Bài ôn tập môn Hình học lớp 9 - Chuyên đề II: Định lý Viet và ứng dụng

CÁC BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
Chuyên đề II: Định lý Viet và ứng dụng
Chuyên đề II: Định lí Viet và ứng dụng
Định lí:
Với phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và có hai nghiệm x1, x2 thì: 
 x1 + x2 = ; x1x2 = 
Với phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + (d) = 0 (a ≠ 0) có ba nghiệm x1, x2, x3 thì 
x1 + x2 + x3 = ; x1x2 + x2x3 + x3x1 = ; x1x2x3 = 
Ứng dụng:
Phân tích tam thức ra thừa số: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Xác định dấu các nghiệm của phương trình
Tìm hai số biết tổng S và tích P của chúng
Hai số đó là nghiệm của X2 – SX + P = 0 (S2 ≥ 4P)
Tính giá trị các biểu thức về nghiệm
Tìm tham số để thỏa mãn hệ thức về nghiệm
Ứng dụng vào đồ thị.
Mội số bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai
Các bài tập
Ứng dụng 1: Phân tích tam thức ra thừa số
Ở lớp 9, phần này giúp giải quyết các bài toán rút gọn căn thức, đối với học sinh khá giỏi thì ứng dụng này cũng không quá khó. Vì vậy ở đây chỉ nêu vài bài tập tiêu biểu.
Rút gọn các biểu thức:
1. A = 
2. B = 
3. C = 
4. D = 
Cho f(x) = (m2 – m – 2)x2 + (2m2 – 2m + 5)x + m2 – m – 2 
Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm.
Khi m2 – m – 2 ≠ 0, phân tích f(x) thành thừa số.
Ứng dụng II: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Kiến thức cần nhớ:
Phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) sẽ vô nghiệm nếu Δ 0
Khi a chứa tham số thì phải xét trường hợp a = 0.
 Phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Có hai nghiệm: Δ ≥ 0
Có hai nghiệm cùng dấu: Δ ≥ 0, > 0
Có hai nghiệm cùng dương: Δ ≥ 0, > 0, > 0
Có hai nghiệm cùng âm: Δ ≥ 0, > 0, < 0
Có hai nghiệm trái dấu: < 0
Có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm (hoặc nghiệm dương) có giá trị tuyệt đối lớn hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm kia: 0)
Phần này thực chất là giải hệ bất phương trình sẽ được học kĩ ở lớp 10, vì vậy trong chương trình lớp 9 ít có bài tập riêng về loại này mà chỉ được đưa thêm vào dưới dạng câu hỏi ở bài tập của các ứng dụng sau.
Ứng dụng III. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Cho phương trình: x2 + px + q = 0 (1)
Giải phương trình khi p = – (3 + ) q = 3
Gọi x1, x2 là nghiệm của (1), lập phương trình bậc hai có nghiệm là và 
Cho phương trình: x2 – 4x + 3 = 0, không giải phương trình, lập phương trình bậc hai có nghiệm là nghịch đảo các nghiệm của phương trình đã cho.
Cho ax2 + bx + c = 0 có α, β là hai nghiệm. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 
3α +2β và 2α + 3β.
Cho phương trình: x2 – 3x + 2m – 1 = 0 (1)
Gọi x1, x2 là nghiệm của (1), lập phương trình bậc hai ẩn z có nghiệm là 
z1 = x1 – 2; z2 = x2 – 2
Tìm m để (1) có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 2.
* Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 + px + q = 0
Tìm p, q biết x1 + 1 và x2 + 1 là hai nghiệm của phương trình: x2 – p2x + pq = 0
* Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 7x + 3 = 0
Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 2x1 – x2 và 2x2 – x1
Tính giá trị biểu thức A = 
Ứng dụng IV. Tính các biểu thức về nghiệm
Cho phương trình: (m – 4)x2 – 2mx + m – 2 = 0
Tìm m để phương trình có nghiệm x = , tính nghiệm còn lại.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có hai nghiệm cùng dấu?
