Bài ôn tập lớp 9 môn Đại số - Chủ đề 3: Hàm số và đồ thị

CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ
 A.KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1. Khái niệm hàm số:
Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số .
Kí hiệu là y = f(x), y = g(x),
Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số y được gọi là hàm hằng.
2. Đồ thị của hàm số:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) được gọi là đồ thị hàm số y = f(x).
3. Tập xác định của hàm số :
 TXĐ của hàm số y = f(x) là tập hợp các giá trị của biến để biểu thức f(x) có nghĩa.
4. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến.
Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x thuộc .
a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f(x) cũng tăng theo thì ta nói hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên . (Hoặc : với x1, x2 bất kỳ thuộc ; nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên )
b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng của f(x) lại giảm đi thì ta nói hàm số y = f(x) là hàm số nghịch biến trên . (Hoặc : với x1, x2 bất kỳ thuộc ; nếu x1 f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên )
5. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0)
a) Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b ,trong đó a, b là các số cho trước , a 0.
Hàm số bậc nhất xác định với mọi x thuộc 
b)Tính chất hàm số bậc nhất :hàm số đồng biến trên khi a > 0, nghịch biến trên 
 khi a < 0.
 Chú ý : Khi a = 0, ta có hàm số y = b là hàm hằng.
c) Đồ thị hàm số bậc nhất: Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) là một đường thẳng. Ta còn gọi đồ thi của hàm số y = ax + b là đường thẳng y = ax + b. Đường thẳng này có các đặc điểm sau : 
+ Cắt trục tung tại điểm (0; b); b gọi là tung độ gốc của đường thẳng.
+ Cắt trục hoành tại điểm ().
Chú ý : Khi b = 0, đồ thị đi qua gốc tọa độ.
 Nếu a > 0 thì đường thẳng “đi lên” từ trái qua phải. Nếu a < 0 thì đường thẳng 
 “đi xuống” từ trái qua phải.
d) Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng y= ax + b (a 0) và đường thẳng y = a’x + b’(a’ 0)
*Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi a = a’và b b’
*Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi a = a’và b = b’
*Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi a a’
 Trường hợp riêng : Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi a . a’= -1
e) Hệ số góc của đường thẳng:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng y= ax + b(a 0). Khi ta nói góc α là góc tạo bởi đường thẳng y= ax + b và trục Ox, ta hiểu đó là góc tạo bởi tia A x và tia AT , trong đó A là giao điểm của đường thẳng y= ax + b và trục Ox,T là điểm thuộc đường thẳng y= ax+b có tung độ dương. 
Ta gọi a là hệ số góc của đường thẳng y= ax + b.
Ta có :
*Nếu a > 0 thì α là góc nhọn và a càng lớn thì góc càng lớn.
*Nếu a <0 thì α là góc tù và a càng lớn thì góc càng lớn.
* Nếu a > 0 thì tan α = a. Nếu a < 0 thì tan = - a.
6. Hàm số y = ax2 (a 0) :
a) Hàm số y = ax2 xác định với mọi x thuộc và có tính chất sau:
*Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
*Nếu a 0.
b) Lưu ý về giá trị của hàm số :
 - Nếu a > 0 thì ta có y = ax2 với mọi x (y = 0 khi x = 0), nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 đạt được khi x = 0.
 - Nếu a < 0 thì ta có y = ax2 0 với mọi x (y = 0 khi x = 0), nên giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0 đật được khi x = 0.
c) Đồ thị của hàm số y = ax2 :
 Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một đường parabol đỉnh O, nhận trục Oy làm trục đối xứng.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành và nhận O là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành và nhận O là điểm cao nhất của đồ thị.
7. Một số đường thẳng có phương trình đặc biệt :
 a) Đường thẳng có dạng y = m
 - Nếu m 0 thì y = m là phương trình của đường thẳng song song với trục hoành. 
 - Nếu m = 0 thì y = 0 là phương trình của trục hoành.
 b) Đường thẳng có dạng x = n 
 - Nếu n 0 thì x = n là phương trình của đường thẳng song song với trục tung.
