Bài ôn tập môn Toán học lớp 9 - Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai

D¹ng I: rót gän biÓu thøc
Cã chøa c¨n thøc bËc hai
I/ BiÓu thøc sè häc
Ph­¬ng ph¸p:
Dïng c¸c ph­¬ng ph¸p biÕn ®æi c¨n thøc(®­a ra ; ®­a vµo; ;khö; trôc; céng,trõ c¨n thøc ®ång d¹ng; rót gän ph©n sè) ®Ó rót gän biÓu thøc.
Bµi tËp: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) 
9) ;
10) ;
11) ; 
 -------------
12) ;
13) ;
14) ;
15) ;
16) ;
17) ;
18) ;
19) 
20) .
II/ BiÓu thøc ®¹i sè: 
Ph­¬ng ph¸p:
Ph©n tÝch ®a thøc tö vµ mÉu thµnh nh©n tö;
T×m §KX§ (NÕu bµi to¸n ch­a cho §KX§)
Rót gän tõng ph©n thøc(nÕu ®­îc)
Thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt nh­:
 + Quy ®ång(®èi víi phÐp céng trõ) ; nh©n ,chia.
 + Bá ngoÆc: b»ng c¸ch nh©n ®¬n ; ®a thøc hoÆc dïng h»ng ®¼ng thøc
 + Thu gän: céng, trõ c¸c h¹ng tö ®ång d¹ng.
 + Ph©n tÝch thµnh nh©n tö – rót gän
Chó ý: - Trong mçi bµi to¸n rót gän th­êng cã c¸c c©u thuéc c¸c lo¹i to¸n: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc; gi¶i ph­¬ng tr×nh; bÊt ph­¬ng tr×nh; t×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn; t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ,lín nhÊtDo vËy ta ph¶i ¸p dông c¸c ph­¬ng ph¸p gi¶i t­¬ng øng, thÝch hîp cho tõng lo¹i bµi.
vÝ dô: Cho biÓu thøc: 
a/ Rót gän P.
b/ T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn.
Gi¶i: a/ Rót gän P: 
 - Ph©n tÝch: 
 - §KX§: 
 - Quy ®ång: 
 - Rót gän: 
 b/ T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn:
 - Chia tö cho mÉu ta ®­îc: . 
 - Lý luËn: P nguyªn nguyªn lµ ­íc cña 1 lµ.
 VËy víi a = 1 th× biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi tËp:
Bµi 1: Cho biÓu thøc 
Rót gän biÓu thøc A;
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6.
Bµi 2: Cho biÓu thøc 
Rót gän biÓu thøc B;
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0.
Bµi 3: Cho biÓu thøc 
Rót gän biÓu thøc C;
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C < 1.
Bµi 4: Rót gän biÓu thøc : 
Bµi5: Cho c¸c biÓu thøc: vµ 
Rót gän biÓu thøc P vµ Q;
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = Q.
Bµi 6: Cho biÓu thøc: 
Rót gän biÓu thøc P
So s¸nh P víi 5.
Víi mäi gi¸ trÞ cña x lµm P cã nghÜa, chøng minh biÓu thøc chØ nhËn ®óng mét gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 7: Cho biÓu thøc: 
T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa, rót gän biÓu thøc P;
T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó lµ sè tù nhiªn;
TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2.
Bµi 8: Cho biÓu thøc : 
Rót gän biÓu thøc P;
T×m x ®Ó 
Bµi 9: Cho biÓu thøc :
 P = 
Rót gän P
T×m a ®Ó P<
Bµi 10: Cho biÓu thøc:
 P =
Rót gän P
T×m x ®Ó P <
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P
Bµi 11: Cho biÓu thøc :
 P =
Rót gän P
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P<1
Bµi 12: Cho biÓu thøc :
 P =
Rót gän P
T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P=
Chøng minh P
Bµi 13: Cho biÓu thøc:
 P = víi m > 0
Rót gän P
TÝnh x theo m ®Ó P = 0.
X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó x t×m ®­îc ë c©u b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x >1
Bµi 14: Cho biÓu thøc :
 P =
Rót gän P
T×m a ®Ó P = 2
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P ?
Bµi 15: Cho biÓu thøc
 P = 
Rót gän P
TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a = vµ b =
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu 
Bµi 16: Cho biÓu thøc :
 P =
Rót gän P
Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P = 7
Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P > 6
Bµi 17: Cho biÓu thøc:
 P = 
Rót gän P
T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 0
T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P = -2
Bµi 18: Cho biÓu thøc:
 P =
T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa.