Tính x12 + x22 với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình.
Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
Chứng minh A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) có giá trị không phụ thuộc vào m.
Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0
Tìm m để x = –1 là một nghiệm. Tính nghiệm còn lại.
Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 
Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x – 3 + m = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Tìm giá trị nhỏ nhất của x12 + x22 
Cho phương trình: x2 – (a – 1)x –a2 + a – 2 = 0
a) Chứng minh với mọi a phương trình có hai nghiệm trái dấu x1, x2 
b) Tìm a để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho phương trình: x2 – ax + a – 1 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm.
Tính giá trị biểu thức M = 
Tính a để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
* Cho phương trình: x2 + 2(m + 1)x + m2 +4m + 3 = 0
Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm x ≥ 1.
Tìm giá trị lớn nhất của A = . 
* Cho phương trình:x2 – 2(m – 1)x + m2 + 2m – 5 = 0
Gọi x1, x2 là hai nghiệm. Tìm m để S = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2
Tính các biểu thức M = (5x1 – 3x2)( 5x2 – 3x1)
N = 
Với a = m, b = –2(2m + 1), c = 3m + 4
Tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Chophương trình: x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 1 = 0
Chứng minh phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m.
Chứng minh có hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 – 2x – 2 = 0. Tính x17 + x27
* Cho phương trình: 12x2 – 6mx + m2 – 4 + = 0 (m ≠ 0)
Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2
Tìm m để A = x13 + x23 đạt lớn nhất? nhỏ nhất?
Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
Chứng minh phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m.
Tìm m để có 1 < x1 < x2 < 6
Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Ứng dụng V: Tìm tham số để thỏa mãn hệ thức về nghiệm
 Cho phương trình: x2 – (2m + 1)x + m2 – 1 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 5
Cho phương trình: x2 + ax + 1 = 0
Tìm a để hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 
Xét phương trình: x2 – 2(m + 2)x + m + 1 = 0
Giải phương trình khi m = 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1(1 – 2x2) + x2(1 – 2x1) = m2
Tìm m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình x2 – (m + 2)x + m + 1 = 0 thỏa mãn: 
x18 + x28 = 17
Cho phương trình: x2 – ax – = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm. Chứng minh: 
x14 + x24 ≥ 2 + 
* Phương trình: x2 – 2x + 2m – 1 = 0 (1)
Giải phương trình khi m = 2 – 
Tìm m để x14 + x24 đạt giá trị nhỏ nhất.Với x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
Tìm m để có x1 – 2x2 = m.
Tìm m để phương trình: x2 – (m + 1)x + m = 0 có tổng lập phương các nghiệm bằng 9
Tìm m để phương trình: x2 – (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) chứng minh rằng nếu có 2b2 – 9ac = 0 thì phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Cho phương trình: x2 – (3m + 2)x + m2 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn: x1 = 9x2
Cho phương trình: (m – 2)x4 – 2m x2 + m + 4 = 0. Giả sử phương trình có bốn nghiệm x1 < x2 < x3 < x4. Tìm m để có x4 – x3 = x3 – x2 = x2 – x1
Cho hai phương trình: 2x2 – 3x + 2m = 0 (1) và 2x2 – x + 2m = 0 (2). Tìm m để (1) có nghiệm khác 0 gấp 3 lần nghiệm của (2).
Cho hai phương trình: x2 – x + m = 0 (1) và x2 – 3x + m = 0 (2). Tìm m để (2) có một nghiệm khác 0 gấp 2 lần một nghiệm của (1).
Tìm điều kiện cần và đủ để phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm này gấp k lần nghiệm kia.
Xét hai phương trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2) có ac < 0. Gọi α, β là hai nghiệm lớn nhất của (1) và (2). Chứng minh α + β ≥ 2.
BẢN ĐẦY ĐỦ VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT CÓ TẠI
Viet
Phương trình quy về bậc 2
Điểm cố định
Tích hợp liên môn Toán giải TP