55 Đề thi học sinh giỏi Toán 7

 Phßng gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Thanh Ch­¬ng
 Tr­êng THCS Thanh Mü
Gi¸o ¸n 
BDhsg to¸n 7
 GV: NguyÔn V¨n Tó
	NĂM HỌC 2010-2011
§Ò sè 1: 
®Ò thi häc sinh giái huyÖn
M«n To¸n Líp 7
 (Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng:
 a) ; b) 27 < 3n < 243
Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
Bµi 3. a) T×m x biÕt: 
 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = Khi x thay ®æi
Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng.
Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC
§Ò sè 2: 
®Ò thi häc sinh giái huyÖn
M«n To¸n Líp 7
 (Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính: 
	b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a. 
b. 
Bài 3: (4 điểm)
Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o .
Tính và 
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phân giác của góc BAC
 AM = BC
 Hết 
§¸p ¸n ®Ò 1to¸n 7
Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm)
 a) ; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1
 b) 27 33 n = 4
Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: (4 ®iÓm)
 = 
 = 
Bµi 3. (4 ®iÓm mçi c©u 2 ®iÓm)
 a) T×m x biÕt: 
 Ta cã: x + 2 0 => x - 2.
 + NÕu x - th× => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Tho¶ m·n)
 + NÕu - 2 x - 2x - 3 = x + 2 => x = - (Tho¶ m·n)
 + NÕu - 2 > x Kh«ng cã gi¸ trÞ cña x tho¶ m·n
 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = Khi x thay ®æi
 + NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
 Khi ®ã: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
 + NÕu 2006 x 2007 th×: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
 + NÕu x > 2007 th× A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
 VËy A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 1 khi 2006 x 2007
Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. (4 ®iÓm mçi)
 Gäi x, y lµ sè vßng quay cña kim phót vµ kim giê khi 10giê ®Õn lóc 2 kim ®èi nhau trªn mét ®­êng th¼ng, ta cã:
 x – y = (øng víi tõ sè 12 ®Õn sè 4 trªn ®«ng hå)
 vµ x : y = 12 (Do kim phót quay nhanh gÊp 12 lÇn kim giê)
 Do ®ã: 
x = (giê)
 VËy thêi gian Ýt nhÊt ®Ó 2 kim ®ång hå tõ khi 10 giê ®Õn lóc n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng lµ giê
Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC (4 ®iÓm mçi)
D
 B
A
 H
 C
 I 
 F
 E
 M
 §­êng th¼ng AB c¾t EI t¹i F
 ABM = DCM v×:
 AM = DM (gt), MB = MC (gt),
 = DMC (®®) => BAM = CDM
 =>FB // ID => IDAC 
 Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) 
 IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
 Tõ (1) vµ (2) => CAI = FIA (AI chung) 
 => IC = AC = AF (3) 
 vµ E FA = 1v (4) 
 MÆt kh¸c EAF = BAH (®®), 
 BAH = ACB ( cïng phô ABC) 
 => EAF = ACB (5)
 Tõ (3), (4) vµ (5) => AFE = CAB 
 =>AE = BC
§Ò sè 2: 
®Ò thi häc sinh giái huyÖn
M«n To¸n Líp 7
 (Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1:(4 điểm)
a) Thực hiện phép tính: 
	b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 
chia hết cho 10
Bài 2:(4 điểm)
Tìm x biết:
a. 
b. 
Bài 3: (4 điểm)
Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A.
Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a) AC = EB và AC // BE
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng
c) Từ E kẻ . Biết = 50o ; =25o .
Tính và 
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phân giác của góc BAC
 AM = BC
 Hết 
§¸p ¸n ®Ò 2 to¸n 7
Bài 1:(4 điểm):
a) (2 điểm)
b) (2 điểm)
 = 
 =
 =
 = 10( 3n -2n)
Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2:(4 điểm)
a) (2 điểm)
b) (2 điểm)
Bài 3: (4 điểm)
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A.
Theo đề bài ta có: a : b : c = (1) 
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1) = k 
Do đó (2) 
k = 180 và k =
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30.
 Khi đó ta có số A = a + b + c = 237.