Rót gän P
TÝnh gi¸ trÞ cña P khi a = vµ b =
Bµi 19: Cho biÓu thøc :
 P =
Rót gän P
Chøng minh r»ng P > 0 x 
Bµi 20: Cho biÓu thøc :
 P =
Rót gän P
TÝnh khi x =
Bµi 21: Cho biÓu thøc:
 P =
Rót gän P
T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = 20
Bµi 22: Cho biÓu thøc :
 P =
Rót gän P
Chøng minh P 
Bµi 23: Cho biÓu thøc :
 P =
Rót gän P
TÝnh P khi a =16 vµ b = 4
Bµi 24: Cho biÓu thøc:
 P =
Rót gän P 
Cho P = t×m gi¸ trÞ cña a
Chøng minh r»ng P >
Bµi 25: Cho biÓu thøc:
 P =
Rót gän P
Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P < 1
Bµi 26: Cho biÓu thøc:
 P =
Rót gän P
T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn
Bµi 27: Cho biÓu thøc: 
 P =
Rót gän P
T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P >
Bµi 28: Cho biÓu thøc:
 P =
Rót gän P
Cho x.y=16. X¸c ®Þnh x,y ®Ó P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt
Bµi 29: Cho biÓu thøc :
 P = 
Rót gän P
T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d­¬ng x ®Ó y=625 vµ P<0,2
Bµi 30: Cho biÓu thøc:
 P =
Rót gän P
So s¸nh P víi 3
D¹ng ii: 
 ®å thÞ 
 vµ t­¬ng quan gi÷a chóng
I/.ĐiÓm thuộc đường – đường đi qua điểm.
Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) ⟺ yA = f(xA).
Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4)
 Giải:
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22 ⟺ a = 1
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: 
y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không?
Giải:
Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)
II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).
Bước 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điÓm của hai đường trên.
III.Quan hệ giữa hai đường thẳng.
 Xét hai đường thẳng : 	(d1) : y = a1x + b1. vµ (d2) : y = a2x + b2.
(d1) cắt (d2) ⟺ a1 ≠ a2.
d1) // (d2) ⟺ a1=a2b1≠b2
d1) ≡ (d2) ⟺ a1=a2b1=b2
(d1) ⊥ (d2) ⟺ a1.a2 = -1
IV.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui.
Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y).
Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số .
V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’x2 (a’≠0).
 1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
 a’x2 = ax + b (#) a’x2- ax – b = 0 
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax2 để tìm tung độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (#) là số giao điểm của (d) và (P).
 2.Tìm điều kiện để (d) và (P) c¾t;tiÕp xóc; kh«ng c¾t nhau:
Tõ ph­¬ng tr×nh (#) ta cã: 
a) (d) và (P) cắt nhau ⟺ phương trình (#) có hai nghiệm phân biệt 
b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau ⟺ phương trình (#) có nghiệm kép
c) (d) và (P) không giao nhau ⟺ phương trình (#) vô nghiệm 
VI.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b :
 1.BiÕt quan hệ về hệ số góc(//hay vu«ng gãc) và đi qua điểm A(x0;y0)
Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc ®Ó tìm hệ số a.
Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b.
 2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2).
Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình:
ax1+b=y1ax2+ b=y2
 Giải hệ phương trình tìm a,b.
 3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = a’x2 
+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình :
y0 = ax0 + b 
+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = a’x2 nên:
	Pt: a’x2 = ax + b có nghiệm kép⟺Δ=0 
+) Gi¶i hÖ để tìm a,b.
VII.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).
+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m.
+) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0.
VIII.T×m kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú A; B
Gäi x1; x2 lÇn l­ît lµ hoµnh ®é cña A vµ B; y1,y2 lÇn l­ît lµ tung ®é cña A vµ B 
Khi ®ã kho¶ng c¸ch AB ®­îc tÝnh bëi ®Þnh lý Pi Ta Go trong tam gi¸c vu«ng ABC:
IX. Một số ứng dụng của đồ thị hàm số: 
1.Ứng dụng vào phương trình.
2.Ứng dụng vào bài toán cực trị.
 bµi tËp vÒ hµm sè.
Bµi 1. cho parabol (p): y = 2x2. 
1. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®­êng th¼ng y = ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2).
2. t×m ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2).
3. T×m giao ®iÓm cña (p) víi ®­êng th¼ng y = 2m +1. 
Bµi 2: Cho (P) vµ ®­êng th¼ng (d): y = ax + b .
1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P).
2. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm.
Bµi 3: Cho (P) vµ ®­êng th¼ng (d) y = 2x + m
1. VÏ (P)
2. T×m m ®Ó (P) tiÕp xóc (d) 
3. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm.
Bµi 4: Cho (P) vµ (d): y = x + m
1. VÏ (P)
2. X¸c ®Þnh m ®Ó (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B
3. X¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d') song song víi ®­êng th¼ng (d) vµ c¾t (P) t¹i ®iÎm cã tung ®é b»ng -4
4. X¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d'') vu«ng gãc víi (d') vµ ®i qua giao ®iÓm cña (d') vµ (P)
Bµi 5: Cho hµm sè (P): vµ hµm sè(d): y = x + m 
1. T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B
2. X¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d') vu«ng gãc víi (d) vµ tiÕp xóc víi (P)
3. T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng 
Bµi 6: Cho ®iÓm A(-2;2) vµ ®­êng th¼ng () y = -2(x+1)
1. §iÓm A cã thuéc () kh«ng ? V× sao ?
2. T×m a ®Ó hµm sè (P): ®i qua A
3. X¸c ®Þnh ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng () ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ()
4. Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ () ; C lµ giao ®iÓm cña () víi trôc tung . T×m to¹ ®é cña B vµ C . TÝnh chu vi tam gi¸c ABC?
Bµi 7: Cho (P) vµ ®­êng th¼ng (d) ®i qua hai ®iÓm A vµ B trªn (P) cã hoµnh ®é lÇn l­ît lµ 
-2 vµ 4
1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn
2.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) 
3.T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) t­¬ng øng hoµnh ®é sao cho tam gi¸c MAB cã diÖn tÝch lín nhÊt.
 (Gîi ý: cung AB cña (P) t­¬ng øng hoµnh ®é cã nghÜa lµ A(-2;) vµ B(4;)Þ tÝnh ;SMAB cã diÖn tÝch lín nhÊtM lµ tiÕp ®iÓm cña ®­êng th¼ng (d1)víi (P)vµ(d1)//(d).
Bµi 8: Cho (P): vµ ®iÓm M (1;-2)
1. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) ®i qua M vµ cã hÖ sè gãc lµ m
HD: Ph­¬ng tr×nh cã d¹ng:mµ a = m. thay x = 1; y = -2 tÝnh b = - m-2. vËy PT: 
2. Chøng minh: (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B khi m thay ®æi 
3. Gäi lÇn l­ît lµ hoµnh ®é cña A vµ B .X¸c ®Þnh m ®Ó ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ ®ã?
Bµi 9: Cho hµm sè (P): 
1. VÏ (P)
2. Gäi A,B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn l­ît lµ -1 vµ 2. ViÕt ph. tr×nh ®­êng th¼ng AB
3. ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P)
Bµi 10: Trong hÖ to¹ ®é xOy cho Parabol (P) vµ ®­êng th¼ng (d): 
1. VÏ (P)
2. T×m m sao cho (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau.T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm 
3. Chøng tá r»ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh
Bµi 11: Cho (P): vµ ®iÓm I(0;-2). Gäi (d) lµ ®­êng th¼ng qua I vµ cã hÖ sè gãc m.
1. Chøng minh r»ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B víi 
2.T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®o¹n AB ng¾n nhÊt
Bµi 12: Cho (P): vµ ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I() cã hÖ sè gãc lµ m
1. VÏ (P) vµ viÕt ph­¬ng tr×nh (d) 
2. T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P) 
3. T×m m sao cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt
Bµi 13: Cho (P): vµ ®­êng th¼ng (d): 
1. VÏ (P) vµ (d) 
2. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) 
3. T×m to¹ ®é cña ®iÓm thuéc (P) sao cho t¹i ®ã ®­êng tiÕp tuyÕn cña (P) song song víi (d)
Bµi 14: Cho (P): 
1.Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn l­ît lµ -1 vµ 2 . ViÕt ph. tr×nh ®­êng th¼ng AB 
2.ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P) 
Bµi 14: Cho (P): 
1.VÏ (P) 
2.Trªn (P) lÊy ®iÓm A cã hoµnh ®é x = 1 vµ ®iÓm B cã hoµnh ®é x = 2 . X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó ®­êng th¼ng (d): y = mx + n tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB
Bµi 15: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn (P) .