 - Nếu n = 0 thì x = 0 là phương trình của trục tung. 
B. CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN :
1) Dạng bài tập liên quan đến tính chất của hàm số :
 a) Kiến thức cần áp dụng : Tính đồng biến, nghịch biến của từng loại hàm số.
b) Ví dụ :
 * Ví dụ 1 : Tìm m để hàm số y = (m - 2)x + 1 nghịch biến trên ?
 Hướng dẫn :
 Hàm số y = (m - 2)x + 1 nghịch biến trên m – 2 < 0 m < 2
 * Ví dụ 2 : Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến khi x dương và nghịch biến 
 khi x âm?
 A. B. y = 5x – 3 C. 	 D.
 Trả lời : Phương án D 
 (Cần lưu ý : Hàm số bậc nhất chỉ luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến
 Do đó ta chỉ cần xét xem hàm số bậc hai nào có hệ số a dương)
 * Ví dụ 3 : Cho f(x) = (3a - 7) x2 và g(x) = (2a – 1)x2. Tìm a thuộc Z để khi x < 0 thì 
 hàm số y = f(x) đồng biến và hàm số y = g(x) nghịch biến.
 Hướng dẫn :
 Điều kiện để yêu cầu được thỏa mãn là: 3a – 7 0 . 
 Mặt khác: . Vậy a =1, a = 2
 Đáp số: a = 1, a = 2
2) Dạng bài tập vẽ đồ thị của hàm số :
 2.1. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
a) Cách làm :
 * Nếu b = 0 : Khi đó ta có hàm số y = ax
 Xác định một điểm thuộc đồ thị của hàm số mà khác với gốc tọa độ, chẳng hạn điểm
 A (1; a). Vẽ đường thẳng OA ta được đồ thị của hàm số.
 * Nếu b 0 : 
 - Xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị của hàm số. Thông thường :
 Xác định điểm A(0 ; b) là giao điểm với trục tung.
 Xác định điểm B(; 0) là giao điểm với trục hoành.
 -Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị của hàm số.
b) Ví dụ : Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x + 4
 - Cho x = 0 thì y = 4; ta được điểm A(0; 4) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.
 Cho y = 0 thì x = -2; ta được điểm B(-2; 0) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành. 
 ( Lưu ý : + Có thể lập bảng gồm hai cặp giá trị tương ứng giữa x và y
 + Không nhất thiết phải đặt tên hai điểm như trên)
 - Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A (0; 4)và B(-2; 0) ta được đồ thị của hàm số y = 2x + 4.
2.2. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0) :
 a) Cách làm :
 - Lập bảng một số cặp giá trị tương ứng giữa x và y (thường là 5 hoặc 7 cặp giá trị ; trong đó x 
 lấy giá trị 0 và các giá trị là số nguyên đối nhau gần 0), chẳng hạn :
x
-2
-1
0
1
2
y = ax2
4a
a
0
a
4a
 - Biểu diễn các cặp giá trị tương ứng giữa x và y trong bảng trên mặt phẳng tọa độ, vẽ 
 đường cong đi qua các điểm đó ta được đồ thị của hàm số đã cho.
 b) Ví dụ : Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x2
 - Bảng một số cặp giá trị tương ứng giữa x và y :
x
-2
-1
0
1
2
y = 2x2
8
2
0
2
8
 - Đồ thị của hàm số đã cho là một parabol đi qua các điểm (-2; 8); (-1; 2); (0; 0); (1; 2) 
 và (2; 8).
3) Dạng bài tập viết phương trình của đường thẳng (d) khi biết một số điều kiện :
 a) Biết (d) song song với đường thẳng (d’) : y = ax + b (a 0) và đi qua điểm A(x0; y0)
 * Cách giải :
 - Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’) nên phương trình của đường 
 thẳng (d) có dạng y = ax + b’ (b’ 0 ).