+ Với k =, ta được: a = ; b =; c =
Khi đó ta có só A =+( ) + () = . 
b) (1,5 điểm)
Từ suy ra 	
 khi đó 
 	= 	
Bài 4: (4 điểm)
a/ (1điểm) Xét và có :
 AM = EM (gt )	
 = (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên : = (c.g.c )	0,5 điểm
 AC = EB	
Vì = = 
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) 
Suy ra AC // BE . 	0,5 điểm	
b/ (1 điểm )
Xét và có : 
AM = EM (gt )
= ( vì )
AI = EK (gt )
Nên ( c.g.c ) 	
Suy ra = 	
Mà + = 180o ( tính chất hai góc kề bù )	
 + = 180o 
 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 	
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE ( = 90o ) có = 50o 
 = 90o - = 90o - 50o =40o 	
 = - = 40o - 25o = 15o 	
 là góc ngoài tại đỉnh M của 
 Nên = + = 15o + 90o = 105o 
 ( định lý góc ngoài của tam giác ) 	
Bài 5: (4 điểm)
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 	
suy ra 	
Do đó 	
b) ABC cân tại A, mà (gt) nên 
ABC đều nên 	
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra .
 Tia BM là phân giác của góc ABD 
nên 	
Xét tam giác ABM và BAD có:
AB cạnh chung ; 
Vậy: ABM = BAD (g.c.g) 
 suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC	
§Ò sè 3: 
®Ò thi häc sinh giái 
M«n To¸n Líp 7
 (Thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt 
C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n 
C©u 3. Cho 2 ®a thøc 
 P = x + 2mx + m vµ
 Q = x + (2m+1)x + m
 T×m m biÕt P (1) = Q (-1)
C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:
C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau :
 A = +5 
 B = 
C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC.
Chøng minh: DC = BE vµ DC BE
Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM. Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA 
Chøng minh: MA BC
§¸p ¸n ®Ò 3 to¸n 7
C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt 
0 
=>= 0; 1; 2; 3 ; 4
* = 0 => a = 0
* = 1 => a = 1 hoÆc a = - 1
* = 2 => a = 2 hoÆc a = - 2
* = 3 => a = 3 hoÆc a = - 3
* = 4 => a = 4 hoÆc a = - 4
C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n 
Gäi mÉu ph©n sè cÇn t×m lµ x
Ta cã:
 => => -77 9x = -72 
=> x = 8
VËy ph©n sè cÇn t×m lµ 
C©u 3. Cho 2 ®a thøc 
 P = x + 2mx + m vµ
 Q = x + (2m+1)x + m
 T×m m biÕt P (1) = Q (-1)
P(1) = 12 + 2m.1 + m2
 = m2 + 2m + 1
Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2
 = m2 – 2m 
§Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4
C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt:
 => 
=> x2 = 4.49 = 196 => x = 14
=> y2 = 4.4 = 16 => x = 4
Do x,y cïng dÊu nªn:
x = 6; y = 14
x = -6; y = -14
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã:
=> 
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vµo trªn ta ®­îc:
=>1+ 3y = -12y
=> 1 = -15y
=> y = 
VËy x = 2, y = tho¶ m·n ®Ò bµi
C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau :
 A = +5 
Ta cã : 0. DÊu = x¶y ra x= -1.
 A 5.
DÊu = x¶y ra x= -1.
VËy: Min A = 5 x= -1.
B = = = 1 + 
Ta cã: x 0. DÊu = x¶y ra x = 0
 x + 3 3 ( 2 vÕ d­¬ng )
 4 1+ 1+ 4
 B 5
DÊu = x¶y ra x = 0
 VËy : Max B = 5 x = 0. 