D¹ng III:
Ph­¬ng tr×nh vµ HÖ ph­¬ng tr×nh
-------------˜–-----------
A/ Ph­¬ng tr×nh b©c nhÊt mét Èn – gi¶I vµ biÖn luËn:
+ Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn cã d¹ng 
+ Gi¶i vµ biÖn luËn:
NÕu th× ph­¬ng tr×nh v« sè nghiÖm.
NÕu th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
NÕu th× ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt 
vÝ dô: Gi¶i vµ bÞªn luËn ph­¬ng tr×nh sau: 
Gi¶i: 
BiÖn luËn: + NÕu th× ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm: 
 + NÕu th× ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: nªn ph­¬ng tr×nh v« sè nghiÖm.
 + NÕu th× ph­¬ng tr×nh cã d¹ng: nªn ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm. 
Bµi tËp: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph­¬ng tr×nh sau:
Bµi 1. 
Bµi 2. HD: Quy ®ång- thu gän- ®­a vÒ d¹ng ax + b = 0
Bµi 3. .
HD: 
 NÕu 
 NÕu th× ph­¬ng tr×nh v« sè nghiÖm. 
b. hÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt cã hai Èn sè:
+ D¹ng tæng qu¸t: 
+ C¸ch gi¶i: 
Ph­¬ng ph¸p thÕ.
Ph­¬ng ph¸p céng ®¹i sè.
+ Sè nghiÖm sè:
NÕu Th× hÖ ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm .
NÕu Th× hÖ ph­¬ng tr×nh cã v« nghiÖm . 
NÕu Th× hÖ ph­¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm.
+ TËp nghiÖm cña mçi ph­¬ng tr×nh biÓu diÔn trªnmÆt ph¼ng to¹®é lµ ®å thÞ hµm sè d¹ng: 
VÝ dô: Gi¶i c¸c HPT sau: 
 Bµi1: 
Gi¶i: 
+ Dïng PP thÕ: 
 Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: 
 + Dïng PP céng: 
 Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: 
 Bµi2: §Ó gi¶i lo¹i HPT nµy ta th­êng sö dông PP céng cho thuËn lîi.
 Vaäy HPT cã nghiÖm lµ 
Bµi 3: 
*§èi víi HPT ë d¹ng nµy ta cã thÓ sö dông hai c¸ch gi¶i sau ®©y: 
+ C¸ch 1: Sö dông PP céng. §K: .
 Vaäy HPT cã nghiÖm lµ 
 + C¸ch 2: Sö dông PP ®Æt Èn phô. §K: .
 §Æt ; . HPT ®· cho trë thµnh: (TM§K)
Vaäy HPT cã nghiÖm lµ 
 L­u ý: - NhiÒu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy.
Cã thÓ thö l¹i nghiÖm cña HPT võa gi¶i.
Bµi tËp vÒ hÖ ph­¬ng tr×nh:
Bµi 1: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp theá)
 1.1: 
 1.2. 
Bµi 2: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp coäng ñaïi soá)
2.1. 
 2.2. 
Bµi 3: 
 Giaûi heä phöông trình trong moãi tröôøng hôïp sau
 a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1
Bµi 4 a) Xaùc ñònh heä soá avaøb, bieát raèng heä phöông trìnhcoù nghieäm laø (1; -2)
	 b) Cuõng hoûi nhö vaäy neáu heä phöông trình coù nghieäm 
Bµi 5: Giaûi heä phöông trình sau: 
Töø ñoù suy ra nghieäm cuûa heä phöông trình 
Bµi 6: Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
Gi¶i hÖ khi a =3 ; b =-2 
T×m a;b ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ (x;y) = (
Bµi 7: Gi¶i c¸c hÖ ph­¬ng tr×nh sau: (pp ®Æt Èn phô)
 7.1) 7.2) 7.3) (®k x;y2 ) 
 7.4) ; 7.5) ; 7.6) .