 - Vì đường thẳng (d) đi qua điểm A(x0; y0) nên ta có : y0 = ax0 + b’ . Từ đó suy ra b’, ta so 
 sánh với điều kiện b’ 0.
- Kết luận về phương trình của đường thẳng (d).
 * Ví dụ : Viết phương trình của đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1
 và đi qua điểm A(1; 2).
 Hướng dẫn :
 - Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 nên phương trình của đường thẳng (d) có dạng y = 2x + b (với b 1)
 - Vì đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 2) nên khi x = 1 thì y = 2, do đó ta có :
 2 = 2.1 + b b = 0 (Thỏa mãn b 1)
Vậy phương trình của đường thẳng (d) là y = 2x.
b) Biết (d) đi qua hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) :
 * Cách giải :
 - Phương trình của đường thẳng (d) có dạng y = ax + b 
 - Vì (d) đi qua điểm A(x1; y1) nên ta có : y1 = ax1 + b
 Vì (d) đi qua điểm B(x2; y2) nên ta có : y2 = ax2 + b
 Do đó ta có hệ phương trình 
 - Giải hệ phương trình trên ta tìm được a và b, sau đó kết luận về phương trình của đường thẳng (d).
 * Ví dụ : Xác định hàm số y = ax + b , biết rằng đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-1; -1).
 Hướng dẫn :
 - Vì đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm A(1; 3) nên ta có : 3 = a.1 + b hay a + b = 3 (1)
 Lại có đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm B(-1; -1) nên ta có : -1 = a(-1) + b
 hay –a + b = -1 (2)
 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
 - Giải hệ phương trình trên ta được a = 2 và b = 1
 Vậy hàm số cần tìm là y = 2x + 1
(Lưu ý : Nếu biết đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y0 thì có nghĩa là đồ thị hàm số đi qua điểm (0; y0). Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x0 có nghĩa là đồ thị của hàm số đi qua điểm (x0; 0))
4) Dạng bài tập liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng :
 a) Cách giải : Dựa vào điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau (đã nêu ở phần kiến thức cơ bản ) để làm.
 Lưu ý : - Muốn tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình gồm hai
 phương trình của hai đường thẳng đó.
 - Muốn tìm điều kiện để ba đường thẳng đồng quy, trước hết ta tìm tọa độ giao điểm 
 của hai đường thẳng đã có phương trình cụ thể, sau đó ta tìm điều kiện để đường 
 thẳng còn lại cũng đi qua giao điểm của hai đường thẳng đó.
 b) Ví dụ : Xác định m để hai đường thẳng y = (m2 - 2)x + m + 3 và 
 y = (2m - 2)x + 2m + 1 song song với nhau.
 Hướng dẫn :
 Điều kiện để hai đường thẳng đã cho song song với nhau là : 
 Vậy với m = 0 thì hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
5) Dạng bài tập liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và parabol :
 a) Lý thuyết :
 Vị trí tương đối của Parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n :
 1. Hoành độ giao điểm của parabol y = ax2 (a0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm
 của phương trình : 
 * Nếu phương trình (1) có > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt (Hình 1).
Muốn tìm tọa độ của giao điểm ,ta giải phương trình (1) để tìm ra hoành độ của hai giao điểm 
Thay các giá trị vừa tìm được vào công thức của parabol hoặc công thức của đường thẳng để tìm tung độ tương ứng , rồi kết luận về tọa độ giao điểm. 
* Nếu phương trình (1) có = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép, đường thẳng tiếp xúc với parabol (Khi đó đường thẳng và parabol chỉ có một điểm chung , điểm đó được gọi là tiếp điểm – Hình 2). 
Muốn tìm tọa độ của tiếp điểm ,ta giải phương trình (1) để tìm ra hoành độ của tiếp điểm 
Thay giá trị vừa tìm được vào công thức của parabol hoặc công thức của đường thẳng để tìm tung độ tương ứng , rồi kết luận về tọa độ của tiếp điểm. 
 * Nếu phương trình (1) có < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm, đường thẳng và parabol không có điểm chung(Hình 3).
