40 Bài toán hay về Giải tam giác theo công thức lượng giác

40 Bài toán hay về Giải tam giác theo công thức lượng giác
I.- Công thức cơ bản Diện tích tam giác
Với tam giác ABC, ta kí hiệu ha, hb, hc là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB ; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ;  là nửa chu vi tam giác.
Ta có thể tính diện tích (S ) của tam giác ABC bằng các công thức sau đây
(Công thức (5) gọi là công thức Hê-rông).
II.-Bài tâp ứng dụng công thức
Bài 1 
Hãy tính ha trong tam giác AHB theo cạnh c  và góc B, rồi thay vào công thức   để được công thức (2) 
Xét cả hai trường hợp
a/ H nằm trong đo ạn BC, 
 Hình 52a à
b/ H nằm ngoài đoạn BC
 Hình 52b à
Bài 2. Từ công thức (2) và định lí sin, hãy suy ra công thức (3).
Bài 3. (h. 53)
Gọi (O ; r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Để ý rằng S là tổng diện tích các tam giác OBC, OCA, OAB. Hãy áp dụng công thức (1) để suy ra công thức (4).
Hình 53
– Chứng minh công thức Hê-rông
– Người ta gọi tam giác có độ dài các cạnh là ba số nguyên liên tiếp và có diện tích bằng một số nguyên là tam giác Hê-rông. Các tam giác có độ dài các cạnh như sau
3 ; 4 ; 5
13 ; 14 ; 15
51 ; 52 ; 53 
 . Là những tam giác Hê-rông. (Xem thêm bài tam giác Hê-rông)
Bài 4. Hãy tính diện tích của ba tam giác Hê-rông ở trên.
III.- Giải tam giác và ứng dụng thực tế
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Biết a = 17,4 ; . Tính góc A và các cạnh b, c của tam giác đó.
Giải. (h. 54)
Hình 54
Ta có
Theo định lí sin ta có
 Bài 6. Cho tam giác ABC. Biết a = 49,4 ; b = 26,4 ; . Tính hai góc A, B và cạnh c.
Giải.  Hình 55
Theo định lí côsin ta có
c2 = a2 + b2 – 2abcosC 
= (49,4) 2 + (26,4) 2 – 2.49,4.26,4.cos47o20’
≈ 369,58.
Bài 7. Cho tam giác ABC. Biết a = 24 ; b = 13 ; c = 15. Tính các góc A, B, C.
Giải. (h. 56)
Theo hệ quả của định lí côsin, ta có
Vì cạnh AC ngắn nhất nên góc B nhọn. Suy ra
.
Bài 8. Dường dây cao thế nối thẳng từ vị trí A đến vị trí B dài10km, từ vị trí A đến vị trí C dài 8km, góc tạo bởi hai đường dây trên bằng 75o. Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C (h. 57).
Hình 57
H DGiải. 
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA ≈  82 + 102 – 2.8.10.cos75o ≈ 123.
Suy ra a ≈11 (km). èVậy khoảng cách từ B đến C xấp xỉ 11 km.
Bài 9. 
(h. 58) Một người ngồi trên tàu hỏa đi từ ga A đến ga B. Khi tàu đỗ ở ga A, qua ống nhòm người đó nhìn thấy một tháp C. Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc 60o. Khi tàu đỗ ở ga B, người đó nhìn lại vẫn thấy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng ngược với hướng đi của tàu một góc 45o. Biết rằng đoạn đường tàu nối thẳng ga A với ga B dài 8 km. Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu?
Hình 58
Giải. Xét tam giác ABC. Ta có
 = 1800 – (600 + 450) = 750
èVậy khoảng cách từ ga A đến tháp C xấp xỉ 6 km.
IV.-Câu hỏi và bài tập bổ sung
15. Tam giác ABC có a = 12, b= 13, c = 15. Tính cosA và góc A.
16. Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, . Kết quả nào trong các kết quả sau là độ dài cạnh BC ?
a) 
b) 7
c) 49
d) 
17. Hình 59 vẽ một hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường.
Hình 59
Bốn bạn An, Cường, Trí, Đức dự đoán khoảng cách từ B đến C như sau
An: 5 km
Cường: 6 km
Trí: 7 km
Đức: 5,5 km
Biết rằng khoảng cách từ A đến B là 3 km, khoảng cách từ A đến C là 4 km, góc BAC là 120o.
Hỏi dự đoán của bạn nào sát với thực tế nhất?
18. Cho tam giác ABC. Chứng minh các khẳng định sau
a) Góc A nhọn khi và chỉ khi a2 < b2 + c2 ;
b) Góc A tù khi và chỉ khi a2 > b2 + c2 ;
c) Góc A vuông khi và chỉ khi a2 = b2 + c2 .
19. Tam giác ABC có , b = 4. Tính hai cạnh a và c.
20. Cho tam giác ABC có , a = 6. 
Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
21. Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức
 sinA = 2sinB.cosC thì ABC là tam giác cân.
22. Hình 60 vẽ một chiếc tàu thủy đang neo đậu ở vị trí C trên biển và hai người ở các vị trí quan sát A và B cách nhau 500m. Họ đo được góc CAB bằng 87o và góc CBA bằng 62o .
Tính các khoảng cách AC và BC.
Hình 60
23. Gọi H là trực tâm của tam giác không vuông ABC. Chứng minh rằng bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, HBC, HCA, HAB bằng nhau.
24. Tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = 6. Tính ma .
25. Tam giác ABC có a = 5, b = 4, c = 3. Lấy điểm D đối xứng với B qua C. Tính độ dài AD.
26. Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, BC = 5, BD = 7. Tính AC.
27. Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo.
28. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A khi và chỉ khi .
29. Tam giác ABC có b = 6,12 ; c = 5,35 ; . Tính diện tích tam giác đó.
30. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. 
Chứng minh rằng
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2.
31. Gọi S là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng
S = 2R2 sinAsinBsinC.
32. Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.
33. Giải tam giác ABC, biết
34. Giải tam giác ABC, biết
35. Giải tam giác ABC, biết
a) a = 14, b = 18, c = 20;
b) a = 6, b = 7,3, c = 4,8;
c) a = 4, b = 5, c = 7.
36. Biết hai lực cùng tác dụng vào một vật và tạo với nhau góc 40o. Cường độ của hai lực đó là 3N và 4N. Tính cường độ của lực tổng hợp.
37. Từ vị trí A người ta quan sát một cây cao (h. 61).
Biết AH = 4 m, HB = 20 m, . Tính chiều cao của cây.
38. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 50o và 40o so với phương nằm ngang. Tích chiều cao của tòa nhà (h. 62).
Hình 62
PHH sưu tầm và GT - 1/ 2016