 7.7) ; 7.8) ; 
7.9) ; 7.10) ; 7.11) ; 
c.Ph­¬ng tr×nh bËc hai - hÖ thøc vi - Ðt
1.C¸ch gi¶i ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a 0)
* NÕu > 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
	x1 = ; x2 = 
* NÕu = 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = 
* NÕu < 0 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
Chó ý: Trong tr­êng hîp hÖ sè b lµ sè ch½n th× gi¶i ph­¬ng tr×nh trªn b»ng c«ng thøc nghiÖm thu gän:
 b’= vµ ' = 
* NÕu ' > 0 ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
	x1 = ; x2 = 
* NÕu ' = 0 ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = 
* NÕu ' < 0 th× ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm.
2.§Þnh lý Vi Ðt: Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì 
 S = x1 + x2 = - 
 p = x1x2 = 
Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p th× hai sè ®ã là nghiÖm (nếu cã ) cña ph­¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 0 
3. To¸n øng dông ®Þnh lý ViÐt
I. TÝnh nhÈm nghiÖm.
XÐt ph­¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) 
NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 = 
NÕu a – b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - 
NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ th× ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = m , x2 = n
( hoÆc x1 = n , x2 = m)
II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm 
Ví dụ : Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy là nghiệm của phương trình có dạng:
Bài tập áp dụng: 
	1. 	x1 = 8 	vµ 	x2 = -3
	2. 	x1 = 3a 	vµ 	x2 = a
	3. 	x1 = 36 	vµ 	x2 = -104
	4. 	x1 = 	vµ 	x2 = 
2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:
V í dụ: Cho phương trình : có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : và 
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
Vậy phương trình cần lập có dạng: 	
	hay	
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt . Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm và 
	(Đáp số: hay )
2/ Cho phương trình : có 2 nghiệm . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn và (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho).
	(Đáp số : )
3/ Cho phương trình bậc hai: có các nghiệm . Hãy lập phương 	trình bậc hai có các nghiệm sao cho :
	a) và 	b) và 
(Đáp số 	a) 	b) )
III. TÌM HAI SỐ BIẾT TæNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
	(§iều kiện để có hai số đó là S2 4P ³ 0 )
Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4
Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : 
giải phương trình trên ta được và 
Vậy 	nếu a = 1 thì b = 4
	nếu a = 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 
	1. S = 3	và 	P = 2
	2. S = 3	và	P = 6
	3. S = 9	và 	P = 20
	4. S = 2x	và 	P = x2 y2
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết
	1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41
	2. a b = 5 và ab = 36
	3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b.
T ừ 
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : 
Vậy: 	Nếu a = 4 thì b = 5 
	nếu a = 5 thì b = 4
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36
	Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : 
	Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9
	nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4
Cách 2: Từ 
*) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = thì b = 
*) Với và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 
	Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61 
*) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: 
	Vậy nếu a = thì b = ; nếu a = thì b = 
*) Nếu và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 
	Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.
IV. T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc hai cã mét nghiÖm x = x1 cho tr­íc .T×m nghiÖm thø 2
C¸ch gi¶i:
T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x= x1 cho tr­íc cã hai c¸ch lµm:
+) C¸ch 1:- LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph­¬ng tr×nh bËc 2 ®· cho cã 2 nghiÖm: (hoÆc ) (*)
 - Thay x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho ,t×m ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè
 - §èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®­îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*) ®Ó kÕt luËn 
 +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn (hoÆc ) mµ ta thay lu«n x = x1 vµo ph­¬ng tr×nh ®· cho, t×m ®­îc gi¸ trÞ cña tham sè 
 - Sau ®ã thay gi¸ trÞ t×m ®­îc cña tham sè vµo ph­¬ng tr×nh vµ gi¶i ph­¬ng tr×nh 
Chó ý : NÕu sau khi thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph­¬ng tr×nh , mµ ph­¬ng tr×nh bËc hai nµy cã
 < 0 th× kÕt luËn kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña tham sè ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 cho tr­íc.
§Ó t×m nghiÖm thø 2 ta cã 3 c¸ch lµm:
+) C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo ph­¬ng tr×nh råi gi¶i ph­¬ng tr×nh (nh­ c¸ch 2 tr×nh bÇy ë trªn)
+) C¸ch 2 :Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo c«ng thøc tæng 2 nghiÖm sÏ t×m ®­îc nghiÖm thø 2
+) C¸ch 3: thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®­îc vµo c«ng thøc tÝch hai nghiÖm,tõ ®ã t×m ®­îc nghiÖm thø2
V. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức
1.Ph­¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : () và 	
D¹ng 1. 