 Chú ý : Một đường thẳng được gọi là tiếp xúc với parabol nếu có một điểm chung duy nhất với parabol và parabol nằm về một phía của đường thẳng.
	Trường hợp đường thẳng x = m cũng chỉ có một điểm chung duy nhất với parabol nhưng ta không gọi là tiếp xúc với parabol (Hình 4).
 2. Tọa độ giao điểm của parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của 
 hệ phương trình : (I) 
 * Nếu phương trinh (*) có hai nghiệm phân biệt thì hệ (I) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hai nghiệm của hệ (I) chính là tọa độ của hai giao điểm.
 * Nếu phương trình (*) có nghiệm kép thì hệ (I) có nghiệm duy nhất. Khi đó đường thẳng và parabol tiếp xúc với nhau, nghiệm duy nhất của hệ (I) chính là tọa độ của tiếp điểm
 * Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì hệ (I) vô nghiệm. Khi đó đường thẳng và parabol không giao nhau.
 b) Ví dụ : Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = 2x2 (P) và đường thẳng y = 2x + 4 (d).
 Hướng dẫn : 
 Hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (D) là nghiệm của phương trình : 
 2x2 = 2x + 4 x2 – x – 2 = 0. Giải phương trình này ta được hai ngiệm x1 = -1; x2 = 2
 - Với x = -1 ta có y = 2(-1)2 = 2
 - Với x = 2 ta có y = 2.22 = 8
 Vậy tọa độ các hai giao điểm của (P) và (d) là (-1; 2) và (2; 8).
6) Dạng bài tập tìm điểm cố định của đường thẳng : 
 a) Cách giải :
 Giả sử phương trình của đường thẳng (d) có dạng ax + by = c, trong đó ít nhất một trong các hệ số a, b, c có chứa tham số m chẳng hạn. Bài toán yêu cầu tìm điểm cố định của đường thẳng (d). Khi đó ta làm như sau :
 - Giả sử điểm M(x0; y0) là một điểm cố định mà mọi đường thẳng (d) luôn đi qua thì phương trình ax0 + by0 = c phải luôn đúng với mọi m.
 - Tìm giá trị của x0 và y0 để cho phương trình ax0 + by0 = c luôn đúng với mọi m.
 - Kết luận. 
 b) Ví dụ : Cho đường thẳng 2(k + 1)x + y + 3 + k = 0 (d), với tham số k. Chứng minh rằng khi k thay đổi, các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó
Hướng dẫn: 
 Giả sử M(x0; y0) là một điểm cố định mà mọi đường thẳng đã cho luôn đi qua thì phương trình 2( k + 1)x0 + y0 + 3 + k = 0 (1) luôn đúng với mọi k
Ta có (1) (2x0 + 1)k + 2x0 + y0 + 3 = 0, điều kiện để phương trình này luôn đúng với mọi k là :
Đáp số : Điểm cố định cần tìm là M()
Bài 1: Biết đồ thị hàm số y=ax2 (P) đi qua điểm (-2; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị hàm số đó.
Bài 2: Cho đường thẳng (d): 2(m -1)x + (m - 2)y = 2
a, Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P): y=x2tại hai điểm phân biệt A và B.
b, Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB theo m.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): y=-x2 và đường thẳng (d): y = mx – 1 (m – tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
Bài 4: Cho hàm số y=2x2 (P)
Vẽ đồ thị hàm số.
Tùy theo m, hãy xét số giao điểm của (P) với đường thẳng y = mx – 1.
Bài 5: Cho (P): y=x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m. Xác định m để hai đường đó:
Tiếp xúc với nhau. Tìm hoành độ tiếp điểm.
Cắt nhau tại hai điểm, một điểm có hoành độ x = -1. Tìm tọa độ điểm còn lại.
Giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi.
Bài 6: Vẽ đồ thị hàm số :y = 3x + 1 ; 
Trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị ấy bằng phép tính.
