a b (a b c d)
      
   
      
= 4B 
Sách giải – Người thầy của bạn  
11 
Cần chứng minh B ≥ 
1
2
, bất đẳng thức này tương đương với : 
2B ≥ 1  2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 
 a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0  (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng. 
39. - Nếu 0 ≤ x -  x < ½ thì 0 ≤ 2x - 2 x < 1 nên  2x = 2 x . 
- Nếu ½ ≤ x -  x < 1 thì 1 ≤ 2x - 2 x < 2  0 ≤ 2x – (2 x + 1) < 1   2x = 2 x + 1 
40. Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m, p sao cho : 

mchữ số 0
96000...00 ≤ a + 15p < 
mchữ số 0
97000...00 
Tức là 96 ≤ 
m m
a 15p
10 10
 < 97 (1). Gọi a + 15 là số cĩ k chữ số : 10k – 1 ≤ a + 15 < 10k 
   
k k
1 a 15
1
10 10 10
 (2). Đặt  n k k
a 15p
x
10 10
. Theo (2) ta cĩ x1 < 1 và k
15
10
 < 1. 
Cho n nhận lần lượt các giá trị 2, 3, 4, , các giá trị của xn tăng dần, mỗi lần tăng khơng quá 1 
đơn vị, khi đĩ  nx sẽ trải qua các giá trị 1, 2, 3,  Đến một lúc nào đĩ ta cĩ   px = 96. Khi 
đĩ 96 ≤ xp < 97 tức là 96 ≤ k k
a 15p
10 10
 < 97. Bất đẳng thức (1) được chứng minh. 
42. a) Do hai vế của bất đẳng thức khơng âm nên ta cĩ : 
 | A + B | ≤ | A | + | B |  | A + B |2 ≤ ( | A | + | B | )2 
 A2 + B2 + 2AB ≤ A2 + B2 + 2| AB |  AB ≤ | AB | (bất đẳng thức đúng) 
Dấu “ = “ xảy ra khi AB ≥ 0. 
b) Ta cĩ : M = | x + 2 | + | x – 3 | = | x + 2 | + | 3 – x | ≥ | x + 2 + 3 – x | = 5. 
Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi (x + 2)(3 – x) ≥ 0  -2 ≤ x ≤ 3 (lập bảng xét dấu) 
Vậy min M = 5  -2 ≤ x ≤ 3. 
c) Phương trình đã cho  | 2x + 5 | + | x – 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 – x | 
  (2x + 5)(4 – x) ≥ 0  -5/2 ≤ x ≤ 4 
Sách giải – Người thầy của bạn  
12 
43. Điều kiện tồn tại của phương trình : x2 – 4x – 5 ≥ 0  
x 1
x 5
 
 
Đặt ẩn phụ 2x 4x 5 y 0    , ta được : 2y2 – 3y – 2 = 0  (y – 2)(2y + 1) = 0. 
45. Vơ nghiệm 
46. Điều kiện tồn tại của x là x ≥ 0. Do đĩ : A = x + x ≥ 0  min A = 0  x = 0. 
47. Điều kiện : x ≤ 3. Đặt 3 x = y ≥ 0, ta cĩ : y2 = 3 – x  x = 3 – y2. 
 B = 3 – y2 + y = - (y – ½ )2 + 
13
4
 ≤ 
13
4
 . max B = 
13
4
  y = ½  x = 
11
4
 . 
--- The end ---