D¹ng 2. 
D¹ng 3. 
D¹ng 4. 
D¹ng 5. Ta biết 
D¹ng 6. =
D¹ng 7. = =. 
D¹ng 8. = = 
D¹ng 9. = = ..
D¹ng 10. 	
 D¹ng 11. 	=	
D¹ng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
D¹ng13 
2. Bµi tËp ¸p dông: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính
	1. 	(34)	2. 	
	3. 	4. 	(46)
b) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
	1. 	2. 	
c) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
	1. 	2. 	(138)
d) Cho phương trình : Không giải phương trình, hãy tính:
	1. 	(3)	2. 	(1)
	3. 	(1)	4. 	
 5. 
e) Cho phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính
HD: 
VI. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này,c¸c em làm lần lượt theo các bước sau:
1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2
 (thường là a ¹ 0 và D ³ 0)
2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT: 
3- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.§ã chÝnh lµ hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 kh«ng phô thuéc vµo tham sè m.
Ví dụ 1: Cho phương trình : (1) có 2 nghiệm . Lập hệ thức liên hệ 	giữa sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
(Bµi nµy ®· cho PT cã hai nghiÖmx1 ;x2 nªn ta kh«ng biÖn luËn b­íc 1)
Gi¶i:
B­íc2: Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
B­íc2: Rút m từ (1) ta có :
	(3)
Rút m từ (2) ta có :
	(4)
B­íc 3: Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:
Ví dụ 2: Gọi là nghiệm của phương trình : . Chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc giá trị của m.
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
	§K:() ;Thay vào A ta c ó:
	Vậy A = 0 với mọi . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
 1 
	Bài tập áp dụng:
1. Cho phương trình : . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa sao cho độc lập đối với m.
Hướng dẫn: 
 B1: Dễ thấy . Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
 B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có
 B3: Từ (1) và (2) ta có:
 2
 Cho phương trình : .
Tìm hệ thức liên hệ giữa và sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta có
Từ (1) và (2) ta có:
VII.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với các bài toán dạng này c¸c em làm như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 
(thường là a ¹ 0 và D ³ 0)
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1: Cho phương trình : 
	Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à :
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 	và từ giả thiết: . Suy ra:
	(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Ví dụ 2: Cho phương trình : .
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là :
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 	và từ giả thiết . Suy ra
Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Bài tập áp dụng
	1. Cho phương trình : 
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
	2. Cho phương trình : 
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức: 
	3. Cho phương trình : . 
	Tìm m để 2 nghiệm và thoả mãn hệ thức : 
Hướng dẫn cách giải: 
	Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ: 
+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm và tích nghiệm nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm và tích nghiệm rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: 	- ĐKX Đ: 
	-Theo VI-ÉT: 
	- Từ Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: 
BT2: - ĐKXĐ: 
- Theo VI-ÉT: 
- Từ : . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : (thoả mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
- -Theo VI-ÉT: 
- Từ giả thiết: . Suy ra: (2)
- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: (thoả mãn )
VIII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
	Cho phương trình:	 (a ¹ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm .
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm
x1
x2
D
Điều kiện chung
trái dấu
P < 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P < 0.
cùng dấu,
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0
cùng dương,
+
+
S > 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S > 0
cùng âm
S < 0
P > 0
D ³ 0
D ³ 0 ; P > 0 ; S < 0.
Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:
	 có 2 nghiệm trái dấu.
Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì 
Vậy với thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu.
Bài tập tham khảo:
	1. có 2 nghiệm cùng dấu.
	2. có 2 nghiệm âm.	
	3. có ít nhất một nghiệm không âm.
IX. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:
	 	(trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số)	(*)
Thì ta thấy : 	 (v ì ) 	
	 (v ì)	
Ví dụ 1: Cho phương trình : 
	Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm m để :
	 có giá trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ÉT: 
Theo đ ề b ài : 	
Suy ra: 
Ví dụ 2: Cho phương trình : 
	Gọi và là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : 
Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn
Ta biến đổi B như sau:
	Vì 	
	Vậy m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
	Vì 
	Vậy 
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
	(Với m là ẩn, B là tham số)	(**)
Ta có: 