Phần II :bæ sung
Dạng I. Các bài toán về lập phương trình đường thẳng:
1.Bài toán 1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước và đi qua điểm M (x0; y0):
Cách giải: 
- Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
- Thay a = k và toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trình đường thẳng để tìm b
ð Phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua M (2;-3) và song song với đường thẳng y = 4x
Giải
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng y = ax + b ,
song song với đường thẳng y = 4x ð a = 4. 
Đi qua M( 2;-3) nên ta có : -3 = 4.2 + b ð b = -11
	Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 11
Áp dụng:
Bài 1: Cho (P) y = x2. Tìm điểm A thuộc (P) sao cho tiếp tuyến với (P) tại A song song với đường thẳng y = 4x + 5.
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua B(0;1) có hệ số góc k.
2.Bài toán 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x1;y1)và B(x2 ; y2 ):
Cách giải: 
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
+ Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng : 
+ Giải hệ phương trình tìm a và b
Phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng đi qua A (2; 1) và B(-3; - 4).
Giải
 	Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: 
	y = ax + b
	Đi qua A (2; 1) nên : 1 = a.2 + b (1)
	Đi qua B (-3; -4) nên : -4 = a.(-3) + b (2) 
1 – 2a = 3a – 4 
5a = 5 ð a = 1. 
 Thay a = 1 vào (1) ð b = -1
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = x -1
Áp dụng:
Bài 1: Cho (P) y = x2, gọi A và B là hai điểm lần lượt trên (P) có hoành độ lần lượt là 2 và -4. Tìm tọa độ điểm A và B từ đó suy ra phương trình đường thẳng AB.
Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x + n – 4 (d) (m≠32)
Tìm m, n để đường thẳng (d):
Đi qua hai điểm A(1;2); B(3; 4).
Cắt trục tung tại điểm có tung độ y = 32-1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 1 + 2.
3.Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P)
Cách giải :
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Theo bài ra a = k
+ Vì (d) tiếp xúc với (P) nên phương trình: 
 a’x2 = kx + b có nghiệm kép ó Δ = 0 (*)
 Giải (*) tìm b 
 Thay vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và tiếp xúc với parabol y = -x2 
 Giải 
	Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: 
y = ax + b. song song với đường thẳng y = 2x + 1 ð a = 2.
Tiếp xúc với parabol y = -x2 nên phương trình :
	-x2 = 2x + b có nghiệm kép 
	ó x2 + 2x +b = 0 có nghiệm kép 
	ó Δ’ = 1 – b ; Δ = 0 ó 1 – b = 0 ð b = 1
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 2x + 1
4.Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x0; y0) và tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P)
Cách giải: 
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Đi qua M (x0; y0) nên ð y0 = a.x0 + b (1)
+ Tiếp xúc với y = a’x2 nên phương trình :
	a’x2 = ax + b có nghiệm kép ó Δ = 0 (2)
Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b
phương trình đường thẳng cần lập
Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2) và tiếp xúc với parabol y = 2x2.
Giải
	Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: 
	y = ax + b. Đi qua M (-1; 2) nên ta có: 2 = -a + b (1)
Tiếp xúc với đường cong y = 2x2 nên phương trình :
	2x2 = ax + b có nghiệm kép
	ó 2x2 – ax – b = 0 có nghiệm kép
ð Δ = a2 + 8b . Δ = 0 ó a2 + 8b = 0 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ: -a + b = 2 (1)
	 a2 + 8b = 0 (2)
Từ (1) ð b = 2 + a (*) thay vào (2) ta được : 
	a2 + 8a + 16 = 0 ó (a + 4)2 = 0 ð a = -4
Thay a = -4 vào (*) ta được b = -2
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2
Áp dụng:
Bài 1:Cho hàm số y = 2x2	
Viết phương trình đường thẳng đi qua A (0; -2) và tiếp xúc với (P).
Dạng II. Bài toán về điểm cố định của họ đường thẳng.