C©u 6: 
a/ 
XÐt ADC vµ BAF ta cã:
DA = BA(gt)
AE = AC (gt)
DAC = BAE ( cïng b»ng 900 + BAC )
=> DAC = BAE(c.g.c )
=> DC = BE
XÐt AIE vµ TIC
I1 = I2 ( ®®)
E1 = C1( do DAC = BAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC BE
b/ Ta cã: MNE = AND (c.g.c)
=> D1 = MEN, AD = ME
mµ AD = AB ( gt) 
=> AB = ME (®pcm) (1)
V× D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cïng phÝa )
mµ BAC + DAE = 1800
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3). Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( ®pcm)
c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H. Tõ E h¹ EP MH
XÐt AHC vµ EPA cã:
CAH = AEP ( do cïng phô víi gPAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do ABC = EMA c©u b)
=> AHC = EPA
=> EPA = AHC
=> AHC = 900
=> MA BC (®pcm)
§Ò sè 4: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1 ( 2 ®iÓm)
 Thùc hiÖn phÐp tÝnh :
a- 
b- 
C©u 2 ( 2 ®iÓm)
T×m sè nguyªn a ®Ó lµ sè nguyªn
T×m sè nguyªn x,y sao cho x - 2xy + y = 0
C©u 3 ( 2 ®iÓm)
Chøng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c (b+d) th× víi b,d kh¸c 0
CÇn bao nhiªu sè h¹ng cña tæng S = 1+2+3+ ®Ó ®­îc mét sè cã ba ch÷ sè gièng nhau .
C©u 4 ( 3 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 450 , gãc C b»ng 1200. Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm D sao cho CD = 2CB . TÝnh gãc ADE
C©u 5 ( 1®iÓm)
T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2 - 2y2 =1
§¸p ¸n ®Ò 4 
C©u
H­íng dÉn chÊm
§iÓm
1.a
Thùc hiÖn theo tõng b­íc ®óng kÕt qu¶ -2 cho ®iÓm tèi ®a
1§iÓm
1.b
Thùc hiÖn theo tõng b­íc ®óng kÕt qu¶ 14,4 cho ®iÓm tèi ®a
1§iÓm
2.a
Ta cã : =
 v× a lµ sè nguyªn nªn lµ sè nguyªn khi lµ sè nguyªn hay a+1 lµ ­íc cña 3 do ®ã ta cã b¶ng sau :
a+1
-3
-1
1
3
a
-4
-2
0
2
VËy víi ath× lµ sè nguyªn
0,25
0,25
0,25
0,25
2.b
Tõ : x-2xy+y=0 
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
V× x,y lµ c¸c sè nguyªn nªn (1-2y)vµ (2x-1) lµ c¸c sè nguyªn do ®ã ta cã c¸c tr­êng hîp sau :
HoÆc 
VËy cã 2 cÆp sè x, y nh­ trªn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a
V× a+c=2b nªn tõ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra ( §PCM)
0,5
0,5
3.b
Gi¶ sö sè cã 3 ch÷ sè lµ =111.a ( a lµ ch÷ sè kh¸c 0)
Gäi sè sè h¹ng cña tæng lµ n , ta cã :
Hay n(n+1) =2.3.37.a 
VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mµ 37 lµ sè nguyªn tè vµ n+1<74 ( NÕu n = 74 kh«ng tho¶ m·n )
Do ®ã n=37 hoÆc n+1 = 37
NÕu n=37 th× n+1 = 38 lóc ®ã kh«ng tho¶ m·n 
NÕu n+1=37 th× n = 36 lóc ®ã tho¶ m·n 
VËy sè sè h¹ng cña tæng lµ 36
0,25
0,25
0,5
4
KÎ DH Vu«ng gãc víi AC v× ACD =600 do ®ã CDH = 300
Nªn CH = CH = BC 
Tam gi¸c BCH c©n t¹i C CBH = 300 ABH = 150
Mµ BAH = 150 nªn tam gi¸c AHB c©n t¹i H 
Do ®ã tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H VËy ADB = 450+300=750
0,5
0,5
1,0
1,0
5
Tõ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2
NÕu x chia hÕt cho 3 v× x nguyªn tè nªn x=3 lóc ®ã y= 2 nguyªn tè tho¶ m·n 
NÕu x kh«ng chia hÕt cho 3 th× x2-1 chia hÕt cho 3 do ®ã 2y2 chia hÕt cho 3 Mµ(2;3)=1 nªn y chia hÕt cho 3 khi ®ã x2=19 kh«ng tho¶ m·n 
VËy cÆp sè (x,y) duy nhÊt t×m ®­îc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi lµ (2;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
§Ò sè 5: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (3đ):
1, Tính: P = 
2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
3, Cho: A = 
Tính giá trị của A biết là số nguyên âm lớn nhất.