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì D ³ 0
hay 	
	Vậy: 	 m = 1
Bài tập áp dụng
	1. Cho phương trình : .Tìm m để biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
2. Cho phương trình . Tìm m sao cho nghiệm thỏa mãn điều kiện.
3. Cho phương trình : xác định m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn
a) đạt giá trị lớn nhất
b) đạt giá trị nhỏ nhất
4. Cho phương trình : . Với giá trị nào của m, biểu thức dạt giá trị nhỏ nhất.
5. Cho phương trình . Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Bµi tËp 
Bµi tËp 1:
BiÕn ®æi c¸c ph­¬ng tr×nh sau thµnh ph­¬ng tr×nh bËc hai råi gi¶i
a) 10x2 + 17x + 3 = 2(2x - 1) – 15 b) x2 + 7x - 3 = x(x - 1) - 1
c) 2x2 - 5x - 3 = (x+ 1)(x - 1) + 3 d) 5x2 - x - 3 = 2x(x - 1) - 1 + x2 
e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) – 11 f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5
g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) – 1 h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7
i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1
Bµi tËp 2: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(3m + 2)x + 2m2 - 3m + 5 = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 2; 	
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp.
Bµi tËp 3 Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + m2 - 3m + 5 = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = 3; 	
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 4; 	
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp.
Bµi tËp 4:
Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m - 2)x + 2m2 + 3m = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -2; 	
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -3
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm kÐp.
Bµi tËp 5: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -1vµ m = 3
b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = 4
c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt 
d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = x2
Bµi tËp 6: 
Cho ph­¬ng tr×nh : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -2 
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
c) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 2x2 
Bµi tËp 7: 
Cho ph­¬ng tr×nh : 2x2 - 6x + (m +7) = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = -3 
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 4
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm
d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = - 2x2
Bµi tËp 8: 
Cho ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
a) Gi¶i ph­¬ng tr×nh víi m = - 4 
b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt
d) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tho· m·n ®iÒu kiÖn x1 = 3x2 
Bµi tËp 9:
BiÕt r»ng ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm 
x = 1. T×m nghiÖm cßn l¹i
Bµi tËp 10:
BiÕt r»ng ph­¬ng tr×nh : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 ( Víi m lµ tham sè ) cã mét nghiÖm 
x = -1 . T×m nghiÖm cßn l¹i
x = -1. T×m nghiÖm cßn l¹i.
Bµi tËp 11: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - mx + 2m - 3 = 0 
a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tr¸i dÊu
c)T×m hÖ thøc gi÷a hai nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo m 
Bµi tËp 12: Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai
(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2
b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m
c) Khi ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = -1 t×m gi¸ trÞ cña m vµ t×m nghiÖm cßn l¹i
Bµi tËp 13:Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0 
a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã mét nghiÖm x = - 2. T×m nghiÖm cßn l¹i
b) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 vµ x2 th¶o m·n: x12 + x22 = 8
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x12 + x22 
Bµi tËp 14: Cho ph­¬ng tr×nh: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0 
a) T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã hiÖu hai nghiÖm b»ng 2
b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x1vµ x2 kh«ng phô thuéc m 
Bµi tËp 15: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0 
a) Chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña a
b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo a
c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x12 + x22 
Bµi tËp 16: Cho ph­¬ng tr×nh: x2 - 2(m+4)x + m2 - 8 = 0
a) T×m m ®Ó A = x12 + x22 - x1 - x2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
b) T×m m ®Ó B = x1 + x2 - 3x1x2 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt
c) T×m m ®Ó C = x12 + x22 - x1x2
Bµi tËp 17: T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó c¸c nghiÖm x1, x2 cña ph­¬ng tr×nh
 mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
Bµi tËp 18:
Cho ph­¬ng tr×nh x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 ph©n biÖt tho¶ m·n 
Bµi tËp 19:
Cho ph­¬ng tr×nh: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m lµ tham sè).
a) X¸c ®Þnh m ®Ó c¸c nghiÖm x1; x2 cña ph­¬ng tr×nh tho¶ m·n x1 + 4x2 = 3
b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m
Bµi tËp 20:
a) Víi gi¸ trÞ nµo m th× hai ph­¬ng tr×nh sau cã Ýt nhËt mét nghiÖm chung. T×m nghiÖm chung ®ã?
x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0	(1)
x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0	(2)
b) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (1) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (2) vµ ng­îc l¹i.
--------------------------------
d. Mét sè ph­¬ng tr×nh th­êng gÆp:
1. pH­¬ng tr×nh tÝch: D¹ng: 
VÝ dô: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: . Ph©n