@Phương pháp: Gọi Mx0;y0 là điểm cố định của họ đường thẳng (Dm),
 y = f(x; m) đi qua. Vì M thuộc (Dm) suy ra:
y0=fx0;m⟺fx0;m-y0=0 (với mọi m) ⟺fx0;m=0y0=0
Từ đó tìm ra được M.
Ví dụ: Cho đường thẳng (d) : 2(m - 1)x + (m - 2)y = 2. Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi.
Giải
Gọi Mx0;y0 là điểm cố định của họ đường thẳng (d) đi qua. Vì M thuộc (d) nên ta suy ra:
2(m - 1) x0 + (m - 2) y0 = 0 
⟺ 2m x0 - 2x0 + my0 - 2y0 = 0
⟺ m(2x0 + y0) – 2 (x0+y0 ) = 0 (với mọi m)
⟺ 2x0 + y0=0x0+y0=0 ⟺x0=0y0=0
Vậy khi m thay đổi (d) luôn đi qua M(0;0).
Áp dụng:
Bài 1: Cho hàm số y = (m2 + 1)x – 1
Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến? vì sao?
Chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua một điểm cố đinh với mọi giá trị của m
Biết rằng điểm (1; 1) thuộc đồ thị hàm số. Xác định m và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m vừa tìm được
Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = mx + m – 1(m – tham số). CMR: đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.
Dạng III. Bài toán tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ.
@ Phương pháp:
Gọi tọa độ điểm cần tìm là M(x; y).
Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y 
Ví dụ : Cho hàm số (P) y = 2x2
Tìm trên (P) các điểm cách đều hai trục tọa độ.
Dạng IV. Bài toán tính khoảng cách giữa hai điểm, chu vi, diện tích tam giác.
@ Phương pháp:
Khoảng cách giữa hai điểm: Từ hai điểm kẻ các đường thẳng vuông góc với hai trục tọa độ để tạo ra các tam giác vuông, sau đó dùng định lý Pitago.
Chu vi tam giác bằng tổng các độ dài các cạnh đa giác.
Diện tích: Ta đưa về các hình thường gặp.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng : y = 4x (d). Viết phương trình đường thẳng (s) song song với đường thẳng (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8.
Giải
+ Đường thẳng (s) song song với đường thẳng (d) nên có phương trình:
 y = 4x + b.
+ (s) cắt trục hoành tại A, nên ta có: 
yA=0⟹xA=-b4 . Do đó: A-b4;0.
+ (s) cắt trục tung tại B, ta có: xB=0⟹yB=b. Do đó: B0;b .
+ Tam giác AOB vuông ở O nên: SAOB=12-b4b=b28=8⟹b=±8
Vậy có hai đường thẳng (s): y = 4x + 8 và y = 4x – 8.
Áp dụng:
Bài 1: Cho (P): y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 1. Xác định m để tam giác OAB có diện tích bằng 3.
Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x – 4 (d) m ≠32. Tìm m để đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d’) có phương trình: x – y + 2 = 0 tại điểm M(x; y) sao cho biểu thức P = y2-2x2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. Vẽ đồ thị (P) và tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 4: Tọa độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x + 3 và 
y = x2. Gọi D, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục hoành. Tính diện tích tứ giác ABCD.
Bài 5: Cho (P): y = - 12x2 và điểm M(0; 2). Gọi (D) là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc là k. Tìm k sao cho (D) cắt (P) tại hai điểm A và B phân biệt thỏa mãn AB = 12 và hoành độ của A và B là các số dương.
Bài 6: Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d) có phương trình:
2kx + (k - 1)y = 2 (k là tham số)
Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x3? Khi đó hãy tính góc tạo bởi (d) với tia Ox.
Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình
 y = - x22. Gọi (d) là đường thẳng đi qua I(0; -2) và hệ số góc k. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành. Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I.
Bài 8: Cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) đi qua A(1; 2) có hệ số góc là 2. Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại hai điểm nhận A làm trung điểm. 
BÀI TẬP CỦNG CỐ
Bài 1 Cho parabol (P): và đường thẳng (D): y=x-m+1( với m là tham số).