Bài 2 (1đ):
Tìm x biết:
 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117
Bài 3 (1đ):
Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. 
Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ?
Bài 4 (2đ):
Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
1, ∆ABE = ∆ADC
2, 
Bài 5 (3đ):
Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm.
1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó.
2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. 
Chứng minh: AE = AB
§Ò sè 6: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (4đ):
Cho các đa thức:
A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 
B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3
C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 
1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x)
2, Tính giá trị của M(x) khi x = 
3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ?
Bài 2 (4đ):
1, Tìm ba số a, b, c biết:
3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
2, Tìm x biết:
Bài 3 (4đ):
Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức
1, P = có giá trị lớn nhất
2, Q = có giá trị nguyên nhỏ nhất
Bài 4 (5đ):
Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.
1, Chứng minh BD = CE.
2, Tính AD và BD theo b, c
Bài 5 (3đ):
Cho ∆ABC cân tại A, . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho .
Tính góc ADB ?
§Ò sè 7: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (3đ): Tính:
1, 
2, (63 + 3. 62 + 33) : 13
3, 
Bài 2 (3đ):
1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005.
Tính b, c.
2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta có hệ thức:
Bài 3 (4đ): 
Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ?
Bài 4 (3đ):
Vẽ đồ thị hàm số: 
y = 
Bài 5 (3đ):
Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
Bài 6 (4đ):
Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I.
Chứng minh: ID = IE
§Ò sè 8: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1 (5đ): 
1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729
 2, Tính :
 A = + 
Bài 2 (3đ):
 Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng:
 = 
Bài 3 (4đ):
 Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ?
Câu 4 (6đ):
 Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE.
 1, Chứng minh: BE = DC.
 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC.
Bài 5 (2đ):
 Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: = .
Chứng minh rằng : p2 = n + 2.
§Ò sè 9: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a, Cho 
Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ?
b) Sè cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?
C©u 2: (2 ®iÓm)
 Trªn qu·ng ®­êng AB dµi 31,5 km. An ®i tõ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A. VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. 
TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®i tíi lóc gÆp nhau ?
C©u 3: 
a) Cho víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ.
 	Chøng tá r»ng: . BiÕt r»ng 
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho DABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900. F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AB.
a) Chøng minh r»ng: DABF = DACE
b) FB ^ EC.
C©u 5: (1 ®iÓm)
T×m ch÷ sè tËn cïng cña 
§Ò sè 10: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) TÝnh 
b) Cho 
Chøng minh r»ng .
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng nÕu th× 
(gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa).
b) T×m x biÕt: 
C©u 3: (2®iÓm)
a) Cho ®a thøc víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn.
Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn.
b) §é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi 2; 3; 4. Ba ®­êng cao t­¬ng øng víi ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi ba sè nµo ?
C©u 4: (3 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC0. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB, AC lÇn l­ît ë M, N. Chøng minh r»ng:
a) DM = EN
b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN.
c) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn c¹nh BC.
C©u 5: (1 ®iÓm) 
T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt.
§Ò sè 11: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) TÝnh:
A = 
B = 
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: 
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng: kh«ng lµ sè nguyªn.
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: .
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) T×m hai sè d­¬ng kh¸c nhau x, y biÕt r»ng tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng lÇn l­ît tØ lÖ nghÞch víi 35; 210 vµ 12.
b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; 2 vµ 1. Thêi gian m¸y bay bay tõ A ®Õn B Ýt h¬n thêi gian « t« ch¹y tõ A ®Õn B lµ 16 giê. 
Hái tµu ho¶ ch¹y tõ A ®Õn B mÊt bao l©u ?
C©u 4: (3 ®iÓm) 
 Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi DAPQ b»ng 2. 
Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450.
C©u 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng: 
§Ò sè 12: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng víi mäi sè n nguyªn d­¬ng ®Òu cã:
A= 
b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P sao cho lµ sè nguyªn tè.
Bµi 2: ( 2 ®iÓm)
a) T×m sè nguyªn n sao cho 
b) BiÕt 
Chøng minh r»ng: 
Bµi 3: (2 ®iÓm)
An vµ B¸ch cã mét sè b­u ¶nh, sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi ch­a ®Õn 100. Sè b­u ¶nh hoa cña An b»ng sè b­u ¶nh thó rõng cña B¸ch. 