Vẽ Parabol (P)
Tìm tất cả các giá trị của m để (P)cắt (D) có đúng một điểm chung.
Tìm tọa độ các diểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ.
Bài 2 Cho hai hàm số y = -2x2 và y = x
1/ Vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ
2/ Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng phép tính
Bài 4 	a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số và đường thẳng (D): trên cùng một hệ trục toạ độ.
	b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (D) ở Bài trên bằng phép tính.
Bài 5 	Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và hàm số y = 4x + m có đồ thị (dm)
1)Vẽ đồ thị (P)
2)Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (dm) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, trong đó tung độ của một trong hai giao điểm đó bằng 1.
Bài 6 Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): 
a)Vẽ đồ thị (P).
b)Trên (P) lấy điểm A có hoành độ xA = -2. Tìm tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho ½MA – MB½ đạt giá trị lớn nhất, biết rằng B(1; 1). 
Bài 7Tìm a và b để đường thẳng có hệ số góc bằng 4 và đi qua điểm 
Bài 8 Cho hàm số: y = 2x – 5 có đồ thị là đường thẳng (d)
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với các trục tọa độ Ox,Oy. Tính tọa độ các điểm A, B và vẽ đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy
Tính diện tích của tam giác AOB
Bài 9 	Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): (tham số m)
Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d). 
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. 
Bài 10 
Trong cùng một hệ toạ độ , gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x2 và (d) là đồ thị của hàm số y = -x + 2 
 1) Vẽ các đồ thị (P) và (d) . Từ đó , xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị .
 2) Tìm a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại điểm có hoành độ 
 bằng -1 
Bài 11
Cho parapol và đường thẳng (m là tham số).
1/ Xác định tất cả các giá trị của m để song song với đường thẳng .
2/ Chứng minh rằng với mọi m, luôn cắt tại hai điểm phân biệt A và B.
3/ Ký hiệu là hoành độ của điểm A và điểm B. Tìm m sao cho .
Bài 12: a) Vẽ đồ thị các hàm số y = - x2 và y = x – 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.
	b) Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị đã vẽ ở trên bằng phép tính.
Bài 13 Tìm m để đường thẳng y = 2x – 1 và đường thẳng y = 3x + m cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành 
Bài 14 Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + 3 = 0
Tìm a để đường thẳng d đi qua điểm M (1, -1). Khi đó, hãy tìm hệ số góc của đường thẳng d.
Bài 15 Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình:.
 1) Với giá trị nào của m và n thì d song song với trục Ox.
 2) Xác định phương trình của d, biết d đi qua điểm A(1; - 1) và có hệ số góc bằng -3.
Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M (-1; 2) và song song với đường thẳng y = 3x + 1. Tìm hệ số a và b.
Bài 17 Cho hai đường thẳng (d): y = - x + m + 2 và (d’): y = (m2 - 2) x + 1
	a) Khi m = -2, hãy tìm toạ độ giao điểm của chúng.
	b) Tìm m để (d) song song với (d’)
Bài 18. Cho hai hàm số: và 
1) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục Oxy.
2) Tìm toạ độ các giao điểm M, N của hai đồ thị trên bằng phép tính.
Bài 19 Tìm m để đường thẳng và đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
Bài 20: Cho hàm số y = (2m - 1)x - m + 2
a) Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
b) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua A (1; 2)
Bài 21 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với giá trị nào của a, b thì đường thẳng (d): y = ax + 2 - b và đường thẳng (d’): y = (3 - a)x + b song song với nhau.
Bài 22
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
Bài 23 Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + a
a\ Vẽ Parabol (P)
b\ Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung
Bài 24: Cho hàm số y = (2 – m)x – m + 3 (1)
	a) Vẽ đồ thị (d) của hàm số khi m = 1 	b) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) đồng biến
Bài 25. Cho hàm số: y = mx + 1 (1), trong đó m là tham số.
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (1;4). Với giá trị m vừa tìm được, hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên R?