+ B¸ch nãi víi An. NÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh thó rõng cña t«i th× sè b­u ¶nh cña b¹n gÊp 7 lÇn sè b­u ¶nh cña t«i.
+ An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh hoa cña t«i th× sè b­u ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè b­u ¶nh cña b¹n. 
TÝnh sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi.
Bµi 4: (3 ®iÓm)
Cho DABC cã gãc A b»ng 1200 . C¸c ®­êng ph©n gi¸c AD, BE, CF .
a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña DADB.
b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED.
Bµi 5: (1 ®iÓm)
T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n:
§Ò sè 13: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1: (2 ®iÓm)
TÝnh: 
Bµi 2: (3 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 77.
b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
c) Chøng minh r»ng: P(x) cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn khi vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn.
Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: 
 vµ 
b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d­¬ng n sao cho: chia hÕt cho 7.
Bµi 4: (2 ®iÓm)
 Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi DAPQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450.
Bµi 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng: (a, b Î Z )
§Ò sè 14: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
a) T×m sè nguyªn d­¬ng a lín nhÊt sao cho 2004! chia hÕt cho 7a.
b) TÝnh 
Bµi 2: (2 ®iÓm)
Cho 
chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 3: (2 ®iÓm) 
 Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11 km ®Ó ®i ®Õn C. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ B lµ 24 km/h. 
TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc vµ A, B, C th¼ng hµng.
Bµi 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c nhän ABC. KÎ AH ^ BC (H Î BC). VÏ AE ^ AB vµ AE = AB (E vµ C kh¸c phÝa ®èi víi AC). KÎ EM vµ FN cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AH (M, N Î AH). EF c¾t AH ë O. 
Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF.
Bµi 5: (1 ®iÓm)
So s¸nh: vµ 
§Ò sè 15: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1: (2 ®iÓm)
TÝnh : ; 	
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6
b) T×m x, y, z biÕt: (x, y, z )
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d­¬ng ta cã:
 	 chia hÕt cho 10.
b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 
C©u 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM = AC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay sao cho AN = AB. LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK = KP. Chøng minh:
a) AC // BP.
b) AK ^ MN.
C©u 5: (1 ®iÓm)
 Cho a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn. Chøng minh r»ng:
 ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0.
§Ò sè 16: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1: (2 ®iÓm) 
TÝnh:
C©u 2: ( 2, 5 ®iÓm) 
1) T×m sè nguyªn m ®Ó:
a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1.
b) 
2) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d­¬ng.
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) T×m x, y, z biÕt:
 	; vµ 
b) Cho . BiÕt f(0), f(1), f(2) ®Òu lµ c¸c sè nguyªn. 
Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn.
C©u 4: (2,5 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ®­êng cao AH. ë miÒn ngoµi cña tam gi¸c ABC ta vÏ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ ACF ®Òu nhËn A lµm ®Ønh gãc vu«ng. KÎ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH).
 a) Chøng minh: EM + HC = NH.
 b) Chøng minh: EN // FM.
C©u 5: (1 ®iÓm)
 Cho lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh lµ hîp sè.
§Ò sè 17: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh:
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi 
b) T×m x nguyªn ®Ó chia hÕt cho 
C©u 3: ( 2 ®iÓm)
a) T×m x, y, z biÕt vµ 
b) Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 15 phót. 
TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B.
C©u 4: (3 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh C bê lµ ®­êng th¼ng AB dùng ®o¹n AE vu«ng gãc víi AB vµ AE = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh B bê lµ ®­êng th¼ng AC dùng ®o¹n AF vu«ng gãc víi AC vµ AF = AC. Chøng minh r»ng:
a) FB = EC
b) EF = 2 AM
c) AM ^ EF.
C©u 5: (1 ®iÓm)
Chøng tá r»ng: 
§Ò sè 18: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1: (2 ®iÓm) 
a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 
b) TÝnh tæng: 
C©u 2: (2 ®iÓm)
1) T×m x biÕt: 
2) Trªn qu·ng ®­êng KÐp - B¾c giang dµi 16,9 km, ng­êi thø nhÊt ®i tõ KÐp ®Õn B¾c Giang, ng­êi thø hai ®i tõ B¾c Giang ®Õn KÐp. VËn tèc ng­êi thø nhÊt so víi ng­êi thø hai b»ng 3: 4. §Õn lóc gÆp nhau vËn tèc ng­êi thø nhÊt ®i so víi ng­êi thø hai ®i lµ 2: 5. 