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng (d) có phương trình: x + y + 3 = 0
Bài 26 Cho hàm số bậc nhất (d) 
a. Tìm m để hàm số đồng biến.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (d) song song với đồ thị hàm số .
Bài 27 Cho hàm số y = x2 
 1) Vẽ đồ thị ( P) của hàm số đó.
 2) Xác định a và b để đường thẳng ( d) : y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng - 2 và cắt đồ thị (P) nói trên tại điểm có hoành độ bằng 2.
Bài 28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y=ax + 3 ( a là tham số ) 
1. Vẽ parabol (P).	2. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. 
3. Gọi là hoành độ giao điểm của (P) và (d), tìm a để x1 +2x2 = 3
Bài 29 Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, cho parabol (P): y=và đường thẳng (d):
 1. Bằng phép tính, hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) .
 2. Tìm m để đường thẳng (d’) :y= mx – m tiếp xúc với parabol (P)
Bài 30 Cho ba đường thẳng (l1), ( l2), (l3)
Tim tọa độ giao điểm B của hai đường thẳng (l1) và ( l2). 
Tìm m để ba đường thẳng (l1), ( l2), (l3) đổng quy.
Bài 31: Vẽ đồ thị hàm số (P): . Tìm m để đường thẳng (d): y = x + m tiếp xúc với đồ thị (P).
Bài 32 Cho đường thẳng (d): y = -x + 2 và parabol (P): y = x2
Vẽ (d) và (P) trên cùng một hệ trục tọa độ.
Bằng đồ thị hãy xác định tọa độ các giao điểm của (d) và (P).
Bài 33 Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): .
1) Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1.
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
Bài 34 Cho hệ phương trình: 
	a) Giải hệ phương trình với m = 2
	b) Tìm để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho 
Bài 35 Vẽ đồ thị (d) của hàm số y = -x + 3;
Tìm trên (d) điểm có hoành độ và tung độ bằng nhau.
Bài 36. Cho Parapol y = x2 (P), và đường thẳng : y = 2(1 – m)x + 3 (d), với m là tham số.
1/ Vẽ đồ thị (P).
2/ Chứng minh với mọi giá trị của m, parapol (P) và đường thẳng (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
3/ Tìm các giá trị của m, để (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ y = 1
Bài 37 Cho hàm số y = - 8x2 có đồ thị là (P)
 a/ Tìm toạ độ của 2 điểm A, B trên đồ thị (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 
 b/ Viết phương trình đường thẳng AB
Bài 38 Cho parabol (P) : y = - x2 và đường thẳng (d) : y = mx - 1
	1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
	2) Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m để : 
Bài 39 1. Cho hai ®­êng th¼ng d vµ d’ cã ph­¬ng tr×nh lÇn l­ît lµ:
	d: y = ax + a – 1 (víi a lµ tham sè)
	d’: y = x + 1
	a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó hµm sè y = ax + a – 1 ®ång biÕn, nghÞch biÕn.
	b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó d // d’; d d’.
 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× ®å thÞ hµm sè y = 2x + m – 4 c¾t ®å thÞ hµm sè y = x2 t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.
Bài 40 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): và hai điểm A(0;2), B(-1;0).
1. Tìm các giá trị của k và n để:
a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B.
b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng .
2. Cho . Tìm k để đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.
Bài 41. Cho hµm sè y = 2x + 2m + 1. X¸c ®Þnh m, biÕt r»ng ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm A(1;4).
T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè y = x2 vµ ®å thÞ hµm sè y = 2x + 3.
Bài 42 Cho parabol (P): y = x2 và các điểm A,B thuộc parabol (P) v ới xA = -1,xB = 2
1.Tìm toạ độ các điểm A,B và viết phương trình đường thẳng AB.
2. Tìm m để đường thẳng (d) : y = (2m2 – m)x + m + 1 (với m là tham số ) song song với đường thẳng AB.
Bài 43 Cho hàm số . 
Xác định hệ số biết rằng đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm .
Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị (P) của hàm số đã cho với giá trị vừa tìm được và đường thẳng (d) đi qua có h