Hái khi gÆp nhau th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ?
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) Cho ®a thøc (a, b, c nguyªn). 
 	 CMR nÕu f(x) chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ cña x th× a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3.
b) CMR: nÕu th× (Gi¶ sö c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa).
C©u 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, tõ M kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F. Chøng minh r»ng:
 a) AE = AF
b) BE = CF
c) 
C©u 5: (1 ®iÓm) 
§éi v¨n nghÖ khèi 7 gåm 10 b¹n trong ®ã cã 4 b¹n nam, 6 b¹n n÷. §Ó chµo mõng ngµy 30/4 cÇn 1 tiÕt môc v¨n nghÖ cã 2 b¹n nam, 2 b¹n n÷ tham gia. 
Hái cã nhiÒu nhÊt bao nhiªu c¸ch lùa chän ®Ó cã 4 b¹n nh­ trªn tham gia.
§Ò sè 19: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1: (2 ®iÓm) 
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 
b) Chøng tá r»ng:
C©u 2: (2 ®iÓm)
Cho ph©n sè: (x Î Z)
a) T×m x Î Z ®Ó C ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.
b) T×m x Î Z ®Ó C lµ sè tù nhiªn.
C©u 3: (2 ®iÓm)
Cho . Chøng minh r»ng: 
C©u 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC vµ AB lÇn l­ît t¹i E vµ D.
a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE.
b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD. AI c¾t BC ë M, chøng minh r»ng c¸c DMAB; MAC lµ tam gi¸c vu«ng c©n.
c) Tõ A vµ D vÏ c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BE, c¸c ®­êng th¼ng nµy c¾t BC lÇn l­ît ë K vµ H. Chøng minh r»ng KH = KC.
C©u 5: (1 ®iÓm)
T×m sè nguyªn tè p sao cho:
 ; lµ c¸c sè nguyªn tè.
§Ò sè 20: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 
; 
b) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000.
C©u 2: ( 2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c 17 nÕu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Î Z).
b) BiÕt 
 Chøng minh r»ng: 
C©u 3: ( 2 ®iÓm)
 B©y giê lµ 4 giê 10 phót. Hái sau Ýt nhÊt bao l©u th× hai kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng.
C©u 4: (2 ®iÓm)
 Cho DABC vu«ng c©n t¹i A. Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC, BI lµ ph©n gi¸c cña DABD, ®­êng cao IM cña DBID c¾t ®­êng vu«ng gãc víi AC kÎ tõ C t¹i N. 
TÝnh gãc IBN ? 
C©u 5: (2 ®iÓm) 
 Sè 2100 viÕt trong hÖ thËp ph©n t¹o thµnh mét sè. Hái sè ®ã cã bao nhiªu ch÷ sè ?
§Ò sè 21: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 
b) Chøng minh r»ng:
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng víi mçi sè nguyªn d­¬ng n th×:
 chia hÕt cho 6.
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 
C©u 3: (2 ®iÓm)
 Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 10 phót. 
TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B.
C©u 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C cã bê AB, vÏ tia Ax vu«ng gãc víi AB, trªn tia ®ã lÊy ®iÓm D sao cho AD = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B cã bê AC vÏ tia Ay vu«ng gãc víi AC. Trªn tia ®ã lÊy ®iÓm E sao cho AE = AC. Chøng minh r»ng:
a) DE = 2 AM
b) AM ^ DE.
C©u 5: (1 ®iÓm)
 Cho n sè x1, x2, , xn mçi sè nhËn gi¸ trÞ 1 hoÆc -1. Chøng minh r»ng nÕu x1. x2 + x2. x3 + + xn x1 = 0 th× n chia hÕt cho 4.
§Ò sè 22: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
b) Chøng minh r»ng tæng:
Bµi 2: (2 ®iÓm)
a) T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n.
b) Cho p > 3. Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ c¸c sè nguyªn tè th× d chia hÕt cho 6.
Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc, mét sè c«ng nh©n cÇn lµm trong mét sè ngµy. Mét b¹n häc sinh lËp luËn r»ng nÕu sè c«ng nh©n t¨ng thªm 1/3 th× thêi gian sÏ gi¶m ®i 1/3. §iÒu ®ã ®óng hay sai ? v× sao ?
b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
TÝnh 
Bµi 4: (3 ®iÓm) 
 Cho tam gi¸c nhän ABC, AB > AC ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t nhau t¹i I.
a) TÝnh c¸c gãc cña DDIE nÕu gãc A = 600.
b) Gäi giao ®iÓm cña BD vµ CE víi ®­êng cao AH cña DABC lÇn l­ît lµ M vµ N. Chøng minh BM > MN + NC.
Bµi 5: (1 ®iÓm) 
Cho z, y, z lµ c¸c sè d­¬ng.
Chøng minh r»ng: 
§Ò sè 23: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) T×m x biÕt: 
b) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®­îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: A(x) = 
Bµi 2: (2 ®iÓm)
 Ba ®­êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi b»ng 4; 12; x biÕt r»ng x lµ mét sè tù nhiªn. T×m x ?
Bµi 3: (2 ®iÓm)
 Cho . 
CMR biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn: 
Bµi 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã gãc B =. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho gãc EBA= . Trªn tia ®èi cña tia EB lÊy ®iÓm D sao cho ED = BC. 
Chøng minh tam gi¸c CED lµ tam gi¸c c©n.
Bµi 5: (1 ®iÓm) 
 T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d­¬ng tho¶ m·n :
 vµ 
§Ò sè 24: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) TÝnh 
b) T×m x biÕt 
Bµi 2: (2 ®iÓm) 
Chøng minh r»ng: 
NÕu 
Th× 
Bµi 3: (2 ®iÓm)
 Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11km ®Ó ®i ®Õn C (ba ®Þa ®iÓm A, B, C ë cïng trªn mét ®­êng th¼ng). VËn tèc cña ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ B lµ 24 km/h. 
TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc.
Bµi 4: (3 ®iÓm)
 Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B vµ C nhän, ®­êng cao AH. VÏ c¸c ®iÓm D, E sao cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE. Gäi I, K lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC.
 TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ?
Bµi 5: (1 ®iÓm)
Cho x = 2005. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
§Ò sè 25: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1 . ( 2®) Cho: .
Chøng minh: .
C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng:
A = .
C©u 3. (2®). T×m ®Ó AÎ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã.
a). A = . b). A = .
C©u 4. (2®). T×m x:
a) = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650
C©u 5. (3®). Cho r ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E Î BC,
 BH,CK ^ AE, (H,K Î AE). Chøng minh r MHK vu«ng c©n. 
§Ò sè 26: 
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
C©u 1: (2®)
Rót gän A=
C©u 2 (2®)
Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®­îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®­îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®­îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®­îc ®Òu nh­ nhau.
C©u 3: (1,5®)
Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn.
C©u 4 : (3®)
Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®­êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh ^ Ay,CM ^Ay, BK ^ AC.Chøng minh r»ng .
a, K lµ trung ®iÓm cña AC.
b, BH = 
c, ®Òu
C©u 5 (1,5 ®)
 Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d­íi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa:
a, t©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2.
b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3.
c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4.
Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n.
§Ò sè 27:
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bài 1: (3 điểm): Tính
Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng:
a) 	b) 
Bài 3:(4 điểm) Tìm biết:
a) 	b) 	 
Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phân giác của góc BAC
 AM = BC
Bài 6: (2 điểm): Tìm biết: 
---------------------------------------------------------
§Ò sè 28:
®Ò thi häc sinh giái 
(Thêi gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1. TÝnh 
Bµi 2. T×m gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng cña x vµ y, sao cho: 
Bµi 3. T×m hai sè d­¬ng biÕt: tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng tû lÖ nghÞch víi c¸c sè 20, 140 vµ 7
Bµi 4. T×m x, y tho¶ m·n: = 3
 Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 . Ph©n gi¸c trong gãc ACB c¾t AB t¹i M. Trªn MC lÊy